Đề thi Olympic Toán ĐP lớp 10 năm 2009-2010

Sở GD & ĐT Hà Nội
Đề thi olympic Toán lớp 10
Trờng THPT Đa Phúc
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian chép đề)
Năm học 2009-2010
Câu 1: (4 điểm)
Cho hàm số y = x
2
- 4x + 3 (1)
a) Vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm m để phơng trình x
2
4x = m có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn -1 < x
1
< 4 < x
2
.
c) Tìm k để bất phơng trình x
2
4x k nghiệm đúng mọi x (0;3)
d) Dựa vào đồ thị ở câu a) hãy suy ra đờng biểu diễn đờng cong |y| = x
2
4x + 3.
Câu 2: (2 điểm)
Cho hệ phơng trình

=+
+=++
mxyyx
myxyx
22
1
a) Giải hệ phơng trình với m = -2.
b) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm x < 0, y < 0
Câu 3: (2 điểm)
Giải phơng trình:
3)2314(9 +=+ xxx
Câu 4: (3 điểm)
Chứng minh
a)
baba +
+
411
với a>0, b>0
b)
6
11
22

+
+
ba
ab
với

=+
>>
1
0,0
ba
ba
Câu 5: (3 điểm)
Cho
ABC

đều cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
a)
2
aMAMCMCMBMBMA =++
b)
222
2 aMCMB =
Câu 6: (2 điểm)
Chứng minh trong mọi
ABC

luôn có
)2sin2sin(
4
1
22
AbBaS +=

với BC = a; AC = b.
Câu 7: (4 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC

có: phơng trình đờng phân giác trong của góc A
là x y = 0; phơng trình đờng cao đỉnh C là 2x + y + 3 = 0; cạnh AC đi qua điểm M(0;-
1) và AB = 2AM. Lập phơng trình các cạnh của
ABC

.
Hết