Bài tập về diện tích và thể tích đa diên tròn xoay

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 1


Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với
mặt đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.












Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ.
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ =
'
AA
AH


AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60
0

=
2
3b

Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của
tam giác là: h =
2
3a

Diện tích tam giác A’B’C’: S
A’B’C’
=
4
a3
h.a
2
1
2

Thể tích ABC.A’B’C’: V =
3
1
.AH. S
A’B’C’
= ba
8
3
2

Bài 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp
với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.











Giải:
Kẻ SH

(ABC)
Gọi I là giao điểm của AH và BC
Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của
tam giác ABC.
 AI =
2
3a
 AH =
3
2

AI =
3
2
a
3
3
2
3a

Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH =
60
0
.
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
tan 60
0
=
0
60tan.AHSH
AH
SH
 = a

Diện tích tam giác ABC: S
ABC
= BC.AI
2
1
=
2

a
4
3
a
2
3a
2
1

Thể tích khối chóp: V =
3
1
SH. S
ABC
=
3
1
32
a
12
3
a
4
3
a 

A
A’
C
B
B’
C’
H
60
0

A
B
C
S
I
H
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 2

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt
SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a,
3
2
SB
'SB

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Giải
a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD
Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P).
Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC
và BD.






)SAC(BD
ACBD
SHBD
 BD  SC.
Do mp (P)  SC  BD // mp (P)
Do








 'D'B//BD
'D'B)SBD()P(
)SBD(BD
)P//(BD


3
2
SB
'SB
SH
'SH
SD
'SD
 , H’D’ = H’B’ va B’D’  AC’
Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC,
3
2
SE
'SC


SE
'EC
3

1
SE
'SCSE


 SC’ = 2EC’ = CC’
Ta có:
9
4
3
2
3
2
V
V
ABD.S
'D'AB.S
 ,
9
2
2
1
3
2
3
2
V
V
BCD.S
'D'C'B.S


Ta có: V
S.ABD
= V
S.BCD
=
2
V
ABCD.S

 V
S.AB’C’D’
= V
S.AB’D’
+ V
S.B’C’D’
=
ABCD.S
ABCD.S
V
3
1
2
V
9
2
9
4









b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC
nên SA = AC  tam giác SAC đều  SH = a
2
6
2a
2
3
AC
2
3

V
S.ABCD
=
3
1
33
a
6
6
a
2
6
  V

S.AB’C’D’
=
3
a
18
6




Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một
đoạn không đổi a =
2
AB
. Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón.




S
A
B
C
D
D’
C’
B’
H’
H
E

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 3









Giải
Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A.
Theo gt: A cố định
 d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định (1)
Trong mp (d, AB) kẻ BH  d tại H
Gọi  = HAB
Xét tam giác vuông ABCH ta có:
Sin  =
2
1
AB
a
AB
BH
   = 30
0
.
Vậy  không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB

làm trục và có góc ở đỉnh 2 = 60
0
.



Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích
của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình
vuông A’B’C’D’.












Giải
Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r =
2
a

Độ dài đường sinh: l =
2
5a
2

a
a
2
2








Diện tích xung quanh của khối nón:
S
xq
=

rl
4
5a
2
5a
2
a
2


Thể tích khối nón: V = hr
3
1

2
 =
12
a
a
2
a
r
3
1
3
2
2











Bài 6: Cho đường tròn (C) trong mp (P). Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông
góc với mp (P). Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ.

Giải
Gọi  là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O
Gọi r là bán kính của (C).
Do






//d
)P(
)P(d

Khoảng cách giữa d và  là: d(d, ) = OM = r: không đổi
Vậy d nằm trên mặt trụ trụ  bán kính r



A
B
H
d
A
B

C
D
A’
B’
C’ D’
O
O’
O
M
P
d


Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 4

Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình
lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)
c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối
trụ. Tính tỉ số của V và V’.

Giải
a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường
sinh l bằng đường cao h
l = h = 2r.
Diện tích xung quanh của hình trụ: S
xq
= 2 r l = 4 r
2
.
Diện tích toàn phần của hình trụ: S
tp
= S
xq
+ 2B = 6 r
2
.
b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp
trong hình trụ đã cho.
Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r
2

Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.S
ABCD
= 4r
3
.

c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r
3

Vậy:


2
'
V
V



Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho.











Giải
Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’.
Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương
Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O,

Bán kính r =
2
'AC

AC’ = a 3  r =
2
3a




Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB
= 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện.








Giải
Gọi O là trung điểm DC
Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC
  DAC vuông tại A
 OA = OC = OD = CD/2 (1)
Ta có: BC  BA, BC  DA  BC  (ABD)  BC  BD
 OB = CD/ 2 (2)
A
B

C
D
O
A’
B’
C’
D’
O’
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
A
B
C
D
O
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 5

Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2.

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.

Giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.
Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm
trên SH.
Gọi I là trung điểm của SA.
Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O
Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp.
Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có:
SH
2
SA
SH
SI
SA
SO
  SO = r
SH
2
SA
2



Mà SH
2
= SA
2
 AH
2
= b
2

2
2.3
3a2








nên SH =
22
22
ab3
3
1
3
ab3




Vậy: r =
22
22
ab3
3
2
b
SH2
SA

 =
22
2
ab32
b3




Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt
cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D. Cho biết CD = r 3
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến CD.

Giải
a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB 
OB
 AB = 3rrr4OBOA
2222

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD.
Ta có: OC = OD = r
Nên tam giác OCD cân tại O
Do H là trung điểm của CD nên HC =
2
3r
2
CD

Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với
OH =
2
r
2
3r
rHCOC
2
222














A
O
C
D
B
H
S
A
B
H
C
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 6


Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC
vuông tại B

và AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.











Giải
a) Gọi O là trung điểm DC
Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC
  DAC vuông tại A  OA = OC = OD = CD/2 (1)
Ta có: BC  BA, BC  DA
 BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ 2 (2)
Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính
r = CD/2.
r =
22222
BCABAD
2
1
ACAD
2
1

CD
2
1
 =
2
2a5

b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r
2
= 50 a
2

Thể tích của khối cầu tương ứng: V =
3
4
 r
3
=
3
2a125
3



Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1

D
1
có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và A
1
D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a) Hạ
1 1
( )
AK A D K A D
  . Chứng minh AK = 2
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.


A x B


x x
2
D C
x
K h

5
A
1
B
1




D
1
C
1

Giải:
a) Chứng minh AK = 2:
AB

(ADD
1
A
1
)
AB AK
 
và Gt: AK

A
1

D

AK là đoạn vuông góc chung của AB và A
1
D
Vậy AK =


1
, 2
d AB A D AK
 

b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
:
Đặt h = AA
1
là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh
đáy hình vuông.
Gt AK = 2; A
1
D = 5
1

AA
D vuông tại A có AK là đường cao nên:
AK.A
1
D = AD.AH
10 .
x h
 
và
AD
2
+
2 2 2 2
1 1
AA 25
A D x h
   

Giải hệ:
2 2 2
25 ( ) 45
3 5
10 10
10
x h x h
x h
xh xh
xh

 

   
 

 
  
 


 


A
B
C
D
O
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 7

2
2
2 5; 5 20 5
5; 2 5 10 5
x h V x h
x h V x h

    


    






Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là hình bình hành và

0
45
BAD 

Các đường chéo AC
1
và DB
1
lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
D

1
A
1


C
1
B
1



2


D A



C B
Giải:
Gt: (AC
1
, (ABCD)) = 45
0
= (AC
1
,AC) =

1

C AC

(DB
1
, (ABCD)) = 60
0
= (DB
1
, DB) =

1
B DB



0
1 1 1
, 1 .cot 2.cot 45 2
ACC C v AC CC C AC
     



0
1 1 1
2 3
, 1 .cot 2.cot60
3
DBB B v BD BB B DB     
Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y


2 2 2
ó : 2. . . os
ADC c AC AD DC AD DC c ADC
   
2 2 0 2 2 0
4 2 cos135 2 cos45
x y xy x y xy       (1)

2 2 2
ó : 2. . . os
BCD c BD BC CD BC CD c BCD
   
2 2 0
4
2 cos45
3
x y xy    (2)
Từ (1) và (2)
2 2 2 2
16 8
2( )
3 3
x y x y
     
thay
vào (2) có:
4 8 2 4
2 .
3 3 2

3 2
xy xy   
0
1 2 4 2 2
2. 2. . .sin .sin 45 .
2 2 2 3
3 2
ABCD BCD
xy
S S BC CD C xy
     

Vậy V = S
ABCD
. CC
1
=
2 4
.2
3 3

(đvdt)


Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1

có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB =
2
. Cho biết mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA
1
=
3
, góc

1
A AB
nhọn, góc giữa mặt phẳng (A
1
AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ.


Giải:
Gt:
1
( ) ( )
A AB ABC
 . Từ A
1
dựng A
1

H vuông góc AB tại H thì
1 1
( )
A H ABC AH
  là chiều
cao lăng trụ. Đặt A
1
H = h
Dựng
HK AC

tại K (HK // BC) .

AKH cũng vuông cân tại K
2
. 2
3
h
AH HK  


Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 8


A
1
B
1

C
1

3
h



2

A H B

K

C


2 2 2
1 1 1
, 1
A HA H v A H HA A A
    
2
2 2
2 3
3 5 9
3
5

h
h h h      
2
2
1
1 1 3 3
. . . .
2 2
5 2 5
ABC
CA
V S A H CACB h CA   
2 2 2 2
ó: 2 2
ACB c AC CB AB AC
    

2
1
AC
 
. Vậy V =
3
2 5
(đvdt)

Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,
cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC).

Tính tan

và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.


Giải:
* Tính tan

:
+ Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H.
+ Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM

BC.
Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b
'
A M BC
 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là:

AMA'




A’HM vuông tại H (vì A’H

(ABC))


'
tan tanAMA'
A H
MH

  

C’
A’

B’

b


A
C
a H
M
B

ABC đều có cạnh a nên AM = a
3
2

2 3 1 3
;
3 3 3 6
a a
AH AM MH AM     ;

A’H =
2 2 2
2 2 2
3
'
3 3
a b a
A A AH b

   
Vậy
2 2 2 2
3 3 2 3
tan :
3 6
b a a b a
a

 
 
* Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C:
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 9

2 2
' ' '. '.
1 2 2 1 3 3
. ' . ' . ' . .
3 3 3 2 2 3
A B C ABC A ABC ABC ABC ABC

a b a
V V V S A H S A H S A H a
 

     
 
 
 

V
2 2 2
3
6
a b a

 (đvtt)


Bài 17: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc

AS 2
B

 . Hãy tính
thể tích khối chóp.


S

A
C
H
M

B
Giải: Tính V
S.ABC
:
+ Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
Vì: SA = SB = SC

HA = HB = HC

H là tâm của tam
giác đều ABC.
+ Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm
của AB và SM

AB.
+ Đặt AB = 2x

AM = BM = x (x > 0)
+ gt:




0 0
AS 2 ASM BSM (0 90 )
B
  
     
+


ASM, 1 cot AS cot
M v SM AM M x

    
MH =
1 1 3 1 3 3
. .2 .
3 3 2 3 2 3
x
CM AB x  
+

2
2 2 2 2 2 2
SHM, 1 cot
3
x
H v SH MH SM h x

       

2
2
3
3cot 1
h
x

 


3
2
.
2
1 1 1 1 2 3 3 3
. . . .2 . .
3 3 2 6 2 3 3cot 1
S ABC ABC
x h
V S SH AB CM h h x x h

 
    
 

 
(đvtt)


Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA

( )
ABC

, SC =
a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:
S




a

A B


C
+ gt: ( )&
SA ABC AC CB SC CB
   

+ Gọi
 

0 0
( ),( ) (0 90 )
SCB ABC SCA
  
    

+



.sin sin
, 1
. os os
SA SC SCA a
SAC A v
AC SC c SCA ac



 

  

 



+
2 2 2
.
1 1 1 1
. . . os .asin
3 3 2 6
S ABC ABC
V S SA AC SA a c
 

  
3 2
.
1
os .sin
6
S ABC
V a c
 

+ Xét hàm số:
2 0 0
( ) os .sin , 0 90
f c
   
  
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10





2 3 2 3 3
'( ) 2cos .sin os 2cos (1 os ) os 3cos 2cos cos 3 os 2 3
os 2
f c c c c c
           
           

Vì:


0 0
0 90 os 0 os 3 os 2 0
c c c
   
      

Do đó:
0 0
2 2
'( ) 0 3 os 2 0 os ; os ;0 90
3 3
f c c c
      
 
          
 
 
 

Lập bảng biến thiên hàm số f(

) trên khoảng


0 0
0 ; 90
:



0
0


90
0

f’(

)

+ 0 -



f(

)
f
max



0 0


Ta có f(


) lớn nhất

2
os
3
c

 .
Vậy thể tích S.ABC lớn nhất

f(

) lớn nhất

2
os
3
c

 .


Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp
nhỏ nhất ?

Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:


S

K
B C


N M
O
A D

+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc
với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp
S.ABCD.
+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD
với M

CD và N

AB.
+ CD

(SMN), trong (SMN) vẽ NK

SM, khi đó
NK

CD


NK

(SCD). Vậy NK = d


,( )
N SCD

+ Vì AB//CD

AB//(SCD)

d


,( )
A SCD
= NK = 2a.
Ta có: SM

CD và MN

CD

 
( ),( )
SMN SCD ABCD

  



2
, 1
sin sin
sin
NK a a
NKM K v MN OM
NMK
 
      

+

, 1 tan
os
a
SOM O v SO OM
c


    
+
2 3
2
.
2 2
1 1 1 4 4
. . . .
3 3 3 sin os 3sin os

S ABCD ABCD
a a a
V S SO MN SO
c c
   
   
Vậy
.
S ABCD
V nhỏ nhất

2
( ) sin os
f c
  
 lớn nhất, với
0 0
0 90

 
2 3 2 3 3
'( ) 2cos .sin sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 3sin
f
        
      

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 11

2 2
3sin sin sin
3 3
  
  
  
  
  
  


2 2 2
'( ) 0 sin 0 sin arcsin
3 3 3
f
   
       
Lập bảng biến thiên hàm số f(

) trên khoảng


0 0
0 ; 90
:



0
0

2
arcsin
3
90
0

f’(

)

+ 0 -



f(

)
f
max



0 0


Ta có f(

) lớn nhất


2
arcsin
3

 .
Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất

f(

) lớn nhất

2
arcsin
3

 .

Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA
( )
ABC

; đáy là
ABC

cân tại A, độ dài trung tuyến AD
= a, cạnh SB tạo với đáy một góc

và tạo với mặt (SAD) góc

. Tính thể tích khối chóp.

Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC:

S








A C

D

B
+ SA

(ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC)

 
,( )
ABS SB ABC

  
+ BC

AD và BC


SA

BC

(SAD) nên SD là hình
chiếu của SB trên (SAD)

 
,( )
BSD SB SAD

  
+

, 1 . os
SAB A v AB SB c

   
+

, 1 .sin
SDB D v BD SB

   
+

2 2 2
, 1
ADB D v AD AB BD
    

2 2 2 2
2 2
( os sin )
os sin
a
a SB c SB
c
 
 
    


Vậy
2 2
sin
os sin
a
BD
c

 





SA = SB
2 2
.sin
sin

os sin
a
c


 



.
1 1 . 1
. . . . . . .
3 3 2 3
S ABC ABC
AD BC
V S SA SA AD BD SA
  

3
2 2
2 2 2 2
1 asin asin 1 sin sin
. . .
3 3 os sin
os sin os sin
a
a
c
c c
   

 
   
 

 
(đvtt)
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 12


Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’)
cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ .

Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:

S



2a
C’ D’

I
B’
A D

O a

B C

+ Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO.
Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì:
C’là giao điểm của (AB’D’) với SC
+
SAB SAD SB SD
    

+
2 2
' '
' ' (*)
SA SA SB SD
SB SD
SB SD SB SD
    
+ V
S,AB’C’
+ V
S.AC’D’
= V
S.AB’C’D’
+ V
S,ABC
= V
S.ACD
=
1
2

V
S.ABCD
=
1
2
V (đặt V
S.ABCD
= V)
. ' '
.
' '
.
S AB C
S ABC
V
SB SC
V SB SC
 hay:
. ' '
2
' '
.
S AB C
V
SB SC
V SB SC

Tương tự:

. ' '

2
' ' ' '
. . ( )
S AC D
V
SD SC SB SC
do SD SB
V SD SC SB SC
  
3
. ' ' '
'. ' '. ' 2
2 2 . 2. .
. . 3
S AB C D
SB SC SB SC a
V V
SB SC SB SC
  
3
. ' ' '
'. ' 2
.
. 3
S AB C D
SB SC a
V
SB SC
 
Vì:

2 2 2 2
2 2 2 2 2
' 4 4 4
'
4 5
SA SB SA a a
SB
SB SB SB SA AB a a
     
 

+ Ta có:
& ( ) '
BC AB BC SA BC SAB BC AB
     
. Mặt khác:
'
SB AB


Vậy ' ( ) '
AB SBC AB SC
  
; tương tự:
' ( ' ') '
AD SC SC AB D SC AC
    

Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên:
SC’.SC = SA

2

2 2 2
2 2 2 2 2
' 4 4 2
4 2 3
SC SA a a
SC SC SA AC a a
    
 

3 3
. ' ' '
4 2 2 16
. .
5 3 3 45
S AB C D
a a
V  


Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB =
2

. Cho biết mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA
1
=
3
, góc

1
A AB
nhọn, góc giữa mặt phẳng (A
1
AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Hãy tính thể tích
của khối lăng trụ.

Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
+ Gt:
1
( ) ( )
A AB ABC
 . Từ A
1
dựng A

1
H

AB tại H
1
( )
A H ABC
  
A
1
H là chiều cao lăng trụ.
Đặt A
1
H = h

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 13



A
1
2

B
1



C

1



3
h



A H B


K
C

+ Dựng HK

AC tại K (HK//BC) thì

AKH cũng
vuông cân tại K.
HK là hình chiếu của A
1
K trên (ABC) mà AC

HK
nên AC

A
1

K.
Vậy
 

0
1 1
( ),( ) 60
A AC ABC A KH  .


A
1
HK vuông tại H:


0
1 1
.cot cot60
3
h
HK AH A KH h   


AHK vuông cân tại K
2
2
3
h
AH HK  


A
1
HK vuông tại H
2 2 2
1 1
A H HA A A
  
2
2 2
2 3
3 5 9
3
5
h
h h h      
2
1 1 3
. . . . .
2 2
5
ABC
V S AH CACB h CA  


2 2 2 2
, 1 2 2 1
ABC C v AC CB AB AC AC
        

Vậy

3
2 5
V 
(đvtt)


Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E
của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia
đối của tia BA sao cho )90(
0



ECM và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính
thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a;  và tìm  để thể tích đó lớn nhất.


Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ:
+ Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ. Ta có:
V =
1
.
3
S h
, với S là diện tích
IHE

và h là chiều cao của khối tứ diện.

+ GT suy ra IJ// SE và IJ=
1 1
.2
2 2
SE a a
 
; Vì SE
( ) IJ ( )
ABC IHE
  
. Vậy h = IJ = a

EBC vuông tại B có EB =
1
2
AB
= a; BC = 2a nên EC =
2 2 2 2
(2 ) 5
BC BE a a a
   
+ Vì SE

(ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC), do SH

CM nên
EH

CM. Vậy tam giác CHE vuông tại H và có



ECH ECM

 


. os 5. os
CH CE c ECH a c

  


Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 14


S


J



C A
I

H E


B

M


1 1
. .sin . 5. 5 os .sin
2 2
ECH
S CE CH a a c
  

  

2
5
.sin2
4
a


Do I là trung điểm của CE
nên S =
2
1 5
.sin2
2 8
ECH
a
S




Vậy V =
3
5
.sin 2
24
a


* Tìm

để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn
nhất:
Ta có: V =
3 3
5 5
.sin 2 ( sin 2 1)
24 24
a a
do
 
 
.
Vậy V lớn nhất
0 0
sin 2 1 2 90 45
  
     

Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
3
SA a
 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện
SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.


Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:
+ Gọi V, V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta
có: V = V
1
- V
2

S



M

A H D

O

B C

+ SA

(ABCD) nên SA là chiều cao của khối
chóp S.ACD.
Vậy V
1
=
3
1 1 1 3
. . 3. .
3 3 2 6
ACD
a
SA S a AD DC 
Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên
MH

(ABCD) và MH =
1 3
2 2
SA a
V
2

=
3
1 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12
ACD
a
MH S a AD DC 
Vậy V =
3 3 3
3 3 3
6 12 12
a a a
 
* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SB, AC:
Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:
MO =
1
2
SB
2 2 2 2
1 1
3
2 2
SA AD a a a
    
và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa
OM và AC
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 15

M
C
OA =
1 2
2 2
a
AC  ; AM
2 2
2 2
3
4 4
a a
AH MH a
    

Trong tam giác OAM có:

2
2 2
2 2 2
1
2
cos
2. .
2 2 2
2. .
2
a

a a
OA OM AM
AOM
OAOM
a
a
 
 
  
Vậy
   
1
cos , cos ,
2 2
SB AC OM OA 


Bài 24: Cho hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và O’, tứ giác ABCD là hình vuông nội
tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc
của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60
o
, tính thể tích khối trụ.
Giải:
A'
B'
B
A
D
C

Ta có:
' ( ) '
A A ABCD A D
 
có hình chiếu trên (ABCD) là
AD.
Do BC

AD

BC

A’D
Vì:
( ' ' ) ( )
' ( ' ' ); ( )
A B CD ABCD BC
A D A B CD BC ABCD



 







0

( ' ' ); ( ) ' 60
A B CD ABCD A DA  

OAD vuông cân nên
2 2
AD OA R 

Gọi h là chiều cao của hình trụ.

ADA’ có h = AA’=AD.tan60
0
=
6
R
Thể tích khối trụ là V =
2 2 3
. 6 6
R h R R R
  
  (đvtt)

Bài 25: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB =
2
3a
và các cạnh
còn lại đều bằng a.

A

D

I



Giải:
Gọi
I
là trung đểm cạnh
CD

 






CDBI
CDAI
Gt

AB
a
BIAI 
2
3
,

(1)


ABI là mp trung trực cạnh
CD
. Gọi
M
là giao điểm của
BI

với mặt cầu


S ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.


Đường tròn lớn của


S là đường tròn


ABM . Mặt phẳng


BCD cắt



S theo đường
tròn


BCD qua M, hơn nữa BM là đường kính.
3
2
60sin
0
aa
BM 

(1)
ABI


đều



ABM
= 60
0
;
12
13
60cos.2
022
aBMABBMABAM 
B

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 16


6
13
60
sin
2
0
aAM
R 
33
162
1313
3
4
aRV



Bài 26: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy bằng R. Điểm M

SO là tâm
đường tròn (C).
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
2.Tìm x để thể tích này lớn nhất

Giải:
S

(C)
M
O

Ta có )(
'
''
xh
h
R
R
R
R
h
xh
R
R
SO
SM



Thể tích khối nón:
V= )2(
3
1
.)(
3
1
.

3
1
223
2
2
2
2
2
2'
xhhxx
h
R
xxh
h
R
SMR 


V
’
=
 
,43
3
1
22
2
2
hhxx
h

R


V’ = 0






hx
x
h
3
x= h (loại)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: V
Max


x =
3
h


Bài 27: Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r. Gọi I
là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường
sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón).
1. Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;
2. Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi. Với điều kiện nào của bán kính đáy
thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?

Giải:

+) Gọi
C
r
là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.
Ta có:
1
( ). .
2
SAB C C
S pr l r r SM AB
   

2 2
.2
2( )
C
l r r l r
r r
l r l r
 
  
 

+) S
cầu
=

2 3
2 2
.
4 4 4
C
l r l r r
r r
l r l r
  
 
 
 

+) Đặt:
2 3
( ) ,0
lr r
y r r l
l r

  

;

r
l
I
M
S
A B

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 17

2 2
2
5 1
2 ( )
2
'( ) 0
( )
5 1
2
r l
r r rl l
y r
l r
r l

 


  

  






+) BBT:
r
0
5 1
2
l


l

y'(r)
y(r) y
max


+) Ta có max S
cầu
đạt

y(r) đạt max

5 1
2
r l




Bài 28: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2


. Với x
nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
Giải:
Ta có S
tp
= S
xq
+2S
đ
=
)(222
22
xxyxxy 

; (x > 0)
Theo giả thiết ta có 2 (xy+x
2
) = 2

xy+x
2
=1

y =
x
x
2
1
.
Hình trụ tồn tại y > 0 (với x > 0)


1- x
2
> 0

0 < x < 1. Khi đó V(x) =

x
2
y =

x(1- x
2
)
=

( -x
3
+ x)
Khảo sát hàm số V(x) trên với x

(0;1) ta được giá trị lớn nhất của V =
3
1
33
2
 x


Bài 29: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một
điểm A cố định và một điểm M di động. Biết

AOM


, góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAM)
và (OAM) có số đo bằng β và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng a. Tính thể tích khối nón
theo a, α, β.
Giải:
(C)
O
A
I
H




Gọi I là trung điểm AM
∆SAM cân nên SI

AM
∆OAM cân nên OI

AM
( ) ,
( ) ,
OAM OI OI AM
SAM SI SI AM

 



 

Góc tạo bỡi hai mặt phẳng
(SAM) và (OAM) bằng

SIO



MA

OI và MA

SO
( ) ( ) ( )
MA SOI SAM SOI
   

Và ( ) ( )
SAM SOI OI



Kẽ OH

OI



( ) ,( )
OH SAM d O SAM OH a
    


, 1
sin sin
OH a
OHI H v OI
 
    

, 1
os os .sin
2 2
OI a
OMI I v OM
c c
 

    

= R
Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay
Thầy Huy – www.facebook.com/hocthemtoan - ĐT: 0968 64 65 97 Trang 18


SO = OI

tan

=
os
a
c


V=
2
coscossin3sin
2
cos
.
cos
.
3

3
1
22
3
22
2
2









aaa
OMSO 


Bài 30: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI = h. Một mặt
phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
1) Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C).
2) Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
B
O
I
F
E

Gọi EF là 1 đường kính cua (C) ta có: IE.IF = IA.IB
hay IE
2
= IA.IB = h(2R-h). Gọi r là bán kính của (C) thì:
r = IE = )2( hRh 
Thể tích cần tính là:
V=
 
2 2 3
1
2
3 3

V r h Rh h


   , với 0<h<2R
V
’
=
2
34(
3
hRh 

)

; V
’
= 0
3
4R
h 
V
max
3
4R
h 
hay AI=
3
4R

Bài 31: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B
nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ
hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45
0
. Tính diện tích xung
quanh và thể tích của hình trụ.

Giải:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó
OM AB

và
' D
O N C

.
Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.
Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó:
OM
I

vuông cân tại O nên:

2 2 2
.
2 2 2 2 2
h a
OM OI IM h a

     
Ta có:
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO
 
 
       
 
 
 
 
 


2 3
2
3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h

 
    và

2
a 3 2 3
2 Rh=2 . . .
2 2
2 2
xq
a a
S

 
 