Tiểu luận môn toán học cho khoa học máy tính ỨNG DỤNG LOGIC MỜ TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN


BÀI TIỂU LUẬN MƠN
TỐN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH
TÊN ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG LOGIC MỜ TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT
BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Đỗ Văn Nhơn
Họ tên học viên: Đặng Thị Mỹ Hạnh
Mã số học viên: CH1301012

MỤC LỤC

1
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Trang
Chương 1:

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Chương 2:

1
Một số vấn đề cơ bản về Logic mờ
Giới thiệu Logic mờ
1
Khái niệm Logic mờ
1
Các phép toán trên tập mờ
7
Suy luận xấp xỉ dựa trên logic mờ
8
Xây dựng tập mờ
10
Khái niệm số mờ
11
Ứng dụng Logic mờ trong việc giải quyết bài tốn tìm
đường đi ngắn nhất
14
I. Ý tưởng
14
II. Phát biểu bài toán
14
III. Hướng giải quyết bài toán

15

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỜ
I. GIỚI THIỆU LOGIC MỜ
- Logic mệnh đề và logic vị từ (hay còn gọi là logic truyền thống) chỉ quan tâm đến
2 giá trị tuyệt đối (đúng hoặc sai). Logic truyền thống luôn tuân theo 2 giả thuyết. Một là
tính thành viên của tập hợp: Với một phần tửvà một tập hợp bất kỳ, thì phần tửhoặc là
thuộc tập hợp đó, hoặc thuộc phần bù của tập đó. Giảthiết thứhai là định luật loại trừtrung
gian, khẳng định một phần tửkhông thểvừa thuộc một tập hợp vừa thuộc phần bù của nó.
Ví dụ: Nếu nhiệt độ trên 35 độC thì nóng, ngược lại là khơng nóng. Hình bên dưới
minh họa tập hợp “NÓNG” gồm tất cảcác nhiệt độtừ35 độC trởlên

2
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Hình: Biểu diễn tập nhiệt độ“NĨNG”.
- Từhình vẽta thấy logic truyền thống không thểhiện được sựkhác biệt giữa các
thành viên trong cùng một tập hợp. Giữa hai nhiệt độ45 và 55 độC, logic này không
thểhiện được nhiệt độnào nóng hơn nhiệt độnào.
- Ngồi ra, logic này cịn có một nhược điểm khác quan trọng hơn đó là chúng
khơng thểbiểu diễn được các dữkiện mang tính mơhồ, khơng chính xác mà trong thực
tếlại có rất nhiều phát biểu bằng ngôn ngữtựnhiên ởdạng này; chẳng hạn như:
Chiến sĩ công an thì khácao=> nhưvậy chiến sĩ cơng an có thuộc tập hợp những
người cao hay khơng?

Hoặc: Nữ an ninh thì rất cao => nhưthếnào là rất cao?
- Vì vậy, logic truyền thống không thểhỗtrợcho những suy luận trên những thông tin
mang tính mơhồ, thiếu chính xác nhưvậy.
II. KHÁI NIỆM LOGIC MỜ
Đểkhắc phục khuyết điểm của logic truyền thống, Lotfi Zadeh đã đưa ra lý thuyết
mới vềlogic gọi là logic mờ(fuzzy logic).
Lý thuyết của Zadeh biểu diễn tính mờ hay tính thiếu chính xác trong các phát biểu
(như đã đề cập ở trên) theo cách định lượng bằng cách đưa ra một hàm tưcách thành viên
tập hợp (set membership function) nhận giá trị thựcgiữa 0 và 1.
1. Định nghĩa tập mờ
Tập mờ A được xác định trên không gian nền kinh điển X là một tập mà mỗi phần tử
của nó là một cặp

µ
Ánh xạ

A

( x , µ A ( x ))

trong đó x ∈X và

µ A ( x)

là ánh xạ

µ A : X → [ 0,1]

được gọi là hàm liên thuộc (hàm phụ thuộc) của tập mờ A.

Hình: Tập mơ
3
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Giả sử tập mờ B các số tự nhiên nhỏ hơn nhiều so với 6. Xác định phụ thuộc hàm

µ (x)
B

có dạng liệt kê sau:
B = {(1,1),(2,1),(3,0.8),(4,0.7)}
Các số tự nhiên 1 và 2 có độ phụ thuộc

µ B (1)

µ B ( 3)

= 1 và

µ B ( 2)

=1 ; các số tự nhiên 3

µ B ( 4)

và 4 có độ phụ thuộc nhỏ hơn 1:
= 0,8 và
= 0,07. Những số khơng được
liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0. Sử dụng hàm liên thuộc để tính độ phụ thuộc của
phần tử x nào đó có ba cách: Tính trực tiếp (nếu
tường minh) hoặc:
µ A ( x)
- Tra bảng (nếu
dưới dạng bảng)

µ A ( x)

cho trước dưới dạng cơng thức

µ A ( x)

- Tìm các giá trị tương ứng trên đồ thị (nếu
được biểu diễn dạng đồ thị )
Trong nhiều tài liệu để biểu diễn tập mờ người ta cũng thường dùng ký hiệu sau:
 µ (x ) µ (x ) µ (x )
µ (x )  n µ (x )
A =  A 1 + A 2 + A 3 + ... + A n  = ∑ A i
x2
x3
x n  i =1 xi
 x1
A=∫

Cho các tập hữu hạn và

µ A ( x)
x

cho tập vơ hạn.

Phép cộng (+) được hiểu là phép hợp.
Ví dụ: Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ

µA (x)
1

m1 m2 m3 m4

4
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Hình: Đờ thị hàm liên thuộc của tập mơ

µ A ( x)

Các hàm liên thuộc
có dạng “trơn” như ở hình vẽ được gọi là hàm liên
thuộc kiểu S. Đối với hàm liên thuộc kiểu S do các cơng thức biểu diễn có độ phức tạp
lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lâu. Bởi vậy trong kỹ thuật điều
khiển mờ thông thường các hàm liên thuộc kiển S hay được thay gần đúng bằng một hàm

tuyến tính từng đoạn.
Một hàm liên thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm liên thuộc có
mức chuyển đổi tuyến tính. Hàm liên thuộc
chính là hàm thuộc của một tập kinh điển

µ A ( x)

như ở hình vẽ với m1=m2 và m3=m4

2. Khái niệm hàm liên thuộc
Như trên đã trình bày, nếu A là một tập hợp trong khơng gian nền X, khi đó phần tử
x bất kỳ của X, chỉ có thể có hai khả năng xảy ra, hoặc x∈A hoặc x∉A , như vậy để đánh
giá khả năng thuộc vào tập A của các phần tử x trong không gian nền X, người ta có thể
xây dựng một ánh xạ hàm gọi là hàm liên thuộc (Membership Function).
µ A (x)
Hàm liên thuộc
định nghĩa cho tập A trên không gian nền X trong khái niệm
tập hợp kinh điển chỉ có hai giá trị là 1 nếu x∈A hoặc 0 nếu x∉A.

µ A (x)

=

1 nÕu x ∈ A

0 nÕu x ∉ A

Ví dụ . A = { x∈R/ 2 < x< 6 }
Hình sau mơ tả hàm thuộc của tập A :

2

6

3. Một số khái niệm liên quan của tập mờ
Trong những ví dụ trên các hàm liên thuộc đều có độ cao bằng 1. Điều đó nói rằng
5
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

các tập mờ đó đều có ít nhất một phần tử với độ phụ thuộc bằng 1.
Trong thực tế khơng phải tập mờ nào cũng có phần tử có độ phụ thuộc bằng 1.
Tương ứng với điều đó thì khơng phải mọi hàm liên thuộc đều có độ cao là 1.
Định nghĩa 1:Độ cao của một tập mờ A trên không gian nền X là giá trị

h = sup µ ( x )
x∈X

.

sup µ ( x )

Ký hiệu:

x∈ X

chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hàm

µ(x)
. Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ
chính tắc tức là h =1 ngược lại một tập mờ A với h < 1 được gọi là tập mờ khơng chính
tắc.
Bên cạnh khái niệm về độ cao mỗi tập mờ A cịn có hai khái niệm quan trọng khác
là: miền xác định và miền tin cậy
Định nghĩa 2: Miền xác định của tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu bởi
S là tập con của X thoả mãn
S = Suppµ A ( x ) = { x ∈ X / µ A ( x ) > 0 }
Ký hiệu supp viết tắt của từ tiếng Anh support đã chỉ rõ là tập con trong X chứa các
phần tử x mà tại đó hàm

µ A (x)

có giá trị dương

Định nghĩa 3:Miền tin cậy của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu
bởi T là tập con của X thoả mãn
T = { x ∈ X / µ ( x ) = 1}
A

Định nghĩa 4

: Miền biên của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu

bởi U là tập con của X thoả mãn

U = { x ∈ X / 0 < µ A ( x ) < 1}

Miền tin cậy

Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

6
Miền xác định

Miền U


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Hình: Miền của tập mơ
Định nghĩa 5: Tập cắt α (α∈ [0,1]) của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X
được ký hiệu bởi Aα là tập con của X thoả mãn
Aα= {x / µA(x) ≤α }
và được gọi là tập cắt mạnh nếu Aα+ = {x / µA(x) <α }
Định nghĩa 6: Tập mức, hay là tập các nhát cắt của tập mờ tập mờ A trên không gian
nền X được ký hiệu bởi Λ(A) là tập các tập con của X thoả mãn
A= {x / µA(x) = α } với α∈ [0,1]
Định nghĩa 7: Tập mờ A trên không gian nền X tuyến tính được gọi là tập mờ lồi
nếu µA(x) thoả mãn

µA(λx1 +(1-λ)x2) ≥ min{µA(x1), µA(x2)}I với∀ x1, x2∈ X, ∀λ∈ [0,1]
Định nghĩa 8: Lực lượng của tập mờ A trên không gian nền X được biểu diễn như
N ( A, µ A ( x )) = ∑ µ A ( x)
x∈ A

sau:
4. Tính chất

- Hai tập mờbằng nhau: A = B nếu ∀x ∈X, μA (x) = μB (x)
- Tập con: A ⊆B nếu ∀x ∈X, μA (x) ≤ μB (x)
- Một phần tửcó thểthuộc vềnhiều hơn một tập mờ. Một người đàn ơng cao 1m60có
thể thuộc vềcảhai tập “trung bình” và “cao”.
- Tổng các giá trịmờcủa một phần tửkhác 1:
μThấp(x) + μTrungbình(x) + μCao(x) ≠1
- Từhàm thành viên cho trước, ta có thểsuy ra được mức độmột thành viên thuộc
vềmột tập hợp, hay có thểxác định được giá trịmờcủa nó đối với một tập mờ.
Ví dụ: Một hàm thành viên cho tập mờ thể hiện một người là “Trẻ”, “Trung niên”và

7
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

“Già”.
Hình: Biểu diễn của các tập mơ “Trẻ”, “Trung niên”, “Già”
- Từhình trên, nếu cho biết tuổi của một người, ta có thểxác định mức độngười đó
thuộc vềlớp người trẻ, trung niên và già. Chẳng hạn như:
+ An 28 tuổi => μTre(An) = 0.8 và μTrung niên(An) = 0.3
+ Bảo 35 tuổi => μTre(Bảo) = 0.3 và μTrung niên(Bảo) = 0.8
+ Châu 23 tuổi => μTre(Châu) = 1.0
- Ta gọi các con số0.8, 0.2, 1.0 là các giá trịmờ (fuzzy values). Vậy từ các giá trị

chính xác hay giá trị‘giòn’ (sốtuổi: 28, 35, 23…), ta đã suy ra các giá trịmờtương ứng.
Thao tác này gọi là mờhóa (fuzzification)các giá trịgiịn.
5. Các ví dụ về tập mờ
Ví dụ: Tập đánh giá nhiệt độ của thời tiết

Lạnh =

1 nÕu - 45 < x < 10

− x / 10 + 2 nÕu 10 ≤ x ≤ 20
0 nÕu x > 20


Ví dụ trên có thể được hiểu như sau:
- Nếu nhiệt độ thấp hơn 10oC ( -45< x <10 ) tất cả mọi người đều đánh giá mức độ
lạnh là 1 (tương ứng với 100%).
- Nếu nhiệt độ đạt khoảng từ 10oC đến 20oC ( 10≤ x ≤20) thì số người đánh giá mức
độ lạnh khác nhau nằm trong khoảng từ 0 ( 0% ) đến 1 (100%), đạt 15oC mức độ lạnh
được đánh giá 0.5 (tương ứng với việc có 50% số người cho là lạnh), nếu nhiệt độ là
17oC mức độ lạnh được đánh giá 0.3 (tương ứng với việc có 30% số người cho là lạnh).
Ta có đồ thị sau:
1
0.5
0.3

10
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

1517 20

8


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Hình: Đờ thị đánh giá
Ví dụ. Đánh giá nhiệt độ của thời tiết

Lạnh =

Ấm =

1 nÕu - 45 < x < 10

− x / 10 + 2 nÕu 10 ≤ x ≤ 20
0 nÕu x > 20

0 nÕu x ≤ 20 hc x ≥ 40

 x / 10 − 2 nÕu 20 ≤ x < 30
- x/10 + 4 nÕu 30 ≤ x ≤ 40


Mát =

Nóng =

0 nÕu x ≤ 10 hc x ≥ 30


 x / 10 − 1 nÕu 10 ≤ x ≤ 20
- x/10 + 3 nÕu 20 ≤ x ≤ 30


1 nÕu x ≥ 40

 x / 10 − 3 nÕu 30 ≤ x ≤ 40
0 nÕu x ≤ 30


lạnh
mát
ấm
nóng

1

1020

30

40
Hình: Đờ thị đánh giá nhiệt độ

III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ
Những phép toán cơ bản trên tập mờ là phép hợp, phép giao và phép bù giống như
định nghĩa về tập mờ các phép toán trên tập mờ cũng sẽ được định nghĩa thông qua các
hàm liên thuộc được xây dựng tương tự như các hàm thuộc của các phép hợp, giao, bù
giữa hai tập hợp kinh điển. Nói cách khác việc xây dựng các phép toán trên tập mờ được

hiểu là việc xác định các hàm liên thuộc cho phép hợp A∪B, giao A∩B, bù A …từ những
tập mờ A, B.
Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các phép tốn trên tập mờ là khơng
được mâu thuẫn với những phép tốn đã có trong lý thuyết tập hợp kinh điển. Mặc dù
không giống tập hợp kinh điển, hàm liên thuộc của các tập mờ A∪B, giao A∩ B , bù A…
được định nghĩa cùng với tập mờ, song sẽ khơng mâu thuẫn với các phép tốn tương tự
của tập hợp kinh điển nếu như chúng thoả mãn những tính chất tổng quát được phát biểu
như “tiên đề” của lý thuyết tập hợp kinh điển. Đó là các “tiên đề” cho phép giao A∩B,
phép hợp và phép bù.
1 Phép hợp hay toán tửOR
Hợp của hai tập mờ(A∪B) thểhiện mức độmột phần tửthuộc vềmột trong hai tập là
9
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

bao nhiêu.
Công thức: μ A∨B(x) = max (μA(x) , μB(x) )
Ví dụ:μTre(An) = 0.8 và μTrung niên(An) = 0.3
=> μTre ∨Trung Niên(An) = max( 0.8, 0.3) = 0.8

2 Phép giao hay toán tửAND
Giao của hai tập mờ(A∩B) thểhiện mức độmột phần tửthuộc vềcảhai tập là bao
nhiêu.
Công thức: μ A∧B(x) = min (μA(x) , μB(x) )
Ví dụ:μTre(An) = 0.8 và μTrung niên(An) = 0.3
=> μTre ∧Trung Niên(An) = min( 0.8, 0.3) = 0.3

3 Phép bù hay toán tửNOT
Bù của một tập mờthểhiện mức độmột phần tửkhông thuộc vềtập đó là bao nhiêu.
Cơng thức: μ ¬A(x) = 1 - μA(x)
Ví dụ: μTrẻ(An) = 0.8
μ ¬Trẻ(An) = 1 – 0.8 = 0.2
Nhận xét: Logic mờkhơng tn theo các luật vềtính bù của logic truyền thống:
μ ¬A∨A(x) ≡1 và μ ¬A ∧A(x) ≡0
Ví dụ: μ ¬A∨A(x) = max (0.8, 0.2) = 0.8
10
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

μ ¬A ∧A(x) = min( 0.8, 0.2) = 0.2

IV. SUY LUẬN XẤP XỈ DỰA TRÊN LOGIC MỜ
Suy diễn xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ đó là q trình suy ra những kết luận
dưới dạng các mệnh đề mờ trong điều kiện các quy tắc, các luật, dữ liệu đầu vào cho
trước cũng khơng hồn tồn xác định.
Trong cơng trình của mình Zadeh đưa ra khái niệm lập luận xấp xỉ như sau:
Bảng Suy luận xấp xỉ
Tiền đề 1

Nếu màu của quả cà chua nào đó là đỏ thì quả cà chua đó là
chín.

Điều kiện

Màu của cà chua Q là rất đỏ.

Kết luận

Quả cà chua Q rất chín.

Chúng ta thấy lược đồ này tương tự như luật Modus ponens trong logic kinh điển: A
⇒ B, có A cho phép ta rút ra kết luận B. Tuy nhiên ở lược đồ trên trong giả thiết (tiền đề)
ta khơng có A mà có A' =' Rất đỏ' một biến tướng của A, khi đó ta có thể rút ra kết luận
nào đó xấp xỉ B là B' = 'Rất chín' chẳng hạn. Vấn đề là cần xây dựng phương pháp luận
cho phép lựa chọn kết luận B' như thế nào phù hợp với quy luật thực tiễn.
Nhờ tính mềm dẻo của phương pháp lập luận mờ chúng ta sẽ có nhiều phương pháp
suy diễn xấp xỉ. Xét lược đồ lập luận mờ đa điều kiện sau:
Bảng điều kiện suy diễn xấp sỉ
Tiên đề 1

if X = A1 then Y = B1

Tiên đề 2

if X = A2 then Y = B2

:

:

:

:

Tiên đề n

if X = An then Y = Bn

Tiên đề n+1

if X = An+1 then Y = Bn+1

Kết luận

Y = B0
11

Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Trong đó Ai và Bi là các điều kiện mờ, mơ hình này mơ tả quan hệ phụ thuộc giữa
hai đại lượng A và B. Giá trị X = A0 được gọi là Input còn Y = B0 gọi là Output.
Phương pháp lập luận xấp xỉ tính Y = B0 gồm các bước sau:
Bước 1:Giải nghĩa các mệnh đề điều kiện: Chúng ta xem các khái niệm mờ Ai, Bi là
các nhãn của tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của Ai, Bi. Để cho tiện ta ký hiệu hàm giá trị chân
lý tương ứng Ai(u) và Bi(v) trên không gian tham chiếu U và V.
Một cách trực cảm, mỗi mệnh đề Nếu . . . thì được hiểu là một phép kéo theo logic
mờ Ai(u) ⇒Bi(v) . Khi u và v biến thiên, biểu thức này xác định ánh xạ hàm giá trị chân lý

µi : UX V → [0,1].
Bước 2:Kết nhập (aggregation): Qua các phép toán logic mờ chúng ta thu được
cơng thức dạng

µ = @in 1µ i
=

trong đó @ là một trong các cơng thức mơ tả giá trị chân lý của các
phép tốn logic hội và tuyển ( chẳng hạn ta có thể chọn các hàm tương ứng là ( Min và
Max). Việc kết nhập như vậy bảo đảm µchứa các thơng tin được cho bởi các mệnh đề
if ... then dạng mệnh đề logic mờ.
Bước 3:Tính OutputB0: Để tính B0 ta sử dụng cơng thức B0 = A0oµ , trong đó o là
phép hợp thành của A0và µ.
Bước 4:Khử mơ: Kết quả tính ở bước 3 là một giá trị mờ. Trong nhiều bài toán điều
khiển người ta cần xác định giá trị thực của biến trong Y. Phương pháp tính giá trị thực
"tương ứng" với giá trị chân lý của B0 được gọi là phương pháp khử mờ. Sẽ khơng có
phương pháp nào "tốt nhất" được đưa ra mà chỉ có thể đánh giá theo một giá trị ngưỡng
nào đó tuỳ thuộc q trình thử nghiệm hoặc trực cảm nào đó. Ví dụ ta có thể khử mờ theo
trung bình cộng có trọng số, được cho bởi công thức:
∑ vB0 (v)
defuz( B0 ) = v∈V
∑ B 0 ( v)
v∈V

Có thể hình dung phương phương pháp lập luận mờ bằng mơ hình tổng quát sau:
Phương pháp lập luận và suy diễn xấp xỉ
Output B0
Input A0

12

Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Bảng: Mơ hình suy diễn xấp xỉ
V. XÂY DỰNG TẬP MỜ
Tập mờ A xác định trên không gian nền X là một tập hợp thỏa mãn:
+ Mỗi phần tử của A có dạng (x,µA(x))
+ µA(x) là một ánh xạ từ X à [0,1] được gọi là hàm liên thuộc xác định độ thuộc
của x vào tập A
1. Miền xác định của tập mờ
Miền xác định của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của
X được ký hiệu S thỏa mãn
S= {x∈ X | µA(x) > 0}
2. Miền tin cậy của tập mờ
Miền tin cậy của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của X
được ký hiệu T thỏa mãn
T= {x∈ X | µA(x) = 1}
3. Miền biên của tập mờ
Miền biên của tập mờ A trên không gian nền X là một tập con các phần tử của X
được ký hiệu U thỏa mãn
U= {x∈ X | 0<µA(x) <1}
Ví dụ: Ta định nghĩa young - trẻ. Là tập hợp những người từ 20 tuổi trở xuống,
những người từ 30 tuổi trở lên khơng cịn trẻ nữa, nhưng những người từ 21 đến 30 tuổi
vẫn thuộc tập Young với độ liên thuộc nào đó nhỏ hơn 1.
Ta định nghĩa hàm liên thuộc của tập Young như sau:

µ young


1
age( x) ≤ 20
 age( x) − 20
= 1 −
10 < age( x) < 30
10

age( x) ≥ 30
0


Hàm liên thuộc được thể hiện dưới dạng đồ thị như sau:

µ young
1

Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

20

13
30

age(x)


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Hình: Miền biên của tập mơ
VI. KHÁI NIỆM SỐ MỜ
1. Định nghĩa số mờ
Số mờ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ khi hàm liên thuộc thỏa mãn các tính
chất sau:
- µA là normalized (miền tin cậy khác rỗng)
- µA là singular (mỗi giá trị rõ phải thuộc miền tin cậy)
- µA là đơn điệu tăng trên biên trái và đơn điệu giảm trên biên phải
Trong ngơn ngữ nói, có thể mơ tả số mờ với các từ như xấp xỉ, khoảng; gần đến,...
2. Số mờ dạng tam giác
- Là số mờ được mô tả kiểu "x xấp xỉ bằng a"
- Biểu diễn một khoảng (a-α, a, a+β)
- Hàm thuộc được xác định như sau:

µ A (x )
1

0

a1

a2

x

a3

Hình: Sớ mơ dạng tam giác

0

 x − a1

a −a
µ A ( x) =  2 1
a −x
 3
 a3 − a 2

0


x ≤ a1
a1 < x ≤ a 2
a 2 < x ≤ a3
x > a3

3. Số mờ dạng hình thang
- Là số mờ được mơ tả kiểu "x khoảng từ a đến b"
- Biểu diễn một khoảng (a-α, a, b,b+β)

14
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

1−
1

A=

1−

a−x
α
x −b
β
0

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

x ∈[a − α , a)
x ∈ [ a, b ]
x ∈ (b, b + β ]
other
- Hàm thuộc được xác định như sau:

1

a-

a

b+
_

b~

l = ( l , l ,α , β )
−

Thường được biểu diễn qua bộ 4 số:

Hình:Biểu diễn sớ mơ dạng hình thang

15
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG LOGIC MỜ TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

I. Ý tưởng
Xuất phát từ yêu cầu thực tế tại trường Đại học CSND, tơi có ý tưởng ứng dụng lý
thuyết logic mờ trong công tác trực ban tại trường.
Do đặc thù của lực lượng vũ trang, cán bộ chiến sĩ tại trường phải trực đêm vào các
ngày trong tuần từ 19h00 đến 7h00. Ngoài nhiệm vụ kiểm tra quân số tại các phòng ở của
sinh viên, và các phòng làm việc của các đơn vị, cán bộ trực ban phải có nhiệm vụ khóa
cổng 1 và cổng 2 vào lúc 22 h00. Để đi từ cổng 1 đến cổng 2 của trường, cần phải đi qua
16
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

các phòng ban và phòng học, do đó cần phải có một con đường ngắn nhất giữa 2 cổng để
giúp cán bộ trực ban hoàn thành nhiệm vụ đúng thời gian đã quy định.
Bài toán này được đưa về dạng bài tốn tìm đường đi ngắn nhất biểu diễn cung
đường đi là số mờ dạng khoảng.
II. Phát biểu bài tốn
∈

Giả sử xét đồ thị có hướng G=(V,E) mỗi cung (u,v) E được đặt tương ứng là số mờ
dạng khoảng.
Các bài toán đường đi ngắn nhất được chia thành 3 dạng chính:
Tìm đương đi ngắn nhất từ một nút ng̀n đến một nút đích
Tìm đương đi ngắn nhất từ một nút ng̀n đến tất cả các nút đích
Tìm đương đi ngắn nhất giữa hai nút bất kỳ.
Bài toán được đề cập đến ở đây là bài toán ở dạng thứ nhất: tìm đường đi ngắn nhất
từ một nút nguồn đến một nút đích cho trước.
Input:
Tập hữu hạn các đỉnh V, tập các cung E, nút nguồn 1 (cổng 1); nút đích: n (cổng 2)
Tải năng (hoặc chiều dài) của các cung
Output
Đương đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh n
Mục đích chính là chuyển bài tốn đương đi ngắn nhất về dạng bài tốn quy hoạch
tuyến tính.
* Xây dựng đường đi trong đồ thị:
Theo định nghĩa với bài toán đường đi ngắn nhất ta xây dựng đường đi trên cung i,j

là một hàm x(i,j) thỏa mãn các tính chất sau:
- xij=0 hoặc xij=1 ứng với việc có hay không sử dụng cung i,j trong đường đi
Tổng đường đi ra tại nút nguồn bằng 1; tổng đường đi vào tại nút đích bằng 1
Tổng đường đi vào một nút i bất kỳ bằng tổng đường đi ra tại nút đó.
* Giới hạn đường đi:
Đường đi trên cung khơng vượt quá tải năng của cung

f (u , v) ≤ c(u , v)
* Cân bằng đường đi tại nút đỉnh:
17
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Tổng đường đi vào tại một đỉnh bằng tổng đường đi ra tại đỉnh đó (trừ đỉnh đầu và
đỉnh đích)
n

n

j =1

j =1

∑ f (i, j ) = ∑ f ( j, i)
(với i là một đỉnh thông thường trong đồ thị)

Tổng đường đi ra khỏi đỉnh nguồn bằng tổng đường đi vào đỉnh đích
n

n

j =1

j =1

∑ f ( s, j ) = ∑ f ( j , t )
III. Hướng giải quyết bài toán
Gọi cij là chiều dài cung i,j. Bài toán đường đi ngắn nhất trong đồ thị được phát biểu
như sau:
* Hàm mục tiêu:
n

n

∑∑ cij xij
Min

i =1 j =1

* Các ràng buộc:

1 i = 1



∑ xij − ∑ x ji = − 1 i = n 

j =1
j =1
0 otherwise


n

n

xij = 0
hoặc 1
i=1,2,..,n

j=1,2,..,n

3.1. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất có các cung mờ
Trong thực tế, chiều dài các cung của mạng không biểu thị bằng các số rõ mà hay
được thể hiện thông qua các giá trị xấp xỉ.
Ví dụ quãng đường từ A đến B khoảng 70 km. Trong những trường hợp này phải
dùng số mờ để biểu diễn chiều dài các cung.
~

l ij

Gọi
là giá trị mờ của cung i,j. Khi đó bài toán đường đi ngắn nhất được phát
biểu như sau:
Hàm mục tiêu:
18
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính
n

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

n ~

∑∑ l ij xij
Min

i =1 j =1

Các ràng buộc:

1 i = 1



∑ xij − ∑ x ji = − 1 i = n 
j =1
j =1
0 otherwise


n

n

xij = 0
hoặc 1
i=1,2,..,n

j=1,2,..,n
~

l ij

Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta xem các cách biểu diễn số mờ

.

3.2. Một số phương pháp giải quyết bài toán
a. Phép tốn thực hiện trên sớ mơ tam giác
Trình bày khái niệm về độ tương tự giữa hai số mờ tam giác và một giải thuật tìm
đường đi ngắn nhất dựa trên các phép toán đã định nghĩa.
* Tổng hai số mờ:
~

Giả sử có 2 số mờ dạng tam giác
~

Khi đó:

L1 = (a1 , b1 , c1 )

~

và

L2 = (a 2 , b2 , c2 )

~

L1 ⊕ L2 = (a1 + a 2 , b1 + b2 , c1 + c2 )

* Chiều dài nhỏ nhất:
~

Với hai số mờ tam giác

L1 = (a1 , b1 , c1 )

L min = sup{ Lk | Lk = min(L1 , L2 }
~

~

~

L min

(a,b,c)=Min(

~

và

L2 = (a 2 , b2 , c2 )

k = 1,2,..., n

~

L1 , L 2

)=(min(a1,a2), min(b1,b2), min(c1,c2))

* Độ tương tự giữa hai số mờ:

19
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

~

Giả sử có 2 số mờ dạng tam giác

~

Li = (ai , bi , ci )

L = (a, b, c)
và

Ta tìm cách thể hiện độ tương tự giữa hai số này.
Khi giao của hai tam giác càng lớn thì độ tương tự giữa hai số mờ càng cao. Ký
~

hiệu Si là độ tương tự giữa

Li

~

và

L
~

~

Li ∩ L = ∅

0

~
~

100(c − ai ) 2
Si = 
Li ∩ L j ≠ ∅
 2(ci − ai)[ (c − b) + (bi − ai )]

b. Giải thuật tìm đương đi mơ ngắn nhất

Bước 1: Tìm tất cả các đường đi có thể từ đỉnh nguồn s đến đỉnh đích d. Tính
khoảng cách từng đường đi.
~

Bước 2: Tìm

L min

của tất cả các đường đi đã tính
~

Bước 3: Tính độ tương tự của từng đường đi với

L min

Bước 4: Đưa ra đường đi có độ tương tự lớn nhất
3.3. Ví dụ áp dụng bài tốn

í d* í dụ 1. Cho sơ đồ mạng như hình sau. Tìm đường đi ngắn nhất từ
đỉnh 1 đến đỉnh 6 2
(56,58,72)
4
(88,92,134)

(33,45,50)
1

(32,40,46)

(50,52,61)

6

(51,79,85)
(42,57,61)

5

3

(75,110,114)

(43,55,60)
1. Cho sơ đồ mình sau. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 6
Bước 1: Tính độ dài các đường đi có thể có từ đỉnh 1 đến đỉnh 6
P1: 1-2-3-5-6
à
L1=(201,262,285)
P2: 1-2-4-5-6
à
L2=(196,253,282)
20
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

à
à
à

P3: 1-2-4-6
P4: 1-2-5-6
P5: 1-3-5-6
~

Bước 2: Tìm L

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

L3=(177,195,256)
L4=(159,234,249)
L5=(160,222,235)
~

min

Ta được L min = (159,195,235)
~

Bước 3: Tính độ tương tự giữa L min và các Li
Path

Ranking

~

S(L,

L min

)

P1: 1-2-3-5-6

6.81

5

P2: 1-2-4-5-6

9.11

4

P3: 1-2-4-6

36.70

2

P4: 1-2-5-6

27.9

3

P5: 1-3-5-6

36.76

1

Bước 4: Đưa ra đường đi có độ tương tự lớn nhất. Ta thu được kết quả đó là P 5 đi
qua các đỉnh 1-3-5-6.
Từ những hướng giải quyết như trên, ta có thể áp dụng cho sơ đồ đường đi của
trường ĐH CSND.
Cổng 2

Cổng 1

Hình: Sơ đờ mạng của trương ĐHCSND

21
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

Từ sơ đồ mạng của trường, tác giả đã xây dựng một đồ thị có hướng với các nút là
các tòa nhà và các cổng, các cung là đoạn đường đi từ điểm này đến điểm kia của đồ thị.
Từ cổng 1 đến cổng 2 của trường có rất nhiều đường đi, trong giới hạn của bài thu hoạch
này tác giả chỉ đưa ra một mơ hình đơn giản để tính tốn.
Chú thích: Căn tin là đỉnh số 12; Bệnh xá là đỉnh số 13; Thư viện là đỉnh số 3; Hội
trường A là đỉnh số 11; Sân vận động là đỉnh số 14; Các đỉnh còn lại được đặt tên theo
tên của từng tòa nhà. Đơn vị đo là mét.
Áp dụng 4 bước trong giải thuật tìm đường đi mờ ngắn nhất cho đồ thị trên:
Bước 1: Tính độ dài các đường đi có thể có từ đỉnh 1 đến đỉnh 2

P1: 1-24-5-6-2
à
P2: 1-4-20-14-25-2
à
P3: 1-18-14-25-2
à
P4: 1-3-11-8-9-12-13-17-2
à
P5: 1-22-26-10-7-15-12-13-17-2 à
~

L1=(166,185,222)
L2=(133,163,205)
L3=(201,241,274)
L4=(181,228,286)
L5=(140,185,246)

~

Bước 2: Tìm L min Ta được L min = (133,163,205)

22
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

~

Bước 3: Tính độ tương tự giữa L min và các Li
Path

Ranking

~

S(L,

L min

)

P1: 1-24-5-6-2

22.26

3

P2: 1-4-20-14-25-2

49.32

1

P3: 1-18-14-25-2

0.13

5

P4: 1-3-11-8-9-12-13-17-2

3.08

4

P5:1-22-26-10-7-15-12-13-17-2

22.91

2

Bước 4: Đưa ra đường đi có độ tương tự lớn nhất. Ta thu được kết quả đó là P 3 đi
qua các đỉnh 1-18-14-25-2.
Như vậy, đường đi ngắn nhất từ cổng 1 đến cổng 2 là đường đi từ cổng 1 đến N18,
ra sân vận động, đến N25, và cuối cùng đến cổng 2.

23
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012


Tiểu luận Mơn Tốn học cho khoa học máy tính

GVHD: PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn

KẾT LUẬN
Tiểu luận đã khái quát được các vấn đề cơ bản liên quan đến Logic mờ.
Từ đó đưa ra ý tưởng ứng dụng logic mờ để giải quyết bài tốn tìm đường đi ngắn

nhất giữa hai điểm với độ dài các cung được biểu diễn dưới dạng số mờ, để giải quyết
yêu cầu đối với công tác trực ban tại trường ĐH CSND.
Tiểu luận mới chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết và nêu ra ý tưởng, do khả năng lập trình
khơng thành thạo nên vẫn chưa có chương trình cụ thể. Nếu có cơ hội tiếp tục nghiên cứu
vấn đề này, sẽ cố gắng hoàn thiện phần viết chương trình.
Cuối cùng, chân thành cảm ơn thầy. Thầy đã truyền cảm hứng cho em nghiên cứu
những hướng phát triển đối với những kiến thức về Logic mờ.
Trong tiểu luận này, em có tham khảo một số tài liệu sau đây:
- Introduction to fuzzy logic – Andrea Bonarini
- Luận văn Nghiên cứu, xây dựng thuật toán giải bài tốn tìm đường đi ngắn nhất
với dữ liệu mờ dạng khoảng – Phan Như Minh – Học viện Kỹ thuật Quân sự
- Lý thuyết tập mờ và logic mờ - Thư viện Học liệu mở Việt Nam

24
Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012