KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN Năm học: 2010-2011 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh chuyên tin)

UBND TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2010-2011
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh chuyên tin)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 ( 2,0 điểm )
a.Rút gọn :
A =
2
)23( −
+ 2
6
B =
7474 −−+
b.Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị x
≠
0.
f(x) = (x -1)x – ( 2x
2
– 2x) : 2x

Bài 2 ( 2,0 điểm )
Cho hàm số
2
2
y x
3
=
, có đồ thị là (P).
a.Gọi M, N là các điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 3.Viết phương trình
đường thẳng MN.

b.Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng MN và tiếp xúc
với (P).
Bài 3 (1,5 điểm )
Cho phương trình : x
2
- 2(m-1)x – m = 0
a.Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1,
x
2
với mọi m.
b.Với m
≠
0, lập phương trình ẩn y thoả mãn.
y
1
= x
1
+
2
1
x
; y
2
= x
2
+
1
1
x

Bài 4 ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn (O;R) và I là trung điểm của dây AB.Hai dây bất kỳ MN và EF đi
qua điểm I với EF > MN; MF và EN cắt AB tại C và D.Vẽ dây FG song song AB, kéo dài
IO cắt FG tại K.
a.Chứng minh: IFK = IGK và tứ giác IDNG nội tiếp.
b.Chứng minh: IC = ID.
c.Khi dây AB di động trong đường tròn (O) nhưng độ dài AB = m không đổi thì
điểm I chuyển động trên đường nào ? Vì sao?

Bài 5 ( 1,5 điểm )
a.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có bất đẳng thức:
x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy + yz + zx
b.
Cho x,y là hai số dương thỏa mãn x + y = 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
S
x y
= +

ĐỀ CHÍNH THỨC
======================= Hết ======================

UBND TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2010-2011
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh chuyên tin)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
I. Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội
đồng chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II. Đáp án:
Bài Nội dung Điểm
1
(2đ)
a)
A =
2
)23( −
+ 2
6

5
6222323
=
++−=
0,25
0,25

B=
7474 −−+
=
2
)74(2
2
)74(2 −
−
+

( ) ( )
2
17
2
17
22
−
−
+
=
=
2
2
2
=
b)
f(x) = (x -1)x – ( 2x
2
- 2x) : 2x
= x

2
- x - x + 1
= x
2
- 2x + 1 = (x - 1)
2
f(x) = (x - 1)
2

≥
0
Vậy biểu thức f(x) không âm với mọi giá trị x
≠
0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
a) Tìm được N(3; 6); M
)
3
2
;1(−
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua
M và N nên:

2
a b

3
3a b 6
ì
ï
ï
- + =
ï
í
ï
ï
+ =
ï
î
0,5
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
(2đ)
Tìm được
4
a ; b 2
3
= =
. Vậy phương trình đường thẳng MN cần
tìm là
2
3
4
+= xy
0,25

b) Phương trình đường thẳng (d) có dạng ; y =
4
x b
3
+
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là;
2
2
x
3
=
4
x b
3
+
⇔
2x
2
– 4x – 3b = 0
Lý luận tìm được b =
3
2−
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là
3
2
3
4
−= xy
0,25
0,25

0,25
0,25
3
(1,5đ)
a)
x
2
- 2(m-1)x - m = 0
( )
2
/ 2 2
2
m 1 m m 2m 1 m m m 1
1 3
m 0
2 4
D = - + = - + + = - +
æ ö
÷
ç
= - + >
÷
ç
÷
ç
è ø
Vậy phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1,
x
2

với mọi m
0,25
0,25
0,25
b)
1 2 1 2
1 2
2 2 1 1
x x 1 x x 11 m 1 m
y ; y
x x x x
+ +- -
= = = =
Tính
( )
( )
2
1 2
2
1 2
1 m
y y
m
2 1 m
y y
m
-
=
-
-

+ =
Vậy y
1
, y
2
là 2 nghiệm của phương trình
my
2
- 2( 1 – m )
2
y - ( 1 – m )
2
= 0
0,25
0,25
0,25
Hình vẽ

4
(3đ)

0,5đ
a) *
I là trung điểm của dây AB nên OI
⊥
AB
mà FK // AB nên IK
⊥
FG
ta có OK

⊥
FG nên K là trung điểm của dây FG
IFG có IK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
IFG cân tại I nên IFK = IGK
**
Có AB // FG nên DIG = IGF ( so le trong)
mà IGF = IFG ( C/m trên)
Tứ giác EFGN nội tiếp trong đường tròn tâm O cho ta
IFG + GND = 180
0

Do đó DIG + GND = 180
0
nên tứ giác IDNG nội tiếp.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Xét hai tam giác ICF và tam giác IDG có
CFI = IND ( vì cùng chắn cung ME )
tứ giác IDNG nội tiếp nên IND = IGD ( cùng chắn cung ID)
Do đó MFI = IGD
Mà tam giác IFG cân và AB // FG nên IF = IG và CIF = DIG
Vậy ICF = IDG ( g-c-g)
Nên IC = ID
0,25
0,25
0,25
c) Xét tam giác vuông AIO
OI

2
= OA
2
- IA
2
= R
2
-
4
4
42
222
2
2
mRm
R
m −
=−=






Do đó OI =
2
4
22
mR −
không đổi ( 2R > m )

Vậy điểm I chạy trên một đường tròn tâm O bán kính
r =
2
4
22
mR −

0,25
0,25
0,25
K
C
D
M
N
G
F
E
I
O
A B
5
(1,5đ)
a)
x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy + yz + zx
⇔
2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2

≥
2xy + 2yz + 2zx
⇔
(x
2
-2xy + y
2
)+ (y
2
- 2yz + z
2
) + ( z
2
- 2zx + x
2
)
≥
0
⇔

( x – y )
2
+ ( y – z )
2
+ ( z – x )
2

≥
0
0,25
0,25
0,25


b)

)10(
1011
xxxy
yx
yx
S
−
=
+
=+=

S
min
⇔

x( 10 – x)
ma
x
Ta có :
x( 10 – x) = 25 – ( x- 5)
2

≤
25
Vậy : S
min
=
5
2
.
0,25
0,25
O,25
======================= Hết =======================