Tuyển tập câu hỏi liên quan đến đạo hàm chọn lọc

TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
1 | C NHN V MÃI MÃI
m). Cho hàm s
2x 3
y
x1



,  th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s 
2.  ng thng d: y = x + m  1 ct (C) tm phân bit A, B sao cho tam giác OAB có trng tâm
m
24
G;
33




.
LI GII
+)  m ca (C) và d là:

2x 3
x m 1
x1

  



  
2x 3 x m 1 x 1    
(do x = 1 không là nghim).
 x
2
+ (m  2)x + (m  4) = 0 (1).
+) Ta có: 
(1)
= (m  2)
2
 4(m  4) = (m  4)
2
+ 4 > 0 
 (1)  
i t A(x
A
; x
A
+ m  1) và B(x
B
; x
B
+ m  1) thì x
A
, x
B
là hai nghim phân bit ca (1).
nh lí Viét: x
A

+ x
B
= 2  m.
+) G
24
33




;
là trng tâm OAB thì
   
A B O G
A B O O
2
2 m 3
x x x 3x
3
m4
y y y 3y 4
2 m 2m 1 3
3




  



  

  


   


.
.
.

Khi m = 4 thì O, A, B không thng hàng. Vy m = 4 tha mãn yêu cu bài toán.
Bình lun:





 

 







 


 

















 






 














 






 










 .
 (1)

   
2
2 m 3
3
4
2 m 2m 1 3
3







   


.
.
 m =  khi
 hai (1)  = 

, ta có 
 = x + m  


G
GG
G
2m

x
2
3
yx
m3
y
3





  





.

 = 1 thì d: y = 



 







TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
2 | C NHN V MÃI MÃI


Câu 2 m) 
2x 2
y
x1




1. Kho sát và v  th (C) ca hàm s trên.
   

LI GII
2. Tm ca h 


  
  
  


  
  
  
  



  




  

    

(C) và ( 

  


 

  















 -et ta có:



 

  




  





 



 .

  


  








  


  




  









 









 





 









 











 



 









  


   

   


































  

 
  









  






   




   

  


  




  

  


.

4 2 4
y x 2mx 2m m   




LI GII
+) Xét hàm s y = x
4
 2mx
2
. Tnh  
Ta có:
3
2
x0
y 4x 4mx y 0
xm


   





;

  
 m > 0.

4
+ 2m) và hai

 
42
m m m 2m  ;
, C
 
42
m m m 2m;
.


TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
3 | C NHN V MÃI MÃI
+) Gm BC  H(0; m
4
 m
2
+ 2m)  S
ABC
=
1
2
AH.BC =
2

1
m .2 m
2
= m
2
m
.
Theo bài ra, S
ABC
= 1  m
2
m
= 1  m = 1, tha mãn.
Vy m = 1 là giá tr cn tìm.
Bình lun:
Tng quát bài toán trên: Cc tr hàm s b
4
+ bx
2

Ta có:
 
32
y 4ax 2bx 2x2ax b

  
;
2
x0
y0

b
x
2a









(*)

+ Hàm s c tr  (*) vô nghim hoc có nghim kép 
b
2a

 0 
b0
ab 0






+ Hàm s có 3 cc tr  
y0



có 3 nghim phân bit  (*) có hai nghim phân bit khác 0
  th hàm s m cc tr to thành m
 
b b b b
0 c y y
2a 2a 2a 2a
   
   
     
   
   
   
   
   
   
AB; ; ; ; ;C
(ABC cân ti A).
* Các kiu câu hi:
m cc tr to thành mu  AB = BC.
m cc tr to thành mt tam giác vuông cân (và s vuông cân ti A)  AB
2
+ AC
2
= BC
2
.
m cc tr to thành mt tam giác có din tích S 
 
ABC B C A B

11
S BC.d A,BC x x . y y S
22
    
.
Câu 4 m). Cho hàm s 

 

 
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s 
2. ng thng    

2. Gi    m bt kì nng thng   
Vì mng thng có dng x=m không là tip tuyn c th ng th
dng: 

  

   
ng thng d là tip tuyn ca (C) khi và ch khi h sau có nghim:
3 2 3 2 2
22
x 3 2 k(x m) 9m 7 x 3 2 (3 6 )(x m) 9m 7
3 6 k 3 6 k

            




   


x x x x
x x x x

Qua M k c ba tin (C) khi h trên có ba nghim phân bim phân
bit:
3 2 2 2
2 3 3m 6m 2 (5 3m)x 5 9m 0

           

x x x x 9m 5=0 (x 1) x

u kin ca m là:
2
2
2
1
m
(5 3m) 8(5 9m) 0
9m 42m 15 0
3
m5
m1
2.1 (5 3m).1 5 9m 0
m1







   

  



  




    








Vm M cn tìm có t    vi 
1
m1
3



Bình lun: c và trình bày cht ch bài toán trên, cn nm vng mt s m quan tr
TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
4 | C NHN V MÃI MÃI
- c nu có tip tuyn thì tip tuyn ti h s i gin xét  không
tip tuyn c th hàm s. Nh u di s góc k. Nu quên lp
luu này thì li gii s thiu cht ch.
- (d): y = kx + p tip xúc v th hàm s f(x) 





 







  (1) có 3 nghim.
Kinh nghim gic tip theo là nhm nghi tìm ra mt nghi s là 

i vi bài này 

).
h nhân t   mng:

  





   

 mà m n

Hàm s có 3 nghim 



   

 có 2 nghim phân bit khác 

c m.
Nu không th nhm ra nghi tin hi xét
hàm bc 3 truyn thng.
Câu 5 m). Cho hàm s
x2
y
2x 1



 th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.
2. Ving th3; 13) sao cho d ct (C) ti hai m phân bit A, B sao cho CA =
2
3

CB.
LI GII
+) A  (C)  A
a2
a;
2a 1





(với
a
1
2


).
B  (C)  B
b2
b;
2b 1





(với
1
b

2


).
+)
3CA 2CB
2
CA CB
3
3CA 2CB









Ta có:
a2
CA a 3; 13
2a 1


  



và

b2
CB b 3; 13
2b 1


  



.
 
3a 9 2b 6 2b 3a 3
3CA 2CB
a 2 b 2 a 2 3a 3 4
3 13 2 13 3 13 26
2a 1 2b 1 2a 1 3a 3 1
    


  
    

     
     
     

    
     

(1)

(2)

. . .

(2)
        
a 2 3a 1
3 13 3a 2 3a 4 132a 1 3a 4 3a 1 2a 1
2a 1 3a 4


           





2
75a 150a 75 0 a 1      
 1; 3); B(0; 2).
 
 
2b 15 3a
3a 9 2b 6
3CA 2CB
a 2 3a 15 4
a 2 b 2
3 13 26
3 13 2 13
2a 1 1 15 3a

2a 1 2b 1
  

   


   
  



   
  
   

   

  


   


(3)
(4)

.


(4)

 
        
3a 2
3a 19
65 3a 2 3a 14 3a 19 2a 1 653a 14 2a 1
2a 1 3a 14


             



22
13 2 26
a
5
375a 1950a 975 0 5a 26a 13 0
13 2 26
a
5





        








TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
5 | C NHN V MÃI MÃI

  




  








Suy ra:
13 2 26 23 2 26
A;
5
24 4 26

   





và
18 3 26 28 3 26
;
5
31 6 2
B
6

   




.

  




  











  




  


  





  




  


  






 
 

 















 
a
1
2


và
b
1
2





Câu 6  

 

 



LI GII












 























  






  













  




  






 






 

  






 

 

 





 




 






 

  






 

 

 







Câu 7 m). Cho hàm s y = x
3
 3x
2
+ 1 
TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
6 | C NHN V MÃI MÃI
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s 
2. Vih tip tuyn v th (C) bit tip tuyn song song vng thng (d): 9x  y + 6 = 0.


y
= 3x
2

 6x.
 d: 9x  y + 6 = 0 nên tip tuy9.

22
x1
3x 6x 9 x 2x 3 0
x 3


      




 Vi x = 1  y(1) = p tuyi do trùng vng thng d).
 Vi x = 3  y(3) p tuyng trình là y = 9x  26, tha mãn.
Vp tuyn ci tìm là y = 9x  26.
 
thì h
Chú ý: dùng t thìng thng vn có th trùng nhau.

0
; y
0


0
f
.(x  x
0

) + y
0
.

Câu 8 m). Cho hàm s y =
2x 1
x1


 th (C).
1. Kho sát s bin thiên và v  th (C) ca hàm s.
2. Vit p tip tuyn ca (C), bit tip tuyn này ct trc hoành và trc tung lt ti m A,
B phân bit tha mãn AB =
82
OB.
LI GII
+) Ta có:
 
2
1
y
x1




.


0

0
0
2x 1
M x ;
x1








 
 
0
0
2
0
0
2x 1
1
y x x
x1
x1

   


.


 
2
00
A 2x x 10;

 
2
00
2
0
2x 2x 1
B0
x1

  




;
.

2 2 2
OA OB AB
. Mt khác ta có:
AB 82.OB
.
2 2 2 2 2
OA OB 82.OB OA 81.OB OA 9.OB      

(1).
Ta có: (1) 
 
 
2
0
2
00
0 0 0
2
0
0
x2
2x 2x 1
2x x 1 9 x 1 9
x4
x1


  
      



.

 
0
= 2, ta có:
 

15
y x 2
93
  
.
 
0
= 4, ta có:
 
17
y x 4
93
   
.
Bình lun:

TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
7 | C NHN V MÃI MÃI
 Mc trong kiu bài tip tuyn c th hàm s. Ta có y'(x
0
) chính là h s góc tip tuyn
c th t p tuyn và có th c t  theo x
0
.
  ý d kin
AB 82.OB
. Sao li là 82 mà không phi là s khác (82 gn
81)? T t hp vi vuông ti O  c gii quyt.

TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC

8 | C NHN V MÃI MÃI
Câu 9  
2x 4
x1



1. Kho sát s bin thiên và v  th ca hàm s (1).
2. m A, B thu th (C) sao cho tip tuyn c th (C) tng
thm O, A, B to thành tam giác vuông ti O.
LI GII

  
  

  
  

H s góc ti tip tuyn ca lt là:





  








  



Do 2 tip tuyn song song nên 






  




  





  










  
  








  
  

i O.
Ta có:
  
  
2a 4 2b 4
OA.OB 0 ab 0
a 1 b 1
   
   

(2).
Rút b = 2  a t (1) thay vào (2) ta có:
 

   
 
  
   
a 1 b 3
2a 4 22 a 4
a 0 b 2
a 2 a 0 a a 3 a 2 a 1 0
a 1 2 a 1
a 2 b 0
a 3 b 1
   


    
  

        

  
  

   



1
(1; 3), B
1
(3; 1); A

2
(0; 4), B
2
(2; 0); A
3
(2; 0), B
2
(0; 4) và
A
4
(3; 1), B
4
(1; 3).
Nhn xét:
 ng bài tp tip tuyn c th hàm s ng phn h s góc ca tip tuyn là y'.
 u ki bài cho là  vuông, vì vy ta s dùng vector 













 t n cách gi t m A,

B 
Bài t:
1. Cho hàm s
x2
y
2x 3



. Vip tuyn c th ct trc tung, trc hoành ti  sao cho 
cân ti O.
Câu 10  
  
2
y x 2 x 1  

 
C
.

 
C
.

d : y 2x 19  

 
C



x 9y 8 0  
.



 
 
TUYN TP CÂU HO HÀM CHN LC
9 | C NHN V MÃI MÃI

00
N(x ;y )
chính là
0
f'(x )

0


x 9y 8 0  
.

  
'
00
y y (x x ) y
.
 





00
N(x ;y )

x 9y 8 0  
, ta suy ra
2
0 0 0
f'(x ) 9 3x 3 9 x 2      
.
 
00
x 2 y 4  

y (x 2).9 4 9x 14    
.
T
y 2x 19
y 9x 14
  




 M(3; 13).
 
00
x 2 y 0   
 

y (x 2).9 9x 18   
.

y 2x 19
y 9x 18
  




 M
1 207
11 11



;
.
 mãn yêu câu bài toán là M
1
(3; 13) và M
2
1 207
11 11



;
.