Giáo án Lượng giác 10 đây đủ các dạng

WWW.ToanCapBa.Net
LƯỢNG GIÁC 10
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Mối liên hệ giữa độ và radian: 180
0
=
π
(rad)
Công thức về độ dài cung: l =
α
.R trong đó l là độ dài cung,
α
là số đo cung tính
bằng đơn vị radian, R là bán kính đường tròn.
Mỗi góc lượng giác gốc Ođược xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của
nó
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì khác nhau
π
2k
( hay k360
0
), với k
là số nguyên
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị(bán kính bằng l), định hướng, trên đó có
1 điểm A gọi là điểm gốc.
Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM)=
α

gọi là điểm xác định bởi
số
α
( hay bởi cung
α
, hay bởi góc
α
). Điểm M còn được gọi là điểm trên đường
tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo
α
Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác: cho đường tròn lượng giác tâm
O, điểm gốc A. Xét hệ toạ độ vuông góc Oxy sao cho tia Ox trùng với tia OA, góc
lượng giác(Ox, Oy) là góc
π
π
2
2
k+
, k
Z∈
. Hệ toạ độ đó được gọi là hệ toạ độ vuông
góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho. Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn lượng
giác biểu diễn góc
α
.
Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou,Ov) hay của
α
và
kí hiệu cos(Ou,Ov)=cos
α

= x
Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác( Ou,Ov)= sin
α
= y
Nếu cos
≠
0( tức
),
2
Zkk ∈+≠
π
π
α
thì tỉ số
α
α
sin
cos
được gọi là tang của góc
α
,
kí hiệu là tan
α
Nếu sin
0≠
α
( tức
), Zkk ∈≠
πα
thì tỉ số

α
α
cos
sin
được gọi là côtang của góc
α

kí hiệu là cot
α
Các hệ thức cơ bản
Cos(
Zkkk ∈=+=+ ,sin)2sin(,cos)2
απααπα
tan
tan)( =+
πα
k
Zkk ∈=+ ,cot)cot(,
απαα

1sin1,1cos1 ≤≤−≤≤−
αα

1sincos
22
=+
αα
Nếu sin
0cos. ≠
αα

thì
α
α
tan
1
cot =
1+
α
α
2
2
cos
1
tan =
1+cot
2
α
α
2
sin
1
=
WWW.ToanCapBa.Net
1
WWW.ToanCapBa.Net
• BÀI TẬP
Câu 1) Rút gọn biểu thức: A=
)tan1(cos)cot1(sin
22
xxxx +++

Câu 2) Tính các giá trị lượng giác khác của
α
biết:
a) sin
α
=
5
4
(0
0
<
α
<90
0
)
b) cos
=
α
13
5
−
(180
0
<
α
<270
0
)
c) cot
3

2
=
α
(0
0
<
α
<90
0
)
d)cot 15
0
=2+
3
Câu 3) Cho sin
α
+cos
α
=m. Tính giá trị của
a) sin
αα
cos.
b)
αα
44
cossin +
c)
αα
22
cottan +

Câu 4) Cho tan
α
= -2, tính giá trị biểu thức: A=
αα
αα
sin3cos
cossin2
−
+
Câu 5) Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin
4
x –cos
4
x = 1- 2cos
2
x
b)
αααα
2222
cos.cotcoscot =−
c)
αααα
2222
sin.tansintan =−
d)
1cossin
cos2
cos1
1cossin

+−
=
−
−+
xx
x
x
xx
e)
βα
βα
βα
βα
22
22
22
22
sin.sin
sinsin
tan.tan
tantan −
=
−
f) 1+sin a+cos a+tan a=(1+cos a)(1+tan a)
g) tan x.tan y=
yx
yx
cotcot
tantan
+

+
h)
a
a
a
a
a
2
2
tan4
sin1
sin1
sin1
sin1
=








+
−
−
−
+
Câu 6) Rút gọn các biểu thức:
a) (tanx+cotx)

2
-(tanx-cotx)
2
b) (1-sin
2
x)cot
2
x+1-cot
2
x
c) tanx+
x
x
sin1
cos
+
d)
xx
x
xx
cos.cot
sin
tan.cos
2
−
e)
a
a
a
a

sin1
sin1
sin1
sin1
+
−
−
−
+
Câu 7) Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
WWW.ToanCapBa.Net
2
WWW.ToanCapBa.Net
a)
x
xx
x
xx
cot
cos.sin
cot
coscot
2
22
+
−
b)
xxx
x
222

22
cos.sin4
1
tan4
)tan1(
−
−
c) 2(sin
6
x+cos
6
x)-3(sin
4
x+cos
4
x)
d) 2(sin
4
x+cos
4
x+sin
2
x.cos
2
x)-(sin
8
x+cos
8
x)
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Cung đối ( tổng bằng 0) : cos(-
α
)= cos
α
; sin(-
α
)= -sin
α
tan(-
α
)= - tan
α
; cot(-
α
)= -cot
α
Cung bù ( tổng bằng
π
): sin(
)
απ
−
= sin
α
; cos(
απ
−
)= -cos
α

Tan(
)
απ
−
= - tan
α
; cot(
ααπ
cot) −=−
Cung phụ (tổng bằng
:)
2
π
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
π
α α
π
α α
− =
− =
sin( ) cos
2
cot( ) tan
2
π
α α
π

α α
− =
− =
Cung khác
π
( hiệu bằng
π
):
ααπ
ααπααπ
cos)cos(
sin)sin(;tan)tan(
−=+
−=+=+
• BÀI TẬP
Câu 1) Thu gọn các biểu thức sau:
a) A=
0
00
00
36tan
126cos144sin
216cos)234sin(
−
−−
b) B=
00
0
000
18cot.72tan

316cos
406cos)226tan44(cot
−
+
c) C=
)2,6tan(
)8,5cos()7,6cos(
)2,5cot(
)7,5sin().8,4sin(
π
ππ
π
ππ
−
−−
+
−
−−
d) D=cos20
0
+ cos40
0
+ cos60
0
+……….+ cos160
0
+ cos180
0
e) E= tan1
0

. tan2
0
. tan3
0
tan88
0
. tan89
0
f) F= sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+ sin
2
30
0
+ + sin
2
180
0
g) G= sin825
0
.cos(-15
0
)+ cos75
0

. sin(-555
0
)+ tan155
0
. tan245
0
Câu 2) Đơn giản các biểu thức sau:
a) A= sin(
+
π
x)
)
2
3
tan()2cot()
2
cos( xxx −+−+−−
π
π
π
b) B=
)
2
3
cot().
2
tan(
2
3
sin()cos( xxxx −+−−+−

πππ
π
c) C= cos(270
0
-x)-2sin(x- 450
0
)+ cos(x+900
0
)+2sin(720
0
-x)
Câu 3: Chứng minh rằng nếu A,B,C là 3 góc của một tam giác thì:
a)
C
CBA
cos
2
3
sin =
++

b) cos(A+B-C)= -cos2C
WWW.ToanCapBa.Net
3
WWW.ToanCapBa.Net
c)
2
3
cot
2

2
tan
CCBA
=
−+
Câu 4)Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xx
x
xx
xx
x
cossin
1tan
cossin
cossin
sin
2
2
+=
−
+
−
−
b)
xx
x
x
x
x

x
22
4
2
2
2
2
cottan
tan1
cot
cot1
tan1
tan
+
+
=
+
+
c)
x
x
xx
x
xx
x
2
2
cos1
cot1
sincos

cos
cossin
sin
−
+
=
−
−
+

d)
yx
yx
yx
yx
22
22
22
22
sin.sin
sinsin
tan.tan
tantan −
=
−
Câu 5) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 3(sin
8
x-cos
8

x)+4(cos
6
x-2sin
6
x)+6sin
4
x
b) B =
)212tan(
)1022cos().508cos(
572cot
958sin).328sin(
0
00
0
00
−
−−
−
−
c) C =
0000
0000
73tan.197tan)505cot(.415cot
408cot222cot475cos515sin
+−
+
d) D=
xxx
22

coscotsin
1
−−
với
.2
ππ
<<
x
Câu 6) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=
xx
xxxx
33
23
cossin
sinsin.coscos
−
−+
biết tanx=2
b) B=2sin
4
x+3cos
4
x biết 3sin
4
x+2cos
4
x=
81
98

c) C=cosx biết sin
)
2
sin(1)
2
(
ππ
+=+− xx
d) D=
xx
xx
tancot
tancot
−
+
biết sinx=
5
3
và 0<x<
2
π
Câu 7) Chứng minh rằng:
a)
x
x
x
x
sin3
sin2
2

1
2sin
1sin
−
−
≥+
−
+
b) Nếu0<x<
4
π
thì
8
)sin(cossin
cos
2
>
− xxx
x
c)
0
cotcos
tansin
>
+
+
xx
xx
Câu 8) Cho a,b,x,y là các số thực thoã mãn đồng thời các điều kiện: a sin
2

x+b cos
2
x=1;
a cos
2
y+b sin
2
x=1; a tanx=b tany. Chứng minh rằng a+b=2ab.
Câu 9) Giả sử p, q, x, y là các số thực thoã mãn các điều kiện: p cot
2
x+ q cot
2
y=1;
pcos
2
x+qcos
2
y=1; p.sinx=q.siny. Chứng minh rằng (p
2
-q
2
)
2
= -pq.
Câu 10) Cho tam giác vuông ABC, gọi D, E là 2 điểm trên cạnh huyền BC sao cho
BD=DE=EC. Biết độ dài cạnh AD=sinx, AE= cosx. Tính độ dài cạnh huyền BC.
WWW.ToanCapBa.Net
4
WWW.ToanCapBa.Net
CÔNG THỨC CỘNG

• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Công thức đối với sin và côsin:
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb
Công thức cộng đối với tang:
tan(a+b)=
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
+
−
tan(a-b)=
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−
+
với mọi a, b làm cho các biểu thức có nghĩa.
• BÀI TẬP
Câu 1)Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A=
)
4
3
cos()
6

cos()
4
cos()
3
cos(
ππππ
++++− xxxx
Câu 2) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau:
a) A=cos80
0
.cos40
0
-sin80
0
.sin40
0
b) B=cos(a-30
0
) biết rằng: tana=
2
(0<a<90
0
)
c) C=cos(
)
3
π
α
+
, biết sin

3
1
=
α
và 0<
2
π
α
<
.
Câu 3) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau:
a) A=cos(
)
12
π
b) B=sin285
0
c) C=sin(-105
0
) d) D=tan
12
5
π
Câu 4) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=sin4x.cot2x-cos4x
b) B=cos(40
0
-x)cos(x+20
0
)-sin(40

0
-x)sin(x+20
0
)
c) C=sin(x+10
0
)cos(2x-80
0
)+sin(x+100
0
)cos(2x+10
0
)
d) D=sin(a+b)+sin(
)sin()
2
ba −−
π
e) E=
aaa
2
sin
2
1
)
4
cos().
4
cos( +−+
ππ

f) F=
)sin()
2
sin().
2
cos( baba −−−−
ππ
g) G=
xx
xx
tan)290cot(1
)90cot(2tan
0
0
−+
++
Câu 5) Không dùng máy tính hãy tính các giá trị biểu thức sau:
WWW.ToanCapBa.Net
5
WWW.ToanCapBa.Net
a) A=cos68
0
.cos78
0
+cos22
0
cos12
0
-sin100
0

b) B=
00
000
251tan259cot
71cot.79cot225cot
+
−
c) C=sin
2
20
0
+sin
2
100
0
+sin
2
140
0
d) D=cos(-53
0
).sin(-337
0
)+sin(307
0
).sin(113
0
)
e) E=(cos70
0

+cos50
0
)(cos310
0
+cos290
0
)+(cos40
0
+cos160
0
).(cos320
0
-cos380
0
)
Câu 6) Không dùng máy tính hãy tính trị các biểu thức sau:
a) A=sin(
)
3 a−
π
biết rằng: cosa=-
13
12
và
<<
22
a
π
4
3

π
b) B=tan(a+
)
4
π
biết rằng: cot(
2)
2
5
=− a
π
Câu 7) Cho a, b là các góc nhọn và: sina=
4
3
)
2
5
tan(,
3
2
=− b
π
. Tính sin(a+b); cos(a-b) và
tan(a-b).
Câu 8) Cho 0<a<
4
;
2
0,
2

πππ
=+<< bab
và tân.tanb=3-2
2
a) Tính tana+tanb
b) Tnhs tana, tanb, từ đó suy ra a, b.
Câu 9) Rút gọn biểu thức:
a) A=sin
2
a sin
2
b-cos
2
a cos
2
b
b) B=
0000
0000
28cos42cos62cos132cos
17cos87sin3cos73sin
+
−
c) C=
b
baba
ba
tan
)cos()cos(
)sin(2

−
−++
+
d) D=
ac
ac
cb
cb
ba
ba
coscos
)sin(
coscos
)sin(
coscos
)sin( −
+
−
+
−
e) E=
xx
xx
22
22
tan.2tan1
tan2tan
−
−
Câu 10) Chứng minh các đẳng thức sau:

a)
aaa sin)
3
sin()
3
sin( =−−+
ππ
b)
1cot.cot
1cot.cot
)cos(
)cos(
−
+
=
+
−
ba
ba
ba
ba
c) cosx+sinx=
)
4
sin(2)
4
cos(2
ππ
+=− xx
d) cosx-sinx=

)
4
sin(2)
4
cos(2
ππ
−−=+ xx
Câu 11) Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C. Chứng minh:
a) cosA=sinB.sinC-cosB.cosC
b)
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
CBCBA
−=
Câu 12) Chứng minh các đẳng thức sau:
WWW.ToanCapBa.Net
6
WWW.ToanCapBa.Net
a) sin(a+b)sin(a-b)=sin
2
a-sin
2

b
b)
)
2
;
2
(tan.tan1
cos.cos
)cos().cos(
22
22
π
π
π
π
lbkaba
ba
baba
+≠+≠−=
−+
c) Sin
2
(a-b)+sin
2
b+2sin(a-b)sinb.cosa=sin
2
a
Câu 13) Cho a, b thoã mãn
a) cos(a+b)=0. Chứng minh rằng: sin(a+2b)=sina
b) 3sinb=sin(2a+b). Chứng minh rằng: tan(a+b)=2tana (

π
π
π
π
lbka +≠+≠
2
;
2
c) Cos(a+b)=k.cos(a-b). Chứng minh rằng: tana.tanb=
π
π
π
π
lbka
k
k
+≠+≠
+
−
2
;
2
(
1
1
)
Câu 14) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (tam giác ABC không vuông)
b)
1

2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan =++
ACCBBA
Câu 15) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=sin
2
x+cos
)
3
cos()
3
( xx −+
ππ
b) B=sin
2
x+sin
2
(60
0
+x)+sin

2
(x-60
0
)
Câu 16) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=cos
2
x+cos
2
(120
0
+x)+cos
2
(120
0
-x)
b) B=tanx.tan(
xxxxx tan).
3
2
tan()
3
2
tan().
3
tan()
3
ππππ
++++++
CÔNG THỨC NHÂN

”
• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Công thức góc nhân đôi:
 Công thức nhân đôi:
Sin2a=2sina.cosa
Cos2a=cos
2
a-sin
2
a=2cos
2
a-1=1-2sin
2
a
Tan2a=
a
a
2
tan1
tan2
−
 Công thức hạ bậc:
Sin
2
a=
1 cos2
2
a−
cos
2

a=
1 cos2
2
a+
Tan
2
a=
1 cos2
( )
1 cos2 2
a
a k
a
π
π
−
≠ +
+
Lưu ý: các công thức này cho phép biến đổicác biểu thức
ααα
222
tan,sin,cos
thành
biểu thức của cos2
α
 Công thức tính theo t=tan
ππ
2(
2
ka

a
+≠
)
2
1
2
sin
t
t
a
+
=
, cosa=
2
2
1
1
t
t
+
−
, tana=
2
1
2
t
t
−
WWW.ToanCapBa.Net
7

WWW.ToanCapBa.Net
Công thức góc nhân ba:
 Sin3a=3sina-4sin
3
a
Cos3a=4cos
3
a-3cosa
Tan3a=
π
π
ka
a
aa
+≠
−
−
2
3(
tan31
tantan3
2
3
)
 Công thức hạ bậc ba
Sin
3
a=
)3sinsin3(
4

1
aa −
Cos
3
a=
)3coscos3(
4
1
aa +
• BÀI TẬP
Câu 1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=cos
2
(x+45
0
)-sin
2
(x+45
0
)
b) B=cos
4
2x-sin
4
2x
c) C=(sinx+cosx)
2
d) D=1-8sin
2
x.cos

2
x
e) E=
)
2
2sin().
2
sin(.sin4
ππ
++ xxx
f) F=
)cot1)(tan1(
2
aa +−
g) G=(1-tan
2
a)cota
Câu 2) Tính theo cos2x các biểu thức sau:
a) A=1+cos
2
x
b) B=
x
x
2
2
cot1
cot1
−
+

Câu 3) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=
24
cos
24
cos
42
ππ
−
b) B=tan
2
15
0
+tan
2
75
0
Câu 4) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
A=
7
4
cos.
7
2
cos.
7
cos
πππ
B=
6

cos
12
cos
24
cos
48
cos
48
sin396
πππππ
C=8tan18
0
.cos18
0
.cos36
0
.cos72
0
D=sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
E=
33
16
cos.

33
8
cos.
33
4
cos.
33
2
cos.
33
cos
πππππ
F=
00
10cos
3
10sin
1
−
WWW.ToanCapBa.Net
8
WWW.ToanCapBa.Net
G=
8
tan1
8
7
tan
2
π

π
−
Câu 5) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=1+sin2x
b) B=1-sinx
Câu 6)
a) Tính: sina, cosa, tana biết a=112
0
30
’
b) Cho sina+cosa=
2
7
và 0<a<
6
π
. Tính tan
2
a
c) Cho 0<a<
1sin2sin3;
2
0;
2
22
=+<< bab
ππ
và
02sin22sin3
=−

ba
.
Tính cos(a+2b). Suy ra số đocủa góc(a+2b).
Câu 7) Chứng minh rằng:
a) sin4a=4sinacosa(1-2sin
2
a)
b) cos4a=8cos
4
a-8cos
2
a+1
c) tanx+cotx=
x2sin
2
d)
x
x
x
tan
2sin
2cos1
=
−
e)
x
xx
xx
cot
sin2sin

2coscos1
=
−
+−
f) Cos
4
x+sin
4
x-6cos
2
x.sin
2
x=cos4x
g) 4cosx.cos(60
0
+x).cos(60
0
-x)=cos3x. Từ đó tính C=4cos10
0
cos70
0
cos50
0
Câu 8) Chứng minh rằng:
a)
)2(
2
tan
2sinsin2
2sinsin2

2
ππ
ka
a
aa
aa
+≠=
+
−
b)
x
xx
x
4sin
2
1
tancot
4cos1
=
−
+
c)
2
tan
2
coscos1
2
sinsin
x
x

x
x
x
=
++
+
d)
a
a
a
a
tan1
tan1
sin21
sin21
2
+
−
=
+
−
e)
2
cos
)cos1(2
coscossin
2
244
a
a

aaa
=
−
+−
f)
x
x
x
x
x
2cos8
cos
3cos
sin
3sin
2
2
2
2
==
g)
a
aa
aa
4
22
22
tan
4sin42sin
sin42sin

=
−+
−
WWW.ToanCapBa.Net
9
WWW.ToanCapBa.Net
h)
xxx
x
x
8sin4cot.8cos
2cot2
12cot
2
=−
−
Câu 9) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:
a) A=
sin
3sinsin
cos
3coscos
33
xx
x
xx +
+
−
b) B=sin
4

x+sin
4
(x+
+)
4
π
sin
4






+
2
π
x

+ sin
4






+
4
3

π
x
Câu 10) Chứng minh rằng nếu tan
b
ax
=
2
thì biểu thức A=asinx+bcosy không phụ thuộc
vào a và x.
Câu 11) Cho
γβα
,,
thoả: cos
co
ca
b
cb
a
,cos,
+
=
+
=
βα
ab
c
s
+
=
γ

. Chứng minh biểu
thức: E=
2
tan
2
tan
2
tan
222
γβα
++
không phụ thuộc vào a, b, c.
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
• TÓM TẮT GIÁO KHOA
Công thức biến đổi tổng thành tích
Cosa.cosb=
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b+ + −
Sina.sinb=
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b− − +
Sina.cosb=
[ ]
1

sin( ) sin( )
2
a b a b+ + −
Cosa.sinb=
[ ]
1
sin( ) sin( )
2
a b a b+ − −
Đặc biệt cos
2
a=
1
(1 cos2 )
2
a+
Sin
2
a=
1
(1 cos2 )
2
a−
Sina.cosa=
1
.sin 2
2
a
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Cosx+cosy=2.cos

cos
2 2
x y x y+ −
Cosx-cosy=-2.sin
sin
2 2
x y x y+ −
WWW.ToanCapBa.Net
10
WWW.ToanCapBa.Net
Sinx+siny=2.sin
cos
2 2
x y x y+ +
Sinx-siny=
2cos sin
2 2
x y x y+ −
tanx
sin( )
tan ( ,
cos .cos 2 2
x y
y x k y m
x y
π π
π π
±
± = ≠ + ≠ +
)

cotx
sin( )
cot ( , )
sin .sin
y x
y x k y m
x y
π π
±
± = ≠ ≠
Ghi chú: Các công thức:
1+cosx=2cos
2
2
x
;
1-cosx=2sin
2
x
2
x
Cosx+sinx=
cos2
( ) 2 sin( )
4 4
x x
π π
− = +
Cosx-sinx=
2 cos( ) 2 sin( )

4 4
x x
π π
+ = − −
Cũng thường dùng để biến tổng thành tích.
• BÀI TẬP
Câu 1) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:
a) A=cos5x.sin3x
b) B=cos(x+y).cos(x-y)
c) C=sin15
0
.sin75
0
d) D=2sinx.sin2x.sin3x
e) E=sinx.cos(x+60
0
).cos(x-60
0
)
Câu 2) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:
a) A=sin(a+30
0
)cos(a-30
0
)
b) B=8cosx.sin2x.sin3x
c) C=sin(x+
xx 2cos).
6
sin().

6
ππ
−
d) D=4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a)
Câu 3) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=1+2cosx
b) B=1-2sinx
Câu 4) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=cos(x-30
0
)-cos(x-60
0
)
b) B=1+sinx+cos2x
c) C=sin5a+sin6a+sin7a+sin8a
d) D=sin
2
x-2sin
2
2x+sin
2
3x
e) E=4cos
2
x-1
f) F=cos(60
0
+x)+cos(60
0
-x)+cos3x

g) G=sin70
0
-sin20
0
+sin50
0
Câu 5) Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
WWW.ToanCapBa.Net
11
WWW.ToanCapBa.Net
a) sin70
0
+cos70
0
=
2
6
b) sin65
0
+sin55
0
=
3
cos5
0
c) cos12
0
-cos48
0
=sin18

0
d) tan267
0
+tan93
0
=0
Câu 6) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=4(cos24
0
+cos48
0
-cos84
0
-cos12
0
)
b) B=
7
6
cos
7
4
cos
7
2
cos
πππ
++
c) C=
4

5
sin.
4
sin
xx
biết x=60
0
d) D=sin20
0
.sin60
0
.sin8
Câu 7) Rút gọn biểu thức:
a) A=
a
aa
4cos2
3sin5sin −
b) B=
xxx
xxx
3sin2sinsin
3cos2coscos
+−
+−
c) C=
aa
aa
4sin4cos1
4cos4sin1

++
−+
d) D=
5
8
cos.
5
4
cos.
5
2
cos.
5
cos
xxxx
e) E=
7
5
sin
7
3
sin
7
sin
xxx
++
f) F=sin4x.sin10x-sin11x.sin3x-sin7x.sinx
Câu 8) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A=cos10
0

.cos30
0
.cos50
0
.cos70
0
b) B=
0
0
70sin4
10sin
1
−
c) C=
cos
5
4
cos
5
2
cos ++
ππ
5
8
cos
5
6
ππ
+
d) D=

0
0
000
000
15tan33
15tan33(6
50cos45cos40cos
50sin45sin40sin
−
+
−
+−
+−
Câu 9) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=
aa
aa
2sin4sin
2cos4cos
+
−
b) B=
xx
xx
2coscos
2sin4sin
22
22
−
−

c) C=
xxx
xxx
6cos4sin2cos
6cos4sin2cos
−+
−−
d) D=
1coscos2
3cos2coscos1
2
−+
+++
aa
aaa
WWW.ToanCapBa.Net
12
WWW.ToanCapBa.Net
e) E=
)sin().sin(
sin
)sin().sin(
sin
)sin().sin(
sin
bcac
c
cbab
b
caba

a
−−
+
−−
+
−−
f) F=
aba
aba
aba
aba
cos)cos(
cos)cos(
sin)sin(
sin)sin(
−+
++
−
++
−+
Câu 10) Rút gọn các biểu thức:
a) A=cos
2
a+cos
2
2ª+ +cos
2
na
b) B=
n

n
aaaa
3
sin3
3
sin3
3
sin3
3
sin
31
3
32
3
33 −
++++
c) C=
)(
)1cos(.cos
1

3cos.2cos
1
2cos.cos
1
*
Nn
annaaaaa
∈
+

+++
Câu 11) Chứng minh các đẳng thức:
a) sina.sin(b-c)+sinb.sin(c-a)+sinc.sin(a-b)=0
b) sina+sinb+sinc=
2
sin.
2
cos.
2
cos4
cba
với a+b=c
Câu 12) Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
aa
aaa
a
2sin.sin2
5cos3coscos2
4sin
2
=
++
b) 8sin
2
x.sin(x+60
0
).sin(x-60
0
)=cos4x-cos2x

c) (sinx+cosx)
2
-cos4x=4sin2x.sin(x+15
0
).cos(x-15
0
Câu 13)
a) Cho
π
π
π
π
ϕ
lbkaba +≠+≠=
2
;
2
(cos.coscos
). Chứng minh rằng:
2
tan
2
tan.
2
tan
2
baa
=
−+
ϕϕ

b) Cho sin(2a+b)=5sinb. Chứng minh rằng:
c) Cho
B
A
x
x
b
a
;
)sin(
)sin(
β
α
−
−
=
=
)cos(
)cos(
β
α
−
−
x
x
và aB+bA
0
≠
. Chứng minh rằng:
)cos(

bAaB
bBA
βα
−=
+
+a
Câu 14) Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C=1-2cosA.cosB.cosC
b) cosA+cosB+cosC=1+4sin
2
sin.
2
sin.
2
CBA
c) sinA.cosB.cosC+sinB.cosC.cosA+sinC.cosA.cosB=sinA.sinB.sinC
Câu 15) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=sin
2
x+cos
)
3
cos().
3

( xx −−
ππ
b) B=
x
xx
xx
cot.
2sin2cos1
2sin2cos1
++
+−
Câu 16) Không cần dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức:
WWW.ToanCapBa.Net
13
WWW.ToanCapBa.Net
a) A=cos
15
7
cos.
15
6
cos.
15
5
cos.
15
4
cos.
15
3

cos.
15
2
cos.
15
πππππππ
b) B=cos10
0
.cos50
0
-cos5
0
.cos25
0
+
2
1
sin10
0
Câu 17) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=sin
2
50
0
+sin
2
10
0
+sin50
0

.sin10
0
b) B=sin5
0
.sin15
0
.sin25
0
sin65
0
.sin75
0
.sin85
0
c) C=3sin15
0
.sin75
0
+
0404
0
75sin15sin
60sin
−
d) D=









−−−
0
0
0
00
5sin
40cos
5cos2
1
35sin210sin.22
Câu 18) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A=cos(90
0
+2a) và B=cos(270
0
+4a) biết cos(45
0
+a)=2
b) B=sin
4
a+cos
4
a biết sina+cosa=m
c) C=
aa
aa
cottan

cottan
+
−
biết sina.cosa=
4
0;
4
3
π
<< a
Câu 19) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=cot2x+
x
x
tan
2sin
1
+
b) B=sinx(1+2cos2x+2cos4x+2cos6x)
c) C=
aaaa
aaaa
10sin9sin8sin7sin
10cos9cos8cos7cos
+−−
+−−
Câu 20) Chứng minh các đằng thức sau:
a)
x
xx

cos
2
)
24
cot()
24
tan( =+++
ππ
b) sin
8
x-cos
8
x=-
)6cos
8
1
2cos
8
7
( xx +
c) 3-4cos2x+cos4x=8sin
4
x
d)
1
cos
tan3
tan
cos
1

2
2
6
6
+=−
x
x
x
e) tan2a.tan(30
0
-a)+tan2a.tan(60
0
-a)+tan(60
0
-a).tan(30
0
-a)=1
Câu 21) Chứng minh các đằng thức sau:
a)
xxxxx 6cos
32
1
4cos
16
1
2cos
32
1
16
1

cos.sin
42
−−+=
b) tan4x-
xx
xx
x 2cos2sin
2cos2sin
4cos
1
+
−
=
c) cos(2x+60
0
).cos(2x-60
0
)=
4
1
4cos
2
1
−x
d)
3
4sin(2sin2cos3
π
−++ xxx
)=

)
6
(sin).
6
2cos(4
2
ππ
+− xx
Câu 22)
WWW.ToanCapBa.Net
14
WWW.ToanCapBa.Net
a) Cho
.2
sin
cos1
=
+
a
agi
Tính giá trị của: tan
aa
a
2cos);
4
cot(;
2
π
−
b) Cho




=+
=+
byx
ayx
coscos
sinsin
. Tính giá trị của: cos(x-y), cos(x+y), tan
2
yx +
Câu 23) Cho cos
2
x+cos
2
y=m, chứng minh: cos(x+y).cos(x-y)=m-1
Câu 24) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=
)4cos2(cos2
sin
5sin
xx
x
x
+−
b) B=3cos2x+5sin
4
x+4sin
2

x.cos
2
x-cos
4
x
c) C=
xxxx
x
4sin2cot.4coscot
2
1tan
2
++
−
Câu 25)
a) Biết: tan(270
0
+a)=-2. Tính giá trị của sin(90
0
+2a) và cos(180
0
+4a)?
b) Biết:
2
1
sin4sin7sin
cos4cos7cos
=
++
++

aaa
aaa
. Tính cos8a
Câu 26) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin3xcosx-cos3xsinx-cos2x
2≤
b)
2sin2sincos2cos3sin3 ≤−+ xxxxx
c)
xxxxxxx 3cossin3sin.cos.sincos2cos
2
−+
1≤
d)
4
1
)60sin().60sin(.sin
00
≤−+ xxx
e) Cosx.cos3x-sin2x.sin4x
1≤
f) 2sinx(cosx+cos3x+cos5x+cos7x+coss9x)
1≤
.Khi nào đẳng thức xảy ra?
Câu 27) Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A=sinx.cosx.cos2x.cos4x
b) B=cos
4
x+sin
4

x+cos
2
x.sin
2
x
c) C=2sin
6
x+2cos
6
x-sin
4
x-cos
4
x+cos
2
x-sin
2
x
d) D=sin
4
x-cos
2
x+
x2cos
4
5

WWW.ToanCapBa.Net
15