Đề thi HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm học 2010 - 2011

Đề thi chọn HSG tỉnh Thanh hoá
Năm học 2010 - 2011
Môn toán
Lớp 9 THCS (thi ngày 24/3/2011)
Câu I.(5,0 điểm).
1) Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
1 1 1
a b c
+ =
. Chứng minh rằng
2 2 2
A a b c= + +
là số

hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +

là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm). 1) Giải phơng trình :
2 2
10
.
1 1 9
x x
x x

+ =
ữ ữ
+

2) Giải hệ phơng trình:
2
2
3
2 3
1 1
1 4

1
4
x x
y y
x x
x
y y y


+ + + =

ữ




+ + + =


Câu III. (2,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt
nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính
.BPE
Câu IV. (4,0 điểm).
Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB cố định (O

AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng
AB ( P

A,B và P khác trung điểm AB). Đờng tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đờng

tròn (O) tại A.Đờng tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B. Hai đờng tròn
(C) và (D) cắt nhau tại N ( N

P).
1) Chứng minh rằng
ANP BNP
=
và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đờng tròn.
2) Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động
Câu V ( 4,0 điểm)
1) Cho a
1
,a
2
, ,a
45
là 45 số tự nhiên thoả mãn a
1
< a2 < < a
45


130. Đặt
1
( 1,2, ,44)
j j j
d a a j
+
= =
. Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu

j
d
xuất hiện ít nhất 10
lần
2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn
2 2 2 2 2 2
2011a b b c c a+ + + + + =

2 2 2
1 2011

2 2
a b c
cmr
b c c a a b
+ +
+ + +