BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ (HT)

TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM
Bài toán v chuy n ng u có th gi i b ng nhi u cáchề ể độ đề ể ả ằ ề V i m i bài ớ ỗ
toán, tìm ra c l i gi i là m t ni m vui. S vui s ng và thú v h n n u ta tìm ra c nhi u l i gi i cho đượ ờ ả ộ ề ẽ ướ ị ơ ế đượ ề ờ ả
m t bài toán. Hãy có nhi u suy ngh và cách ti p c n khác nhau v i m i toán, chúng ta s tìm c ộ ề ĩ ế ậ ớ ỗ đề ẽ đượ
nhi u l i gi i hay h n. ¸Áp d ng ph ng pháp gi thi t t m chúng ta cùng gi i m t s bài toán sau:ề ờ ả ơ ụ ươ ả ế ạ ả ộ ố
Bài toán :
"M t ng i i t A n B v i v n t c 15 km/h. Sau ó 1 gi 30 phút, ng i th hai c ng r i A i v B v i v n t c 20 km/h và ộ ườ đ ừ đế ớ ậ ố đ ờ ườ ứ ũ ờ đ ề ớ ậ ố
n B tr c ng i th nh t 30 phút. Tính quãng ng AB".đế ướ ườ ứ ấ đườ

Đọc qua, bài toán có vẻ rườm rà khó hiểu : đi sau, đến trước.

Đọc lại một lần nữa ta thấy: “ i sau 1 gi 30 phút ; n tr c 30 phút”đ ờ đế ướ . Như vậy là đi ít hơn 2 giờ.
Vậy ta sẽ đưa bài toán trên về bài toán đơn giản hơn :
Giả sử người thứ hai đi sau người thứ nhất 2 giờ thì hai người sẽ đến B cùng một
lúc.
Với suy nghĩ : Thời gian đuổi kịp nhau của hai động tử chuyển động cùng chiều
bằng khoảng cách lúc hai động tử bắt đầu cùng chuyển động chia cho hiệu hai vận tốc, ta
có 6 cách làm sau.
Cách 1: Trong 2 giờ người thứ nhất đi được: 15 x 2 = 30 (km)
Mỗi giờ người thứ hai đi nhanh hơn người thứ nhất là: 20 - 15 = 5 (km)
Thời gian để người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là: 30 : 5 = 6 (giờ)
Quãng đường AB dài: 20 x 6 = 120 (km)
Người thứ nhất đi chậm hơn người thứ hai nên đi nhiều thời gian hơn. Vậy nếu
người thứ nhất cũng đi thời gian như người thứ hai hoặc người thứ hai cũng đi thời gian
như người thứ nhất thì sao ? Ta có một số cách giải sau.
Cách 2: Giả sử người thứ hai đi với thời gian như người thứ nhất thì người thứ hai
đi quãng đường nhiều hơn người thứ nhất là: 20 x 2 = 40 (km)
Vận tốc người thứ hai hơn người thứ nhất là: 20 - 15 = 5 (km/giờ)
Thời gian người thứ nhất đi là: 40 : 5 = 8 (giờ)
Quãng đường AB dài: 15 x 8 = 120 (km)
Cách 3 : Giả sử người thứ nhất đi với thời gian như người thứ hai thì người thứ nhất

đi quãng đường ít hơn người thứ hai là : 15 x 2 = 30 (km)
1 BỒI DƯỠNG TOÁN 4 - 5
TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM
Một giờ người thứ nhất đi ít hơn người thứ hai 5 km nên thời gian người thứ hai đi
là 30 : 5 = 6 (giờ) và ta tính được quãng đường AB là 20 x 6 = 120 (km)
Theo suy nghĩ : cùng một quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian ta có cách
giải sau.
Cách 4 : Gọi vận tốc người thứ nhất là v1 (km/h) ; người thứ hai là v2 (km/h) ; thời
gian người thứ nhất đi quãng đường AB là t1 (giờ) ; người thứ hai là t2 (giờ)
Ta có : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy ra t1/t2 = 4/3
Biết tỉ số t1/t2 = 4/3 và t1 - t2 = 2
Ta tính được t1 = 8 (giờ) ; t2 = 6 (giờ)
Do đó quãng đường AB dài : 15 x 8 = 120 (km)
Thời gian người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là 2 giờ. Ta thử tính xem trong 1
km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất bao lâu ? Từ đó sẽ tìm được quãng đường AB.
Ta có cách làm thứ 5.
Cách 5 : Cứ 1 km người thứ nhất đi hết 1/15 giờ ; 1km người thứ hai đi hết 1/20 giờ
Trong 1 km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là : 1/15 - 1/20 = 1/60 (giờ)
Vậy quãng đường AB dài : 2 : 1/15 = 120 (km)
Ta có thể giả thiết (gọi) thời gian đi của người thứ nhất, người thứ hai để có cách nào làm
khác
Cách 6: Gọi thời gian đi của người thứ nhất là x (giờ) thì thời gian đi của người thứ
hai là x - 2 (giờ)
Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x
20 x x - 40 = 15 x x
20 x x - 15 x x = 40
15 x x = 40
x = 8
Vậy quãng đường AB dài: 15 x 8 = 180 (km)
Cách 7 : Tương tự như cách 6 ta gọi thời gian đi của người thứ hai là y (giờ) thì thời

gian đi của người thứ nhất là y+2 (giờ). Ta có 20 x y =15 x (y + 2)
Ta tìm được y = 6 và quãng đường AB dài 20 x 6 = 120
(km).
Hãy áp dụng một cách sáng tạo có cơ bản để tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán.
2 BỒI DƯỠNG TOÁN 4 - 5
TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM
Luôn cố gắng tìm tòi để giỏi hơn.
Bài t p áp d ng.ậ ụ Một chiếc ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B hết 4 giờ. Nếu trong mỗi giờ
chiếc ôtô này đi thêm được 14 km thì thời gian đi từ A đến B chỉ mất 3 giờ. Hãy tính
khoảng cách giữa hai tỉnh A và B.
(Đáp số : 168 km)
Dùng s di n tích gi i bài toán có 3 i l ng.ơ đồ ệ để ả đạ ượ
S di n tích c dùng gi i các bài toán có n i dung c p n ba i l ng. Giá tr c a ơ đồ ệ đượ để ả ộ đề ậ đế đạ ượ ị ủ
m t trong ba i l ng b ng tích các giá tr c a hai i l ng kia. Dùng s di n tích chúng ta sộ đạ ượ ằ ị ủ đạ ượ ơ đồ ệ ẽ
gi i nhanh các bài toán ó vì ã a v bài toán tr c quan là bài toán di n tích hình ch nh t. Sau ả đ đ đư ề ự ệ ữ ậ
ây là m t s thí d : đ ộ ố ụ
Ví d 1:ụ
M t ô tô i t A n B v i v n t c 30km/gi , sau ó i t B quay v A v i v n t c 40km/gi . Th i ộ đ ừ đế ớ ậ ố ờ đ đ ừ ề ớ ậ ố ờ ờ
gian i t B v A ít h n th i gian i t A n B là 40 phút. Tính dài quãng ng AB. đ ừ ề ơ ờ đ ừ đế độ đườ
Phân tích: Vì quãng ng AB (s = v x t) không i, nên ta có th xem v n t c (v) là chi u dài c a đườ đổ ể ậ ố ề ủ
m t hình ch nh t và th i gian (t) là chi u r ng c a hình ch nh t ó. V s : ộ ữ ậ ờ ề ộ ủ ữ ậ đ ẽ ơ đồ
Gi iả : Ta có 40 phút = 2/3 gi ờ
N u ô tô i t B v A v i v n t c 30 km/gi thì sau kho ngế đ ừ ề ớ ậ ố ờ ả
th i gian d nh i t B v A, ô tô còn cách A m t quãng ờ ự đị đ ừ ề ộ
ng là: đườ
30 x 2/3 = 20 (km)
S d có kho ng cách này là vì v n t c xe gi m i: ở ĩ ả ậ ố ả đ
40 - 30 = 10 (km/h)
Th i gian ôtô d nh i t B v A là: ờ ự đị đ ừ ề
20 : 10 = 2 (gi ) ờ

Quãng ng AB dài là: đườ
40 x 2 = 80 (km)
áp s : 80 km Đ ố
Chú ý là s
1
= s
2

Ví d 2ụ : B n Toán a ti n d nh mua m t s quy n v lo i 2500 ng/ quy n. Nh ng n c a ạ đư ề ự đị ộ ố ể ở ạ đồ ể ư đế ử
hàng ch còn v lo i 3000 ng/quy n. Toán c b n kho n có nên mua lo i v này không? Vì n u ỉ ở ạ đồ ể ứ ă ă ạ ở ế
mua thì s v d nh b h t m t hai quy n. Tính s ti n b n Toán mang i? ố ở ự đị ị ụ ấ ể ố ề ạ đ
Phân tích: Vì s ti n b n Toán mang i không i, nên ta có th xem giá ti n c a m i lo i v là ố ề ạ đ đổ ể ề ủ ỗ ạ ở
chi u dài c a m t hình ch nh t và s quy n v là chi u r ng c a hình ch nh t ó. V s : ề ủ ộ ữ ậ ố ể ở ề ộ ủ ữ ậ đ ẽ ơ đồ
3 BỒI DƯỠNG TOÁN 4 - 5

TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM
Gi iả : N u b n Toán mua s v lo i 2500 ng/quy n ế ạ ố ở ạ đồ ể
b ng s v nh mua lo i 3000 ng/quy n thì s ti n ằ ố ở đị ạ đồ ể ố ề
còn th a là: ừ
2 x 2500 = 5000 ( ng) đồ
S d có s ti n th a này là vì giá v ã gi m: ở ĩ ố ề ừ ở đ ả
3000 - 2500 = 500 ( ng/quy n) đồ ể
V y s v b n Toán nh mua lo i 3000 ng/quy n là: ậ ố ở ạ đị ạ đồ ể
5000 : 500 = 10 (quy n v ) ể ở
S ti n b n Toán mang i là: ố ề ạ đ
3000 x 10 = 30000( ng) đồ
áp s : 30000 ng Đ ố đồ
Các b n th dùng s di n tích gi i các bài toán sau: ạ ử ơ đồ ệ ả
Bài 1: M t ôtô i t Vinh n Hà N i d nh i v i v n t c 30 km/h. Nh ng do tr i m a nên ch i ộ đ ừ đế ộ ự đị đ ớ ậ ố ư ờ ư ỉ đ
c 25 km/h, nên n Hà N i mu n m t 2 gi so v i th i gian d nh. Tính quãng ng Vinh - đượ đế ộ ộ ấ ờ ớ ờ ự đị đườ

Hà N i? ộ
Bài 2: B b n An n m nay 30 tu i. N u l y s tu i b b n An cách ây 5 n m và s tu i c a An ố ạ ă ổ ế ấ ố ổ ố ạ đ ă ố ổ ủ
bây gi c ng v i 2 r i nhân hai s ó v i nhau thì c ng b ng s tu i b b n An bây gi nhân v i ờ ộ ớ ồ ố đ ớ ũ ằ ố ổ ố ạ ờ ớ
s tu i b n An bây gi . Tính tu i b n An bây gi ? ố ổ ạ ờ ổ ạ ờ

KHỦNG LONG SƯU TẦM
4 BỒI DƯỠNG TOÁN 4 - 5