Bài giảng Toán kinh tế Bài 2 - PGS.TS. Trần Lộc Hùng

Toán Kinh tế
PGS.TS. Trần Lộc Hùng
Trường Đại học Tài chính - Marketing thành phố Hồ Chí Minh
Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011
Bài 2. Hàm hai biến số
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Chú ý
Gửi các bạn tham gia lớp ôn tập
1 Tài liệu mà tôi sử dụng để giảng dạy cho chương trình ôn
tập Toán Kinh tế được lưu trên đường link sau
code.google.com/p/tlhungvn − ufm − economaths
2 Những tài liệu này dành cho tất cả những ai muốn nắm
được kiến thức toán để thi vào cao học QTKD, hoàn toàn
miễn phí
3 Nghiêm cấm việc sử dụng các tài liệu này với mục đích
khác nếu chưa được sự đồng ý của tác giả
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng

5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)

PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Hàm hai biến số
1 Khái niệm hàm hai biến
2 Giới hạn lặp, giới hạn đồng thời
3 Hàm liên tục
4 Đạo hàm riêng
5 Vi phân toàn phần
6 Cực trị hàm số hai biến (cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất-giá trị nhỏ nhất, cực trị có điều kiện)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y)
Định nghĩa
Giả sử D ⊆ R
2
= R × R. Ánh xạ f : R
2
−→ R, ứng mỗi cặp số
thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là
hàm hai biến số thực. Ký hiệu
f : (x, y) −→ z = f (x, y)
1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R
2
. D được gọi là miền
xác định của hàm số f
2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ
thuộc.
3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được
gọi là miền giá trị của hàm số f
4 Hàm n biến số y = f (x
1

, x
2
, . . . , x
n
) được định nghĩa tương
tự
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y)
Định nghĩa
Giả sử D ⊆ R
2
= R × R. Ánh xạ f : R
2
−→ R, ứng mỗi cặp số
thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là
hàm hai biến số thực. Ký hiệu
f : (x, y) −→ z = f (x, y)
1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R
2
. D được gọi là miền
xác định của hàm số f
2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ
thuộc.
3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được
gọi là miền giá trị của hàm số f
4 Hàm n biến số y = f (x
1
, x
2
, . . . , x

n
) được định nghĩa tương
tự
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y)
Định nghĩa
Giả sử D ⊆ R
2
= R × R. Ánh xạ f : R
2
−→ R, ứng mỗi cặp số
thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là
hàm hai biến số thực. Ký hiệu
f : (x, y) −→ z = f (x, y)
1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R
2
. D được gọi là miền
xác định của hàm số f
2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ
thuộc.
3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được
gọi là miền giá trị của hàm số f
4 Hàm n biến số y = f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) được định nghĩa tương
tự

PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Khái niệm hàm hai biến số z = f (x, y)
Định nghĩa
Giả sử D ⊆ R
2
= R × R. Ánh xạ f : R
2
−→ R, ứng mỗi cặp số
thực (x, y) ∈ D một số thực z, ký hiệu z = f (x, y), được gọi là
hàm hai biến số thực. Ký hiệu
f : (x, y) −→ z = f (x, y)
1 D là một tập hợp trên mặt phẳng R
2
. D được gọi là miền
xác định của hàm số f
2 Hai biến x và y được gọi là hai biến độc lập, z là biến phụ
thuộc.
3 Tập hợp f (D) = {z ∈ R : z = f (x, y), (x, y) ∈ D} ⊆ R được
gọi là miền giá trị của hàm số f
4 Hàm n biến số y = f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) được định nghĩa tương
tự
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các ví dụ
Ví dụ 1

Hàm số z =

1 − x
2
+ y
2
có miền xác định
D = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
≤ 1}− hình tròn tâm (0,0) bán kính 1
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các ví dụ
Ví dụ 2
Hàm số z = ln (x + y − 1) có miền xác định
D = {(x, y) ∈ R
2
: x + y > 1}− nửa mặt phẳng mở ở phía trên
đường thẳng x + y − 1 = 0
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Giới hạn của dãy các điểm
Giả sử dãy các điểm z
n
= (x
n
, y
n

) ∈ R
2
và z
0
= (x
0
, y
0
) ∈ R
2
Định nghĩa
Ta nói dãy z
n
= (x
n
, y
n
) hội tụ tới điểm z
0
= (x
0
, y
0
), khi n → ∞,
nếu
lim
n→∞

(x
n

− x
0
)
2
+ (y
n
− y
0
)
2
= 0
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Giới hạn của dãy các điểm
Giả sử dãy các điểm z
n
= (x
n
, y
n
) = (
1
n
,
1
n
) và
z
0
= (x
0

, y
0
) = (0, 0) ∈ R
2
Ví dụ
Dễ thấy dãy (
1
n
,
1
n
) hội tụ tới điểm z
0
= (0, 0), khi n → ∞, vì
lim
n→∞


1
n

2
+

1
n

2
= lim
n→∞

√
2
n
= 0
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Giới hạn của hàm hai biến số
Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm
z
0
= (x
0
, y
0
).
Định nghĩa 1
Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi
(x, y) → (x
0
, y
0
), nếu
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f (x, y) = L
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các định nghĩa tương đương

Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm
z
0
= (x
0
, y
0
).
Định nghĩa 2
Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi
(x, y) → (x
0
, y
0
), nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 :

(x −x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ, | f (x, y) − L |< 
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các định nghĩa tương đương
Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D chứa điểm
z

0
= (x
0
, y
0
). Giả sử dãy điểm (x
n
, y
n
) ∈ D
Định nghĩa 3
Ta nói số thực L là giới hạn của hàm số z = f (x, y), khi
(x, y) → (x
0
, y
0
), nếu với mọi dãy (x
n
, y
n
) hội tụ về điểm (x
0
, y
0
)
khi n → ∞, ta có
lim
n→∞
f (x
n

, y
n
) = L
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Chú ý
1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất
2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất
3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f (x, y) = lim
x→x
0
lim
y→y
0
f (x, y)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Chú ý
1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất
2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất
3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp
lim
(x,y)→(x
0
,y

0
)
f (x, y) = lim
x→x
0
lim
y→y
0
f (x, y)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Chú ý
1 Giới hạn của một dãy, nếu tồn tại thì duy nhất
2 Giới hạn của một hàm, nếu tồn tại thì duy nhất
3 Giới hạn kép khác giới hạn lặp
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f (x, y) = lim
x→x
0
lim
y→y
0
f (x, y)
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các ví dụ
Ví dụ 3

lim
(x,y)→(0,0)
xy

x
2
+ y
2
= 0
1 Chú ý là
|x|
√
x
2
+y
2
≤ 1
2 Khi đó, 0 ≤
xy
√
x
2
+y
2
≤| y |
3 khi y → 0, có điều phải chứng minh
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các ví dụ
Ví dụ 3
lim

(x,y)→(0,0)
xy

x
2
+ y
2
= 0
1 Chú ý là
|x|
√
x
2
+y
2
≤ 1
2 Khi đó, 0 ≤
xy
√
x
2
+y
2
≤| y |
3 khi y → 0, có điều phải chứng minh
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)
Các ví dụ
Ví dụ 3
lim
(x,y)→(0,0)

xy

x
2
+ y
2
= 0
1 Chú ý là
|x|
√
x
2
+y
2
≤ 1
2 Khi đó, 0 ≤
xy
√
x
2
+y
2
≤| y |
3 khi y → 0, có điều phải chứng minh
PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)