Đề thi và đáp án HSG toán 8 2008-2009(Bỉm Sơn)

Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan
PHÒNG GIÁO DỤC BỈM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu1:( 5điểm)
1.Chứng minh rằng: (a+b+c)
3
-(a
3
+b
3
+c
3
) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ.
2.So sánh :
1100
1100

14
14
.
13
13
.
12
12
3
3
3
3
3

3
3
3
−
+
−
+
−
+
−
+
=A
Với
2
3
Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2.
Chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z
∈
Z
+
thỏa mãn các phương trình sau:
1/ xy - 4x = 35 - 5y
2/ x + y + z = xyz

Câu 4:(4điểm)
1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x
2
+5y
2
2/ Cho a+b=1 Chứng minh:
3
)2(2
11
2233
+
−
=
−
+
− ba
ab
a
b
b
a
Câu 5: (4điểm) Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đường thảng
ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E
ADF;AB ∈∈
).
Chứng minh : Các đường thẳng BF,CMvà DE đồng quy.

ĐÁP ÁN
Câu 1:1 Biến đổi: B = (a+b+c)
3

-(a
3
+b
3
+c
3
) = 3(a+b)(b+c)(c+a)

3
* a,b,c chẵn thi a + b; b + c ;c + a đều là các số chẵn nên B

8
* a,b,c lẻ thì a + b; b + c; c + a đều là các số chẵn nên B

8
Mà (3;8)=1
⇒
B
24
2: Ta có:
1100
1100

14
14
.
13
13
.
12

12
3
3
3
3
3
3
3
3
−
+
−
+
−
+
−
+
=A
=
10101.99
9901.101

21.3
13.5
.
13.2
7.4
.
7.1
3.3

A=
10101 21.13.7
9001 13.7.3
.
99 4.3.2.1
101 5.4.3
=
10101
10100
.
2
3
10101
3
.
2
101.100
=
<
2
3
Câu 2: a + b + c = 2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c > 0
⇒
a < 1, b < 1, c < 1

⇒
(1-a) (1-b)(1-c) > 0
⇒
⇔

1 - (a + b + c) + ab + ac + bc - abc > 0

⇔
-1+
0
22
222222
>−
++
−+++
++
abc
cba
bcacab
cba
⇔
-1+
( )
0
22
222
2
>−
++
−
++
abc
cbacba
⇔
1

0
2
222
>−
++
− abc
cba
Hay : a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Câu 3:1/ Biến đổi phương trình về dạng (x + 5)(y - 4) = 15 xét các trường hợp và loại ta có các
cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)
2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x
zy ≤≤
Suy ra : xyz=x+y+z
33 ≤⇒≤ xyz
(*)
Nếu x=y=z
3;03
23
==⇒=⇒ xxxx
Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba
Số không bằng nhau.
Từ (*)
13 =⇒〈⇒ xyxy
hoặc xy=2. Nếu xy=1

1==⇒ yx
(vì x,y
+
∈Z
)
2+=⇒ zz
(vô lí ). Nếu xy=2
2;1 ==⇒ yx
(vì x<y) Khi đó :2z=z+3
3z =⇒
Truy cập: để dowload các tài liệu liên quan
Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó.
Câu 4: 1/Có x=
4
37 y+
khi đó M=
8
494249
2
++ yy
=
( )
55
8
37
2
≥+
+y
Vậy Mmin = 5 khi y =
7

3
2/Có a=1-b
Vế trái :
( )
33
1
1
1
11
1
1
11
223333
+−
−
++
=
−−
+
−
−
=
−
+
− bbbb
b
b
b
b
a

b
b
a
=
( )
][
( )
( )
3
22
31
212
222
2
+
−
=
+−
−−
ba
ab
bb
bb
Suy ra ddpcm
Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM
và BC ; BF và DE lần lượt là E
/
;F
/
và O

Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME
/
CF
/

bằng nhau
MEFMCEMCEEFM ∠=∠⇒∆=∆⇒
//
EFCM
⊥⇒
(1).
Mặt khác hình chữ nhật AE E
/
D bằng hình chữ nhật
CF
/
FD
DECFDCFADEDFCAED
⊥⇒∠=∠⇒∆=∆⇒
.Tương tự có:FB
0
⇒⊥
CE
là trực tâm
tam giác CEF
EFCO ⊥⇒
(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy.

A
B

C
D
M
O
F
/
/
E
/
F
E