Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 3

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 3
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2005 - 2006
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi:
Câu 1: (1,5 điểm).
Tìm tập xác định của hàm số
x x
y
x x
1 1
1 1
+ + −
=
+ − −
.
Câu 2: (2,0 điểm).
Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng:






++≥
−
+
−
+

− cbacpbpap
111
2
111
.
Câu 3 : (2,5 điểm).
a) Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
( ) ( )
012
2
2
=−−−− mxmmx
.
b) Tìm các giá trị của m sao cho bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng:
( )
13222
2121
≥−−−−+ xxmxx
.
Câu 4: (3,0 điểm).
Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn hơn
2
1
. Chứng
minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh
của hình vuông và có độ dài lớn hơn

2
1
.
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thoả mãn hệ thức:
8
22
++=+ nmnm
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: TOÁN
(Dành cho lớp chuyên toán)
Câu 1: (1,5 điểm).
Ta có:
11
11
−−+
−++
xx
xx
có nghĩa
⇔







≠−−+
≥−
≥+
011
01
01
xx
x
x
(0,5 điểm).

⇔





−≠+
≤
−≥
11
1
1
xx
x
x

⇔




≠
≤≤−
0
11
x
x
(0,5 điểm).
Vậy TXĐ của hàm số là tập hợp các số thực x mà –1
≤
x
≤
1 và x
≠
0. (0,5 điểm).
Câu 2 : (2,0 điểm).
Ta có
( )
xyyx 4
2
≥+
, do đó
yxxy
yx
+
≥
+ 4
hay
yxyx +

≥+
411
; (x, y > 0) (0,5 điểm).
Áp dụng kết quả trên ta được:
( ) ( )
cbapbpapbpap
4
2
4411
=
−−
=
−+−
≥
−
+
−
(0,25 điểm).
Tương tự:
acpbp
411
≥
−
+
−
(0,25 điểm).
bapcp
411
≥
−

+
−
(0,25 điểm).
Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên rồi ước lược ta được:






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
(0,5 điểm).
*Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều. (0,25 điểm).
Câu 3: (2,5 điểm).
Ta có
∆
= m
2
(m – 2)
2
+ 4(m – 1)
2

≥
0 ,
∀
m .
Do đó phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm. (0,5 điểm).
Khi đó: x
1
+ x
2
= m(m – 2) , x
1
. x
2
= – (m – 1)
2
(0,5 điểm).
Bất đẳng thức đã cho trở thành:
( ) ( )
11322
22
≥−−− mm

⇔

11322 ≥−−− mm
(0,5 điểm).
• Nếu m < 1 thì 2(2 – m) – 3(1 – m)
≥
1, suy ra 0

≤
m < 1 (0,25 điểm).
• Nếu 1
≤
m
≤
2 thì 2(2 – m) – 3(m – 1)
≥
1, suy ra
5
6
1 ≤≤ m
(0,25 điểm).
• Nếu m > 2 thì 2(m – 2) – 3(m – 1)
≥
1, bất phương trình vô nghiệm. (0,25 điểm).
Vậy
5
6
0 ≤≤ m
. (0,25 điểm).
Câu 4: (3,0 điểm).
• Gọi diện tích tứ giác lồi ABCD là S thì S >
2
1
. Qua các đỉnh B và
D kẻ các tia BB’ và DD’ song song với các cạnh của hình
vuông (B’ thuộc AD, D’ thuộc BC) (hình vẽ). Ta cần chứng
minh trong hai đoạn BB’ và DD’ phải có một đoạn có độ dài
lớn hơn

2
1
. (0,5 điểm).
2
A
B
C
D
A
1
B’
D’
C
1
D
1
Thật vậy! Giả sử cả hai đoạn này đều nhỏ hơn hay bằng
2
1
; gọi A
1
, D
1
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A và D’ lên BB’; C
1
là hình chiếu vuông góc của C lên DD’. Khi đó:
( )
11'''''1
''

2
1
DDAABBSSSS
BBDABBBABD
+=+==
(0,5 điểm).
Vì AA
1
+ D’D
1
luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh của hình vuông nên AA
1
+ D’D
1

≤
1.
Từ đó
4
1
2
1
.
2
1
'
2
1
1
=≤≤ BBS

(0,5 điểm).
Tương tự:
( )
11'''''2
''
2
1
DDCCDDSSSS
DBDCDDDCDB
+=+==
(0,5 điểm).
Vì CC
1
+ D’D
1

≤
1 nên
4
1
2
1
.
2
1
'
2
1
2
=≤≤ DDS

(0,5 điểm).
Do đó
2
1
4
1
4
1
21
=+≤+= SSS
( trái giả thiết). (0,25 điểm).
Vậy ít nhất một trong hai đoạn BB’ hoặc DD’ lớn hơn
2
1
. (0,25 điểm).
Câu 5 : (1,0 điểm).
Ta có:
8
22
++=+ nmnm

⇔
4m
2
+ 4n
2
= 4m + 4n + 32
⇔
4m
2

– 4m + 1 + 4n
2
– 4n + 1 = 34
⇔
(2m – 1)
2
+ (2n – 1)
2
= 34 < 6
2
(*) (0,5 điểm).
Vì m, n
∈
N nên (*) cho thấy (2m – 1) và ( 2n – 1) là hai số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 có các
tổng bình phương bằng 34.
Có ba số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 là 1, 3, 5 và dễ thấy 3
2
+ 5
2
= 34
Do đó ta có:



=−
=−
512
312
n
m

hay



=−
=−
312
512
n
m
Vậy



=
=
3
2
n
m
hay



=
=
2
3
n
m

(0,5 điểm).
==========================
Chú ý: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
3