Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN GIẢI PHÁP
1.1.Cơ sở lí luận:
Toán học là một môn khoa học nói chung, chiếm một vai trò rất quan
trọng trong các trường học. Mục tiêu giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng
cố và phát triển những kết quả của tiểu học có trình độ học vấn phổ thông cơ
sở và những hiểu biết ban đầu. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích
đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên
của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để
tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ
thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát
triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả
năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình
thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục
đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại,
đa dạng và phong phú. Do đó trang bị cho học sinh những kiến thức toán học
không chỉ là trang bị cho học sinh các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng
quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài
tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 6, học sinh
được làm quen với loại toán phân tích ra thừa số nguyên tố, loại toán này tiếp
tục được dạy kĩ hơn và mở rộng thành phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8,
lớp 9 và các cấp học tiếp theo. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học
sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.
1.2.Cơ sở thực tiễn:
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi
theo kết quả của bài toán “ phân tích thành nhân tử ” còn có các dạng toán:
1
Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …
Vì vậy, phần trên mà không “ phân tích thành nhân tử ” được thì học

sinh không thực hiện được các bước tiếp theo.
Vậy cách trình bày một bài toán “ phân tích thành nhân tử ” như thế
nào, phương pháp giải bài toán đó ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh
phát huy được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất
lượng giáo dục. Vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải
pháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần phân tích đa thức thành
nhân tử.
Với lí do trên nên tôi chọn giải pháp " Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa
thức thành nhân tử". Giúp học sinh tiếp cận và thực hiện tốt hơn kiến thức của
dạng toán này.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề
cơ bản của phân môn đại số, đặc biệt là môn đai số lớp 8 nhằm giúp cho học
sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài toán và rèn kỹ năng phân tích
đa thức thành nhân tử . Trên cơ sở đó phát hiện những khó khăn đồng thời đề
ra những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập
tại trường THCS Cao Răm
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh
trường THCS Cao Răm về việc dạy và học " kỹ năng phân tích đa thức thành
nhân tử "
- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học
- Từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
- Thực nghiệm những giải pháp đó ở trường và đáng giá kết quả đạt được.
2
4. Phm vi v i tng nghiờn cu
4.1.Thi gian thc hin v phm vi nghiờn cu.
a. Thời gian
Năm học 2011 2012.
b. Phạm vi thực hiện

Lớp 8B ,C Trờng THCS Cao Rm - huyn Lng Sn- tnh Hũa Bỡnh.
4.2. Kho sỏt trc khi thc hin gii phỏp:
-kho sỏt các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến đổi thuần tuý, cha
có khả năng phán đoán, định hớng đúng cho việc giải bài toán.
-kho sỏt các bài toán khú dn.
- kho sỏt về mặt phơng pháp các phơng pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng
đẳng thức và nhóm nhiu hng t.
- làm bài kiểm tra khảo sát chất lợng nh sau :
Lần 1: (15phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A = 8x
3
+ 1
2. B = x + y + xy + y
2
Kết quả nh sau:
Tổng số
học sinh
Điểm
0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10
TB
50 4 12 18 10 6 34
Lần 2: (20phút)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. A = (x+2)
2
- 6(x+2) + 9
2. B = x
3
- 2x

2
- x+2
Kết quả nh sau
Tổng số
học sinh
Điểm
0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10
TB
3 8 19 13 7 39
- So sỏnh hai bài kiểm tra sau ú tỡm gii phỏp khc phc.
PHN II: NI DUNG C TH
Vic dy v hc ca giỏo viờn v hc sinh trong thc tin a phng l
hc sinh min nỳi, trỡnh nhn thc chm, cha n lc trong hc tp. a s
3
Phơng pháp
dùng hằng
ẳng thức
Phối hợp
nhiều ph-
ơng pháp
Phơng pháp
đặt nhân tử
chung
cỏc em s dng cỏc loi sỏch bi tp cú ỏp ỏn hoc hng dn gii tham
kho, nờn khi gp bi tp cú dng khỏc cỏc em thng lỳng tỳng cha tỡm
c hng gii thớch hp, khụng bit s dng phng phỏp no trc,
phng phỏp no sau, phng phỏp no phự hp nht, hng no tt nht.
Giỏo viờn cha tht s i mi phng phỏp dy hc hoc i mi cha
trit .
Ph huynh cha tht s quan tõm ỳng mc n vic hc tp ca con mỡnh

nh theo dừi, kim tra, ụn c nhc nh hc tp nh.
Phng phỏp chung gii bi toỏn cn cú nhng gi ý thy h tr cho
trũ, trũ t suy ngh tỡm ra li gii. Trc khi gii mt bi toỏn phi tỡm hiu
k ni dung yờu cu ca ờ bi: õu l cỏi cn tỡm? Cỏi ó cho? Ci phi tỡm
tha món iu kin cho trc hay khụng? Hay cha ? Hay tha? Tỡm ra
cỏch gii hp lớ nht.
Vic rỳt gn biu thc l mt trong nhng vn c bn ca phõn mụn i
s. Hc sinh phi tỡm hiu k cỏc dng biu thc khi a ra nú dng no,
tớnh giỏ tr ca biu thc hay chng minh biu thc, rỳt gn biu thc . . . Hc
sinh lỳng tỳng khi rỳt gn phi s dng phng phỏp phõn tớch a thc thnh
nhõn t, s dng cỏc phộp toỏn v tớnh cht ca cỏ phộp toỏn, hc sinh hay
nhm ln. Do vy giỏo viờn cn rốn luyn cho hc sinh cú k nng trỡnh by
li gii cho cỏc dng bi tp, giỳp phn no gii quyt c cỏc dng bi
tp v khc phc nhng vng mc trờn. Tụi a ra mt s gii phỏp v rốn
k nng gii cỏc bi tp phõn tớch a thc thnh nhõn t m tụi ó tỡm hiu,
tp hp c thụng qua thc t ging dy.
Mt s phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t:

4
Phơng pháp
nhóm nhiều
hạng tử
Các phơng
pháp đặc
biệt hoá
Các phơng
pháp phân
tích đa
thức
thành

nhân tử
Ni dung gii phỏp c trỡnh by thnh ba chng.
CHNG 1
CC PHNG PHP C BN
1. C S Lí LUN
1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
5
Chơng 2:
Các phơng
pháp đặc biệt
Chơng 3:
BI TP RẩN
K NNG phân
tích đa thức
thành nhân
tử
Chơng 1:
Các phơng
pháp cơ bản
Nội dung
cụ Thể
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì
ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích
của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n

+ a
n-1
x
n-1
+ + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1
x
n 1
+ +
c
a
0
) ( với c

0, c

1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)

P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy
trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc
khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy
hoặc phân tích đợc trên P.
1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a)Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất
khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân
tử bậc 0.
b) Định lý 2
Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc
nhất hoặc bậc hai với biệt thức

< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn
0 đều phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với

<
0.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + + a
n
x
n

, n > 1, a
n


0, là một đa thức hệ số
nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a
n
nh-
ng p là ớc của các hệ số còn lại và p
2
không phải là ớc của các số hạng tự do a
0
.
Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
2. CC PHNG PHP C BN
2.1. Phng phỏp t nhõn t chung
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:
-Tìm nhân tử chung ( nu cú )
6
-Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
-Viết nhân t chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
VD1: phõn tớch a thc thnh nhõn t
2x
2
- 4x = 2x.x 2x.2 = 2x( x 2 )
*Chỳ ý:
-Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C) .
- Nhiu khi lm xut hin nhõn t chung ta cn i du cỏc hng t ( lu ý

vi tớnh cht A = -(-A) ).
2.2. Phng phỏp dựng hng ng thc
Kiến thức cơ bản là : 7 hng ng thc ỏng nh
1. Bình phơng của một tổng : ( A + B )
2
= A
2
+ 2AB +B
2
2. Bình phơng của một hiệu: ( A - B )
2
= A
2
- 2AB +B
2
3. Hiệu hai bình phơng: A
2
- B
2
=( A + B ).( A - B )
4. Lập phơng của một tổng: ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2
+ B
3

5. Lập phơng của một hiệu: ( A - B )
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6. Tổng hai lập phơng : A
3
+ B
3
=( A +B ).(A
2
- AB + B
2
)
7. Hiệu hai lập phơng : A
3
- B
3
=( A - B ).(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x
3

y
6
-1 =(2xy
2
)
3
- 1
3
Giải
8x
3
y
6
- 1 =(2xy
2
)
3
- 1
3
= ( 2xy
2
- 1 ).(4x
2
y
4
+ 2xy
2
+ 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải

25x
4
+ 10x
2
y + y
2
= (5x
2
)
2
+ 2.5x
2
.y + y
2
= ( 5x
2
+ y)
2
7
2.3 Phng phỏp nhúm nhiu hng t
Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết
hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng ẳng thức hoặc xuất
hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phơng phỏp đã biết để phân
tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x
2
+8xy - 3x - 6y
Giải
4x
2

+8xy - 3x - 6y = (4x
2

+ 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) =
(x+2y)(4x-3)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
- y
2
+ 2xz + z
2
Giải
x
2
- y
2
+ 2xz + z
2
=( x
2
+ 2xz + z
2
) - y
2
=(x+z)
2
- y
2
=(x+y+z)(x-y+z)
2.4. Phng phỏp tng hp cỏc phng phỏp

Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét
hơn
+ Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
+ 2xy + y
2
- xz yz
Giải
x
2
+ 2xy + y
2
- xz yz = (x
2
+ 2xy + y
2
) (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
+ 4x- 2xy 4y + y
2
Gii
x

2
+ 4x- 2xy 4y + y
2
= ( x
2
- 2xy + y
2
) + ( 4x 4y) = ( x- y)(x- y + 4)
8
CHNG 2
CC PHNG PHP C BIT
1 . phơng pháp tách hạng tử
Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta
phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các ph-
ơng pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x
2
- 6x + 8
Giải
Cách 1 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
Cách 2 : x
2
- 6x + 8 = x
2

- 6x +9-1 = (x-3)
2
-1
2
=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
Cách 3 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2)
= (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
Cách 4 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x +4-2x+4=(x-2)
2
- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khỏc trong đó có 2 cách
thông dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
9
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

9x
2
+6x-8

Giải
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc =9x
2
-6x+1 9 =(3x+1)
2
-3
2
=(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng
đẳng thức đáng nhớ: mpx
2
+ (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Nh vậy trong tam thức bậc hai :a x
2
+bx+c hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c.
Trong thực hành ta làm nh sau :
- Tìm tích a.c

- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x
2
+6x-8 thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có
giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x
2
x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá
trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
10
x
2

-x -6 = x
2
+ 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax
2
+ bx + c có b là số lẻ, hoặc
không là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so
với cách hai.
2 . Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung,
không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng nh không thể nhóm các số
hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân
tích đã biết.
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử
Ta thấy x
4
=(x
2
)
2
; 4 = 2
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng
hạng tử 4x
2

x
4

+ 4 = (x
4
+ 4 + 4x
2
) 4x
2
= (x
2
+2)
2
(2x)
2
= (x
2
+ 2x +2)( x
2
- 2x +2)
Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a
2
+ b
4
thành nhân tử
Ta thấy 64a
4
=(8a
2
)
2
; b
4

= (b
2
)
2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho
cùng hạng tử 16a
2
b
2
64a
2
+ b
4
= 64a
2
+ b
4
+ 16a
2
b
2
- 16a
2
b
2
= (8a
2
+ b
2
)

2
- (4ab)
2
= (8a
2
+ b
2
-4ab)( 8a
2
+ b
2
+4ab)
3 . Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 thành nhân tử
Ta có : (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 = (x
2
+x)
2

+ 4(x
2
+ x) - 12
Nhận thấy nếu đặt x
2
+ x = y thì có đa thức đơn giản hơn y
2
+ 4y -12 là tam
thức bậc hai của biến y
Ta có : y
2
+ 4y -12 = y
2
+6y - 2y -12 = (y+6)(y-2)
= (x
2
+ x+6)( x
2
+ x -2)
=(x
2
+ x+6)( x
2
+2x-x -2)
=(x
2
+ x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
=(x
2
+ x+6)(x+2)(x-1)

*Chú ý : x
2
+ x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích
a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
Giải Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
11
Ta có : (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) 6
= y
2
+ y - 6 = y
2
+ 3y - 2y - 6
= (y + 3)(y - 2) = (x
2
+ 3x + 1 +3)( x
2
+ 3x + 1 -2)
= (x
2

+ 3x + 4)( x
2
+ 3x -1)
4 . Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức ( phơng pháp hạ
bậc đa thức )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 nh vậy nếu f(x)
chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
-Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc
lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
-4 thành nhân
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x
2
+ bx +c.
Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ớc của -4 (

1;

2;

4). Kiểm tra thấy 1 là
nghiện của đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x 1. Do đó ta tách các hạng
tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Cách 1: x

3
+ 3x
2
-4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
-4 = x
2
(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x
2
+4x+4)
= (x-1)(x+2)
2
Cách 2: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
-1+ 3x
2
-3 =(x-1)(x
2
+ x +1) +3(x-1)(x+1)
=(x-1)( x
2
+ x +1 +3x+3) =(x-1)(x

2
+4x+4)
= (x-1)(x+2)
2
ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa
thức chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện
nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 thành nhân tử
Các ớc của -3 là :

1 ;

3 mà

1;

3 không là nghiệm của đa thức. Nh
vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
12
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có
dạng
q
p
với p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao
nhất.
Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :

-1 ; -
2
1
;- 3 ;-
2
3
Kiểm tra thấy x=
2
1
là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử
x-
2
1
hay 2x-1
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung
2x-1
Ta có: 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 =2x
3
- x
2
-4x
2
+2x+6x-3
=x
2
(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x

2
-2x-3)
5 . Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x
3
-5x
2
+8x-3 thành nhân tử
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng
(ax+b)(cx
2
+dx+m)=acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x
3
-5x
2
+8x-3 , ta đợc:
2x
3
-5x
2
+8x-3 = acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc
a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
=> b có thể là

1 hoặc

3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
Vậy 2x
3
-5x
2
+8x-3 = (2x-1)(x
2
-2x+3).
13
6 . Phơng pháp xét giá trị riêng
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-
c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức
nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa
thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là
hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đ-

ợc :
2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
2 = -2k => k=-1
Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
thành nhân tử
Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì
Q= (0+c)
3
+b
3
-b
3
-c
3
=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c nh nhau
trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa
thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng
là hằng số k
(a+b+c)
3
-a

3
-b
3
-c
3
= k(a+b)(b+c)(c+a)
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)
3
-0 -1
3
-2
3
= k(0+1)(1+2)(2+0)
18 = 6 k => k=3
Vậy : (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong
đa thức thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên.
14
CHƯƠNG 3
BÀI TẬP RÈN KỸ NĂNG
“ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ”

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1.1. Phân tích bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
15
Gi¶i: Ta cã : A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax –by)
= 2x
2
(ax + 2by + ax – by)
=2x
2
(2ax + by)
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = (2a
2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã: P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z
Do ®ã : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bµi 4 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a

2
– 4ax)(5c +2d)
Gi¶i: Ta cã: C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
– 3ax – 6a
2
+ 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bµi 5: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
Gi¶i: Ta cã: Q = 3x
3

y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2
– (y + z)
2
)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bµi 6 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
A = 16x
2
(y – 2z) – 10y( y – 2z)
16
Giải: Ta có : A = 16x
2
(y 2z) 10y( y 2z)
= (y 2z)(16x
2
10y)
Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
Giải: Ta có : B = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6
= x
2
(x + 3) + 2( x + 3)
= (x
2
+ 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z

3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy
2
Giải: Ta có : B = xy

2
xz
2
+ yz
2
yx
2
+ zx
2
zy
2
= (xy
2
xz
2
) + (yz
2
- zy
2
) + (zx
2
yx
2
)
= x(y
2
z
2
) + yz(z y) + x
2

(z y)
= x(y z)(y + z) yz(y z) x
2
(y z)
= (y z)((x(y + z) yz x
2
))
= (y z)((xy x
2
) + (xz yz)
= (y z)(x(y x) + z(x y))
= (y z)(x y)(z x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
Giải: Ta có : A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
= 2x
3
(2x

2
+ 3) + 3(2x
3
+ 3)
= (2x
3
+ 3)(2x
2
+ 3)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
17
Gi¶: Ta cã : B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x

2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Gi¶i: Ta cã: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y
2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bµi 13 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
2
+ 2xy + y
2

– xz - yz
Gi¶i: Ta cã : A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz)
= (x + y)
2
– z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = 2xy + z + 2x + yz
Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x - 1
Gi¶i: Ta cã : A = x
m + 4
+ x

m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Gi¶i: Khai triÓn hai sè h¹ng cuèi råi nhãm c¸c sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn thõa
sè chung y - z
Ta cã : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz
2
– yz
2
18
= x

2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
– z
2
)
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x
2
+ yz – x(y + z))
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)
nªn : P = x
2
(y – z) - y
2
((y – z) + (x – y)) + z
2
(x – y)
=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z

2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Q = a
2
b + ab
2
+ b
2

c +bc
2
+ c
2
a +
ca
2
+ 3abc
Gi¶i: Ta cã : Q = a
2
b + ab
2
+ b
2
c +bc
2
+ c
2
a + ca
2
+ 3abc
= (a
2
b + ab
2
+ abc) + (b
2
c +bc
2
+abc) + (c

2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
Gi¶i: Ta cã : A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2

c + 2bc
2
– 4abc
= (2a
2
b + 4ab
2
) – (a
2
c + 2abc) + (ac
2
+ 2bc
2
) – (4b
2
c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c
2
(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
19
= (a + 2b)(2ab ac + c
2
2bc)
= (a + 2b)(a(2b c) c(2b c))
= (a + 2b)(2b c)(a c)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x
2
y
2

(2x + y) + y
2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z y) 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(y
2

(z y) 4x
2
(2x + z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
( y
2
z y
3
8x
3
4x
2
z)
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y
2
4x
2
) (y
3

+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y 2x)(y + 2x) (y + 2x)(y
2
2xy +
4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
2xz
3
z
2
y
2
+ 2xyz
2
4x

2
z
2
)
= (2x + y)(4x
2
(y
2
z
2
) z
2
y (y z) +2xz
2
( y z))
= (2x + y)(y z)(4x
2
y + 4x
2
z z
2
y + 2xz
2
)
= (2x + y)( y z)(y(4x
2
z
2
) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y z) (2x + z)(2xy yz + 2xz)

1.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2

y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2
xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2

b
2
+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) + (a
4
+ 2a
2

b
2
+ b
4
) a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2

) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) ((a b)(a + b) + 1))
20
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b

2
)(a
2
b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) x
2
+ (x

2
x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
x
2
+ (x
2
x + 1)
2
= (x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
x + 1)
2
= (x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1 + x
2
x + 1)
= 2(x
2

x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2

y
2
2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
2x
2
z
2
+ 2y
2
z
2
) 4y
2

z
2
= (x
2
y
2
z
2
)
2
4y
2
z
2
= (x
2
y
2
z
2
2yz) (x
2
y
2
z
2
+ 2yz)
= (x
2
(y + z)

2
)( x
2
(y - z)
2
)
= (x y z) (x + y + z) (x y + z)(x + y z)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có
cách khác giải nh sau :
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3
3.2x(x
2
y
2
)

= 2x(4x
2
3(x
2
y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
(x + y)(x y) + (x y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
y
2

))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x
2
+ 40x + 25
21
Gi¶i: Ta cã: A = 16x
2
+ 40x + 25
= (4x)
2
+ 2.4.5.x + 5
2
= (4x + 5)
2
Bµi 26: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = (x - y)
3
+(y - z)
3
+(z - x)
3

Gi¶i: DÔ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)
Tõ ®ã ta cã : (x - y)

3
= (x – z)
3
+ (z – y)
3
+ 3(x – z)(z – y)((x – z) +
(z – y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z – x)(y – z)
(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bµi 27: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (a + b+ c) – (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a

3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ b
3
+ 3b
2
c + c
3
- (a
3
+ b
3

+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bµi 28: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x
8
– 2
8

Gi¶i: Ta cã : P = x
8
– 2
8

= (x
4
+ 2
4
) (x
4

- 2
4
)
= (x
4
+ 2
4
)((x
2
)
2
– (2
2
)
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
– 2
2
)(x
2
+ 2
2
)
= (x

4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x – 2)(x + 2)
Bµi 29: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
Gi¶i: Ta cã: Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
22
= (x 1)( x
2
+ 6x + 9)
= (x 1)(x + 3)

2

2. MT S DNG TON PHT TRIN TR TU
2.1.Bi toỏn chng minh chia ht
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x
3
- x chia hết cho 3 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có P = x
3
- x =x(x
2
-1) = x(x+1)(x-1)
Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết
cho 3
Vậy P

3

x

Z.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x
5
- 5x
3
+ 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên
x.
Giải : Ta có M = x
5

-5x
3
+ 4x
= x(x
4
-5x
2
+4)=x( x
4
- x
2
-4x
2
+4)
=x[ x
2
(x
2
-1)-4(x
2
-1)]= x(x
2
-1) (x
2
-4)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M

2;3;4;5
Vì M

2 và M

4 nên M

8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M

8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x
3
- x
2
+x -1 chia hết cho đa thức x-1
Giải : Ta có P = x
3
- x
2
+x -1= x
2
(x-1)+(x-1) = (x-1)(x
2
+1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P

(x-1)
Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử
( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích
sau đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng
minh.

Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách
chứng minh. ậ ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số
d bằng 0 có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d 0 ). Hoặc chứng minh
nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhng cách làm đó dài,
hoặc đơn điệu hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa
thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia
23
hết cho nhân tử cho tích đó đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời
giải thông minh hơn.
2.2. Bi toỏn chng minh biu thc luụn dng,luụn õm, huc khụng
õm
Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi giải
phải nắm đợc kiến thức:
- Biểu thức luôn dơng ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
- Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn
của biểu thức khác.
- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn d-
ơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui
tắc nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 :
Cho biểu thức P = 4x
2
- 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x
2
-12x + 9 = (2x)
2
-2.2x.3 +(-3)
2
= (2x-3)

2


0
Vậy P

0 với

x . Hay biểu thức P không âm với

x.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng biểu thức M =
223
1
234
34
++++
+
xxxx
xxx
không âm với mọi x
Giải
Ta có : M =
223
1
234
34
++++
+

xxxx
xxx
=
223
)1()1(
234
3
++++

xxxx
xxx
=
223
)1)(1(
234
3
++++

xxxx
xx
=
)1)(2(
)1()1(
22
22
+++
++
xxx
xxx
=

)2(
)1(
2
2
+

x
x
Vì x
2
+x +1 = x
2
+x +
4
1
+
4
3
=(x+
2
1
)
2
+
4
3
>0

x
Mặt khác (x-1)

2



x và x
2
+2 > 0

x
Vậy M

0

x . Hay M không âm

x.
24
Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút
gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát
triển cùng với những kỹ năng giải toán khác
2.3. Bi toỏn rỳt gon v tớnh giỏ tr ca biu thc
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành
nhân tử. Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để
thu thành nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ
năng phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất
toán học khác để giải. Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp
các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ
thông minh và t duy logickhoa học ở các em.
Ví dụ : Cho P =
78

55
2
++
+
xx
x
a/ Rút gọn P
Giải P =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)77()(
)1(5
+++

xxx
x
=
)1(7)1(
)1(5
+++

xxx
x
=

7
5
+x
( với x

-1; x

-7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải P =
7
5
+x
=
72001
5
+
=
2008
5
2.4. Bi toỏn chng minh ng thc
Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở
vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải
biến đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :
78
55
2
++

+
xx
x
=
7
5
+x
Giải Biến đổi VT ta có : VT =
78
55
2
++
+
xx
x
=
)7)(1(
)1(5
++
+
xx
x
=
7
5
+x
=VP
Vậy đẳng thức đợc chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
1

2


x
x
=
)42)(1(
8
2
3
+
+
xxx
x

25