Bài giảng hình học 12- Mặt cầu

HÌNH HỌC 12
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan
đến mặt cầu
1.Mặt cầu
Mặt cầu S(O,r) = {M | OM = r}
2. Biểu diễn mặt cầu
C
D
A
B
O
Dây cung
Đường kính
3. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài
mặt cầu. Khối cầu
 OA > r: A nằm ngoài mặt cầu.
 OA = r: A nằm trên mặt cầu.
 OA < r: A nằm trong mặt cầu.
A
A
A
Khối cầu
Khối cầu tâm O bán kính r là {M | OM ≤ r}
O
4. Đường kinh tuyến, vĩ tuyến của mặt
cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H
là hình chiếu của O trên (P).
M
H

O
M
H
O
M
H
O
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O,r) mặt phẳng (P). Gọi H là
hình chiếu của O trên (P).
 Nếu OH>r: (P) không cắt mặt cầu.
 Nếu OH=r: (P) cắt mặt cầu tại một điểm.
 (P): mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của
mặt cầu.
 H: tiếp điểm.
Chú ý
(P) tiếp xúc với S(O,r) tại H
( )P OH taïi H 
O
 Nếu OH<r: (P) cắt mặt cầu. Giao tuyến là một
đường tròn.
Tâm H, bán kính:
2 2
r OH
Chú ý:
• Khi OH = 0 thì giao
tuyến là đường tròn có
bán kính là r, ta gọi là
đường tròn lớn.
• Mặt phẳng qua O gọi là

mặt phẳng kính.
O
Đường tròn
lớn
Mặt phẳng kính
III. Giao của mặt cầu với đường
thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng . Gọi H là
hình chiếu của O trên .
O
H

O
H

O
H
N
M

III. Giao của mặt cầu với đường
thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng . Gọi H là
hình chiếu của O trên 
 Nếu OH>r:  không cắt mặt
cầu.
 OH=r:  cắt mặt cầu tại một
điểm.
 : tiếp tuyến.
 H: tiếp điểm

 OH<r:  cắt mặt cầu tại hai
điểm.
A
Nhận xét 1
A
Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O,r) có vô
số tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến
này vuông góc với bán kính OA tại A và cùng
thuộc tiếp diện của mặt cầu tại A.
Nhận xét 1
O
A
Nhận xét 2
M
N
A
O
Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Độ dài từ A
đến các tiếp điểm đều bằng nhau.
Nhận xét 2
M
N
IV. Công thức tính diện tích mặt cầu
và thể tích khối cầu
Cho mặt cầu S(O,r)
 Diện tích mặt cầu:
 Thể tích khối cầu:
2
4 .S r



3
4
.
3
V r


Kiến thức cần nắm
 Cách xác định mặt cầu.
 Giao của mặt cầu với mặt phẳng.
 Giao của mặt cầu với đường thẳng.
 Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối
cầu.