Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 2

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 2
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2004 - 2005
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 15/7/2004
Bài 1: (1,5 điểm).
Giải phương trình:
06
1
4
1
=+








+−+
x
x
x
x
Bài 2: (2,0 điểm).
Xác định các hệ số a và b để đa thức:
x x ax bx
4 3 2

6 1− + + +
là bình phương của một đa thức khác.
Bài 3: (2,5 điểm).
Cho
100
1

3
1
2
1
1 ++++=S
. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Bài 4: (2,5 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự là các điểm di
động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn luôn vuông góc với ON. Định vị
trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất.
Bài 5: (1,5 điểm).
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền; loại thứ nhất, mỗi
chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 em. Hỏi mỗi loại thuyền có bao
nhiêu chiếc?
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)

Bài 1: (1,5 điểm).
Điều kiện x > 0 (*) (0,25 điểm).
Với điều kiện (*) ta có:

06
1
4
1
=+








+−+
x
x
x
x
⇔
04
1
4
1
2
=+









+−








+
x
x
x
x
(0,5 điểm).
⇔
02
1
2
=









−+
x
x

⇔
02
1
=−+
x
x
(0,25 điểm).
⇔
( )
01
2
=−x

⇔
1=x
⇔
x = 1 (0,25 điểm).
Đối chiếu với điều kiện (*) ta kết luận phương trình có nghiệm là x = 1. (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện trước mà sử dụng các phép biến đổi tương đương, nếu
đúng vẫn cho điểm tối đa.

Bài 2: (2,0 điểm).
Đặt P =
x x ax bx

4 3 2
6 1− + + +
Để ý rằng biểu thức
x x
4 3
6−
là hai số hạng đầu tiên của khai triển bình phương biểu thức
x x
2
3
α
− +
(0,25 điểm).
Do đó ta có thể viết:

x x ax bx
4 3 2
6 1− + + +
=
( )
x x
2
2
3
α
− +
⇔
x x ax bx
4 3 2
6 1− + + +

=
x x x x x
4 2 2 3 2
9 6 2 6
α α α
+ + − + −
⇔
x x ax bx
4 3 2
6 1− + + +
=
x x x x
4 3 2 2
6 (9 2 ) 6
α α α
− + + − +
(0,5 điểm).
Đồng nhất hai vế ta được:





=
−=
+=
2
1
6
29

α
α
α
b
a
(*) (0,25 điểm).
Từ điều kiện
2
1
α
=
ta được
1
±=
α
• Nếu
α
= –1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 7 và b = 6
Khi đó P = x
4
– 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1 = (x
2
– 3x – 1 )
2
(0,25 điểm).
• Nếu

α
= 1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 11 và b = – 6
Khi đó P = x
4
– 6x
3
+ 11x
2
– 6x + 1 = (x
2
– 3x + 1 )
2
(0,25 điểm).
• Kết luận:



=
=
6
7
b
a
hoặc



−=
=
6

11
b
a
(0,5 điểm).
Bài 3: (2,5 điểm).
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức kép sau:
122
1
212 −−<<−+ nn
n
nn
(với n
*
N∈
) (1) (0,25 điểm).
Thật vậy:
( )( )
nn
nnnn
nn
++
++−+
=−+
1
112
212
=
nnnnn
12
1

2
=
+
<
++
(2) (0,5 điểm).
( )( )
1
112
122
−+
−+−−
=−−
nn
nnnn
nn
2
=
nnnnn
12
1
2
=
+
>
−+
(3) (0,5 điểm).
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh.
Vậy:
( ) ( ) ( )

[ ]
100101 342321
100
1

3
1
2
1
1 −++−+−+>++++=S

( )
183212210.21210121 =−>−+>−+=
(0,5 điểm).
( ) ( ) ( )
[ ]
99100 231221
100
1

3
1
2
1
1 −++−+−+<++++=S

( )
199.21110021 =+=−+=
(0,5 điểm).
Do đó 18 < S < 19, chứng tỏ S không phải là số tự nhiên (đpcm). (0,25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh (1) nhưng sử dụng kết qủa (1) để làm bài thì vẫn chấm
bình thường và phần nào có làm mà đúng sẽ cho điểm phần đó theo quy định trên.
Bài 4: ( 2,5 điểm).
Đặt AB = a, AM = x, BN = y, ta có:
S
OMN
= S
ABNM
– ( S
OAM
+ S
OBN
) (0,25 điểm).
S
OMN
=






+−
+
442
ayax
a
yx
(0,25
điểm). S

OMN
=
( )
yx
a
+
4
(0,25 điểm). Do hai tam giác vuông OAM và NBO
đồng dạng (
¶
¶
O N
1 1
=
vì hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
nên:
4

2
a
xyOBOABNAM
OB
AM
NB
OA
=⇔=⇔=
(0,5 điểm).
Ta lại có:
a
a

xyyx ==≥+
4
22
2
(0,25 điểm).
Suy ra: S
OMN

4
2
a
≥

⇒
min S
OMN
=
4
2
a
khi x = y =
2
a
(0,5 điểm).
Kết luận: M nằm trên cạnh AD, N nằm trên cạnh BC của hình chữ nhật sao cho chúng lần lượt
cách A và B một đoạn bằng
2
1
AB thì tam giác MON có diện tích nhỏ nhất. (0,5 điểm).
Chú ý: Nếu thiếu hình vẽ hoặc hình vẽ sai, không phù hợp với lời giải thì không chấm.

Bài 5: ( 1,5 điểm).
Gọi x là số thuyền loại chở 5 em học sinh một chiếc
y là số thuyền loại chở 7 em học sinh một chiếc
(điều kiện x, y nguyên dương).
Theo giả thiết ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1)
Từ (1) suy ra



∈<
+
Zyy
y
,507
57 




∈≤
⇒
+
Zyy
y
,7
5
vì (7,5) = 1
⇒
y = 5. Do đó x = 3.
Vậy có 3 chiếc thuyền loại chở 5 em học sinh một chiếc và có 5 chiếc thuyền loại chở 7 em

học sinh một chiếc .
oOo
Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình đều cho điểm tốt đa.
3
A
B
C
D
O
M
N
y
1
1
x
4