Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 1

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 1
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2003 – 2004
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 13/7/2003
Bài 1: ( 1,5 điểm).
Cho 0 < a < 1 , hãy rút gọn biểu thức:
M =








−−








+−−
−
+
−−+

+
a
a
aa
a
aa
a 1
1
1
.
11
1
11
1
2
2
.
Bài 2: ( 2,0 điểm).
Cho x, y là hai số thỏa mãn đẳng thức:
4
4
1
2
2
2
2
=++
y
x
x

( với x
≠
0).
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị bé nhất.
Bài 3: ( 2,5 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, phương trình:
( )
01.12122
2
=−++− xnnx
không có nghiệm nguyên.
Bài 4: ( 2,5 điểm).
Cho 7 đường thẳng bất kỳ, đôi một không song song. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp
đường thẳng trong số 7 đường thẳng đã cho, mà góc hợp bởi hai đường thẳng đó nhỏ hơn 26
0
.
Bài 5: ( 1,5 điểm).
Chứng minh rằng bên trong đường tròn (O; R) không thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính
bằng
5
R
mà đôi một không cắt nhau.

Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán (Chuyên Toán)

Bài 1: ( 1,5 điểm).

Với 0 < a < 1, ta có:
A =
aa
a
aa
a
+−−
−
+
−−+
+
11
1
11
1
2
=
( )
aaa
a
aa
a
−−+−
−
+
−−+
+
111
1
11

1
=
aa
aa
−−+
−++
11
11
=
( )
a
aa
2
11
2
−++
=
a
a
2
122
2
−+
=
a
a
2
11 −+
(1) ( 0,5 điểm).
B =

a
a
aa
a
a
a
11111
1
1
22
2
−−
=−
−
=−−
(2) ( 0,5 điểm).
Từ (1) và (2) ta suy ra:
M =
a
a
2
11 −+
.
a
a 11
2
−−
=
1−
( 0,5 điểm).

Bài 2: ( 2,0 điểm).
Ta có:
4
4
1
2
2
2
2
=++
y
x
x

⇔

2
2
1
22
=−






++







− xy
y
x
x
x
( 0,5 điểm).
⇔
22
2
1
2






++






−+−=
y

x
x
xxy

2−≥
( 0,5 điểm).
Vậy giá trị bé nhất của xy là
2−
, điều này xảy ra khi và chỉ khi:



−=
=
2
1
y
x
hoặc



=
−=
2
1
y
x
( 0,5 điểm).
Kết luận: với




−=
=
2
1
y
x
hoặc



=
−=
2
1
y
x
thì tích xy đạt giá trị bé nhất. ( 0,5 điểm).
Bài 3: ( 2,5 điểm).
Giải phương trình đã cho ta được:
( ) ( )
11212
33
2,1
++±+= nnx
( 0,5 điểm).
Đặt
n k

3
(2 1)+ =
, ( k ≠ 0). Vì n ∈ Z nên k ∈ Z. Khi đó
1
2,1
+±= kkx
.
Giả sử có ít nhất một trong hai nghiệm trên là số nguyên, chẳng hạn
1++ kk
= a là số
nguyên.
Từ đó
( )
2
1212 akkk =+++
hay
( )
1212
2
−−=+ kakk
là số nguyên.
⇒

( )
12 +kk
là số nguyên. ( 1,0 điểm).
Lại đặt
( )
12 +kk
= m , (m ∈ Z) hay

( )
2
1
m
kk =+
là số hữu tỉ.
Ta có
( )
1+kk
là nghiệm của phương trình x
2
– k(k + 1) = 0 với hệ số nguyên và hệ số cao
nhất bằng 1.
Nếu
( )
1+kk
= t , (t ∈ Z) hay k(k + 1) = t
2
thì t chắc chắn phải lớn hơn k và nhỏ hơn k + 1.
Không có số nguyên nào thỏa mãn điều đó.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. ( 1,0 điểm).
Bài 4: ( 2,5 điểm).
Gọi 7 đường thẳng cho trước là a
1
, a
2
, a
3
, a
4

, a
5
, a
6
, và a
7.
Từ

một điểm O bất kỳ trong mặt
phẳng, ta kẻ các đường thẳng b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, b
5
, b
6
và b
7
tương ứng song song với các đường
thẳng đã cho.
2
Theo giả thiết các đường thẳng a
1
, a
2

, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, và a
7
đôi một không song song, nên 7 đường
thẳng b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, b
5
, b
6
, b
7
cũng không có hai đường thẳng nào trùng nhau. ( 1,0 điểm).
Do đó 7 đường thẳng b
1
, b
2

, b
3
, b
4
, b
5
, b
6
và b
7
cho ta 7 góc liên tiếp kề nhau: (b
1
, b
2
); (b
2
, b
3
);
(b
3
, b
4
); (b
4
, b
5
); (b
5
, b

6
); (b
6
, b
7
); (b
7
, b
1
). Tổng của 7 góc này bằng 180
0
( 0,5 điểm).
Từ đó suy ra ít nhất cũng phải có một góc nào đó trong 7 góc ở trên nhỏ hơn 26
0
. Vì nếu
không có góc nào nhỏ hơn 26
0
thì tổng 7 góc sẽ lớn hơn 180
0
. Điều này mâu thuẫn với giả thiết
trên. ( 0,5 điểm).
Giả sử (b
i
, b
i+1
) < 26
0
, suy ra (a
i
, a

i+1
) < 26
0
(với i = 1, 2, …, 7 và b
8
≡ b
1
, a
8
≡ a
1
) ( đpcm).
( 0,5 điểm).
Bài 5: ( 1,5 điểm).
Giả sử vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng
5
R
mà đôi một không cắt nhau nằm trong
đường tròn (O; R).
Khi đó ta có:
2
5
.25






R

π
<
2
.R
π

⇔
R
2
< R
2
, vô lý. ( 1,0 điểm).
Vậy không thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng
5
R
mà đôi một không cắt nhau nằm
trong đường tròn (O; R). ( 0,5 điểm).
oOo
3