Chuyên đề Cực trị của hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§1. Các phương pháp tìm cực trị
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho
:f D → ¡
và
0
x D∈
.
a)
0
x
được gọi là một điểm cực đại của
f
nếu tồn tại khoảng
( )
;a b
sao cho
( )
( ) ( ) ( ) { }
0
0 0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
∈ ⊂



< ∀ ∈


.
b)
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của
f
nếu tồn tại khoảng
( )
;a b
sao cho
( )
( ) ( ) ( ) { }
0
0 0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
∈ ⊂


> ∀ ∈


.
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

0
x
( )
0
f x
( )
( )
0 0
;x f x
Điểm cực đại của
f
Giá trị cực đại (cực đại) của
f
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
f
Điểm cực tiểu của
f
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của
f
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f
Điểm cực trị của
f
Cực trị của
f
Điểm cực trị của đồ thị hàm số
f
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
f

có đạo hàm tại
0
x
. Khi đó: nếu
f
đạt cực trị tại
0
x
thì

( )
0
' 0f x =
.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
• Nếu
( )
'f x
đổi dấu từ dương sang âm khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực đại tại
0
x

;
• Nếu
( )
'f x
đổi dấu từ âm sang dương khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
b) Quy tắc 2:
•
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


<




⇒

f
đạt cực đại tại
0
x
;
•
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


>



⇒

f
đạt cực tiểu tại

0
x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
3 2
1 4
3
3 3
y x x x= − − +
.
Giải. Hàm số có TXĐ
= ¡
,
2
' 2 3y x x= − −
,
' 0y =

⇔

1x
= −
hoặc
3x
=
.

Bảng biến thiên: Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại
1x = −
, giá trị cực đại
tương ứng là
( )
1 3y − =
; hàm số đạt cực tiểu
tại
3x =
, giá trị cực tiểu tương ứng là
( )
23
3
3
y = −
.
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
( )
2y x x= +
.
Giải. Hàm số có TXĐ
= ¡
. Ta có
( )
2
2y x x= +

⇒

( )
( )
2
2
' 2
x x
x
y x x
x x
+
= + + =
(
0x ≠
).
Ta thấy với mọi
0x
≠
, dấu của
'y
chính là dấu của tam thức bậc hai
2
x x+
. Nên ta có bảng
biến thiên của hàm số như sau:
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại
1x = −
, giá trị cực
đại tương ứng là
( )
1 1y − =

; hàm số đạt cực tiểu
tại
0x =
, giá trị cực tiểu tương ứng là
( )
0 0y =
.
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
3 2
1 4
3
3 3
y x x x= − − +
.
Giải. TXĐ
= ¡
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
•
2
' 2 3y x x= − −
,
' 0y =

⇔

1x = −
hoặc

3x =
.
•
" 2 2y x= −
,
+)
( )
" 1 4 0y − = − <

⇒
hàm số đạt cực đại tại
1x = −
, giá trị cực đại tương ứng là
( )
1 3y − =
;
+)
( )
" 3 4 0y = >

⇒
hàm số đạt cực tiểu tại
3x
=
, giá trị cực tiểu tương ứng là
( )
23
3
7
y = −

.
Ví dụ 4. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
sin 2 2y x x= − +
.
Giải. TXĐ
= ¡
.
•
' 1 2cos 2y x= −
,
' 0y =

⇔

1
2
cos 2x =

⇔

2 2
3
x k
π
π
= ± +

⇔

6

x k
π
π
= ± +
(
k
∈
¢
).
•
" 4sin 2y x=
,
+)
4sin 2 2 3 0
6 3
y k k
π π
π π
   
′′
+ = + = >
 ÷  ÷
   

⇒
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
6
x k
π
π

= +
, giá trị cực tiểu tương ứng là
6
3
2
6 2
y k k
π
π
π π
 
+ = + − +
 ÷
 
.
+)
4sin 2 2 3 0
6 3
y k k
π π
π π
   
′′
− + = − + = − <
 ÷  ÷
   

⇒
hàm số đạt cực đại tại các điểm
6

x k
π
π
= +
, giá trị cực tiểu tương ứng là
3
2
6 6 2
y k k
π π
π π
 
− + = − + − +
 ÷
 
.
Ví dụ 5. [SGK] Tìm
a
,
b
,
c
sao cho hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu tại điểm
0x
=
,
( )

0 0y =
và đạt cực đại tại
1x
=
,
( )
1 1f =
.
Giải. Ta có
2 2
' 3 2y ax bx c= + +
. Từ giả thiết suy ra
( )
( )
( )
( )
' 0 0
0 0
' 1 0
1 1
y
y
y
y
=


=



=


=


⇔

0
0
3 2 0
1
c
d
a b c
a b c d
=


=


+ + =


+ + + =

⇔

2

3
0
0
a
b
c
d
= −


=


=


=

.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Khi đó
3 2
2 3y x x= − +
,
2
' 6 6y x x= − +
,
" 12 6y x= − +

. Ta có
( )
" 0 6 0y = >

⇒
hàm số đạt cực
tiểu tại
0x =
,
( )
" 1 6 0y = − <

⇒
hàm số đạt cực đại tại
1x =
(thỏa mãn). Vậy
2a = −
,
3b =
,
0c =
,
0d =
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
1)
3 2
2 9 12 3y x x x= − + +
;

2)
3 2
5 3 4 5y x x x= − + − +
;
3)
4 3 2
3 4 24 48 3y x x x x= − − + −
;
4)
9
3
2
y x
x
= − +
−
;
5)
2
2
8 24
4
x x
y
x
+ −
=
−
;
6)

2
4
x
y
x
=
+
;
7)
3y x x= −
;
8)
2
2 2y x x= − +
;
9)
2
sin 3 cosy x x= −
;
10)
2sin cos 2y x x= +
.
Bài 2. Tìm
a
,
b
,
c
để hàm số
3 2

y x ax bx c= + + +
đạt cực tiểu tại
1x =
,
( )
1 3y = −
và đồ thị
của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
.
Bài 3. Tìm
p
,
q
sao cho hàm số
1
q
y x p
x
= + +
+
đạt cực đại tại điểm
2x = −
và
( )
2 2y − = −
.
D. Đáp số
Bài 1. Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm
1x

=
,
( )
1 8y =
và đạt
cực tiểu tại điểm
2x
=
,
( )
2 7y =
; Error: Reference source not found Hàm số nghịch biến trên
¡
nên không có cực trị; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại
2x
= −
,
( )
2 115y − = −
và
2x
=
,
( )
2 13y =
, đạt cực đại tại điểm
1x
=
,
( )

1 20y =
; Error: Reference
source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm
1x
= −
,
( )
1 7y − = −
và đạt cực tiểu tại điểm
5x
=
,
( )
5 5y =
; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại

điểm
1x
=
,
( )
1 5y =
và đạt cực đại tại điểm
4x
=
,
( )
4 2y =
; Error: Reference source not found Hàm số
đạt cực tiểu tại

điểm
2x = −
,
( )
1
2
4
y − = −
và đạt cực đại tại điểm
2x =
,
( )
1
4
4
y =
; Error:
Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại

điểm
1x =
,
( )
1 5y =
và đạt cực đại tại
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
điểm

4x =
,
( )
4 2y =
. Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại
2x = −
,
( )
1
2
4
y − = −
, đạt cực đại tại điểm
2x
=
,
( )
1
2
4
y =
; Error: Reference source not found Hàm
số đạt cực tiểu tại các điểm
2x k
π
=
,
( )
2 2 3y k
π

= +
và
2x k
π π
= +
,
( )
2 2 3y k
π π
+ = −
.
Hàm số đạt cực đại tại các điểm
5
2
6
x k
π
π
= ± +
,
5 1
2
6 2
y k
π
π
 
± + = −
 ÷
 

; Error: Reference
source not found Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
2
2
x k
π
π
= +
,
2 1
2
y k
π
π
 
+ =
 ÷
 
và
2
2
x k
π
π
= − +
,
2 3
2
y k
π

π
 
− + = −
 ÷
 
. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
2
6
x k
π
π
= +
,
3
2
6 2
y k
π
π
 
+ =
 ÷
 
và
5
2
6
x k
π
π

= +
,
5 3
2
6 2
y k
π
π
 
+ =
 ÷
 
. Bài 2.
3a =
,
9b = −
,
2c =
. Bài 3.
1p q= =
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§2. Cực trị của hàm bậc ba
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hàm
( )
3 2
y ax bx cx d C= + + +

(
0a ≠
).
1. Điều kiện có cực trị
• Hàm số có cực trị
⇔
hàm số có hai cực trị
⇔

( )
C
có cực trị
⇔

( )
C
có hai điểm
cực trị
⇔

'y
có hai nghiệm phân biệt.
•
f
không có cực trị
⇔

' 0∆ ≤
.
2. Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị

hàm số
Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'y
để có:
( )
'y p x y ax b= + +
.
Từ đây suy ra:
•
0
x
là điểm cực trị của hàm số
⇒

( )
0
' 0y x =

⇒

( )
0 0
y x ax b= +
.
•
: y ax b∆ = +
là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của
( )

C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
m
để hàm số
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
.
y

có cực đại, cực tiểu thì trước hết
2 0m + ≠

⇔
2m ≠ −
. (1)
Khi đó
'y
là tam thức bậc hai có
( )
2
' 3 2 3m m∆ = − + −
.

y

có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
' 0∆ >
⇔

2
2 3 0m m+ − <

⇔

3 1m− < <
. (2)
Kết hợp với
( )
1
và
( )
2
ta có những giá trị của
m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( ) ( )
3; 2 2;1m∈ − − ∪ −
.
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm
m
để hàm số
( )

3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x= − − − +
có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
sao cho
( )
1 2 1 2
2 1x x x x+ + =
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giải. Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
' 2 2 2 3 1 2 3 1y x mx m x mx m= − − − = − − +
,

( )
2 2
3 1t x x mx m= − − +
là tam thức bậc hai có
2

13 4m∆ = −
. Do đó hàm số có hai điểm cực trị
khi và chỉ khi
'y
có hai nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt
⇔

0
∆ >
⇔

2 13
13
2 13
13
m
m

>



< −



. (1)
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
( )
t x
nên theo định lý Vi-ét, ta có
1 2
2
1 2
3 1
x x m
x x m
+ =


= − +

.
Do đó
( )
1 2 1 2
2 1x x x x+ + =

⇔

2

3 2 1 1m m− + + =

⇔

2
3 2 0m m− + =

⇔

0
2
3
m
m
=



=

.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
2
3
m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm
m
để hàm số
( )

3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Giải. Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 12y x x m x x m= − + + − −−= − +
,
( )
2 2
2 1mt x x x −− +=
là tam thức bậc hai có
2
' m∆ =
. Do đó:
y
có cực đại cực tiểu
⇔

'y
có
hai nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt

⇔

' 0∆ >
⇔

0m ≠
. (1)
Khi đó
'y
có các nghiệm là:
1 m±

⇒
tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( )
3
1 ; 2 2A m m− − −
và
( )
3
1 ; 2 2B m m+ − +
. Ta có
( )
3
1 ; 2 2OA m m− − −
uuur

⇒

( )

( )
2
2
2 3
1 4 1OA m m= − + +
;
( )
3
1 ; 2 2OB m m+ − +
uuur

⇒

( )
( )
2
2
2 3
1 4 1OB m m= + + −
.
A
và
B
cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
OA OB=
⇔

2 2
OA OB=
⇔

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3
1 4 1 1 4 1m m m m− + + = + + −
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
⇔

3
4 16 0m m− + =
⇔

0
1
2
m
m
=



= ±

.

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
1
2
m = ±
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
3 3y x mx m= − +
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao
cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
48
.
Giải. Ta có
( )
2
' 3 6 3 2y x mx x x m= − = −
,
' 0y =

⇔

0

2
x
x m
=


=

.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
2 0m ≠

⇔

0m ≠
. (1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( )
3
0;3A m
,
( )
3
2 ;B m m−
. Ta có:
•
( )
3
0;3OA m
uuur

⇒

3
3OA m=
. (2)
• Ta thấy
A Oy∈

⇒

OA Oy≡

⇒

( ) ( )
, , 2d B OA d B Oy m= =
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
( )
4
1
; 3
2
OAB
S OA d B OA m= × × =
.
Do đó:
48
OAB

S =

⇔

4
3 48m =

⇔

2m = ±
(thỏa mãn (1)).
Ví dụ 5. Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực
trị của đồ thị hàm số
3 2
3 6 8y x x x= − − +

( )
C
.
Giải. Ta có
( )
2 2
' 3 6 6 3 2 2y x x x x= − − = − −
.
Vì
( )
2
2 2t x x x= − −
có
' 3 0∆ = >

nên
( )
t x
có hai nghiệm phân biệt, suy ra
'y
có hai nghiệm
phân biệt. Do đó
( )
C
có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của
'y
là
1 2
1 3 1 3x x= − < = +
.
'y
đổi dấu từ dương sang âm khi
x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại,
'y
đổi dấu từ âm sang
dương khi
x
đi qua

1
x
nên
1
x
là điểm cực đại.
Thực hiện phép chia
y
cho
( )
t x
ta được
( ) ( )
1 6 6y x t x x= + − +
.
Suy ra:
( )
1 1
6 6y x x= − +
(vì
( )
1
0t x =
)
⇒

( )
( )
1
6 1 3 6 6 3y x = − − + =

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
⇒
tọa độ điểm cực đại của
( )
C
là
( )
1 3;6 3−
.
Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của
( )
C
là
( )
1 3; 6 3+ −
.
Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của
( )
C
cùng thỏa mãn phương trình
6 6y x= − +
nên phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
6 6y x= − +
.
Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia
y

cho
'y
, ta thực hiện phép chia
y
cho
( )
t x
đơn giản
hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì
'y
và
( )
t x

có cùng tập nghiệm.
Ví dụ 6. [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m= − + + − + −
.
Giải. Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 2 1y x mx m x mx m= − + + − = − − + −
.
Tam thức bậc hai
( )
2 2
2 1t x x mx m= − + −
có

' 1 0∆ = >
nên
( )
t x
có hai nghiệm phân biệt và đổi
dấu tiên tiếp khi
x
đi qua hai nghiệm này. Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu.
Thực hiện phép chia
y
cho
( )
t x
ta có
( ) ( )
2
2y m x t x x m m= − + − +
. Giả sử
0
x
là điểm cực trị
nào đó của hàm số, ta có
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0
2 2y x m x t x x m m x m m= − + − + = − +
(do
( )
0
0t x =

).
Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2
2y x m m= − +
.
Nhận xét. Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng. Do đó,
có thể áp dụng phương trình đường
C. Bài tập
Bài 1. Cho
( )
3 2
3 1 1y mx mx m x= + − − −
. Tìm
m
để các hàm số có cực trị và các điểm cực trị
đều âm.
Bài 2. Cho
3 2
2 12 13y x mx x= + − −

( )
m
C
.
1) Chứng tỏ rằng với mọi
m
,
( )
m
C

luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi
1
x
,
2
x
là hoành độ
các điểm cực trị của
( )
m
C
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
1 1S x x x x= + − + +
.
2) Tìm
m
để các điểm cực đại, cực tiểu của
( )
m
C
cách đều trục tung.
Bài 3. Cho
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −

( )

m
C
.
1) Tìm
m
để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
2) Tìm
m
để
( )
m
C
có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng
2 5
.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
3 2
3 2 1y x x x= − + − +
;
2)
3 2
2 5y x x x= − − +
;
3)
3 2
2 10 3 1y x x x= + − + +

.
Bài 5. Tìm
m
để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m= − + − −
;
2)
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m= − − + − + − −
.
Bài 6. Tìm
m
để đồ thị hàm số
1)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
4 1y x= − −
;
2)
( ) ( )

3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng
4y x= −
;
3)
3 2
7 3y x mx x= + + +
có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại,
cực tiểu vuông góc với đường thẳng
3 7y x= −
;
4)
( )
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m= − + + − + −
có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại
cực tiểu và điểm
( )
1;0M
thẳng hang;
5)
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
;
6)

( )
3 2
1 1
1
3 2
y x m x mx= − + +
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
72 12 35 0x y− − =
.
D. Đáp số
Bài 1.
1
1
4
m< <
. Bài 2. 1
19
min
4
A =
, đạt được
⇔

3
2
m = −
; 2
0m
=
. Bài 3. 1

1m
< −

∨

1m >
; 2
1m = ±
. Bài 4. Error: Reference source not found
2 1
3 3
y x= +
; Error: Reference source
not found
7 89
9 18
y x= − +
; Error: Reference source not found
68 29
3
9 9
y x= − + +
. Bài 5. Error:
Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu
m
∀
, phương trình đường thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2y x m= − −
. Error: Reference source not found

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
3 5
2
m
−
<

∨

3 5
2
m
+
>
, phương trình đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2 3 2
2 2 2 8 8 2
2
3 3 3 3 3 3
y m m x m m m
 
= − + − + − + −
 ÷
 
.

Bài 6. 1
5m
=
; 2
1m
=
; 3
3 10
2
m
±
=
; 4
1m
= −

∨

2m
=
; 5
0m
=
; 6 vô nghiệm.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Xét hàm

( )
4 2
f x ax bx c= + +
(
0a ≠
). Ta có
( )
( )
3 2
' 4 2 4
2
t x
b
f x ax bx ax x
a
 
= + = +
 ÷
 
14 2 43
.
Trường hợp 1:
0ab
≥
. Khi đó
( )
t x
vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
0x
=

⇒

( )
'f x
có
nghiệm duy nhất
0x
=
và
( )
'f x
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0

⇒

f
chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2:
0ab <
. Khi đó
( )
t x
có hai nghiệm phân biệt khác
0

⇒

( )
'f x
có ba nghiệm
và
( )
'f x
đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua ba nghiệm này
⇒

f
ba cực trị.
2. Một số kết quả cụ thể:
•
f
có một cực trị
⇔

0ab ≥
;
•
f
có ba cực trị
⇔

0ab <
;
•

f
có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu
⇔

0
0
a
b
>


≥

;
•
f
có đúng một cực trị và cực trị là cực đại
⇔

0
0
a
b
<


≤

;
•

f
có hai cực tiểu và một cực đại
⇔

0
0
a
b
>


<

;
•
f
có một cực tiểu và hai cực đại
⇔

0
0
a
b
<


>

.
B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm
m
để hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
có
3
điểm cực trị.
Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc
4
, tức là
0m ≠
. Ta có
( )
( )
( )
2
3 2 2
9
2
' 4 2 9 4
m
m
t x
y mx m x mx x
−
= + − = +
1 42 43
.

Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
'y
có
3
nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có
2
nghiệm phân biệt khác
0

⇔

2
9
0
2
m
m
−
<
⇔

( )
2
9 0m m − <

⇔

0 3
3
m
m
< <


< −

.
Ví dụ 2. Tìm
m
để hàm số
( )
4 2
3
1
2
y m x mx= + − +
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải. Ta xét hai trường hợp sau đây:
•
1 0m + =

⇔

1m = −
. Khi đó
2
3
2
y x= +

⇒
hàm số chỉ có cực tiểu (
0x =
) mà
không có cực đại
⇒

1m = −
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
•
1 0m + ≠

⇔

1m ≠ −
. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc
4
có
( ) ( )
( )

3 2
' 4 1 2 4 1
2 1
m
y m x mx m x x
m
 
= + − = + −
 
+
 
.
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
⇔

'y
có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang
dương khi
x
đi qua nghiệm này
⇔

( )
( )
4 1 0
0
2 1
m
m
m

 + >


≤

+


⇔

1 0m− < <
.
Kết hợp những giá trị
m
tìm được, ta có
1 0m− ≤ <
.
Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số
( )
4 2
2 1y x m x m= − + +
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị
A
,
B
,
C

sao cho
OA BC
=
; trong đó
O
là gốc tọa độ,
A
là điểm cực trị thuộc trục tung,
B
và
C
là hai điểm cực trị còn lại.
Giải. Ta có
( ) ( )
( )
3 2
' 4 4 1 4 1
t x
y x m x x x m
 
= − + = − +
 
1 44 2 4 43
.
Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3

nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có
2
nghiệm phân biệt khác
0
⇔

1 0m
+ >

⇔

1m
> −
.
( )
*
Khi đó, ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
' 0y =

⇔

0

1
1
x
x m
x m
=


= − +


= +


⇒

( )
( )
( )
2
2
0;
1; 1
1; 1
A m
B m m m
C m m m




− + − − −



+ − − −

,
(vai trò của
B
,
C
trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử
( )
2
1; 1B m m m+ − − −
,
( )
2
1; 1C m m m− + − − −
).
Ta có
( )
0;OA m
uuur

⇒

OA m=
;
( )

2 1;0BC m +
uuur

⇒

2 1BC m= +
.
Do đó

OA BC
=

⇔

2 1m m= +

⇔

2
4 4 0m m− − =
(
' 8
∆ =
)
⇔

2 8m = ±
(thỏa mãn
( )
*

).
Vậy
2 8m = ±
.
Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
( )
4 2 2
2 1y x m x m= − + +
có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Giải. Ta có
( ) ( )
( )
3 2
' 4 4 1 4 1
t x
y x m x x x m
 
= − + = − +
 
1 44 2 4 43
.
Đồ thị hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3

nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có
2
nghiệm phân biệt khác
0
⇔

1 0m + >
⇔

1m > −
.
( )
*
Khi đó, ta có
' 0y =

⇔

0
1
1
x
x m
x m
=



= − +


= +

.
Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( )
2
0;A m
,
( )
1; 2 1B m m− + − −
,
( )
1; 2 1C m m+ − −
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ta thấy
A Oy∈
,
B
và
C
đối xứng nhau qua
Oy

nên tam giác
ABC
cân tại
A
. Do đó tam giác
chỉ có thể vuông tại
A
.
Ta có
( )
( )
2
1; 1AB m m− + − +
uuur
,
( )
( )
2
1; 1AC m m+ − +
uuur

⇒

( ) ( )
4
. 1 1AB AC m m= + − +
uuur uuur
.
Tam giác
ABC

vuông khi và chỉ khi
0AB AC =
uuuruuur

⇔

( ) ( )
4
1 1 0m m+ − + =

⇔

( ) ( )
3
1 1 1 0m m
 
+ + − =
 

⇔

1 0
1 1
m
m
+ =


+ =


⇔

1
0
m
m
= −


=

, kết hợp với điều kiện
( )
*
ta có
0m
=
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm
m
để hàm số
( )
4 2
1 1 2y x m x m= − − + −
chỉ có đúng một cực trị.
Bài 2. Cho hàm số
4 2 4
– 2 2y x mx m m= + +

(
m
là tham số). Tìm
m
để
1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông.
2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng
2012
đơn vị
diện tích.
Bài 3. [DHA04] Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
. Tìm
m
để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và cực tiểu của
( )
C
lập thành một tam giác vuông cân.
Bài 4. Cho hàm số
( )
4 2
3 1 2 1y x m x m= − − + +
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có các điểm cực đại,
cực tiểu
A

,
B
,
C
sao cho ba điểm này cùng với
( )
7;3D
cùng thuộc một đường tròn.
D. Đáp số
Bài 1.
1m
≤
. Bài 2. 1
3
4
4
m =
; 2
3
2 18
3
m =
; 3
2
5
503
4
 
 ÷
 

. Bài 3.
1m
= ±
. Bài 4.
3m
=
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15