Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 6

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 6
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 18/6/2008
Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức:
a
aa
2
1
1 <−+
với a > 0.
Câu 2: (3,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
a)
9
611
3
2
2
2
−
−+
=
−
x
xx
x

x
b)
122312
2
=+−+− xx
Câu 3: (1,5 điểm).
Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
xy
2
1
3 +=
.
Câu 4: (2,5 điểm).
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp
xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường thẳng qua O vuông
góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia
cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax.
Câu 5: (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho
x3 1
+
chia hết cho y đồng thời
y3 1+
chia hết cho x.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán)

Nội dung Điểm
Câu 1: (1,5 điểm).
Với a > 0 ta có:
aa
aa
++
=−+
1
1
1
<
aaa 2
11
=
+
(đpcm).
1,0
0,5
Câu 2: (3,0 điểm).
a) Điều kiện x ≠ ± 3. Khi đó ta có:
9
611
3
2
2
2
−
−+
=

−
x
xx
x
x

⇔
2x(x + 3) = x
2
+ 11x – 6
⇔
x
2
– 5x + 6 = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆ = (–5)
2
– 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
11 ==∆
Do đó phương trình (*) có hai nghiệm là

3
1.2
1)5(
1
=
+−−
=x
,
2
1.2

1)5(
2
=
−−−
=x
.
Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x
1
= 3 không thỏa mãn nên phương trình đã
cho có một nghiệm x = 2.
0,25
0,5
0,5
0,25
b) Ta có
122312
2
=+−+− xx

⇔
( )
( )
1121
2
2
=+−−x
⇔

1121 =−−−x
⇔

221 +=−x
⇔




−−=−
+=−
221
221
x
x
⇔




−−=
+=
21
23
x
x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
23 +=x
,
21−−=x
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3: (1,5 điểm).
Ta có
x
xy
2
1
3 +=
=
2
5
2
1
2
x
x
x
++
Mà
1
2
1
.2
2
1
.
2

2
2
1
2
==≥+
x
x
x
x
và
2
5
2
5
≥
x
(do x ≥ 1).
Do đó
2
7
2
5
1 =+≥y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy GTNN của y là
2
7
, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1.
0,25
0,5

0,25
0,25
0,25
Câu 4: (2,5 điểm).
Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax và AB theo thứ tự tại G và H.
Ta có GH
⊥
EO (1)
Suy ra DOEG, EOHC là các tứ giác nội tiếp được.
Từ đó
·
·
·
·
DOG DEG CEH COH= = =
Ta lại có DO = CO. Do đó ∆DOG = ∆COH
0,5
0,25
0,5
2
Suy ra OG = OH. Kết hợp với (1) suy ra GE = EH.
Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF.
Vì vậy nếu I là trung điểm của AB thì FI // Ax.
Mà Ax cố định và I cố định nên suy ra F luôn luôn nằm trên tia Iy cố định song
song với Ax. (đpcm).
0,25
0,25
0,5
0,25
Câu 5: (1,5 điểm).

Dễ thấy x ≠ y vì x > 1, y > 1. Không giảm tính tổng quát ta giả sử x > y.
Đặt 3y + 1 = px. Vì x > y suy ra 3x > 3y + 1 = px ⇒ p < 3 ⇒ p
∈
{1, 2}
• Nếu p = 1 thì x = 3y + 1 ⇒ 3x + 1 = 9y + 4

y ⇒ 4

y ⇒ y
∈
{2, 4}
+ Nếu y = 2 ⇒ x = 7
+ Nếu y = 4 ⇒ x = 13
• Nếu p = 2 ⇒ 2x = 3y + 1 ⇒ 2(3x + 1) = 6x + 2 = 3(3y + 1) + 2 = 9y + 5
Vì 3x + 1

y ⇒ 9y + 5

y ⇒ y = 5 ⇒ x = 8
Vậy ta có các nghiệm là (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3