Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2011 Môn Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================
Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng
hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các
điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’
thẳng hàng.
2/ Cho hàm số
2n 1
y x 2011x 2012 (1)
+
= + +
, chứng minh rằng với mọi số nguyên
dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình:
( )
2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈¡
.
2/ Giải phương trình:

( ) ( )
2
2
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
¡
.
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử
( )
0 k n; k,n≤ ≤ ∈¢
, tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + +
.
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,
( )
AD 4a a 0= >
, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng
a 6
. Tìm

cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối
chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có
·
·
0 0
BAC 60 ,CAD 120= =
. Gọi E là chân đường phân giác
trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
x y+ ≤ π
. Chứng minh rằng:
( )
cos x cos y 1 cos xy+ ≤ +
.
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)