Các chuyên đề toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 (hay)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định ( có nghĩa)
• Kiến thức ghi nhớ:
A
xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nên nhấn mạnh chổ
này vì một số HS hay nhầm khi viết
A
≥ 0)
Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a,
52 −x
b,
63 +− x
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau xác định:
a,
5
4
−
+x
b,
x24
7
−
( GV nhấn mạnh HS: Phân thức trong căn có tử và mẫu cùng dấu nhưng mẫu phải
khác 0)
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
xx −+− 31
( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện )
Ví dụ 4 : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các căn thức sau xác định
a,

32
1
−
+
x
x
b,
8
35
+
−
x
x
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức
AA =
2
VD1: Tính:
( ) ( )
22
5151 −++
( Nhấn mạnh HS khi mở | a – b| nếu a < b thì | a – b | = b – a. Đổi chổ hai số )
VD2: Tính: a,
7474 −++
b,
( ) ( )
22
1111 −−++− aa
với a ≥ 1
VD: Rút gọn:
2

2
4
12
1
2
x
xx
x
+−
−
với x > 0, x ≠ 1
Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia căn bậc hai:
Ví dụ: a,
6
3
2
2
3








−
b,
( )
5805320 +−

Dạng 4: Sử dụng các phép biến đổi căn bậc hai
1, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
baba =
2
với b>0
Ví dụ 1: Rút gọn: a,
721834520 ++−
b,
10875248 +−
Ví dụ 2: Rút gọn:
( )
2
125083 −−−
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2, Khử mẫu
VD: a,
5
2
; b,
12
7
; c,
2
18
5
ab
( a > 0)
3, Trục căn thức ở mẫu:

TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu:
Ví dụ: Rút gọn: a,
53
10
b,
21
82
21
63
+
+
−
−
−
c,








−
−
−









+
+
+
13
33
2
13
33
2
TH2: Nhân thêm với căn ở mẫu
Ví dụ: a,
3
4
b,
a2
3
( a > 0 )
TH3: Nhân với biểu thức liên hợp:
( Lưu ý HS:
( ) ( )
ba
baC
ba
C
ba
baC

ba
C
−
=
±
−
=
±

;
2
. Sau khi nhân với biểu thức liên
hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thì mất căn, nếu không chứa căn thì phải
bình phương và mẫu luôn là hiệu)
Ví dụ: a,
15
5
−
b,
73
1
73
1
+
−
−
c,
25
2
25

2
+
−
−
d,
611
10
611
10
+
+
−
RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT
Lưu ý HS một số công thức: Với a ≥ 0 thì:
a =
2
)( a
;
)1)(1(1)(1;)1)(1(1;)(
333
++−=−=−+−=−= aaaaaaaaaaaa
)1(12;)1(12;)1)(1(1)(1
2233
−=+−+=+++−+=+=+ aaaaaaaaaaaa
Dạng 1: Phân tích tử thành tích có chứa nhân tử là mẫu
Ví dụ 1: Rút gọn:









+
−
−








−
−
−
1
1
2
1
1
a
aa
a
a
với a ≥ 0, a ≠ 1;
VD2: Rút gọn:
2

1
1
1
1








−
−








+
−
−
a
a
a
a
aa

với a ≥ 0, a ≠ 1;
Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng có một mẫu là mẫu chung
VD1: Cho M =








+
−








−
−
− 1
:
1
1 x
x
x
x

x
x
x
với x > 0, x ≠ 1.
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
a, Rút gọn M
b, Tìm x sao cho M ≤ 0
VD2: Cho biểu thức K =
xx
xx
x
x
−
−
−
−
2
1
với x > 0, x ≠ 1
a, Rút gọn
b, Tính giá trị của K tại x =
324+
VD3: Cho P =
x
x
x
x
x

x
−
+
+
+
+
−
+
4
52
2
2
2
1
với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P = 2
Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu
VD1: Cho Q =








−
+
−

+
−








−
112
1
2
a
aa
a
aa
a
a
với a > 0, a ≠ 1
a, Rút gọn
b, Tìm x để Q ≥ -2
Dạng 4 : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khá giỏi) ( GV lấy thêm các ví dụ)
VD: Cho P =
12
:
1
11
++









+
−
+ xx
x
xxx
với x > 0
a, Rút gọn
b, Tìm x để P >
2
1
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số
VD1: Giải các hệ PT
a,



−=−
=+
13
42
yx

yx
b,



−=+
=−
2
52
yx
yx
VD2: Giải các hệ PT:
a,



−=+
−=−
132
42
yx
yx
b,



−=+
=+
143
12

yx
yx
VD3: Giải các hệ PT
a,
( )



−=−
=+−
83
312
yx
yx
b,



−=+
−=−
xyx
yyx
33
212
II. Biện luận hệ PT
VD1: Cho hệ PT :



=−

=+
abyx
bayx4
Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2; -1)
VD2: Cho hệ PT:



=−
=+
1
53
ymx
myx
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
3
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
a, Gii h vi m =2
b, Chng minh h cú nghim duy nht vi mi m
III. Gii h PT bng PP th:
( Nu cú thi gian cỏc /c tỡm thờm mt s vớ d v cỏc h PT m phi gii bng
PP th)
CHUYấN 3: CC BI TON V HM S y = ax + b ( a 0)
Dng 1: V th hm s:
- im ct trc tung: x = 0; y = b (0 ; b)
- im ct trc honh: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; 0 )
VD1: V th hm s : y = 2x 3
VD2: V th hm s : y = x + 5
( Lu ý HS: Nu a > 0 thỡ th hm s cú chiu i lờn t trỏi qua phi, nu a < 0
thỡ th hm s cú chiu i xung)

Dng 2: Tỡm iu kin hm s ng bin nghch bin:
VD: Vi giỏ tr no ca m thỡ hm s y = ( m +2)x 3 ng bin trờn tp xỏc nh.
Dng 3: Tỡm s hng cha bit ca hm s:
Lu ý HS: Cho hai hm s y = ax + b v y = mx + n ( a, m 0). th ca hai hm s
- Ct nhau khi a m ( Ct nhau ti im trờn trc tung khi a m v b = n)
- Song song vi nhau khi a = m, b n
- Trựng nhau khi a = m, b= n
th ca hm s y = ax + b song song vi trc honh khi a = 0, b 0.
VD1: Cho hm s y = 3x + b. Tỡm b bit th hm s i qua im M ( 1; -2)
VD2: Tỡm m ng thng y = 2x -1 v ng thng y = 3x + m ct nhau ti mt
im trờn trc honh?
VD3: Bit ng thng y = ax + b i qua im M ( 2; ẵ) v song song vi ng
thng 2x + y = 3 . Tỡm a v b ?
VD4: Bit ng thng y = ax + b iqua im P ( -1;2) v ct ng thng y = 2x 3
ti mt im trờn trc tung. Tỡm a v b?
VD5: Bit ng thng y = ax + b i qua im A(2; 3) v im B(-2; 1). Tỡm a v b?
VD6: Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d cú PT: y = (m -1 )x + n
a, Vi giỏ tr no ca m v n thỡ d song song vi trc Ox
b, Xỏc nh phng trỡnh ca d, bit d i qua im A (1; -1) v cú h s gúc
bng -3
CHUYấN 4: GII PHNG TRèNH ax
2
+ bx + c = 0
Chuyên đề 5
: Phơng trình bậc hai
Phần II. kiến thức cần nắm vững
1. Công thức nghiệm:
Phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có = b

2
- 4ac
+Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
4
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
+Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b
2

2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có

=b

2
- ac ( b =2b


)
+Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
+Nếu

> 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=

a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thì : S = x
1
+x
2
=
a
b
; P = x
1
.x

2
=
a
c
b) ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+Hệ quả 2:
Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2

có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình :
x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
4P 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng đợc khi phơng trình có nghiệm (tức là 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
Phần II. bài tập rèn luyện
I. Toán trắc nghiệm
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng

a) Phơng trình mx
2
+nx+p = 0 (m 0) có =
Nếu thì phơng trình vô nghiệm
Nếu thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
b) Phơng trình px
2
+qx+k = 0 (p 0) có

= (với q = 2q


)
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
5
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Nếu

thì phơng trình vô nghiệm
Nếu

thì phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu

thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
b
; P = x

1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm:

x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm:
x
1
= -1; x
2
=
a
c
F. Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm:

x
1
= -1; x
2
=
a
c
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x
2
- S
x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x
2
- P
x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x
1
= 1;
x
2
=
a
c
B.Nếu phơng trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x
1

= -1;
x
2
=
a
c
C.Phơng trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b
và tích hai nghiệm là
a
c
D.Phơng trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a

0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:

0)
II. Toán tự luận
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
6
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Bài 1: Giải phơng trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Giải:
a) Giải phơng trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;

= 51

Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
=

=x
;
50
2
51)49(
2
=
+
=x
+ Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
Do a b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phơng trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=

+ Lời giải 3: = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=
=




===
+==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phơng trình có nghiệm: x
1

= - 1; x
2
=
50
1
50
=


b) Giải phơng trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x 2
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = 2
3
)
= (2
3
)

2
- 4(2-
3
)( 2
3
) = 16;

= 4
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=

+
=x
;
)347(
)32(2
432
2
+=


=x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3

; b

=
3
; c = 2
3
)


= (
3
)
2
- (2-
3
)( 2
3
) = 4;

= 2
Do

> 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=

+
=x
;
)347(
32
23
2
+=


=x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phơng trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+=

*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
7
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1. 3x
2
7x - 10 = 0
2. x
2
3x + 2 = 0
3. x
2
4x 5 = 0
4. 3x
2
2
3
x 3 =
0
5. x
2
(1+
2
)x +

2
= 0
6.
3
x
2
(1-
3
)x 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x 2 +
3
= 0
8. x
2

x
6 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phơng trình
x
2
42x + 441 = 0 (*)
Ta có:

= (- 21)
2
- 441 = 0
Phơng trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tập t ơng tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thớc mảnh vờn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
Bài 3: Giải các phơng trình sau
(phơng trình quy về phơng trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
+

+
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
d) 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0
Giải
a) Giải phơng trình x
3
+ 3x
2
2x 6 = 0 (1)
(1) (x
2
- 2)(x + 3) = 0 (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
x = -
2
; x =
2
; x = - 3
Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phơng trình
)4)(1(
8
1
2
2
+
+
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x -1; x 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x

2
x + 8 x
2
7x 8 = 0 (*)
Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không
thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phơng trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 x
2
(3)
Ta có: (3) 5x
4
3x
2
26 = 0
Đặt x
2
= t (t 0) thì (3) 5t
2
3t 26 = 0
Xét = (-3)
2

4.5.(-26) = 529.

= 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+
(thoả mãn t 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
=

(loại)
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
8
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Với t =
5
13
x
2

=
5
13
x =
5
13

Vậy phơng trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13

; x
2
=
5
13
d) Giải phơng trình 3(x
2
+x) 2 (x
2
+x) 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) 3t
2
2t 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1

= 1; t
2
=
3
1

t
1
= 1 x
2
+x = 1 x
2
+ x 1 = 0

1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51
; x
2
=
2
51+
t
2
=

3
1

x
2
+x =
3
1

3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)

2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51
; x
2
=
2
51+
* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1. x
3

+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
(x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2

6.
3
1
.10
1
=
+

+ x
x
x
x
7. (x
2
4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+

+






+
x
x
x
x
9.
xx
x

=+

+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phơng trình x
2
+
3

x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3

+ x
2
3
Giải
Do phơng trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
; x
1
.x
2
=
5
A =
15
5
1
5
3
.
11
21

21
22
=


=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(

2
+=
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=

+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2

)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +=+
* Bài tập tơng tự:
Cho phơng trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x

2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
9
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55

6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phơng trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x
1
+ x
2
=
a
b
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh
chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phơng trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)

Giải


= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nếu

< 0 1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm
Nếu

= 0 1- k = 0 k = 1 phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1
Nếu

> 0 1- k > 0 k < 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 1-
k1
; x
2
= 1+
k1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phơng trình có nghiệm x
1
= 1-
k1
; x
2
= 1+
k1

Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm

= 3m-2 0 m
3
2

Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
10
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m
3
2
thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có:

= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất

= 3m-2 = 0 m =
3
2
(thoả mãn m 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1
1
1
=

=


m
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =
3
2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =
4
3
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1

0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x

2
=
612
4
1
3
1
3
2
==


=


x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở
nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay sai sót)
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1

, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2


10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có:

= (m-1)
2
( 3 m ) =
4
15
2
1
2
+






m
Do
0
2
1
2







m
với mọi m;

0
4
15
>
> 0 với mọi m
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
11
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10

3
3
1
0)3(
0)1(2
<

<
<




>+
<
m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2

+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
6m 0 2m(2m-3) 0

0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m

m
m
m
m
Vậy m
2
3
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



=
=+




+=
=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21

mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2

+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x

x
+
+
=
(
2
1
2
x
)
Bài 5: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy +=
;

1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của
phơng trình ở trên
Giải
a) Ta có

= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=

=





=





=

m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có

= 1
2
(m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1

+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:



=
=




=+
=




=+
=+

=+
=+
7
5
2
5
123
422
123
2
2
1
21
1
21
21
21
21
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
12
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m 1 (2)
Khi đó:
m
m
mxx
xx
xx
xx
xxyy

=


+=
+
++=+++=+

1
2
1
2
2
11
21
21
21
21
2121
(m1)

1
2
1
1
12
1
)
1
)(
1
(
2
21
21
1
2
2

121

=+

+=++=++=
m
m
m
m
xx
xx
x
x
x
xyy
(m1)
y
1
; y
2
là nghiệm của phơng trình: y
2
-
m
m
1
2
.y +
1
2

m
m
= 0 (m1)
Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phơng pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và
khai thác nhiều cách giải khác
* Bài tập tơng tự:
1) Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phơng trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phơng trình : x
2
4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1

2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phơng trình: x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x
2
2mx + 2m 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x

1
2
+ x
2
2
) 5x
1
x
2
a) Chứng minh A= 8m
2
18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phơng trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2

3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phơng trình : x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2

với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn:
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2

2
1
=

+
y
y
y
y
7) Cho phơng trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1

+








x
x
x
x
> 7
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
13
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
8) Cho phơng trình : (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m
b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2

độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
xx
Bài 174
Cho phơng trình có ẩn số x : x
2
-2(m-1)x 3 m = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m
2) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phơng trình
thoả mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2


10.
Bài 175
Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x
2
2mx + 2m 1 = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x
1

, x
2
với mọi m.
2) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) 5x
1
x
2
a) Chứng minh A= 8m
2
18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
3) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
Bài 176
Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phơng trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 177
Cho phơng trình: x
2
(2m 3)x + m

2
3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 < x
1
< x
2
<6
Bài 178
Cho hai phơng trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax
2
+ 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a) Tơng đơng với nhau.
b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
a) Chứng minh rằng đẳng thức:
(m
2

+ m + 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b) Cho phơng trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác -1
Bài 180
Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0
Gọi c,d là hai nghiệm của phơng trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c)(a d)(b c)(b d) = (p q)
2
Bài 181
Giả sử a và b là hai nghiệm của phơng trình x
2
+px+1 = 0
Giả sử c và d là hai nghiệm của phơng trình x
2

+qx+1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c)(b c)(a + d)(b + d) = q
2
+ p
2
Bài 182
Cho phơng trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0
1) Chứng minh rằng, phơng trình có nghiệm với mọi m.
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
14
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
Cho phơng trình : x
2
4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2

+ x
2
2
= 10
Bài 184
Cho phơng trình : x
2
2mx + m + 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm
b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E=
21
xx +
theo m
Bài 185
Cho phơng trình : 3x
2
mx + 2 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả
mãn: 3x
1
x
2
= 2x
2
2
Bài 186
Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x - m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1

, x
2
với mọi m.
b) Với m

0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn:

1
22
2
11
1
,
1
x
xy
x
xy +=+=
Bài 187
Cho phơng trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả
mãn: x
1
2
x
2
2
= 5/9
Bài 188

Cho phơng trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2

đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 189
Cho phơng trình : x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1

và y
2
thoả mãn: y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
,
3
11
1
2
2
1
=

+
y
y
y
y
Bài 190
Cho phơng trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x

2
thoả
mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x
x
x
x

> 7
Bài 191
Cho phơng trình : 2x
2
+ 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
b) Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

2
2121
2
2
13








+++ xxxx
Bài 192

Cho phơng trình : ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
Bài 193
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bc + c = 0 (a

0).
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
15
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này
bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac
Bài 194
Chứng minh rằng phơng trình :
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với
mọi a, b, c.
Bài 195
Co hai phơng trình : x
2

+ mx + 2 = 0 (1)
X
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Định m để 2 phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình: (x
2
+mx+2)(x
2
+2x+m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 196
Với giá trị nào của các tham số a và b, các phơng trình bậc hai: (2a + 1)x
2

(3a 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x
2
(2b + 1)x 1 = 0 (2)
Có hai nghiệm chung
Bài 197
Với giá trị nào của tham số k thì hai phơng trình sau có nghiệm chung : 2x
2
+
(3k + 1)x 9 = 0
6x
2
+ (7k 1)x 19 = 0
Bài 198
Với giá trị nào của số nguyên p , các phơng trình sau đây có nghiệm chung 3x

2
-
4x + p 2 = 0
x
2
2px + 5 = 0
Bài 199
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a

0, có một
nghiệm là 1 +
2
.
Hãy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình:
kx
2
( 1-2k) + k 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 201
Cho phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 4(a 1)x + a
2
4a + 1 = 0
xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x

2
thoả mãn hệ thức :
21
21
x
1
x
1
2
xx
+=
+
Bài 202
Cho biết phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phơng trình: x
2
+ qx +
2 = 0 có hai nghiệm là b và c
chứng minh hệ thức : (b a)(b c) = pq 6
Bài 203
Cho các phơng trình : x
2
- 5x + k = 0 (1)
x
2
- 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 một trong các
nghiệm của phơng trình (1)
Bài 204

Cho các phơng trình : 2x
2
+ mx 1 = 0 (1)
mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung
Bài 205
Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
3x
2
- cx +2c - 1 = 0.
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
16
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Tính theo c giá trị của biểu thức: S =
3
2
3
1
x
1
x
1
+
Bài 206

Xác định a để hai phơng trình sau có nghiệm chung :
x
2
+ ax + 8 = 0
x
2
+ x + a = 0
Bài 207
Tìm tất cả các số nguyên k để các phơng trình bậc hai:
2x
2
+ (3k 1)x 3 = 0
6x
2
(2k 3)x 1 = 0
a) Có nghiệm chung
b) Tơng đơng với nhau
Bài 208
Cho phơng trình bậc hai: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng
trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
2
x
x
x

x
1
2
2
1
+
Bài 209
Cho biết x
1
và x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx +
c = 0 (a

0, a,b,c

R). Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là :
2
2
2
1
x
1
,
x
1
Bài 210
Biết rằng x

1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 . Hãy việt
phơng trình bậc hai nhân x
1
3
và x
2
3
làm hai nghiệm
Bài 211
Cho f(x) = x
2
2(m+ 2)x + 6m + 1
a) CMR: phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) =
0 có hai nghiệm lớn hơn 2
Bài 212
Cho phơng trình : x
2
-2(m + 1)x + m
2
+ m - 6 = 0
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn:

50xx
3
2
3
1
=
Bài 213
CMR: phơng trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 214
Cho phơng trình bậc hai: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình
có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
2
+ x
2
2
= 72
Bài 215
Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai phơng trình: x

2
+
ax + 2b = 0 (1)
x
2
+ bx + 2a = 0 (2)
Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm chung
của phơng trình : x
2
+ 2x + ab = 0
Bài 216
Cho hai phơng trình : x
2
+ ax + 2b = 0 (1)
x
2
+ bx + ac = 0 (2)
( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. Chứng minh rằng hai nghiệm còn lại
của phơng trình (1) và (2) là nghiệm của phơng trình x
2
+ cx + ab = 0
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
17
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Bài 217
Cho phơng trình: x
2
(m 1)x m
2

+ m - 2 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 218
Cho hai phơng trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1)
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Cho biết a
1
a
2

2(b
1
+ b
2
). Chứng minh một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 219p
Cho ba phơng trình: ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
với a,b,c 0. Chứng minh rằng, ít nhất một trong ba phơng trình trên đây phải có
nghiệm
Bài 220
Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x + m
2
3m + 4 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm pân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
1
x

1
x
1
21
=+
b) Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m
Bài 221
Cho phơng trình: (m + 2)x
2
2(m 1)x + 3 m = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức : x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+
x
2
b) Lập một hệ thức giữa x

1
và x
2
không phụ thuộc vào m
c) Viết một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
x
1
=
1x
1x
1
1
+

, x
2
=
1x
1x
2
2
+

Bài 222:
Cho phơng trình: x
2
+ (m+1) + m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x

2
với mọi m
b) Xác định m để biểu thức: E = x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị bé nhất.
Bài 223
Cho phơng trình; (a 3)x
2
2(a 1)x a 5 = 0
a) giải phơng trình khi a =13
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 224
Cho phơng trình bậc hai: 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luông luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó
c) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân x
1
, x
2
thoả mãn: -1 < x
1
< x
2
<1

d) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
, hãy lập một hệ thức giữa
x
1
và x
2
không có m.
Bài 225
Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x m + 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 226
Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn x
1
x
2
= 5 và x
1

3
+ x
2
3
= 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
Giả sử phơng trình x
2
+ ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó
đúng một nghiệm dơng x
1
thì phơng trình bậc hai: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm
phân biệt trong đó có t
1
> 0 thoả mãn: x
1
+ t
1


2
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
18
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Bài 228
Cho 2 phơng trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1)

cx
2
+ bx + a = 0 (2)
(a, b, c 0 ). Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm tơng đơng x
1
, x
2
thì (2) cũng
có hai 2 nghiệm tơng đơng x
3
, x
4
.
Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4


4
Bài 229
Không giải phơng trình: 3x
2
+ 17x 14 = 0 (1)
Hãy tính giá trị của biểu thức: S=
2

2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1)
Bài 230
a) Không giải phơng trình, hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và
nghiệm nhỏ của phơng trình
X
2
-
0
16
5
1
4

85
=+x
b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phơng trình: ax
2
+ (2a 1)x + a
2 = 0 là các số hữu tỷ?
Bài 231
Cho phơng trình: 2x
2
(2m + 1)x + m
2
9m + 39 = 0
a) Giải phơng trình khi m =9
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
Tìm các nghiệm đó.
Bài 232
Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai
nghiệm a và b
Bài 233
Cho f(x) = (4m 3)x
2
3(m + 1)x + 2(m + 1)
a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình đó
b) Xác định m để m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng
c) Giả sử phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
x

2
lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức:

)1()5(3)( yxyyxx +=+
Hãy tính giá trị của biểu thức: E =
yxyx
yxyx
+
++ 32
Bài 235
Cho phơng trình : x
2
2(m 1)x 3 m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
thoả mãn : x
1
2
+ x
2
2

10
c) Xác định m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2


sao cho:
E = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 236
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0
px
2
+ qx + r = 0
có ít nhất một nghiệm chung.
Chứng minh rằng ta có hệ thức: (pcar)
2
= (pbaq)(cqrb)
Bài 237
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng

19
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
cx d = 0 (2)
Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(ac)+c(ca)+8(db) > 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Bài 238
Giả sử phơng trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dơng. Chứng
minh rằng: ax
2
+ bx
2
là một hợp số.
Bài 239
Giả sử phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác định m để biểu thức
E = x
1

2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E
Bài 240
Cho biết phơng trình: x
2
(a 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
; Xác định a để
biểu thức M = 3x
2
+ 5x
1
x
2
+ 3x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm nghiệm trong trờng hợp
M đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 241
Cho phơng trình: x
2

+ px 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
; Chứng
minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x
1
n
+ x
2
n
và x
1
n+1
+ x
2
n +1
đều là các số nguyên và
chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 242
Cho phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phơng
trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại.
Bài 243
Cho phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Có hai nghiệm x

1
, x
2
. Với giá trị
nào của m, biểu thức
R =
)1(2
32
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx
+++
+
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 244
Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phơng trình bậc hai có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả
mãn các hệ thức:
4x
1
x
2

+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
1)(x
2
1) =
1
1
+a
(2)
Bài 245
Cho a 0. Giả sử x
1
và x
2
là nghiệm của phơng trình : X
2
ax -
0
2
1
2
=
a
Chứng minh rằng: x
1

4
+ x
2
4

22 +
Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào.
Bài 246
Cho a 0, giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình:
x
2
ax
2
1
a

= 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x
1
4
+ x
2
4
Bài 247
Cho phơng trình bậc 2: x
2

+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a)Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1
Bài 248
Cho phơng trình: x
2
ax+a1 = 0 có hai nghiệm là x
1
,x
2
.
a) Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
20
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
M =
2
212
2
1
2
2
2
1
333
xxxx
xx
+
+
b) Tìm giá trị của a để: P = x

1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 249
Cho phơng trình: x
2
(2m + 1)x + m
2
+ m 1 = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Chứng minh rằng, có một hệ thức giữa hai nghiệm không thuộc vào m.
Bài 250
Cho phơng trình: ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
a) Chứng minh rằng với mọi a,b phơng trình đã cho đều có nghiệm.
b) Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng
2
1
thì a và b phải bẳng
bao nhiêu?
Bài 251
Cho phơng trình : x
2
2mx m
2
1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2
5
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài 252
Cho phơng trình : (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0 (1)

a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m
b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
xx
Bài 253
Cho phơng trình : x
2
2x (m 1)(m 3) = 0
a) Chứng minh rằng: phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức
E = (x
1
+ 1)x
2

đạt giá trị lớn nhất.
Bài 254
Cho phơng trình : x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
= x
2
2
.
Bài 255
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phơng trình : t

2
12t + b = 0
Cho biết :
2
1
1
2
2
1
t
t
t
x
x
x
==
. Tính a và b
CHUYấN 4: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH
I. Toỏn chuyn ng:
S = vt; v =
v
s
t
t
s
=;
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
21
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Dạng 1: Chuyển động cả đi và về

Lưu ý HS: Quảng đường đi bằng quảng đường về, khác nhau về vận tốc nên thời gian
khác nhau
VD: Một người đi xe máy từ A đến B cách A 60 km. Khi từ B trở về A do trời mưa,
người đó giảm vận tốc chậm hơn khi đí là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời
gian đi là 30 phút. Tính vận tốc khi đi?
Dạng 2: Chuyển động cùng chiều( đuổi nhau)
Lưu ý HS: Quảng đường đi thường bằng nhau, xe có vận tốc nhanh hơn đến trước
VD: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quảng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi
giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thư hai là
0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô?
Dạng 3: Chuyển động ngược chiều:
Lưu ý HS: Khi hai xe gặp nhau thì tổng quảng đường hai xe đi được bằng chiều dài
quảng đường.
VD: Một xe lửa từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội
vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe lửa gặp
nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giải thiết rằng quảng
đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km.
Dạng 4: Chuyển động trên sông:
Lưu ý HS: Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước
VD: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A
đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi lãn về là 5 giờ ( Không tính thời gian
nghỉ). Tính vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4
km/h
Dạng 5: Chuyển động vòng tròn ( Dành cho HS khá giỏi)
Lưu ý HS: - Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau thì tổng quảng đường hai
vật đi được bằng độ dài đường tròn
- Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp nhau thì vật đi nhanh đi hơn vật đi chậm 1
vòng tròn
II. Toán tìm số:

VD1: Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì
còn thừa 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa
có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng.
VD2: Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe
chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối
lượng hàng bằng nhau.
VD3: Một phòng họp có 360 chổ ngồi và được chia thành các dãy có số chổ ngồi
bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chổ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chổ ngồi trong
phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chổ ngồi trong phòng học được chia thành bao
nhiêu dãy.
III. Toán hình học:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
22
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Lưu ý HS: - Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng
- Diện tích tam giác vuông = (Cạnh góc vuông x cạnh góc vuông) : 2
VD1: Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích bằng 40 cm
2
, biết rằng
nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm
2
VD2: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m, chiều rộng thêm 3
m thì diện tích tăng thêm 100 m
2
. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện
tích giảm 68 m
2
. Tính diện tích thửa ruộng?
IV Toán số phần công việc: ( Dành cho HS khá giỏi)
Lưu ý HS: Nếu làm một công việc hết x ngày(giờ) thì một ngày( giờ) làm được 1/x

công việc
VD: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi
người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian
người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao lâu để hoàn
thành công việc.
CHUYÊN ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG QUAN GIỮA PARABOL VÀ
ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Xác định tọa độ giao điểm:
Lưu ý HS: Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + n và Parabol y =ax
2
là
nghiệm của PT : ax
2
= mx + n
VD: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và Parabol y = x
2
Dạng 2: Tìm hệ số a của hàm số y = ax
2
VD: Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm M(-2;1/4). Tìm a?
Dạng 3: Biện luận số giao điểm:
Số giao điểm của đường thẳng y = mx + n và parabol y = ax
2
là số nghiệm của PT:
ax
2
= mx + n (1)
- Nếu (1) vô nghiệm thì đường thẳng không cắt Parabol( Không có điểm chung)
- Nếu (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc Parabol( Có 1 điểm chung)

- Nếu (1)có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt Parabol( Có 2 điểm chung)
VD: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = 3x + m cắt parabol y = 2x
2
tại hai điểm
phân biệt
CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
( Dành cho học sinh khá giỏi)
GV giới thiệu cho HS các BĐT Côsy, Bunhiacopsky và một số BĐT đặc biệt khác
VD: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤
22
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
ba
11
+
( GV lấy thêm các ví dụ trong bộ đề thi)
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ, PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
( Dành cho học sinh khá giỏi)
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
23
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
VD: Giải PT :
20112011
2
=++ xx
( GV lấy thêm các ví dụ trong bộ đề thi)
PHÂN PHỐI THỜI GIAN DẠY
Đại số: 12 buổi; Hình học: 8 buổi.
I. Đối với học sinh đại trà:

- Chuyên đề 1: 4 tiết
- Chuyên đề 2 : 5 tiết
- Chuyên đề 3: 3 tiết
- Chuyên đề 4: 3 tiết
- Chuyên đề 5: 4 tiết
- Chuyên đề 6: 5 tiết
- Chuyên đề 7: 3 tiết
- Chuyên đề 8: 6 tiết
- Chuyên đề 9: 3 tiết
Tổng: 36 tiết = 12 buổi
II. Đối với học sinh khá giỏi:
- Chuyên đề 1: 1 buổi
- Chuyên đề 2: 2 buổi
- Chuyên đề 4: 1 buổi
- Chuyên đề 6: 1 buổi
- Chuyên đề 7: 1 buổi
- Chuyên đề 8: 2 buổi
- Chuyên đề 9: 2 tiết
- Chuyên đề 10: 6 tiết
- Chuyên đề 11: 4 tiết
Tổng: 36 tiết = 12 buổi
( Đối với những trường có số buổi dạy ôn môn Toán trên 20 buổi thì căn cứ vào
trình độ học sinh, các đ/c tự điều chỉnh cho phù hợp. Lưu ý thời lượng dạy hình
tối đa chỉ chiếm 40% tổng thời gian ôn tập)
BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
24
CNG ễN TP THI TUYN SINH VO LP 10
VO LP 10 THPT V THPT CHUYấN
Mụn: TON

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
BIấN TP
NGND Nguyễn Trí Hiệp
Phó Giám đốc Sở GDĐT
Ths Nguyễn Ngọc Lạc
Trởng Phòng GDTrH Sở GDĐT
BIấN SON
Nguyễn Viết Phú
Chuyên viên Phòng GDTrH Sở GDĐT
Ths Lê Phi Hùng
Giáo viên Trờng THPT Chuyên Hà Tĩnh
Ths Nguyễn Hồng Cờng
Phó hiệu trởng Trờng THPT Phan Đình Phùng
Phạm Quốc Phong
Giáo viên Trờng THPT Hồng Lĩnh
Hoàng Bá Dũng
Giáo viên Trờng THPT Mai Kính
Nguyễn Đình Nhâm
Giáo viên Trờng THPT Cẩm Xuyên
Bùi Hải Bình
Giáo viên Trờng THCS Lê Văn Thiêm
Đặng Hải Giang
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Cẩm Xuyên
Nguyễn Huy Tiễn
Chuyên viên Phòng GDĐT Hồng Lĩnh
LI NểI U
gúp phn nh hng cho vic dy - hc cỏc trng nht l vic ụn tp, rốn
luyn k nng cho hc sinh sỏt vi thc tin giỏo dc ca tnh nh nhm nõng cao cht
lng cỏc kỡ thi tuyn sinh, S GDT H Tnh phỏt hnh B ti liu ụn thi tuyn sinh vo
lp 10 THPT v THPT chuyờn gm 3 mụn: Toỏn, Ng vn v Ting Anh.

- Mụn Ng vn c vit theo hỡnh thc ti liu ụn tp.
V cu trỳc: H thng kin thc c bn ca nhng bi hc trong chng trỡnh Ng
vn lp 9 (riờng phõn mụn Ting Vit, kin thc, k nng ch yu c hc t lp 6,7,8).
Cỏc vn bn vn hc, vn bn nht dng, vn bn ngh lun c trỡnh by theo trỡnh t:
Đặng Thị Hồng Quyên- THCS Gia Tờng
25