Đề thi và đáp an thi thử đại học trương KT II

Trờng THPT kim thành ii
đề chính thức
Đề thi thử đại học năm 2011 lần iI
Mụn : Toỏn, khi A,B
(Thi gian 180 khụng k phỏt )
Cõu I: Cho hm s
2 1
1
x
y
x

=

cú th (C)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho.
2. Tỡm m, n ng thng (d) cú phng trỡnh y=mx+n ct (C) ti hai im phõn bit A, B i
xng vi nhau qua ng thng (d
1
): x+3y-7=0.
Cõu II:
1. Gii phng trỡnh:
4 4 2
2 2
sin os sin 2 1 os2
cot 2 cos2 cot 2
1 os2 2
x c x x c x
x x x
c x
+ + +

= +

2. Gii phng trỡnh:
( )
3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0x x x x x x + + + + =
Cõu III: Tớnh
2
0
1
cos
2 3sin 1
I x x dx
x


= +
ữ
+ +


Cõu IV: Cho hỡnh lng tr ng ABCD.ABCD. Cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, gúc A bng 60
0
.
Gúc gia mt phng (BAD) v mt ỏy bng 30
0
. Tớnh th tớch khi lng tr ABCD.ABCD v
khong cỏch t ng thng BC ti mt phng (BAD).
Cõu V: Cho a, b, c l ba s dng tha món
1

2
a b c+ + =
. Tớnh giỏ tr ln nht ca biu thc:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a b b c b c a c a c a b
P
a b b c a c b c a c a b a c a b b c
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + + + + +
PHN RIấNG (3 im)
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu VIa:
1. Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng ti A v D cú ỏy ln l CD, ng thng AD cú phng
trỡnh 3x-y=0, ng thng BD cú phng trỡnh x-2y=0, gúc to bi hai ng thng BC v AB
bng 45
0
. Vit phng trỡnh ng thng BC bit din tớch hỡnh thang bng 24 v im B cú
honh dng.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho mt cu (S):
2 2 2
4 2 6 11 0x y z x y z+ + + =
, mt
phng (P): 2x+3y-2z+1=0 v ng thng d:
1 1

2
3 5
x z
y
+
= =
. Vit phng trỡnh mt phng
(Q) bit (Q) vuụng gúc vi (P), song song vi d v tip xỳc vi (S).
Cõu VIIa: Cho phng trỡnh:
3 2
5 16 30 0z z z + =
(1), gi z
1
, z
2
, z
3
ln lt l 3 nghim ca phng
trỡnh (1) trờn tp s phc. Tớnh giỏ tr biu thc: A=
2 2 2
1 2 3
z z z+ +
.
B. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VIb:
1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + =
v ng
thng d cú phng trỡnh x+y+m=0. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m

t ú k c hai tip tuyn AB v AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam
giỏc ABC vuụng.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh:
1 1
2 1 3
x y z
= =
. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t
d ti (P) ln nht .
Cõu VIIb: Tỡm giỏ tr ln nht ca tham s m sao cho bt phng trỡnh:
( ) ( )
2 2
5 5
1 log 1 log 4x mx x m+ + + +
c nghim ỳng vi mi x

R.
.Ht
H v tờn SBD
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II
Câu Đáp án Điểm
I
1) Txd: D=R\{1}
2 1
lim 2
1
x
x
x

→±∞
−
=
−
=>y=2 là đường tiệm cận ngang.
1 1
2 1 2 1
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
+ −
→ →
− −
= +∞ = −∞
− −
=>x=1 là đường tiệm cận đứng
( )
2
1
' 0
1
y
x
= − <
−
với mọi x
D∈
Bảng biến thiên:

x -
∞
1 +
∞
y' - -
y
2 +
∞
-
∞
2
Hàm số nghịch biến trên khoảng:(-
∞
;1) và (1;+
∞
)
Hàm số không tồn tại cực trị
Khi x=0 =>y=1; x=-1=>y=3/2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng
2) phương trình đường thẳng d
1
:
1 7
3 3
y x= − +
Vì A, B đối xứng qua d
1
=> m=3 (do khi đó d
⊥
d

1
)
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+n
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

2 1
3
1
x
x n
x
−
= +
−
điều kiện x
≠
1

( )
2
3 5 1 0x n x n⇔ + − − + =
(1)
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ta có điều kiện
( ) ( )
2
5 12 1 0
3 5 1 0
n n
n n


∆ = − − − >


+ − − − ≠


đúng với mọi n
Gọi tọa độ đỉnh A(x
A
;3x
A
+n), B(x
B
;3x
B
+n)=> tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB
là
( )
3
;
2 2
A B
A B
x x
x x
I n
+ 
+
+
 ÷

 
, theo định li viet ta có:
5
3
A B
n
x x
−
+ =
tọa độ điểm
5 5
;
6 2
n n
I
− +
 
 ÷
 
, vì A, B đối xứng qua d
1
=> I
∈
d
1
=>n=-1
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x-1
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
II
1) Giải phương trình:
4 4 2
2 2
sin os sin 2 1 os2
cot 2 os2 cot 2
1 os2 2
x c x x c x
xc x x
c x
+ + +
− = +
−
(1)
Điều kiện:
sin 2 0 ,
2
x x k k Z
π
≠ ⇔ ≠ ∈
(1)
⇔
( )
( )
2

2
2 sin 2 1
cot 2 1 os2 0
2 1 os2 2
x
x c x
c x
+
 
− + + =
 ÷
−
 
os4 1c x⇔ =
2
x n
π
⇔ =
,n
∈
Z(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2) Giải phương trình:
( )
3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0x x x x x x− + + + − − + =
(1)
Đk:
2
5 5 0x x− + ≥

Từ (1)
( )
( )
( )
2 2
3 5 2 6 3 5 5 5x x x x x x⇒ − − − + − − + =

( )
2 2
3
5 2 6 5 5 0(2)
x loai
x x x x
 =
⇔


− − + − + =

Giải (2): đặt
2
5 5x x− +
=t, điều kiện t
≥
0
( )
( )
( )
2
1

2 6 7 0
7
t tm
t t
t loai
=
⇔ + − = ⇔

= −


Với t=1=>
2
5 5x x− +
=1
( )
1
4
x
tm
x
=


=

Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=4
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III
Tính :
2 2 2
0 0 0
1 cos
cos cos
2 3sin 1 2 3sin 1
x
I x x dx dx x xdx
x x
π π π
 
= + = +
 ÷
+ + + +
 
∫ ∫ ∫
2
1
0
cos 2 3
1 2ln
3 4
2 3sin 1
x
I dx

x
π
 
= = +
 ÷
+ +
 
∫
2 2
2
2
0
0 0
cos sin sin x 1
2
I x xdx x x dx
π π
π
π
= = − = −
∫ ∫
1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
π
= + = + −
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
IV Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B
xuống B’I, vì A=60
0
=>
∆
ABD đều cạnh a.
( )
'
'
BI AD
BIB AD
BB AD
⊥

⇒ ⊥

⊥

=>B’IB=30
0
Mà
3
2
a
BI =
=>
0
' .tan30

2
a
BB BI= =
Diện tích đáy ABCD là:
( )
2
3
2 d
2
ABCD ABD
a
S S dv t= =
0,25 đ
0,25 đ
I
B
A
B'
A'
D
D'
C
C '
K
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là

( )
3
3
'.

4
ABCD
a
V BB S dvtt= =
Do BC//AD=>BC//(B’AD)=> khoảng cách từ BC tới mặt phẳng (B’AD) bằng
khoảng cách từ B tới (B’AD).
Vì
( )
'
'
BK B I
BK B AD
BK AD
⊥

⇒ ⊥

⊥

Xét
∆
B’BI vuông tại B ta có
2 2 2
1 1 1 3
' 4
a
BK
BK BI BB
= + ⇒ =
Vậy khoảng cách từ đường thẳng BC tới (B’AD) bằng

3
4
a
.
0,25 đ
0,25 đ
V
Đặt a+b=x; b+c=y; a+c=z=>x+y+z=2(a+b+c)=1
xy yz zx
P
xy z yz x zx y
=> = + +
+ + +
Ta có
( ) ( ) ( )
xy xy xy
xy z xy z x y z x z y z
= =
+ + + + + +
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
 
⇒ = ≤ +
 ÷
+ + + + +
 
(1)

Chứng minh tương tự
1
.
2
yz y z y z
yz x y x z x y x z x
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + +
 
(2)
1
.
2
zx z x z x
zx y z y x y z y x y
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + +
 
(3)
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
3
2
P ≤
=> P
Max
=

3
2
khi a=b=c=
1
6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Phần riêng
A. Theo chương trình chuẩn
VI.a 1) tọa độ điểm D là:
3 0 0
2 0 0
x y x
x y y
− = =
 
⇔
 
− = =
 
=> D(0;0)
≡
O
Vecto pháp tuyến của đường thẳng
AD và BD lần lượt là
( ) ( )
1 2
3; 1 , 1; 2n n− −

ur uur
=>
( )
0
1
os 45
2
c ADB ADB= ⇒ =
=> AD=AB (1)
Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng
45
0
=> BCD=45
0
=>
∆
BCD vuông cân tại B=>DC=2AB
Theo bài ra ta có:
( )
2
1 3.
24
2 2
ABCD
AB
S AB CD AD= + = =
=>AB=4=>BD=
4 2
Gọi tọa độ điểm
;

2
B
B
x
B x
 
 ÷
 
, điều kiện x
B
>0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
B
D
C
A
=>
2
2
8 10
( )
5
4 2
2
8 10
( )
5
B

B
B
B
x loai
x
BD x
x tm

= −

 

= + = ⇔
 ÷

 
=


uuur
Tọa độ điểm
8 10 4 10
;
5 5
B
 
 ÷
 ÷
 
Vecto pháp tuyến của BC là

( )
2;1
BC
n =
uuur
=> phương trình đường thẳng BC là:
2 4 10 0x y+ − =
2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3) bán kính R=5
Vectơ pháp tuyến của (P):
( )
( )
2;3; 2
P
n = −
uuur
Vectơ chỉ phương của d:
( )
3;1;5u
r
Vectơ pháp tuyến của (Q):
( ) ( )
( )
17; 16; 7
Q P
n n u= ∧ = − −
uuur uuur r
vì (Q)
⊥
(P); (Q)//d
Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 17x-16y-7z+D=0

Theo bài ra ta có:
( )
( )
2 2 2
15 66 29
34 16 21
; 5
17 16 7 15 66 29
D
D
d I Q
D

= −
+ − +
= = ⇔

+ + = − −


Phương trình mặt phẳng (Q):
17 16 7 15 66 29 0x y z− − + − =
hoặc
17 16 7 15 66 29 0x y z− − − − =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
VII.a
3 2

5 16 30 0z z z− + − =
có 3 nghiệm là:
1 2 3
3; 1 3 ; 1 3z z i z i= = + = +
=>
2 2 2
1 2 3
7A z z= + + = −
0,5 đ
0,5 đ
B. Theo trương trình nâng cao
VI.b
1) Phương trình đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=3, từ A kể được hai tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB
⊥
AC
=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3=>IA=
3 2
. Để điểm A duy nhất =>
đường thẳng IA vuông góc với d ta có:
( )
5
1
; 3 2
7
2
m
m
d I d
m

= −
−

= = ⇔

=

2) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH
≥
HI=> HI lớn nhất khi A
≡
I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
uuur
là vecto pháp tuyến
( )
1 2 ; ;1 3H d H t t t∈ ⇒ + +
vì H là hình chiếu của A trên d nên
Vecto chỉ phương của d là:
( )
2;1;3u =
r
( ) ( )
0 4;1;4 7; 1;5AH d AHu H AH⊥ ⇒ = ⇒ ⇒ − −
uuurr uuur
Phương trình mặt phẳng (P):7x+y-5z-77=0
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
VII.b
Điều kiện:
2
4 0mx x m+ + >
đúng với
x R∀ ∈

2
0
2
4 0
m
m
m
>

⇔ ⇔ >

∆ = − <

(1)
( ) ( )
2 2
5
1 log 1 log 4x mx x m+ + ≥ + +
( )
2

5 4 5 0m x x m⇔ − − + − ≥
đúng với
x R
∀ ∈
2
5
5 0
3
0
10 21 0
m
m
m
m m
<
− >


⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
∆ ≤
− + − ≤


(2)
Từ (1), (2)=> bất phương trình đúng với
x R
∀ ∈
khi m=3
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Thí sinh vẫn được điểm tối đa nếu làm đúng các bài trên theo cách khác.