TÀI LIỆU BDHSG 9

Bài tập ôn HSG
1. Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đờng tròn
(B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp
tuyến qua M cắt AB ở E, cắt AC ở F.
a) Biết AO = a . Tính chu vi tam giác AEF theo a và R.
b) Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỉ số
EF
PQ
không đổi khi điểm M
di chuyển trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O ; R).
2. Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H. Đờng tròn đờng kính AH cắt AC
tại E, đờng tròn đờng kính BH cắt BC tại F. Gọi G là trung điểm CH.
a) Chứng minh :
- Ba điểm E, F, G thẳng hàng.
- EF là tiếp tuyến chung của đờng tròn đờng kính AH và đờng tròn
đờng kính BH.
b) Gọi r
1
và r
2
lần lợt là bán kính các đờng nội tiếp các tam giác ACH và
BCH. Biết góc ACH = , AB = a, tính tổng:
2
2
2
1
rr +
theo và a.
3. Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Qua một điểm M nằm trên đờng
tròn (O) kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt đờng tròn (O') tại hai điểm phân biệt B và C. Chứng
minh rằng điểm M cách đều hai đờng thẳng AB và AC.

4. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ B vẽ BM//xy (M thuộc AC).
Chứng minh rằng:
a) AB
2
= AM.AC;
b) AB là tiếp tuyến của đờng tròng ngoại tiếp tam giác MBC.
5. Cho tam giác ABC trực tâm H nội tiếp đờng tròn (O; R). Chứng minh rằng:
AH
2
+ BC
2
= BH
2
+ AC
2
= CH
2
+ AB
2
= 4R
2
6. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M.
a) Chứng minh rằng MB + MC = MA.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng:
1 1 1
MB MC MH
+ =
7. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vã dây cung AC của đờng tròn (O) tiếp xúc với đ-
ờng tròn (O) và dây cung AD của đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng tròn (O). Chứng minh rằng: a)
BC.BD = BA

2
b)
2
2
BC AC
BD AD
=
8. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB , C là một điểm chính giữa của nửa đờng tròn. Trên cung BC lấy một
điểm M. Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM.
a) Chứng minh rằng tam giác CMN vuông cân.
b) Qua N vẽ đờng thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn đi qua
một điểm cố định.
9. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Vẽ đờng tròn (I)
tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại M, cắt các dây MA, MB, MC lần lợt tại A, B, C.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
b) Từ A, B, C vẽ các tiếp tuyến AD, BE, CF với đờng tròn (I). Chứng minh rằng AD = BE + CF.
10. Cho đờng tròn (O) dây AB. Trên cung AB lần lợt lấy các điểm M và N. HAi tia AM và NB cắt nhau
tại C; Hai tia AN và MB cắt nhau tại D. Cho biết
ã
ã
ACN ADM=
, chứng minh rằng AB vuông góc với
CD.