Một số kết quả dạng Farkas cho các hệ không lồi và áp dụng vào lý thuyết tối ưu NCS. Trần Hồng Mơ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN HỒNG MƠ
MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS
CHO CÁC HỆ KHÔNG LỒI VÀ
ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TỐI ƯU
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số: 62 46 20 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh-2015
Công trình này được hoàn thành tại:
• Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Nguyễn Định
Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
Phản biện 2: PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh
Phản biện 3: PGS.TS. Phạm Hoàng Quân
Phản biện độc lập 1: TS. Bùi Trọng Kiên
Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM vào lúc giờ ngày
tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM
- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
MỞ ĐẦU
Bổ đề Farkas được đưa ra đầu tiên vào năm 1894 bởi nhà toán học và vật lý
học người Hungary - Gyula Farkas khi ông nghiên cứu bài toán cân bằng trong
cơ khí. Tuy nhiên, đến tám năm sau, năm 1902, ông mới đưa ra được chứng
minh đúng của bổ đề. Bổ đề này được phát biểu như sau: cho bất kỳ các vectơ
a

1
, a
2
, · · · , a
m
và c trong R
n
. Khi đó các mệnh đề sau đây tương đương:
(i) x ∈ R
n
, a
T
i
x ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m =⇒ c
T
x ≥ 0;
(ii) ∃λ
i
≥ 0, i = 1, 2, . . . , m, c =

m
i=1
λ
i
a
i
.
Trong những năm 1950, sau khi Gale, Kuhn, và Tucker áp dụng thành công bổ
đề này vào quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến, Bổ đề Farkas đã trở
thành một trong những công cụ nổi tiếng trong tối ưu và trong toán ứng dụng.

Kể từ đó, có nhiều nỗ lực mở rộng bổ đề này, và các kết quả này đã có nhiều
ứng dụng không chỉ trong toán ứng dụng mà còn trong các lĩnh vực khác như
tài chính và kinh tế.
Về lý thuyết, dạng mở rộng cho hệ lồi của Bổ đề Farkas, gọi là Bổ đề Farkas-
Minkowski, đã được chứng minh tương đương với Định lý Hahn-Banach. Hơn
nữa, bổ đề này là “dạng toán" của nguyên lý cơ bản thứ nhất của toán tài chính.
Bởi tầm quan trọng, trong những thập kỷ cuối của thế kỷ 20, nó liên tục được
phát triển bởi nhiều nhà toán học từ hệ tuyến tính đến hệ lồi, không lồi; từ
không gian hữu hạn chiều đến không gian vô hạn chiều; từ hàm đơn trị đến hàm
đa trị.
Chú ý rằng những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạn
chiều hoặc cho hệ phi tuyến chỉ xảy ra khi có điều kiện chính quy nào đó như
điều kiện Slater hoặc các dạng tổng quát của nó (được gọi là điều kiện về điểm
trong). Gần đây, các tác giả V. Jeyakumar, N. Dinh, R. Burachik, R. I. Bot, G.
Wanka đã giới thiệu một số điều kiện chính quy gọi là điều kiện về tính đóng,
điều kiện này yếu hơn điều kiện về điểm trong. Hơn nữa, điều kiện về tính đóng
này được chứng minh là điều kiện cần và đủ để đảm bảo tồn tại Bổ đề Farkas
mở rộng. Tất cả các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas được gọi là “các kết quả
dạng Farkas" và chúng có nhiều áp dụng trong tối ưu.
Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như
Bổ đề Farkas có thể được thiết lập cho hệ liên quan hàm hợp? cho hệ liên quan
hàm vectơ? Các kết quả này nếu thiết lập được thì giúp ích gì trong việc nghiên
cứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ? Mặt khác, trong
những năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkas không có
điều kiện chính quy. Câu hỏi quan trọng sau cùng, có hay không mối quan hệ
giữa các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas và các định lý cơ bản trong giải tích
toán học? Từ những vấn đề vừa nêu, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạch
nghiên cứu các vấn đề sau:
1
Vấn đề 1. Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp: Nghiên cứu và thiết

lập một số dạng tổng quát Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp có/không có
tính lồi và nửa liên tục dưới. Áp dụng các kết quả nhận được vào bài toán tối
ưu liên quan hàm hợp với lồi/không lồi.
Vấn đề 2. Bổ đề Farkas mở rộng và các định lý cơ bản trong toán
học: Như đã đề cập ở trên, Bổ đề Farkas tương đương Định lý Hahn-Banach.
Vì thế, một câu hỏi tự nhiên: Có tồn tại hay không các dạng mở rộng của Định
lý Hahn-Banach tương đương với các dạng mở rộng gần đây hoặc dạng mới của
Bổ đề Farkas?
Vấn đề 3. Bổ đề Farkas theo dãy và Định lý Hahn-Banach xấp xỉ
Thiết lập các dạng mới của Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy (gọi là
Bổ đề Farkas theo dãy). Tìm các dạng mới của Định lý Hahn-Banach không có
điều kiện chính quy (gọi là Định lý Hahn-Banach xấp xỉ) tương đương với Bổ đề
Farkas theo dãy.
Trong thời gian nghiên cứu thực hiện luận án, chúng tôi đã phần nào trả lời
được các vấn đề đã nêu ở trên. Cụ thể, chúng tôi nhận được các kết quả sau đây
liên quan đến các Vấn đề 1, 2 và 3:
Các kết quả dạng Farkas cho hệ liên quan hàm hợp (Chương 2).
Xét bất đẳng thức liên quan hàm hợp có dạng:
f(x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1)
Chúng tôi nhận được các kết quả sau:
• Sáu loại điều kiện chính quy dùng để thiết lập các kết quả dạng Farkas liên
quan bất đẳng thức (1) mà không đòi hỏi tính lồi cũng như tính nửa liên tục
dưới.
• Các kết quả dạng Farkas được thiết lập dưới điều kiện yếu nhất.
• Thiết lập được các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát liên quan hàm
hợp. Các kết quả này mở rộng các kết quả trước đây theo ba mặt: các hàm không
cần lồi, giả thiết yếu hơn, và các điều kiện là cần và đủ.
• Nhiều định lý thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm của một tập lồi
trong tập DC hoặc tập lồi ngược, và các kết quả đối ngẫu Fenchel-Rockafellar
được suy ra.

Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach dưới điều
kiện dạng Slater (Chương 3).
• Thiết lập được các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón K (K-lồi)
và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính (S-lồi) dưới điều kiện dạng Slater không có
tính nửa liên tục dưới và tính đóng.
• Mở rộng Định lý Hahn-Banach-Lagrange và dạng mở rộng này tương đương
với các dạng mới của Bổ đề Farkas vừa đề cập ở trên.
2
• Các kết quả này mở rộng các định lý cơ bản khác như Định lý sandwich,
Định lý Mazur-Orlicz, và Định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính mở
rộng.
• Các kết quả trên cũng được áp dụng để nhận các kết quả về đối ngẫu và
điều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi.
• Như các ví dụ minh họa, chúng tôi xét bài toán penalty, công thức đối ngẫu
của supremum một họ các hàm lồi (vô hạn, không nửa liên tục dưới), và bài toán
liên quan đến định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách tập lồi.
Từ Bổ đề Farkas đến Định lý Hahn-Banach (Chương 4).
Các kết quả trong chương này là mở rộng và phát triển các kết quả trong
Chương 3. Các kết quả này được thiết lập với điều kiện yếu nhất (điều kiện cần
và đủ). Cụ thể:
• Thiết lập được các điều kiện tính đóng mới−đặc trưng hóa các Bổ đề
Farkas cho hệ K-lồi và hệ S-lồi.
• Các Bổ đề Farkas mở rộng suy ra đặc trưng cho các dạng giải tích của
Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Mazur-Orlicz cho hàm dưới tuyến tính
mở rộng.
• Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange tương
đương nhau.
Các bổ đề Farkas theo dãy và các định lý Hahn-Banach xấp xỉ
(Chương 5).
• Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy cho hệ K-lồi và hệ S-lồi được

thiết lập.
• Các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach-Lagrange được suy ra.
• Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy và định lý Hahn-Banach-Lagrange
xấp xỉ tương đương nhau. Chúng có thể suy ra được các dạng xấp xỉ của định
lý Hahn-Banach, định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng.
• Các kết quả này được áp dụng vào lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ
S-lồi. Chúng tôi giới thiệu một công thức đối ngẫu xấp xỉ của supremum của
họ (vô hạn) các hàm lồi.
Nội dung chính của luận án được trích từ các bài báo được đăng trên tạp
chí chuyên ngành quốc tế. Trong bản tóm tắt này, tên của các chương, mục,
mệnh đề, định lí, v.v được giữ nguyên như trong luận án. Vì giới hạn số trang
của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày những kết quả chính.
3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụng
trong luận án này. Vì sự giới hạn về số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ
trình bày ngắn gọn. Người đọc có thể tra cứu trong các quyển sách về giải tích
lồi của Zalinescu, R. I. Bot, D. T. Luc, H.H. Bauschke và P.L. Combettes
Cho X và Y là các không gian tôpô lồi địa phương. X
∗
và Y
∗
là không gian
đối ngẫu (tương ứng), được trang bị tôpô yếu
∗
. Hàm chỉ trên tập A ⊂ X (hoặc
A ⊂ Y ), i
A
, được định bởi: i

A
(x) := 0 nếu x ∈ A và i
A
(x) := +∞ nếu x /∈ A.
Hàm đối ngẫu của f : X → R ∪ {+∞} là hàm f
∗
: X
∗
→ R ∪ {±∞} được định
bởi
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈X
{x
∗
, x − f (x)} , ∀x
∗
∈ X
∗
.
Tập trên đồ thị của f là
epi f := {(x, r) ∈ X × R : x ∈ domf, f(x) ≤ r}.
Tập tất cả các hàm lồi chân chính nửa liên tục dưới xác định trên X được ký
hiệu bởi Γ (X) .
Với  ≥ 0, -dưới vi phân của hàm chân chính f tại ¯x ∈ dom f được định bởi
∂


f(¯x) = {x
∗
∈ X
∗
| f(x) − f(¯x) ≥ x
∗
, x − ¯x −  ∀x ∈ dom f}.
Cho K là nón trong Y , K
+
kí hiệu nón đối ngẫu của K, định bởi
K
+
:= {y
∗
∈ Y
∗
| y
∗
, y ≥ 0 với mọi y ∈ K}.
Chúng tôi định nghĩa ≤
K
là quan hệ thứ tự trên Y bởi nón lồi K chứa
0
Y
∈ Y , nghĩa là,
y
1
≤
K
y

2
nếu y
2
− y
1
∈ K.
Chúng tôi thêm vào Y một phần tử lớn nhất theo quan hệ ≤
K
, kí hiệu ∞
K
,
phần tử này không thuộc Y và đặt Y
•
= Y ∪ {∞
K
}. Khi đó ta có y ≤
K
∞
K
for every y ∈ Y
•
.
Một ánh xạ h : X → Y
•
, chúng tôi gọi miền xác định của h là tập dom h =
{x ∈ X : h(x) ∈ Y }, và h là chân chính nếu dom h = ∅. K-epigraph của h là
tập
epi
K
h := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ h(x) + K}.

Hơn nữa, với bất kỳ y
∗
∈ Y
∗
và h : X → Y
•
chúng ta định nghĩa hàm hợp
y
∗
◦ h : X → R ∪ {+∞} như sau:
(y
∗
◦ h)(x) =

y
∗
, h(x) , nếu x ∈ domh,
+∞, khác.
4
Định nghĩa 1.0.1 Ánh xạ h : X → Y
•
được gọi là K-lồi nếu
x
1
, x
2
∈ X, µ ∈ [0, 1] ⇒ h((1 − µ)x
1
+ µx
2

) ≤
K
(1 − µ)h(x
1
) + µh(x
2
),
trong đó ≤
K
là quan hệ mở rộng trên Y
•
bởi quy ước y ≤
K
∞
K
với mọi y ∈ Y
•
.
Rõ ràng h là K-lồi nếu và chỉ nếu epi
K
h là tập lồi.
Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ h : X → Y
•
được gọi là K-epi closed nếu epi
K
h là
tập đóng trong không gian tích.
Định nghĩa 1.0.3 S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính (mở rộng) nếu
y
1

, y
2
∈ Y ⇒ S(y
1
+ y
2
) ≤ S(y
1
) + S(y
2
), (a)
và
y ∈ Y và α > 0 ⇒ S(αy) = αS(y). (b)
Chúng tôi giả sử S(0
Y
) = 0 (quy ước này phù hợp với S là nửa liên tục dưới).
Hàm S như thế có thể mở rộng trên Y
•
bởi quy ước S(∞
K
) = +∞. Một hàm
dưới tuyến tính mở rộng S : Y → R ∪ {+∞} cho phép ta giới thiệu một quan
hệ hai ngôi trong Y
•
:
y
1
≤
S
y

2
nếu S(y
1
− y
2
) ≤ 0.
Định nghĩa 1.0.4 Ánh xạ h : X →Y
•
được gọi là S-lồi (mở rộng) nếu với
mọi x
1
, x
2
∈ X, µ
1
, µ
2
> 0, µ
1
+ µ
2
= 1, ta có
h(µ
1
x
1
+ µ
2
x
2

) ≤
S
µ
1
h(x
1
) + µ
2
h(x
2
).
Dễ dàng thấy rằng nếu h là S-lồi thì h là K-lồi với K := {y ∈ Y : S(−y) ≤
0}. Ngược lại, nếu h là K-lồi với K là nón lồi thì h là S-lồi với S = i
−K
.
Định nghĩa 1.0.5 Cho (a
i
)
i∈I
là lưới các số thực mở rộng xác định trên tập
định hướng (I, ). Chúng ta định nghĩa giới hạn dưới của một lưới (a
i
)
i∈I
là
lim inf
i∈I
a
i
:= lim

i∈I
inf
ji
a
j
= sup
i∈I
inf
ji
a
j
.
Tương tự, ta định nghĩa giới hạn trên của một lưới (a
i
)
i∈I
là
lim sup
i∈I
a
i
:= lim
i∈I
sup
ji
a
j
= inf
i∈I
sup

ji
a
j
.
Ta nói rằng (a
i
)
i∈I
hội tụ đến a ∈ R, kí hiệu lim
i∈I
a
i
= a hoặc a
i
−→ a, nếu với
bất kì  > 0, tồn tại i
0
∈ I sao cho |a
i
− a| <  với mọi i  i
0
.
Bây giờ lấy (u
∗
i
)
i∈I
là lưới trong không gian tôpô X
∗
. Ta nói rằng (u

∗
i
)
i∈I
hội
tụ về u
∗
∈ X
∗
theo tôpô w
∗
nếu
lim
i∈I
u
∗
i
, x = u
∗
, x for all x ∈ X, và viết u
∗
i
−→
∗
u
∗
.
5
Chương 2
KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ LIÊN QUAN HÀM HỢP

Trong chương này, chúng tôi đưa ra những điều kiện liên quan đến bất đẳng
thức
f(x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1)
Khi đó những điều kiện này chính là điều kiện cần và đủ cho những kết quả
dạng Farkas liên quan đến (1) không có giả thiết lồi và nửa liên tục dưới. Những
kết quả này mở rộng và bao gồm nhiều kết quả dạng Farkas trước đây. Hơn nữa
chúng được áp dụng vào giải tích lồi và tối ưu: định lý dạng thay thế, các đặc
trưng của tập bao hàm và công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar.
2.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu và mối liên hệ của chúng
Trong phần này chúng tôi giới thiệu mối liên hệ giữa các điều kiện đối ngẫu
thuần túy đại số .
2.1.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu thuần túy đại số
Cho X, Y là các không gian vectơ tôpô lồi Hausdorff (k.g.v.t.l.H) với X
∗
, Y
∗
là các không gian đối ngẫu tương ứng, f, g, h : X → R ∪ {+∞} là các hàm chân
chính, H : dom H ⊂ X → Y là ánh xạ, và k : Y → R ∪ {+∞} là hàm chân
chính. Chú ý các hàm không nhất thiết lồi và cũng không nửa liên tục dưới.
Bây giờ chúng tôi giới thiệu các điều kiện sau:
(CA) epi f
∗
+ epi g
∗
+

λ∈dom k
∗
epi(λH − k
∗

(λ))
∗
= epi(f + g + k ◦ H)
∗
,
(CB) epi f
∗
+

λ∈dom k
∗
epi(g + λH − k
∗
(λ))
∗
= epi(f + g + k ◦ H)
∗
,
(CC) epi(f + g)
∗
+

λ∈dom k
∗
epi(λH − k
∗
(λ))
∗
= epi(f + g + k ◦ H)
∗

,
(CD) epi g
∗
+

λ∈dom k
∗
epi(f + λH − k
∗
(λ))
∗
= epi(f + g + k ◦ H)
∗
,
(CE)

λ∈dom k
∗
epi(f + g + λH − k
∗
(λ))
∗
= epi(f + g + k ◦ H)
∗
,
(CF) epi f
∗
+ epi(g + k ◦ H)
∗
= epi(f + g + k ◦ H)

∗
.
6
Sau đây là mối liên hệ giữa các điều kiện trên.
Định lý 2.1.1 Các phép kéo theo sau đây xảy ra:
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✥
✥
✓
✓
❛
❛
✦
✦
❩
❩
❩
❩
❩

❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❵
❵
❙
❙
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✦
✦
✔

✔
(CA) (CC)
(CB)
(CD)
(CF)
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❵
❵
❙
❙
❛
❛
✦
✦
✚
✚
✚
✚
✚

✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✥
✥
✓
✓
✓
✓
❏
❏
(CE)
Với (A) =⇒ (B) nghĩa là (A) suy ra (B).
2.1.2 Các điều kiện chính quy đối ngẫu với tính lồi
Bây giờ giả sử f, g ∈ Γ(X), k ∈ Γ(Y ), λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ dom k
∗
, và
dom(f + g + k ◦ H) = ∅. Khi đó ta được
Mệnh đề 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương:
(i) epi (f + g + k ◦ H)
∗
= C nếu và chỉ nếu C là đóng yếu
∗
,
(ii) epi (f + g + k ◦ H)
∗

= D nếu và chỉ nếu D là đóng yếu
∗
,
(iii) epi (f + g + k ◦ H)
∗
= E nếu và chỉ nếu E là đóng yếu
∗
,
(iv) epi (f + g + k ◦ H)
∗
= F nếu và chỉ nếu F là đóng yếu
∗
.
2.2 Các đặc trưng của điều kiện chính quy đối ngẫu– Kết quả
Moreau-Rockafellar tổng quát
Sau đây chúng tôi thiết lập đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF). Các đặc
trưng này chính là các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát. Các kết quả này
mở rộng và bao gồm các kết quả đối ngẫu Fenchel, định lý Moreau-Rockafellar.
2.2.1 Điều kiện chính quy đối ngẫu đặc trưng kết quả Moreau-Rockafellar
tổng quát
Giả sử rằng f, g, k, λH (λ ∈ Y
∗
) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi
và nửa liên tục dưới và dom(f + g + k ◦ H) = ∅.
Định lý 2.2.1 Các mệnh đề sau đây tương đương:
7
(a) (CA) xảy ra,
(b) Với mọi x
∗
∈ X

∗
,
(f + g + k ◦ H)
∗
(x
∗
)
= min
λ∈dom k
∗
u∈dom f
∗
, v∈dom g
∗

f
∗
(u) + g
∗
(v) + (λH)
∗
(x
∗
− u − v) + k
∗
(λ)

,
(c) Với mọi ¯x ∈ dom(f + g + k ◦ H) và mọi  ≥ 0,
∂


(f + g + k ◦ H)(¯x)
=

λ∈dom k
∗


1
,
2
,
3
≥0

1
+
2
+
3
+k
∗
(λ)+(k◦H)(¯x)=+(λH)(¯x)

∂

1
f(¯x) + ∂

2

g(¯x) + ∂

3
(λH)(¯x)

.
Các đặc trưng cho (CB), (CC), (CD), (CE) và (CF) được thiết lập tương tự.
2.2.2 Các trường hợp đặc biệt
Các đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF) có thể mở rộng các kết quả trước
đây. Trường hợp đặc biệt với H = A ∈ L(X, Y ), trong đó L(X, Y ) là tập tất cả
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . Khi đó ta nhận được kết quả mà đã
được thiết lập trong quyển sách của R. I. Bot (2010) và bài báo của R. I. Bot,
S. M. Grad and G. Wanka (2008) với giả thiết f lồi nửa liên tục dưới, k là lồi
nửa liên tục dưới và K-tăng. Các kết quả ở đây chúng tôi không sử dung các giả
thiết vừa nêu.
Kí hiệu A
∗
là toán tử đối ngẫu của A và (A
∗
× Id
R
)(epi k
∗
) là tập ảnh của
epi k
∗
qua hàm A
∗
×Id
R

: Y
∗
×R −→ X
∗
×R, được định bởi (A
∗
×Id
R
)(y
∗
, r) =
(A
∗
y
∗
, r).
Hệ quả 2.2.2. Giả sử A ∈ L(X, Y ). Giả sử rằng
epi (f + k ◦ A)
∗
= epi f
∗
+ (A
∗
× Id
R
)(epi k
∗
). (2)
Khi đó
(a) Với mọi x

∗
∈ dom(f + k ◦ A)
∗
,
(f + k ◦ A)
∗
(x
∗
) = min
λ∈domk
∗
[k
∗
(λ) + f
∗
(x
∗
− A
∗
λ)],
(b) Nếu thêm, f ∈ Γ(X) và k ∈ Γ(Y ) thì với mỗi ¯x ∈ dom f ∩ A
−1
(dom k),
∂(f + k ◦ A)(¯x) = ∂f(¯x) + A
∗
∂k(A¯x).
8
2.3 Các kết quả dạng Farkas không lồi
Sau đây là các kết quả chính trong chương này – các kết quả dạng Farkas
mở rộng cho hàm hợp không có lồi và không có giả thiết tôpô. Hơn nữa nó được

thiết lập với điều kiện yếu nhất – điều kiện cần và đủ.
2.3.1 Các kết quả dạng Farkas không lồi
Giả sử rằng f, g, k, và λH (λ ∈ Y
∗
) là các hàm chân chính không nhất thiết
lồi và nửa liên tục. Giả sử thêm f +g + k ◦H là hàm chân chính. Đầu tiên chúng
tôi giới thiệu điều kiện đủ cho các kết quả dạng Farkas (hay các đặc trưng của
bất đẳng thức (1)).
Định lý 2.3.1. Giả sử (CA) xảy ra và h ∈ Γ(X). Khi đó các mệnh đề sau tương
đương:
(I) f(x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X;
(II) Với mọi x
∗
∈ X
∗
, tồn tại λ ∈ dom k
∗
, u ∈ dom f
∗
, v ∈ dom g
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ f
∗
(u) + g
∗

(v) + (λH)
∗
(x
∗
− u − v) + k
∗
(λ);
(III) Với mọi x
∗
∈ X
∗
, tồn tại λ ∈ dom k
∗
, u ∈ dom f
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ f
∗
(u) + (g + λH)
∗
(x
∗
− u) + k
∗
(λ);
(IV) Với mọi x

∗
∈ X
∗
, tồn tại λ ∈ dom k
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ (f + g + λH)
∗
(x
∗
) + k
∗
(λ);
(V) Với mọi x
∗
∈ X
∗
, tồn tại λ ∈ dom k
∗
, u ∈ dom g
∗
sao cho
h
∗
(x
∗

) ≥ g
∗
(u) + (f + λH)
∗
(x
∗
− u) + k
∗
(λ);
(VI) Với mọi x
∗
∈ X
∗
, tồn tại λ ∈ dom k
∗
, u ∈ dom(f + g)
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ (f + g)
∗
(u) + (λH)
∗
(x
∗
− u) + k
∗

(λ);
(VII) Với mọi x
∗
∈ X
∗
, tồn tại u ∈ dom f
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ f
∗
(u) + (g + k ◦ H)
∗
(x
∗
− u).
9
Chú ý 2.3.1. Chú ý một trong số các cặp tương đương giữa (I) với một trong
số (II)–(VII), là một đặc trưng của (1) hay là một kết quả dạng Farkas. Do đó
Định lý 2.3.1 bao gồm 6 dạng kết quả Farkas cho hệ bất đẳng thức (1). Mặc dù
định lý này chỉ cho điều kiện đủ nhưng nó mở rộng và bao gồm các kết quả dạng
Farkas trước đây.
Bây giờ chúng tôi giới thiệu điều kiện cần và đủ cho các kết quả dạng Farkas.
Định lý 2.3.2. Các khẳng định sau đúng:
(i)

(CA) xảy ra


⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (II)],
(ii)

(CB) xảy ra

⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (III)],
(iii)

(CC) xảy ra

⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VI)],
(iv)

(CD) xảy ra

⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (V)],
(v)

(CE) xảy ra

⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (IV)],
(vi)

(CF) xảy ra

⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VII)].
Chú ý 2.3.2 Các đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong Định lý 2.3.2
rất tổng quát. Nó có thể suy ra các kết quả mới, mở rộng và chứa nhiều kết quả
dạng Farkas liên quan hàm lồi và hàm DC. Hơn nữa các kết quả (i) và (ii) đã

được giới thiệu trong bài báo của N. Dinh, G. Vallet và M. Volle (JOGO, 2014).
2.3.2 Các trường hợp đặc biệt
Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt. Chúng tôi nhận được các kết quả
mới, mở rộng cho trường hợp lồi và không lồi.
h là hàm affine
Lấy h là hàm affine, h(·) = x
∗
, · + α với α ∈ R và x
∗
∈ X
∗
, bởi Định lý
2.3.2, ta có
Mệnh đề 2.3.1 Cho C là tập con khác rỗng của X. Khi đó các mệnh đề sau
tương đương:
(a) epi (g + i
C
+ k ◦ H)
∗
=

λ∈domk
∗
epi (g + i
C
+ λH − k
∗
(λ))
∗
;

(b) Với mọi α ∈ R và bất kỳ x
∗
∈ X
∗
,

g(x)+(k◦H)(x) ≥ x
∗
, x+α ∀x ∈ C

⇐⇒

∃λ ∈ dom k
∗
∀x ∈ C
g(x) + (λH)(x) ≥ x
∗
, x + α + k
∗
(λ).
10
Đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong trường hợp lồi
Bây giờ giả sử C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, K là nón lồi đóng
trong Y , f ∈ Γ(X) và H là K-convex. Giả sử thêm λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K
+
và C ∩ H
−1
(−K) = ∅. Kết quả sau đây là hệ quả của Định lý 2.3.2.
Hệ quả 2.3.2 Mệnh đề (a) và (b) tương đương:
(a)


λ∈K
+
epi (f + i
C
+ λH)
∗
đóng yếu
∗
;
(b) Với bất kỳ h ∈ Γ(X), các khẳng định sau tương đương:
(i) H(x) ∈ −K, x ∈ C =⇒ f(x) ≥ h(x);
(ii) ∀x
∗
∈ domh
∗
, ∃λ ∈ K
+
, f(x) + λH(x) ≥ x
∗
, x − h
∗
(x
∗
) ∀x ∈ C.
2.4 Các áp dụng
2.4.1 Định lý dạng thay thế
Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.3.2 và các hệ quả của nó để
suy ra các định lý dạng thay thế. Chúng tôi bắt đầu với việc áp dụng Định lý
2.3.2 (iii). Chú ý rằng mỗi mục trong định lý này cho một định lý dạng thay thế

không có tính lồi và cũng không có tính nửa liên tục dưới. Chú ý rằng kết quả
dạng thay thế trong Định lý 2.4.1 dưới đây được cho với điều kiện cần và đủ.
Định lý 2.4.1
Cho f, g : X → R ∪ {+∞}, k : Y → R ∪ {+∞} là các hàm chân chính và
H : dom H ⊂ X → Y sao cho f + g + k ◦ H là chân chính. Khi đó, epi (f + g +
k ◦ H)
∗
= C nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một và chỉ một trong hai mệnh
đề sau đây là đúng:
(i) ∃x ∈ X, f(x) + g(x) + k[H(x)] < h(x);
(ii) Với mọi x
∗
∈ domh
∗
, tồn tại λ ∈ domk
∗
, u ∈ dom (f + g)
∗
sao cho
h
∗
(x
∗
) ≥ (f + g)
∗
(u) + (λH)
∗
(x
∗
− u) + k

∗
(λ).
Bây giờ ta xét một kết quả dạng thay thế là hệ quả của Hệ quả 2.3.2 trong
trường hợp có giả thiết về tính lồi.
Hệ quả 2.4.2 Cho C là tập con lồi đóng của X, K là nón lồi đóng trong Y , cho
f ∈ Γ(X). Giả sử λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K
+
và C ∩ H
−1
(−K) = ∅. Khi đó

λ∈K
+
epi (f + i
C
+ λH)
∗
là đóng yếu
∗
nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một
và chỉ một trong hai mệnh đề sau đây là đúng:
(i) H(x) ∈ −K, x ∈ C and f(x) < h(x),
11
(ii) ∀x
∗
∈ domh
∗
, ∃λ ∈ K
+
sao cho

f(x) + λH(x) ≥ x
∗
, x − h
∗
(x
∗
) ∀x ∈ C.
2.4.2 Tập bao hàm
Định lý 2.3.2 cũng có thể suy ra các đặc trưng cho các kết quả tập bao hàm
trong những trường hợp tổng quát. Như những ví dụ minh họa, chúng tôi chỉ
xét một vài kết quả trong tập lồi ngược và tập DC.
Giả sử C ⊂ X là tập lồi đóng, f ∈ Γ(X), và H : dom H → Y là ánh xạ
K-lồi, trong đó K ⊂ Y là nón lồi đóng. Cho g = i
C
(do đó, g ∈ Γ(X)). Lấy
[H ≤
K
0], [f ≥ h] ký hiệu cho {x ∈ X | H(x) ∈ −K} và {x ∈ X | f(x) ≥ h(x)},
tương ứng. Khi đó với mọi h ∈ Γ(X), bất đẳng thức
f + i
C
+ i
−K
◦ H ≥ h
chính là
C ∩ [H ≤
K
0] ⊂ [f ≥ h],
biểu thức này chính là tập bao hàm của tập lồi trong tập DC. Trong trường hợp
h ≡ 0, nó trở thành tập bao hàm của tập lồi nghịch đảo

C ∩ [H ≤
K
0] ⊂ [f ≥ 0].
Giả sử C ∩ [H ≤
K
0] = ∅. Kết quả sau được suy ra từ Hệ quả 2.3.2:
Hệ quả 2.4.4 Tập

λ∈K
+
epi (f + i
C
+ λH)
∗
là đóng yếu
∗
nếu và chỉ nếu với
mọi h ∈ Γ(X) các mệnh đề sau đây tương đương:
(i) C ∩ [H ≤
K
0] ⊂ [f ≥ h];
(ii) ∀x
∗
∈ domh
∗
, ∃λ ∈ K
+
,
f(x) + λH(x) ≥ x
∗

, x − h
∗
(x
∗
) ∀x ∈ C.
2.4.3 Công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar
Bây giờ xét trường hợp f và k là các hàm chân chính, g ≡ 0, h ≡ 0, và
H = A ∈ L(X, Y ), với L(X, Y ) kí hiệu tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục
từ X tới Y . Giả sử dom(f + k ◦ A) = ∅. A
∗
là toán tử liên hợp của A.
(FR) inf
x∈X
{f(x) + k(A(x))}.
Như hệ quả của Định lý 2.3.2, chúng tôi nhận được đối ngẫu mạnh của bài toán
(FR)
12
Mệnh đề 2.4.1[Đối ngẫu Fenchel-Rockafellar] Giả sử inf(F R) ∈ R. Nếu
điều kiện sau đây xảy ra:
epi (f + k ◦ A)
∗
= epi f
∗
+ (A
∗
× Id
R
)(epi k
∗
)

thì
inf
x∈X
{f(x) + k(A(x))} = max
y
∗
∈Y
∗
{−f
∗
(A
∗
y
∗
) − k
∗
(−y
∗
)}.
Chú ý rằng nếu ta đặt Y = X và A = Id
X
thì điều kiện (2) trở thành
epi (f + k)
∗
= epi f
∗
+ epik
∗
và kết luận của Mệnh đề 2.4.1 trở thành
inf

x∈X
{f(x) + k(x)} = max
y
∗
∈X
∗
{−f
∗
(y
∗
) − k
∗
(−y
∗
)},
kết quả này chính là Định lý Fenchel cho trường hợp không lồi.
Chương 3
NHỮNG DẠNG MỚI CỦA BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ
HAHN-BANACH DƯỚI ĐIỀU KIỆN DẠNG SLATER
Trong chương này chúng tôi giới thiệu các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ
lồi theo nón và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng với điều kiện Slater không
có tính nửa liên tục dưới của hàm liên quan và tính đóng của tập ràng buộc. Từ
đó suy ra các dạng mở rộng của định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính
mở rộng (trường hợp này định lý Hahn-Banach không đúng xem quyển sách của
S.Simons (2007)), định lý Hahn-Banach-Lagrange, định lý sandwich và định lý
Mazur-Orlicz. Hơn nữa kết quả trên có thể áp dụng vào lớp bài toán tối ưu cho
hàm hợp liên quan đến S-lồi. Khi đó chúng tôi nhận được các kết quả như: công
thức đối ngẫu của supremum họ các hàm lồi (có thể vô hạn, không nửa liên tục
dưới), định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát, định lý tách hai tập lồi, và các kết
quả về đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho bài toán penalty.

3.1 Những dạng mới của Bổ đề Farkas dưới điều kiện dạng Slater
3.1.1 Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón
Bây giờ chúng tôi giới thiệu Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón với điều kiện
Slater. Kết quả này mới theo nghĩa không có tính nửa liên tục dưới của các hàm
và tính đóng của tập ràng buộc. Nó mở rộng kết quả trong quyển sách của R.
Holmes (1975).
Định lý 3.1.1 [Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi] Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập
con lồi khác rỗng của X, K là nón lồi đóng trong Y , f : X → R ∪{+∞} là hàm
13
lồi chân chính, g : X → Y
•
là ánh xạ K-lồi, và β ∈ R. Giả sử điều kiện Slater
sau đây xảy ra:
(SC1) ∃¯x ∈ (domf) ∩ C sao cho g(¯x) ∈ −int K.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) x ∈ C, g(x) ∈ −K =⇒ f(x) ≥ β,
(ii) tồn tại y
∗
∈ K
+
sao cho
f + y
∗
◦ g ≥ β trên C.
Chú ý 3.1.1 Kết quả dạng Farkas trên (i.e., sự tương đương giữa (i) và (ii) trong
Định lý 3.1.1) đã được chứng minh trong những bài báo N. Dinh và V. Jeyakumar
(Top,2014) và các tài liệu khác dưới các điều kiện ràng buộc khác chẳng hạn điều
kiện tính đóng trong N. Dinh, M.A. Goberna, M. A. Lopez và T.H. Mo (SIAM J.
Optim., 2014), N. Dinh, G. Vallet và T. T. A. Nghia (J. Convex Anal., 2008).
Tuy nhiên, những kết quả này luôn phải cần giả thiết về tính đóng của C, tính

nửa liên tục dưới của f và y
∗
◦ g với mọi y
∗
∈ K
+
. Định lý 3.1.1 sử dụng điều
kiện mạnh hơn các điều kiện tính đóng nên không cần sử dụng các giả thiết vừa
đề cập ở trên.
3.1.2 Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng
Chúng tôi sử dụng kỹ thuật trong bài báo của N. Dinh, M.A. Goberna, M.
A. Lopez và T.H. Mo (SIAM J. Optim., 2014) để nhận được dạng mới của Bổ
đề Farkas cho hệ S-lồi. Dạng mới này có thể được xem như phần tiếp theo của
Định lý 3.4 trong bài báo trên. Ở đây chúng tôi không dùng giả thiết về tính
đóng và tính nửa liên tục nhưng sử dụng điều kiện chính quy dạng Slater, điều
kiện này mạnh hơn điều kiện về tính đóng trong bài báo vừa đề cập.
Định lý 3.1.2
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng của X, S : Y → R ∪{+∞}
là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y
•
là ánh xạ S-lồi, f : X →
R ∪ {+∞} và ψ : R → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử điều kiện
dạng Slater xảy ra:
(SC2) ∃¯a ∈ C ∩ (domf), ∃¯α ∈ R sao cho (¯α, +∞) ∩ (domψ) = ∅
và g(¯a) ∈ int{y ∈ Y : S(y) ≤ ¯α}.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(a) x ∈ C, α ∈ R, (S ◦ g)(x) ≤ α =⇒ f(x) + ψ(α) ≥ 0,
14
(b) tồn tại γ ≥ 0 và y
∗

∈ Y
∗
sao cho y
∗
≤ γS trên Y và
f + y
∗
◦ g ≥ ψ
∗
(γ) trên C.
3.2 Những dạng mới của Định lý Hahn-Banach dưới điều kiện
dạng Slater
Trong phần này chúng tôi trình bày dạng tổng quát của Định lý Hahn-
Banach-Lagrange, đã được giới thiệu bởi S. Simons, dưới điều kiện dạng Slater
nhưng không có tính đóng và nửa liên tục dưới của các hàm và tập ràng buộc. Kết
quả này sẽ mở rộng các định lý cơ bản: Định lý sandwich, Định lý Mazur-Orlicz,
và Định lý Hahn-Banach.
3.2.1 Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng
Giả sử X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng (không nhất thiết đóng)
của X. Như hệ quả của Định lý 3.1.2, chúng tôi nhận được
Định lý 3.2.1[Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng] Cho S : Y →
R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y
•
là ánh xạ S-lồi,
f : X → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử điều kiện sau xảy ra:
(SC3) ∃¯a ∈ C ∩ (dom f), ∃¯α ∈ R s.t. g(¯a) ∈ int{y ∈ Y : S(y) ≤ ¯α}.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) inf
C


f + S ◦ g

∈ R,
(ii) tồn tại y
∗
∈ Y
∗
sao cho y
∗
≤ S trên Y và
inf
C

f + y
∗
◦ g

= inf
C

f + S ◦ g

∈ R.
3.2.2 Các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach, Định lý sandwich
và Định lý Mazur-Orlicz
Chúng ta biết rằng Định lý Hahn-Banach không còn đúng khi hàm dưới
tuyến tính nhận giá trị vô cùng. Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng, Định
lý 3.2.1, có thể mở rộng Định lý Hahn-Banach trong trường hợp hàm dưới tuyến
tính nhận giá trị vô cùng dưới điều kiện dạng điểm trong.
Hệ quả 3.2.2 [Định lý Hahn-Banach mở rộng] Cho X là k.g.v.t.l.H, S :

X → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục function, M là không gian
con của X, φ : M → R tuyến tính thỏa φ ≤ S trên M . Giả sử điều kiện sau xảy
ra:
∃¯α ∈ R : M ∩ int{x ∈ X : S(x) ≤ ¯α} = ∅.
Khi đó tồn tại L ∈ X
∗
sao cho L ≤ S trên X và L|
M
= φ, trong đó L|
M
là thu
hẹp của L trên M.
15
Hơn nữa Định lý 3.2.1 có thể mở rộng Định lý sandwich và Định lý Mazur-
Orlicz cho trường hợp hàm dưới tuyến tính nhận giá trị vô cùng (vì bản tóm tắt
hạn chế số trang nên không trình bày ở đây).
3.2.3 Sự tương đương giữa các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý
Hahn-Banach-Lagrange mở rộng
Chúng tôi khẳng định rằng các Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 và Định lý 3.2.1
tương đương nhau.
3.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu lồi theo hàm dưới tuyến tính
Bây giờ chúng tôi áp dụng dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ S-lồi vào lớp
bài toán tối ưu liên quan đến hàm hợp và ánh xạ S-lồi. Lớp bài toán này bao
gồm nhiều bài toán như: bài toán best approximate, bài toán penalty, bài toán
đưa đến dạng tổng quát của đối ngẫu Fenchel, định lý tách hai tập lồi và công
thức đối ngẫu cho supremum cua họ các hàm lồi chân chính (có thể vô hạn và
không nhất thiết nửa liên tục dưới).
3.3.1 Bài toán tối ưu tổng quát lồi theo hàm dưới tuyến tính
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng của X, S : Y → R∪{+∞}
là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y

•
là ánh xạ S-lồi, f : X →
R ∪ {+∞} và ψ : R → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử tồn tại
x ∈ C ∩ (dom f) và α ∈ domψ sao cho (S ◦ g)(x) ≤ α.
Xét hai bài toán tối ưu có dạng sau:
(PS1) inf
(x,α)
[f(x) + ψ(α)]
s.t. (S ◦ g)(x) ≤ α,
x ∈ C, α ∈ domψ.
(PS2) inf
x∈C∩(g
−1
(domS))
[f(x) + ψ((S ◦ g)(x))].
Nhận thấy rằng lớp bài toán (PS1) chứa nhiều bài toán khác nhau dựa vào
việc chọn hàm S và ánh xạ g. Hơn nữa, lớp bài toán (PS2) bao gồm nhiều bài
toán đã biết như: bài toán best approximate, bài toán penalty, bài toán đưa đến
dạng tổng quát của đối ngẫu Fenchel, điểm Fenchel-Moreau, tách hai tập lồi và
công thức đối ngẫu cho supremum cua họ các hàm lồi chân chính (có thể vô hạn
và không nhất thiết nửa liên tục dưới).
Bài toán đối ngẫu (DPS) của (PS1) được định nghĩa:
(DPS) sup
y
∗
∈Y
∗
, y
∗
≤γS

γ≥0
inf
x∈C
{f(x) + (y
∗
◦ g)(x) − ψ
∗
(γ)} .
16
Nhắc lại rằng trong trường hợp bài toán (DPS) có ít nhất một nghiệm, chúng
tôi viết max (DSP) là giá trị của (DPS) thay vì sup (DPS).
Định lý 3.3.1 (Đối ngẫu mạnh cho (PS1)) Nếu (SC2) được thỏa mãn, thì
đối ngẫu mạnh xảy ra cho (PS1), i.e., inf (PS1) = max (DPS).
Hệ quả 3.3.1 Giả sử (SC2) xảy ra và ψ là hàm không giảm trên

a∈C
[(S ◦
g)(a), +∞

. Khi đó inf (PS2) = inf (PS1) = max (DSP).
3.3.2 Một trường hợp đặc biệt - Bài toán penalty trong quy hoạch lồi
Các kết quả ở phần trước có thể được áp dụng để nhận các kết quả đối ngẫu
và điều kiện tối ưu cho bài toán penalty. Tuy nhiên vì tính ngắn gọn của bản
tóm tắt nên các kết quả này không trình bày.
3.3.3 Định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách
Gần đây S. Simons đã sử dụng kết quả mới gọi là Định lý Hahn-Banach-
Lagrange để chứng minh dạng tổng quát của Định lý đối ngẫu Fenchel trong
trường hợp không có giả thiết nửa liên tục dưới. Kết quả này thôi thúc chúng tôi
nghiên cứu lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi. Kết quả đối ngẫu mạnh
của bài toán này có thể suy ra dạng tổng quát của Định lý đối ngẫu Fenchel với

hàm dưới tuyến tính mở rộng. Từ đây chúng tôi suy ra định lý tách hai tập lồi
trong không gian định chuẩn.
Cho E là k.g.v.t.l.H, với không gian đối ngẫu E
∗
, D và F là hai tập con
lồi khác rỗng của E, S : E → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính mở rộng
nửa liên tục dưới, và h, k : E → R ∪ {+∞} là hàm lồi chân chính. Giả sử
(domh − domk) ∩ domS = ∅.
Định lý 3.3.5 (Định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát) Giả sử điều kiện sau
xảy ra:
(SC3) ∃¯a ∈ D ∩ (dom h), ∃
¯
b ∈ F ∩ (dom k) và ∃¯α ∈ R sao cho
¯a −
¯
b ∈ int{v ∈ E : S(v) ≤ ¯α}.
Nếu inf
x∈D
y∈F

h(x) + k(y) + S(x − y)

∈ R thì
inf
x∈D
y∈F

h(x) + k(y) + S(x − y)

= max

z
∗
∈E
∗
z
∗
≤S
{−(h + i
D
)
∗
(−z
∗
) − (k + i
F
)
∗
(z
∗
)} .
Hệ quả 3.3.8 Cho D và F là hai tập con lồi khác rỗng của không gian định
chuẩn (E, .). Khi đó

∃¯z
∗
∈ E
∗
: ¯z
∗


E
∗
≤ 1 và sup
z∈F
¯z
∗
, z < inf
z∈D
¯z
∗
, z

⇐⇒ 0
E
/∈ cl(D − F ).
17
3.3.4 Công thức đối ngẫu cho supremum của họ các hàm lồi
Cho X là k.g.v.t.l.H và T là tập chỉ số tùy ý (có thể vô hạn). Công thức đối
ngẫu của hàm supremum sup
t∈T
g
t
được suy ra từ Hệ quả 3.3.1.
Mệnh đề 3.3.1 Cho g
t
: X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chân chính (không nhất
thiết nửa liên tục dưới) với mọi t ∈ T . Giả sử điều kiện sau xảy ra:
∃¯x ∈ X, ∃¯α ∈ R : (g
t
(¯x))

t∈T
∈ int

(y
t
)
t∈T
∈ R
T
: sup
t∈T
y
t
≤ ¯α

. (3)
Khi đó với bất kỳ x
∗
∈ X
∗
thỏa

sup
t∈T
g
t

∗
(x
∗

) ∈ R, ta có

sup
t∈T
g
t

∗
(x
∗
) = min
(λ
t
)
t∈T
∈R
(T )
+

t∈T
λ
t
=1


t∈T
λ
t
g
t


∗
(x
∗
).
Chương 4
TỪ BỔ ĐỀ FARKAS ĐẾN ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các dạng mới của Bổ đề Farkas và
các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach-Lagrange dưới điều kiện yếu nhất
(điều kiện tính đóng). Các dạng này tương đương với nhau. Hơn nữa, các kết
quả có thể suy ra các dạng giải tích và đại số của Định lý Hahn-Banach, Định
lý Mazur-Orlicz và Định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng.
4.1 Đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas mở rộng cho hệ lồi theo nón
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, K ⊂ Y là
nón lồi, g : X → Y
•
là ánh xạ K-lồi và K-epi closed, and f ∈ Γ(X). Giả sử
dom f ∩ C ∩ g
−1
(−K) = ∅.
Định lý 4.1.1[Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi] Các mệnh đề sau tương đương:
(a
1
) C đóng theo {0
X
∗
} × R.
(b
1
) Với bất kỳ β ∈ R,


x ∈ C, g(x) ∈ −K ⇒ f(x) ≥ β


∃y
∗
∈ K
+
sao cho f + y
∗
◦ g ≥ β trên C.
18
Tương tự ta cũng nhận được tính ổn định Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi.
4.2 Đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas mở rộng cho hệ lồi theo hàm dưới
tuyến tính
Tiếp theo chúng tôi sẽ chuyển các đặc trưng của Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi,
Định lý 4.1.1, thành đặc trưng của Bổ đề Farkas cho hệ S-lồi dưới điều kiện yếu
nhất.
Định lý 4.2.1 [Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính] Cho
X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, S : Y → R ∪ {+∞}
là hàm dưới tuyến tính mở rộng nửa liên tục dưới, và g : X → Y
•
là S-lồi sao
cho
{(x, y, λ) ∈ X × Y × R : S(g(x) − y) ≤ λ} (4)
là tập đóng trong X × Y × R. Lấy f ∈ Γ(X) và ψ ∈ Γ(R) (ψ không phải hàm
hằng). Giả sử tồn tại ¯x ∈ C ∩ dom f và ¯α ∈ dom ψ sao cho
(S ◦ g)(¯x) ≤ ¯α.
Hơn nữa đặt
D := {(0

X
∗
, γ, r) : (γ, r) ∈ epi ψ
∗
}
và
E :=

y
∗
∈Y
∗
,µ≥0
y
∗
≤µS
{(u
∗
, −µ, r) : (u
∗
, r) ∈ epi(f + y
∗
◦ g + i
C
)
∗
} .
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(a
2

) D + E đóng theo {0
X
∗
} × {0} × R.
(b
2
) Với bất kỳ β ∈ R,

x ∈ C, α ∈ R, (S ◦ g)(x) ≤ α ⇒ f(x) + ψ(α) ≥ β



∃µ ≥ 0 và y
∗
∈ Y
∗
sao cho µ ∈ dom ψ
∗
, y
∗
≤ µS trên Y, và
f + y
∗
◦ g ≥ ψ
∗
(µ) + β trên C

.
4.3 Đặc trưng hóa các Định lý Hahn-Banach mở rộng
Như đã đề cập trong Chương 3, Định lý Hahn-Banach không còn đúng khi

hàm dưới tuyến tính S nhận giá trị vô cùng. Sau đây chúng tôi giới thiệu điều
kiện cần và đủ để cho Định lý Hahn-Banach vẫn đúng trong trường hợp S nhân
giá trị vô cùng. Kết quả chính là hệ quả của Định lý 4.2.1.
19
Định lý 4.3.1[Dang giải tích Định lý Hahn-Banach] Cho X là k.g.v.t.l.H,
S : X → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính mở rộng nửa liên tục dưới, M là
không gian con đóng của X sao cho M ∩ dom S = ∅, và 
0
hàm tuyến tính liên
tục trên M. Đặt
G :=

K
+
+ M
⊥
× {0}
với

K
+
= {(x
∗
, −µ) : µ ≥ 0 và x
∗
≤ µS trên X}.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(a
4
) Với bất kỳ 

∗
0
∈ X
∗
thỏa (
∗
0
)
|
M
= 
0
, ta có
(
∗
0
, −1) ∈ cl G ⇒ (
∗
0
, −1) ∈ G.
(b
4
) Nếu 
0
≤ S
|
M
, thì tồn tại y
∗
∈ X

∗
sao cho 
0
= (y
∗
)
|
M
và y
∗
≤ S trên X.
Bây giờ chúng tôi giới thiệu dạng mới, dạng mở rộng của Định lý Hahn-
Banach-Lagrange trong bài báo của S. Simons (2007) cho hàm dưới tuyến tính
mở rộng.
Định lý 4.3.2 [Định lý Hahn-Banach-Lagrange giải tích] Cho X, Y là
k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, S : Y → R ∪ {+∞} là hàm
dưới tuyến tính mở rộng nửa liên tục dưới, và g : X → Y
•
là S-lồi sao cho (4)
là tập đóng. Hơn nữa lấy f ∈ Γ(X), và giả sử C ∩ dom f ∩ dom(S ◦ g) = ∅ xảy
ra. Đặt
F :=

y
∗
∈Y
∗
,µ≥0
y
∗

≤µS
{(u
∗
, 1 − µ, r) : (u
∗
, r) ∈ epi(f + y
∗
◦ g + i
C
)
∗
} .
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(a
3
) F đóng theo {0
X
∗
} × {0} × R.
(b
5
)

inf
C

f + S ◦ g

∈ R




∃ y
∗
∈ Y
∗
sao cho y
∗
≤ S trên Y và
inf
C

f + y
∗
◦ g

= inf
C

f + S ◦ g

∈ R

.
20
Ngoài ra còn các dạng mở rộng của Định lý Mazur-Orlicz. Tất cả các dạng
mở rộng này đều có thể được phát biểu dạng ổn định. Tuy nhiên chúng tôi không
trình bày.
4.4 Sự tương các đương giữa các dạng mới của Bổ đề Farkas và
Định lý Hahn-Banach-Lagrange

Chúng tôi đã chứng minh được rằng Định lý 4.1.1, Định lý 4.2.1, và Định lý
4.3.2 tương đương nhau.
Chương 5
CÁC BỔ ĐỀ FARKAS THEO DÃY VÀ CÁC ĐỊNH LÝ
HAHN-BANACH XẤP XỈ
Trong chương này chúng tôi trình này các dạng mới của Bổ đề Farkas không
có điều kiện chính quy. Những dạng này được cho ở dạng dãy (lưới) và ta gọi
là các Bổ đề Farkas theo dãy (lưới). Từ đây ta suy ra được các dạng xấp xỉ của
Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Hahn-Banach, Định lý sandwich. Các
dạng Bổ đề Farkas theo dãy và Định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ tương
đương nhau. Hơn nữa kết quả này được áp dụng để nhận được các kết quả về
đối ngẫu mạnh và điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu có liên quan đến ánh xạ
S-lồi. Như một ví dụ minh họa, ta nhận được công thức đối ngẫu cho supremum
của họ các hàm lồi nửa liên tục dưới (có thể vô hạn).
5.1 Bổ đề Farkas theo dãy cho hệ lồi theo nón
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, K ⊂ Y là
nón lồi đóng, g : X → Y
•
là ánh xạ K-lồi và K-epi closed, và f ∈ Γ(X). Giả sử
dom f ∩ C ∩ g
−1
(−K) = ∅.
Định lý 5.1.1[Bổ đề Farkas theo dãy cho hệ lồi theo nón] Các mệnh đề
sau tương đương:
(i) x ∈ C, g(x) ∈ −K =⇒ f(x) ≥ 0,
(ii) tồn tại các lưới (y
∗
i
)
i∈I

⊂ K
+
và (x
∗
1i
, x
∗
2i
, x
∗
3i
, 
i
)
i∈I
⊂ X
∗
× X
∗
× X
∗
× R
sao cho

i
≥ f
∗
(x
∗
1i

) + (y
∗
i
◦ g)
∗
(x
∗
2i
) + i
∗
C
(x
∗
3i
) ∀i ∈ I
và
(x
∗
1i
+ x
∗
2i
+ x
∗
3i
, 
i
) −→ (0
X
∗

, 0),
(iii) tồn tại các lưới (y
∗
i
)
i∈I
⊂ K
+
và (x
∗
i
, 
i
)
i∈I
⊂ X
∗
× R sao cho

i
≥ (f + y
∗
i
◦ g + i
C
)
∗
(x
∗
i

) ∀i ∈ I
và
(x
∗
i
, 
i
) −→ (0
X
∗
, 0),
21
(iv) tồn tại lưới (y
∗
i
)
i∈I
⊂ K
+
sao cho
f(x) + lim inf
i∈I
(y
∗
i
◦ g)(x) ≥ 0 ∀x ∈ C.
5.2 Bổ đề Farkas theo dãy cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, S : Y →
R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục dưới và g : X → Y
•

là ánh xạ
S-lồi sao cho
{(x, y, λ) ∈ X × Y × R : S(g(x) − y) ≤ λ} (5)
là tập đóng trong X × Y × R. Hơn nữa, cho f ∈ Γ(X) và ψ ∈ Γ(R).
Bổ đề Farkas theo dãy cho hệ lồi theo nón, Định lý 5.1.1, có thể suy ra Bổ
đề Farkas theo dãy cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng.
Định lý 5.2.1 [Bổ đề Farkas theo dãy cho hệ S-lồi] Giả sử điều kiện sau
xảy ra:
(domf) ∩ {x ∈ C : ∃α ∈ domψ s.t. (S ◦ g)(x) ≤ α} = ∅.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(a) x ∈ C, α ∈ R, (S ◦ g)(x) ≤ α =⇒ f (x) + ψ(α) ≥ 0,
(b) tồn tại các lưới (y
∗
i
, γ
i
)
i∈I
⊂ Y
∗
× R
+
và (x
∗
1i
, x
∗
2i
, x
∗

3i
, η
i
, 
i
)
i∈I
⊂ X
∗
×
X
∗
× X
∗
× R × R với y
∗
i
≤ γ
i
S trên Y với mọi i ∈ I sao cho

i
≥ f
∗
(x
∗
1i
) + (y
∗
i

◦ g)
∗
(x
∗
2i
) + i
∗
C
(x
∗
3i
) + ψ
∗
(η
i
+ γ
i
) ∀i ∈ I
và
(x
∗
1i
+ x
∗
2i
+ x
∗
3i
, η
i

, 
i
) −→ (0
X
∗
, 0, 0),
(c) tồn tại các lưới (y
∗
i
, γ
i
)
i∈I
⊂ Y
∗
× R
+
và (x
∗
i
, η
i
, 
i
)
i∈I
⊂ X
∗
× R × R với
y

∗
i
≤ γ
i
S trên Y với mọi i ∈ I sao cho

i
≥ (f + y
∗
i
◦ g + i
C
)
∗
(x
∗
i
) + ψ
∗
(η
i
+ γ
i
) ∀i ∈ I
và
(x
∗
i
, η
i

, 
i
) −→ (0
X
∗
, 0, 0).
5.3 Định lý Hahn-Banach xấp xỉ
22
Trong phần này chúng tôi giới thiệu Định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ,
Định lý 5.3.1, là hệ quả của Định lý 5.2.1. Hơn nữa, Định lý 5.3.1 có thể suy ra
các dạng xấp xỉ của Định lý Hahn-Banach và Định lý sandwich.
Định lý 5.3.1[Định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ] Cho X, Y là k.g.v.t.l.H,
C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, f ∈ Γ(X), S : Y → R ∪ {+∞} là hàm
dưới tuyến tính nửa liên tục dưới và g : X → Y
•
là ánh xạ S-lồi sao cho (5) là
tập đóng trong X × Y × R. Giả sử
(domf) ∩ {x ∈ C : ∃α ∈ R sao cho (S ◦ g)(x) ≤ α} = ∅. (6)
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) inf
x∈C

f(x) + (S ◦ g)(x)

∈ R,
(ii) tồn tại các lưới (y
∗
i
, γ
i

)
i∈I
⊂ Y
∗
× R
+
và (x
∗
1i
, x
∗
2i
, x
∗
3i
)
i∈I
⊂ X
∗
× X
∗
× X
∗
với y
∗
i
≤ γ
i
S trên Y với mọi i ∈ I sao cho γ
i

−→ 1, x
∗
1i
+x
∗
2i
+x
∗
3i
−→ 0
X
∗
và
lim inf
i∈I

− f
∗
(x
∗
1i
) − (y
∗
i
◦ g)
∗
(x
∗
2i
) − i

∗
C
(x
∗
3i
)

=
inf
x∈C

f(x) + lim inf
i∈I
(y
∗
i
◦ g)(x)

= inf
x∈C

f(x) + (S ◦ g)(x)

∈ R.
Chú ý 5.3.1 Như đã chỉ ra trong Chương 3 và 4, các dạng mới của Bổ đề
Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange tương đương nhau. Tương tự, Định lý
5.1.1, Định lý 5.2.1 và Định lý 5.3.1 tương đương nhau.
5.4 Bài toán tối ưu lồi theo hàm dưới tuyến tính không có điều
kiện chính quy
Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu một áp dụng của Định lý Hahn-Banach-

Lagrange xấp xỉ để nhận kết quả đối ngẫu Fenchel xấp xỉ cho bài toán hàm hợp
liên quan ánh xạ S-lồi. Hơn nữa chúng tôi cũng nhận được các kết quả về đối
ngẫu Lagrange xấp xỉ, điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài toán liên quan S-lồi. Vì
tính ngắn gọn nên chúng tôi không trình bày ở đây.
Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X, f ∈ Γ(X),
S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục dưới và g : X → Y
•
là
ánh xạ S-lồi.
Bài toán tối ưu hàm hợp liên quan ánh xạ S-lồi được định nghĩa như sau:
(SP) inf
x∈C
{f(x) + (S ◦ g)(x)} .
Định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ, Định lý 5.3.1, cho ta kết quả đối ngẫu
mạnh Fenchel xấp xỉ sau đây:
23