bài toán về cực và đối cực

Cực và ñối cực
1

CỰC VÀ ðỐI CỰC
Dương Bửu Lộc-Trường THPT chuyên Trần ðại Nghĩa
A. ðường ñối cực của một ñiểm ñối với 2 ñường thẳng
1. ðịnh nghĩa: Hai ñiểm A, B gọi là liên hợp ñối với 2 ñường thẳng a, b khi chúng liên hợp
với 2 ñiểm C, D là giao ñiểm của AB với a, b.
Ở ñây khái niệm A, B liên hợp với C, D có nghĩa là A, B, C, D là hàng ñiểm ñiều hòa hay
(ABCD) = -1

2. Bài toán: Cho 2 ñường thẳng c, d và ñiểm A ở ngoài. Tìm quỹ tích những ñiểm B liên hợp
của A ñối với c, d.
Kẻ một cát tuyến AC’D’. Lấy
một ñiểm B’ liên hợp của A ñối
với C’D’.
Kẻ cát tuyến di ñộng ACD. Nối
OB’ cắt ACD tại B. Ta có
(O,AB’C’D’) là một chùm ñiều
hòa nên (O,ABCD) cũng là một
chùm ñiều hòa. Do ñó A, B liên
hợp với ñối với c, d. Vậy quỹ
tích những ñiểm liên hợp của A
ñối với c, d là ñường thẳng liên
hợp của OA ñối với c, d.

ðường thẳng này gọi là
ñường ñối cực của A ñối với
c, d. ðiểm A gọi là cực.

Chú ý

- khi c // d thì ñường ñối cực
cũng song song với c,d.
- Trong mt hình 4 cnh ñ
mi ñng chéo ñc 2
ñng chéo kia chia ñiu hòa
ñi vi 2 ñnh.










B. ðường ñối cực của ñiểm ñối với một ñường tròn
1. ðịnh nghĩa: Hai ñiểm A, B gọi là liên hợp ñối với ñường tròn (O) khi ñường tròn ñường
kính AB trực giao với (O).
ðường tròn (O;R) gọi là trực giao với ñường tròn (O’;R’) khi và chỉ khi phương tích của O ñối
với (O’) bằng R
2
. Khi ñó ñường tròn (O’) cũng trực giao với (O).
Cực và ñối cực
2

2. Bài toán: Tìm quỹ tích những ñiểm liên hợp của ñiểm A ñối với ñường tròn (O).
Lấy một ñiểm B bất kỳ liên hợp của A ñối với ñường tròn (O). Theo ñịnh nghĩa ta có ñường
tròn (O) trực giao với ñường tròn ñường kính AB. AO cắt ñường tròn (O) tại C, D và ñường
tròn (O’) tại H. Ta có OC
2
= OD
2
= OH.OA ⇒ (AHCD) = - 1 hay H là liên hợp của A ñối với
C,D. Vì A, C, D cố ñịnh nên H cố ñịnh. Vậy quỹ tích những ñiểm liên hợp của A ñối với
ñường tròn (O) là một ñường thẳng a vuông góc với OA tại H với
2
OH.OA R

=
.

ðường thẳng a gọi là ñường ñối cực của A ñối với ñường tròn (O) và A gọi là cực của
a ñối với (O).

Chú ý:
Trong mt t giác ni tip,
giao ñim ca 2 ñng chéo
s liên hp vi 2 giao ñim
ca 2 cp cnh ñi.

Giả sử IJ cắt CD, AB lần lượt
tại M, N ta có M,K liên hợp với
C,D và N, K liên hợp với B, A ⇒
IJ là ñường ñối cực của K ñối
với ñường tròn.
Tương tự IK là ñường ñối cực
của J và KJ là ñường ñối cực
của I.

Cực và ñối cực
3

3. Tính chất của ñường ñối cực.
a) ðường ñối cực của một ñiểm A (khác O) ñối với ñường tròn (O) là một ñường thẳng hoàn
toàn xác ñịnh vì
2
OH.OA R
=

b) Hai ñiểm A, B có 2 ñường ñối cực khác nhau ñối với một ñường tròn.
c) Nếu ñường ñối cực của A ñi qua B thì ñường ñối cực của B sẽ ñi qua A.
Thật vậy nếu ñường ñối cực của A ñi qua B thì B là ñiểm liên hợp của A ñối với (O) cho nên
A cũng là ñiểm liên hợp của B ñối với (O) ,vậy A nằm trên ñường ñối cực của B.
d) Nếu một ñiểm A chạy trên ñường thẳng (d) thì ñường ñối cực của A luôn ñi qua cực B của
(d).
e) Nếu 4 ñiểm ABCD lập thành một hàng ñiểm ñiều hòa thì 4 ñường ñối cực của chúng lập
thành một chùm ñiều hòa.
Giả sử A,B,C,D nằm trên ∆. Gọi I là cực của ∆ ñối với (O). Gọi d
1
, d
2
, d
3
, d
4
lần lượt là các
ñường ñối cực của A, B, C, D , chúng ñồng qui tại I và lần lượt vuông góc với OA, OB, OC,
OD. Vì chùm (O,ABCD) ñiều hòa nên chùm I(d
1
d
2
d
3
d
4
) cũng là chùm ñiều hòa.

4. ðịnh lý Brianchon. Một hình lục giác ngoại tiếp có 3 ñường chéo ñồng qui.

Các ñiểm A,B,C,D,E,F có các ñường ñối cực là SM,MN,NP,PQ,QR,RS. Gọi
, ,
α β γ
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a các
ñườ
ng th
ẳ
ng (MN,QR), (NP,RS), (PQ,SM). G
ọ
i a, b, c là các
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c
c
ủ
a
, ,
α β γ
.
Vì MN qua α nên a qua B

Vì QR qua α nên a qua E
V
ậ
y BE là
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a α.
T
ươ
ng t
ự
CF là
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a
β
, DA là
ñườ
ng
ñố

i c
ự
c c
ủ
a
γ
.
Theo
ñị
nh lý Pascal
, ,
α β γ
th
ẳ
ng hàng nên BE, CF, DA
ñồ
ng qui.
Cực và ñối cực
4

ðối với ngũ giác ngoại tiếp : AD, BE, CM ñồng qui.

ðối với tứ giác ABCD ngoại tiếp: hai ñường chéo AC, BD và hai ñường thẳng nối các
tiếp ñiểm các cạnh ñối thì ñồng qui.





Cực và ñối cực
5

C. Một số bài toán áp dụng:
Bài 1
. (Trung Qu
ố
c 97) Cho t
ứ
giác ABCD n
ộ

i ti
ế
p
ñườ
ng tròn(O) . G
ọ
i P là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
AD và BC, Q là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a AD và BC. T
ừ
Q v
ẽ
các ti
ế
p tuy
ế
n QE, QF v
ớ
i (O). Ch

ứ
ng
minh: P, E, F th
ẳ
ng hàng
Giải
T
ứ
giác
ñầ
y
ñủ
ABCDPQ cho ta P n
ằ
m
trên
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a P mà EF là
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c

ủ
a P do
ñ
ó P,E,F th
ẳ
ng
hàng.












Bài 2
. (Úc-Balan 98) Cho các
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C, D, E, F n
ằ
m trên cùng m
ộ

t
ñườ
ng tròn
theo th
ứ
t
ự

ñ
ó. Các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, D và các
ñườ
ng th
ẳ
ng BF, CE
ñồ
ng qui. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng các
ñườ
ng th
ẳ

ng AD, BC, EF ho
ặ
c cùng song song ho
ặ
c
ñồ
ng qui.

Giải
N
ế
u BC//EF thì do tính
ñố
i x
ứ
ng ta có BC ⊥ IO mà AD
⊥ IO nên AD//BC.
N
ế
u BC c
ắ
t EF t
ạ
i K thì K n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c

ủ
a I mà
AD là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a I nên K thu
ộ
c AD. V
ậ
y AD,BC,EF
ñồ
ng qui t
ạ
i K

Bài 3
. Cho ∆ABC n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn
(O). Ba
ñườ
ng phân giác c
ủ

a ∆ABC
c
ắ
t (O) l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A’, B’, C’. Ba c
ặ
p
ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (O) t
ạ
i A,A’, B,B’ và CC’
c
ắ
t nhau t
ạ
i A
1
, B
1
, C

1
. Ch
ứ
ng minh A
1
,
B
1
, C
1
th
ẳ
ng hàng.
Giải
A
1
, B
1
, C
1
có các
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c là AA’,
BB’, CC’ mà 3
ñườ
ng này

ñồ
ng qui t
ạ
i
tâm
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p ∆ABC nên A
1
,
B
1
, C
1
n
ằ
m trên
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a
tâm
ñườ

ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
ñố
i v
ớ
i (O).
Cực và ñối cực
6

Bài 4
. Cho t
ứ
giác ABCD ngo
ạ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn (O) có các c
ạ
nh AB, BC, CD, DA ti
ế
p xúcv
ớ
i
(O) l
ầ

n l
ượ
t t
ạ
i G, H, K, L. G
ọ
i E là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD, F là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a AD và BC và
P là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a GK và HL. Ch
ứ
ng minh: OP ⊥ EF
Giải
P ∈ HL là

ñố
i c
ự
c c
ủ
a F nên F n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c
c
ủ
a P
T
ươ
ng t
ự
E c
ũ
ng n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a P

⇒
EF là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a P
⇒
EF ⊥ OP









Bài 5
. Cho ∆ABC n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn (O). Ti
ế
p tuy
ế

n t
ạ
i A c
ủ
a (O) c
ắ
t BC t
ạ
i D. DO c
ắ
t AB,
AC l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i E và F. G
ọ
i M, N là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB và AC. Ch
ứ
ng minh: EN, FM và AO
ñồ
ng qui.

Giải

T
ừ
A k
ẻ

ñườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i OD c
ắ
t BC t
ạ
i H. Chùm (A, BCHD) là chùm
ñ
i
ề
u hòa.
M
ặ
t khác ta có OM ⊥ AB, ON ⊥ AC, OD ⊥ AH, OA ⊥ AD
⇒
(O, MNDA) là chùm
ñ
i
ề

u hòa
⇒
cát tuy
ế
n MN c
ủ
a chùm
ấ
y cho ta QPMN là hàng
ñ
i
ể
m
ñ
i
ề
u hòa
⇒
APO là
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a Q
ñố
i v
ớ

i AB,AC
⇒
APO ph
ả
i
ñ
i qua giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a EN và MF.

Bài 6
. Cho ∆ABC và m
ộ
t
ñ
i
ể
m D trên AC, m
ộ
t
ñ
i
ể
m E trên AB. BD và CE c
ắ
t nhau t

ạ
i O.
Trên AO l
ấ
y m
ộ
t
ñ
i
ể
m L b
ấ
t k
ỳ
. LD c
ắ
t CE t
ạ
i H, LE c
ắ
t BD t
ạ
i I. Ch
ứ
ng minh DE, HI và BC
ñồ
ng qui.

Cực và ñối cực
7

Giải
G
ọ
i P là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a ED và BC; P’
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a ED và IH.
T
ứ
giác hoàn toàn AEBOCD cho ta
EDMP là hàng
ñ
i
ể
m
ñ
i
ề
u hòa.

T
ứ
giác hoàn toàn LIEODH cho ta
EDMP’ là hàng
ñ
i
ể
m
ñ
i
ề
u hòa.
V
ậ
y P trùng P’.








Bài 7
. Cho góc xOy và m
ộ
t
ñ
i
ể

m P c
ố

ñị
nh trên Ox.
ðườ
ng tròn (C) di
ñộ
ng luôn ti
ế
p xúc v
ớ
i
Ox, Oy t
ạ
i A, B. T
ừ
P v
ẽ
ti
ế
p tuy
ế
n PM v
ớ
i (C). Ch
ứ
ng minh BM qua m
ộ
t

ñ
i
ể
m c
ố

ñị
nh.

Giải
G
ọ
i H, D, E l
ầ
n l
ượ
t là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a BM v
ớ
i OC,NA và OA.
E n
ằ
m trên
ñố
i c

ự
c c
ủ
a N nên N n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a E
E n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a A nên A n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a E
v

ậ
y AN là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a E
ñố
i v
ớ
i
ñườ
ng tròn (C)
⇒
AN là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a E
ñố
i v
ớ
i NO, NP
⇒
EAOP là hàng
ñ
i

ể
m
ñ
i
ề
u hòa
⇒
(H, EAOP) là
chùm
ñ
i
ề
u hòa mà HO là phân giác c
ủ
a góc EHA nên HP ⊥ HO hay H là hình chi
ế
u c
ủ
a P lên
phân giác c
ủ
a góc xOy. V
ậ
y H c
ố

ñị
nh.

Cực và ñối cực

8

Bài 8
. Cho
ñườ
ng tròn tâm I n
ộ
i ti
ế
p ∆ABC ti
ế
p xúc v
ớ
i các c
ạ
nh t
ạ
i A’, B’, C’. Hai
ñườ
ng
phân giác c
ủ
a góc B và C l
ầ
n l
ượ
t c
ắ
t B’C’ t
ạ

i D và E. BE và CD c
ắ
t nhau t
ạ
i M. Ch
ứ
ng minh
IM ⊥ BC.
Giải
G
ọ
i F là giao
ñ
i
ể
mc
ủ
a B’C’ v
ớ
i
BC, ta có AA’ là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a F
ñố
i
v

ớ
i
ñườ
ng tròn (I)
⇒
AA’ c
ũ
ng là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a F
ñố
i v
ớ
i AB, AC
⇒

BCA’F là hàng
ñ
i
ể
m
ñ
i
ề
u hòa
⇒

A’ liên h
ợ
p v
ớ
i F
ñố
i v
ớ
i MB,
MC
Mà IM là
ñườ
ng
ñố
i c
ự
c c
ủ
a F
ñố
i v
ớ
i MB, MC nên A’ thu
ộ
c IM
Hay IM ⊥ BC



Bài 9

. (T7/317 t
ạ
p chí THTT) Cho t
ứ
giác ABCD ngo
ạ
i ti
ế
p (O). G
ọ
i E, F là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a BD
v
ớ
i (O). H là hình chi
ế
u c
ủ
a O lên AC. Ch
ứ
ng minh:


BHE DHF
=

Giải
G
ọ
i K = MN ∩ PQ,
L = NP ∩ MQ, I = MP
∩ NQ
⇒
KI là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L,
LI là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a K
L∈ NP
⇒
C ∈ KI
L∈ MQ
⇒
A ∈ KI
v
ậ

y A,C,K,I,H th
ẳ
ng
hàng
K ∈ MN
⇒
B ∈ LI
K ∈ PQ
⇒
D ∈ LI
v
ậ
y L,B,E,I,F, D th
ẳ
ng
hàng
AC là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L
⇒

AC ⊥ OL
⇒
O,H,L
th
ẳ

ng hàng
AC là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L
ñố
i v
ớ
i (O)
⇒
LIEF là
h
ññ
h
⇒
(H,LIEF) là
chùm
ñ
i
ề
u hòa ,l
ạ
i có
HL ⊥ HI
⇒
HI là phân
giác góc EHF (1)

AC là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L
ñố
i v
ớ
i (O)
⇒
AC là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L
ñố
i v
ớ
i CB, CD
⇒
LIBD là h
ññ
h
⇒
(H,
LIBD) là chùm

ñ
i
ề
u hòa , l
ạ
i có HL ⊥ HI
⇒
HI là phân giác c
ủ
a góc BHD (2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra


BHE DHF
=


Cực và ñối cực
9

Bài 10.
(Trung Qu
ố
c 2006) Cho
ñườ
ng tròn (O)
ñườ
ng kính AB. T

ừ

ñ
i
ể
m C trên AB n
ằ
m bên
ngoài (O) k
ẻ
cát tuy
ế
n CDE. G
ọ
i OF là
ñườ
ng kính c
ủ
a
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p ∆BOD có tâm
là O
1
.
ðườ
ng th

ẳ
ng CF c
ắ
t l
ạ
i (O
1
) t
ạ
i G. Ch
ứ
ng minh O, A, E, G cùng n
ằ
m trên
ñườ
ng tròn.
Giải
C n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a P
FD,FB là các ti
ế
p tuy
ế

n c
ủ
a (O)
⇒
BD
là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a F
P thu
ộ
c BD
⇒
F n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a
P
⇒
CF là
ñố
i c

ự
c c
ủ
a P
⇒
CF ⊥ OP
m
ặ
t khác CF ⊥ OG
⇒
O,G, P th
ẳ
ng hàng
Ta có

PE.PA PD.PB PG.PO
= =

⇒
AEGO n
ộ
i ti
ế
p.

Bài 11
. (IMO 98) Cho ∆ABC.
ðườ
ng tròn (I) n
ộ

i ti
ế
p tam giác ti
ế
p xúcv
ớ
i các c
ạ
nh BC, CA,
AB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i K, L, M.
ðườ
ng th
ẳ
ng qua B và song song v
ớ
i MK c
ắ
t LM, LK l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i R, S.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng góc RIS nh
ọ
n.
Giải
D
ễ
th
ấ
y MK là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a B và RS
là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a H
S n
ằ
m trên
ñố

i c
ự
c c
ủ
a H
⇒
H
n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a S
S n
ằ
m trên
ñố
i c
ự
c c
ủ
a C
⇒
C
n
ằ
m trên

ñố
i c
ự
c c
ủ
a S
v
ậ
y CH là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a S
t
ươ
ng t
ự
AH là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a R
⇒
CH ⊥ IS và AH ⊥ IR
⇒
góc RIS bù v

ớ
i góc AHC
G
ọ
i N là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AC. Ta có
2HN HA HC
HM MA HK KC MA KC
= + =
+ + + = +
  
     

Do AM, KC không song song v
ớ
i
nhau nên 2HN < MA + KC = AC
⇒
góc AHC tù
⇒
góc RIS nh
ọ
n
Bài 12
. Cho t

ứ
giác ABCD n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn(O). AC c
ắ
t BD t
ạ
i I. Các
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
các tam giác AOD và COD c
ắ
t nhau t
ạ
i J khác O. Ch
ứ
ng minh IJ ⊥ OJ
Giải
G
ọ
i K là giao
ñ

i
ể
m c
ủ
a AB và CD. KO c
ắ
t
ñườ
ng tròn t
ạ
i M,N.
Ta có KA.KB = KC.KD
⇒
K thu
ộ
c OJ là truc
ñẳ
ng ph
ươ
ng c
ủ
a 2
ñườ
ng tròn (AOB),(COD)
⇒

KJ.KO KM.KN (KO OJ).KO (KO OM)(KO ON)
= ⇒ + = + +
⇒
2 2 2

KO OJ.KO KO KO.ON KO.OM OM.ON OJ.OK R
+ = + + + ⇒ =

⇒ K,J,M,N là hàng
ñ
i
ể
m
ñ
i
ề
u hòa hay J thu
ộ
c
ñố
i c
ự
c c
ủ
a K ⇒ IJ là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a K ⇒ IJ ⊥OK
V
ậ
y IJ ⊥ OJ
Cực và ñối cực

10

Bài 13
. Cho ∆ABC có các
ñườ
ng cao BE, CF c
ắ
t nhau t
ạ
i H. G
ọ
i N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
ñ
i
ể
m
c
ủ
a AC và AB. EF c
ắ
t PN t
ạ
i K. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng AK vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng Euler c
ủ
a
∆ABC.

Giải
G
ọ
i L là tâm
ñườ
ng tròn Euler
c
ủ
a ∆ABC ⇒ HL là
ñườ
ng
th
ẳ
ng Euler c
ủ
a ∆ABC.
G
ọ
i I là giao

ñ
i
ể
mc
ủ
a PE và
NF, ta có PENF n
ộ
i ti
ế
p ⇒
AK là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a I ⇒ AK ⊥ LI.
Ta c
ấ
n ch
ứ
ng minh L, I, H
th
ẳ
ng hàng.
Xét 2
ñườ
ng tròn (BPE),
(FNC) có tâm l

ầ
n l
ượ
t là O
1
,
O
2
.
P
I/(O1)
= IP.IE=IF.IN = P
I/(O2)

P
H/(O1)
= HB.HE = HF.HC =
P
H/O2)

O
1
P là trung tr
ự
c c
ủ
a BE
O
1
L là trung tr

ự
c c
ủ
a PE
⇒


0 0
1 1
PO L 90 A, PLO 180 C
= − = −

⇒

0
1
O PL 90 B
= −
⇒
1
1
0 0
O L
PL PLcosB RcosB
O L
sin(90 B) sin(90 A) cos A 2cosA
= ⇒ = =
− −

⇒

1
RsinC
O P
2cos A
=
⇒

1
2
2 2 2 2
L/(O ) 1 1
2
R
P O L O P (cos B sin C)
4cos A
= − = −
Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ta có
2
2
2 2
L/(O )
2
R
P (cos C sin B)

4cos A
= −
⇒

1 2
L/(O ) L/(O )
P P=

Ba
ñ
i
ể
m I, H, L có cùng ph
ươ
ng tích
ñố
i v
ớ
i 2
ñườ
ng tròn (O
1
), (O
2
) nên chúng th
ẳ
ng hàng.
V
ậ
y AK vuông góc v

ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng Euler cùa tam giác ABC.

Bài 14
. Cho ∆ABC,
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p ti
ế
p xúc v
ớ
i BC, CA, AB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i D, E, F.
ðườ
ng
tròn n
ộ
i ti

ế
p ∆DEF ti
ế
p xúc v
ớ
i EF, ED, DF l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M, N, P. Ch
ứ
ng minh: AM, BP, CN
ñồ
ng qui.
Giải
Cực và ñối cực
11


G
ọ
i O, I l
ầ
n l
ượ
t là tâm các
ñườ
ng tròn n

ộ
i ti
ế
p các tam giác ABC và DEF.
G
ọ
i H, K, L l
ầ
n l
ượ
t là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a các c
ặ
p
ñườ
ng th
ẳ
ng (EF,PN), (DF,MN), (DE,MP)
Ta có
ME NF PD
1
MF ND PE
⋅ ⋅ =
nên theo
ñị

nh lý Ceva thì DM,FN,EP
ñồ
ng qui.
Các
ñườ
ng th
ẳ
ng này có các c
ự
c l
ầ
n l
ượ
t là H,L,K
ñố
i v
ớ
i
ñườ
ng tròn (I)
⇒
H,L,K th
ẳ
ng hàng.
G
ọ
i A’ là giao
ñ
i
ể

m c
ủ
a DM và PN ta có (HA’PN) = -1
⇒
(HMFE) = -1
⇒
M thu
ộ
c
ñố
i c
ự
c c
ủ
a
H
ñố
i v
ớ
i
ñườ
ng tròn (O) mà A c
ũ
ng thu
ộ
c
ñố
i c
ự
c c

ủ
a H
ñố
i v
ớ
i (O) nên AM là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a H
ñố
i v
ớ
i (O).
Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có BP là
ñố
i c
ự
c c
ủ

a K
ñố
i v
ớ
i (O), CN là
ñố
i c
ự
c c
ủ
a L
ñố
i v
ớ
i
(O). Do H, K, L th
ẳ
ng hàng nên AM, BP, CN
ñồ
ng qui.

D. Bài tập tự luyện.

Bài 15
. Cho ∆ABC có 3
ñườ
ng cao AA’, BB’, CC’.
ðườ
ng tròn (I) n
ộ

i ti
ế
p tam giác ti
ế
p xúc
v
ớ
i 3 c
ạ
nh BC, CA, AB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i D, E, F. G
ọ
i A
1
, B
1
, C
1
l
ầ
n l
ượ
t là trung
ñ
i

ể
m c
ủ
a AA’, BB’,
CC’.
a) Ch
ứ
ng minh DA
1
, EB
1
, FC
1

ñồ
ng qui
b) G
ọ
i A
2
, B
2
, C
2
l
ầ
n l
ượ
t là giao
ñ

i
ể
m c
ủ
a các
ñườ
ng th
ẳ
ng DA
1
, EB
1
, FC
1
v
ớ
i
ñườ
ng
tròn (I). Ch
ứ
ng minh AA
2
, BB
2
, CC
2

ñồ
ng qui.

Bài 16
. Cho ∆ABC n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn (O). M
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng b
ấ
t k
ỳ
c
ắ
t các c
ạ
nh AC, AB l
ầ
n
l
ượ
t t
ạ
i D, E và c

ắ
t (O) t
ạ
i P, Q. BD, CE c
ắ
t (O) l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M,N. G
ọ
i I là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
MP,NQ và K là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a MN,PQ. Ch
ứ
ng minh AI ⊥ OK.

Bài 17
. Cho ∆ABC n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn (O).
ðườ
ng tròn (I) n
ộ
i ti
ế
p tam giác ti
ế
p xúc v
ớ
i 3
c
ạ
nh t
ạ
i D, E, F.
a) Ch
ứ
ng minh OI là
ñườ
ng th
ẳ
ng Euler c

ủ
a ∆DEF.
b) Các phân giác ngoài các góc A, B, C c
ắ
t các c
ạ
nh l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M,N,P. Ch
ứ
ng minh M,
N, P th
ẳ
ng hàng và
ñườ
ng th
ẳ
ng MNP vuông góc v
ớ
i OI.

Bài 18
. Cho ∆ABC.
ðườ
ng tròn (I) n
ộ

i ti
ế
p ti
ế
p xúc v
ớ
i BC, CA, AB l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i D, E, F. P là
m
ộ
t
ñ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
sao cho PA, PB, PC c
ắ
t (I) l
ầ
n l
ượ
t t

ạ
i X, Y, Z. Ch
ứ
ng minh DX, EY, FZ
ñồ
ng qui.