De Toan thi thu dai hoc 2011

Trờng THPT
Đa Phúc
Đề thi thử đại học năm 2011
Môn: Toán, Khối: A
Đề chính thức
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề.
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
xmmxxy )3(
2
1
3
1
223
+=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ; cực tiểu tại xCT sao cho x
CĐ
;
x
CT
là độ dài hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
5
.
Câu 2 (2 điểm)
3. Giải phơng trình:
)
4
2(cos32)2sin1(3cos3cos2
2

+=++ xxxx
4. Giải bất phơng trình:
221682
22
++++ xxxx
Câu 3 (1 điểm) Tính
dx
xx
xx
I

+
=
2
0
2cossin43
cossin

Câu 4 (1 điểm). Cho lăng trụ ABCABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh A trên
)(ABCmp
trùng với tâm O của
ABC

. Gọi
)(

là mặt phẳng chứa BC và
vuông góc với AA;

)(

cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
8
3
2
a
.
Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 5 (1 điểm). Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn
12
222
=++ cba
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
111
3
6
3
6
3
6
+
+
+
+
+
=
a
c

c
b
b
a
A
II. Phần riêng (3 điểm)
Học sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc B)
A. Câu 6a) (2 điểm)
1. Trên Oxy cho Elip
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x

)0( >> ba
biết
2
1
22
=

a
ba
hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại

A, A, cắt Oy tại B, B. Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB có
diện tích bằng

4
.
2. Trên Oxyz cho
)(

mp
:
05 =+ zyx
, đờng thẳng (d):
22
2
1
zyx
=

=
. Viết phơng trình đờng
thẳng () đi qua A(3,-1,1); nằm trong
)(

và hợp với (d) một góc 45
0
.
Câu 7a) (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức
2010
2011
2011

2008
2010
2011
2006
3
2011
2008
2
2011
2010
1
2011
2 20112 2010
2
1
3
2
1
2
2
1
.
CCCCC
T +++++=
B. Câu 6b) (2 điểm)
1. Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d
1
: 2x-y-1=0, d
2
: 2x+y-3=0. Gọi I là giao điểm của d

1
và d
2
; A là
điểm thuộc d
1
, A có hoành độ dơng khác 1 (0 < x
A


1). Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua
A, cắt d
2
tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA.
2. Trên Oxyz cho 2 đờng thẳng: d
1:

11
2
1
zyx
=


=
và d
2
:
1
5

1
3
2
2

+
=

=
zyx
. Lập phơng trình
)(

mp
: chứa d
1
và tạo với d
2
một góc 60
0
.
Câu 7b) (1 điểm) Giải phơng trình:
014log4log
2
2
2
=+ xxxx
Hết
Đáp án Thang điểm
Câu ý Nội dung bài giải Điểm

Câu 1 Hàm số
2 điểm
1) Với m = 1 ta có h/s:
xxxy 2
2
1
3
1
23
=
1 điểm
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên:
a) Đạo hàm: y = x
2
x 2 = 0 x = -1 hoặc x = 2

* h/s đồng biến trên các khoảng
);2();1;( +
h/s nghịch biến trên khoảng (-1; 2)
* h/s đạt cực đại tại x = -1; y
CĐ
=
6
7
h/s đạt cực tiểu tại x = 2; y
CT
=
3
10

b) Giới hạn:

==

)
2
2
1
3
1
(limlim
2
3
x
x
xy
xx

+==
++
)
2
2
1
3
1
(limlim
2
3

x
x
xy
xx
c) Bảng biến thiên:
3. Vẽ đồ thị:

12
13
2
1
012
''

==== yxxy
Đồ thị có điểm uốn
)
12
13
;
2
1
(

U

2
3
3
3

2
2
00

==

==
==
yx
yx
yx

0,25
0,25
0,25
0,25
x

-1 2
+
y + 0 - 0 +
x-12y+ 0-0+y
2) T×m m
1 ®iÓm
Ta cã
3'
22
−+−= mmxxy
; pt
030'

22
=−+−⇔= mmxxy
(*)
.Hµm sè cã C§; CT ⇔ pt (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ⇔
220401230)3(4
2222
<<−⇔<−⇔>+−⇔>−−=∆ mmmmm
(1)
.x
C§
; x
CT
lµ 2 nghiÖm cña (*) vµ lµ ®é dµi 2 c¹nh cña 1 tam gi¸c vu«ng
⇒
x
C§
> 0; x
CT
> 0
⇒

3
0
03
0
0.
2
CD
>⇒




>
>−
⇒



>+=
>=
⇒ m
m
m
xxS
xxP
CTCD
CT
(2)
.x
C§
; x
CT
lµ ®é dµi 2 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng
2
7
2
7
2
5
)3(2

2
5
2)(
2
5
2
5
222
222
±=⇔=⇔=−−⇔
=−+⇔=+⇔
mmmm
xxxxxx
CTCDCTCDCTCD

. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ®îc
2
7
=m
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c, bpt ®¹i sè
2 ®iÓm
1 Gi¶i pt lîng gi¸c:
)
4
2(cos32)2sin1(3cos3cos2
2

π
+=++ xxxx
*
1 ®iÓm
)(
318
2
)
6
3sin(
0
0cos).
6
3sin(2
0)
6
2sin()
6
4sin(
0)2sin
2
3
2cos
2
1
()4sin
2
3
4
2

1
(
0)2sin32(cos)4sin34(
4sin332sin3324
))
2
4(1(32sin3324*
Zk
k
x
kx
x
cox
xx
xx
xxxxcox
xxxxcox
xxxcoxxcox
xcoxxxcoxxcox
∉






+
−
=
+=

⇔




+
=
⇔
=+⇔
=+++⇔
=−++⇔
=−++⇔
−=+++⇔
++=+++⇔
ππ
π
π
π
π
ππ
π
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Gi¶i bpt:
221682
22
+≤−+++ xxxx
(*)

1 ®iÓm
.§K:





≥
−=
−≤
⇔










≥
−≤



−≥
−≤
⇔






≥+−=−
≥++=++=++
1
1
3
1
1
1
3
0)1)(1(1
0)62)(1()3)(1(2682
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxxx
. Víi x = -1: VT(*) = 0; VP(*) = 0 ⇒ x = -1 lµ 1 nghiÖm cña bpt(*)
0.25
0.25
]

-3
]
-1
[
[
1
. Víi x ≥ 1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ 2x + 2 = 2(
1+x
)
2
x – 1 ≥ 0
2x + 3 > 0
Khi ®ã:

1
1
1
7
25
1
025187
12)642(4
16422
44)1)(62(253
12162
)1(21.162.1(*)
2
22
2
2

=⇔





≥
≤≤
−
⇔



≥
≤−+
⇔
+−≤−+⇔
−≤−+⇔
+≤−+++⇔
+≤−++⇔
+≤−++++⇔
x
x
x
x
xx
xxxx
xxx
xxxx
xxx

xxxxx
. Víi x ≤ -3 ⇒ . x + 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0 ⇒ -x – 1 = (
1−− x
)
2
. x – 1 < 0 ⇒ -x – 1 > 0
. 2x + 6 ≤ 0 ⇒ -2x – 6 ≥ 0
Khi ®ã:
12162
)1(2)1(2)1).(1()62)(1((*)
2
−−−≤+−+−−⇔
−−−=−−−≤+−−−+−−−−⇔
xxx
xxxxxx
(v« nghiÖm, v× VT ≥0 cßn VP < 0)
KL: bpt cã tËp nghiÖm S = { 1}±
0.25
0.25
C©u 3 TÝnh tÝch ph©n:
dx
xx
xx
I
∫
−+
=
2
0
2cossin43

cossin
π
1 ®iÓm
.
∫ ∫ ∫
+
=
++
=
−+
=
2
0
2
0
2
0
22
)1(sin2
cossin
sin2sin42
cossin
2cossin43
cossin
π π π
dx
x
xx
dx
xx

xx
dx
xx
xx
I
. §Æt t = sinx⇒ dt = cosxdx
. Khi :

4
14ln
4
12ln2
1
2
1
2ln
2
1
1
1
1ln
2
1
)1(
1
1
1
2
1
)1(

1)1(
2
1
)1(2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
222
−
=
−
=






−+=













+
++=








+
−
+
=
+
−+
=
+
=⇒
∫ ∫ ∫
t
tdt

t
t
dt
t
t
t
tdt
I
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u 4 H×nh kh«ng gian (tæng hîp)
1 ®iÓm
1
2
00
=⇒=
=⇒=
tx
tx
π
* Giả sử () AA tại giao điểm K
BCK là thiết diện () cắt lăng trụ, theo giả thiết ta có:
8
3
2
a
S
BCK

=

* Gọi M là trung điểm của BC AM BC
Mà AM là hình chiếu của KM KM BC (định lý 3 đờng vuông góc)


=AMK

là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ()
ABC có diện tích
4
3
2
a
S =
(diện tích tam giác đều)
KBC có diện tích
8
3
2
/
a
S =
(gt)
KBC là hình chiếu vuông góc của ABC trên mặt phẳng ()
Góc của
)(

và (ABC) và là
0

2
2
60
2
1
4
3
8
3
'
cos ====

a
a
s
s
Dễ thấy
0
60'


== AAOAMK
Xét OAA vuông tại O có:
33
3
.
3
3
60cot.
2

3
.
3
2
'

cot.'
0
aaa
AAOOAOA ====
Theo giả thiết AO là đờng cao của lăng trụ
12
3
3
.
4
3
'
32
'''.
aaa
OAShBV
ABCCBAABC
====

(đvdt)
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 5
Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn
12
222
=++ cba
.
1 điểm
. Ta có:
C
A
B
M
O
K
C
A
B
A
K
AM

O

)
222
(2
2
2
1;
2

2
1:
2
2
2
11
)1)(1(1
2
6
2
6
2
6
2
3
2
32
22
23
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

=
+++
++=+
a
c
c
b
b
a
A
c
c
b
bt
aaaa
aaaa
. Ta có:
2
2
2
6
2
2
2
6
223
32
2962
2
6

8
3
32
9
)2(16
2
.
8
3
32
9
)2(16
2
.
8.2
3).2(
)2.(2.
3
3
32
9
)2(16
2
.
c
a
a
c
b
c

c
b
aa
b
bab
b
a
+
+
+
+
+
+
+
+
==
+
+
+
+
+
+
Cộng vế với vế 3 bđt trên đợc bđt:
32
222
)(832)6(
9
16
222
2

6
2
6
2
6
222222
2
6
2
6
2
6

+
+
+
+
+

+++++++
+
+
+
+
+
a
c
c
b
b

a
cbacba
a
c
c
b
b
a
A = 64 với mọi a, b, c > 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 12
Với a = b = c = 2 thoả điều kiện giả thiết thì A = 64
Vậy minA = 64 đạt đợc khi a = b = c = 2
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 6a
Hình giải tích
2 điểm
1 Hình giải tích phẳng
1 điểm
. gt: Diện tích hình tròn nội tiếp
hình thoi ABAB bằng

4

bán kính đờng tròn r = 2
. O là tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = 2
.Xét tam giác vuông OAB ta có:
22222
11
4
1111
baOBOAOK
+=+=
(1)
. Từ gt:

22222
22
22
222
.2
2
1
babaa
baa
a
ba
==
==

. a
2
và b

2
đợc tìm từ hệ (1); (2)





=
=






=+
=
6
12
4
11
2
2
2
22
22
b
a
ba
ba

Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là:
1
612
22
=+
yx
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Hình giải tích không gian
1 điểm
*Theo giả thiết mặt phẳng () có VTPT
)1,1,1( =n

(do a
2
+ b
2
+ c
2
= 12)
(2)
A
A
B
B
O
K

đờng thẳng d có VTCP
)2,2,1(=u

*Giả sử
),,( cbav =

(a
2
+ b
2
+ c
2
> 0) là VTCP của đởng thẳng phải lập ph-
ơng trình:
- Từ giả thiết: ()
(*)00. cabcbavu +==+=

- Từ giả thiết: hợp với d một góc 45
0

( )
2
2
45cos,cos
0
== vu

2
2
.221

22
222222
=
++++
++

cba
cba
do b = a+c, và từ (*) có:
( )





=
=
=+=+
++=++
++=++
++=+=
+++
+++

15
7
0
015703014
181818324818
)222(9)16249(2

2223432
2
1
)(3
22
22
2222
2222
22
222
c
a
c
accacc
cacacaca
cacacaca
cacaca
ccaa
ccaa
* với c = 0 a = b lấy a = 1 b = 1
)1;1;3();0;1;1( = Av


)(
1
1
3
:)(
11
1

Rt
z
ty
tx






=
+=
+=

* Với
cb
c
a
15
8
15
7
=

=
chọn c = 15 a = -7; b = 8
)(
151
81
73

:)(
2
2
2
2
Rt
tz
ty
tx






+=
+=
=

0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 7a
Nhị thức Newtơn
1 điểm
Xét:
2011
2011
2011

2011
2011
1
2010
1
2011
2011
0
2011
2011
2011
0
2011
2011

2
1

2
1
.
2
1
.
.)
2
1
()
2
1

()(
xxx
xxxf
CCCC
C
k
k
k
ii
i
i
+++++=
=+=


=

Lấy đạo hàm của f(x) 2 vế ta đợc:
(*) 2011
2
1
1.
2
1
.)
2
1
(2011
2010
2011

2011
1
2011
2011
2010
1
2011
2010
xxkx
CCC
k
k
k
++++=+


Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta đợc
20102010
)
2
5
.(2011)2
2
1
(2011
=+=
T
0.25
0.5
0.25

Câu
6b
Hình giải tích
2 điểm
1 Hình giải tích phẳng
1 điểm
I = d
1
d
2
tạo độ của I là n
0
của hệ



=
=




=+
=
1
1
032
012
y
x

yx
yx
Vậy I(1; 1)
Từ gt d
1
có VTPT
);1;2(
1
=n
d
2
có VTPT
);1;2(
2
=n
Gọi là góc của d
1
và d
2

5
6
5
4
.3.
2
1
5
4
sin

5
3
5
14
cos
2
IA
IAIAS
IAB
==
==

=


Từ gt:
4556
22
===

IBIAS
IAB
)12,(.
1
aaAdA
với a > 0, a 1
. pt

=
=
==+=
2
0
5)1(55)22()1(5
2222
a
a
aaaIA
a = 2 A(2;3)
*
)23,(.
21
baBdB



=
=
==
=+=
)7;2(2
)5;4(4
9)1(45
)1(5)22()1(
22
2222
Bb
Bb

bIB
bbbIB
Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm là
0114
35
3
24
2
=+


=


yx
yx
Với A(2;3); B(-2;7) pt cần tìm là
05
37
3
22
2
=+


=


yx
yx

0.25
0.25
0.25
0.25
2 Hình giải tích không gian
1 điểm
. Từ gt d
1
đi qua M
1
(0,2,0) có VTCF
)1,1,1(
1
=u
d
2
đi qua M
2
(2,3,-5) có VTCF
)1,1,2(
2
=u
. Giả sử
),,( cban =
(a
a
+ b
2
+ c
2

> 0) là VTPT của mp ()
+) từ yc () d
1

(*)00. cabcbaun +==+=
+) gọi là góc giữa () và d
2

222
.6
2
sin
cba
cba
++
+
=

2222
222
0
222
0
632
2
3
222.6
2
2
3

60sin
.6
2
60
cacaacacaa
cba
cba
cba
cba
++=++=
=
++
+
==
++
+
=




=
=
=+++=
ca
c
caccacaa
0
0
2222

0.25
0.25
loại
I

A
B
IB=3TA
. c = 0
ba =
(*)
. Chọn a = 1 b = 1
)0,1,1(n
(): 1(x-0) + 1(y 2) + 0(z 0) = 0 x + y z = 0
. a = -c
0
(*)
= b
. Chọn a = 1 c = -1
)1,0,1( n
(): 1(x-0) + 0(y 2) - 1(z 0) = 0 x z = 0
0.25
0.25
Câu
7b
Giải phơng trình lôgarit:
014log4log
2
2
2

=+ xxxx
1 điểm
. ĐK: x> 0
. Đặt t = log
2
x ta có pt t
2
+ 4xt 4x 1 = 0 (*)
(coi là pt bậc 2 ẩn t: có
22
'
)12(144 +=++=

xxx
t
)
Nên (*)



+=++=
=+=

1)12(2
14)12(2
xxt
xxxt
. Với t = +1 log
2
x = +1 x = 2

. Với t = -4x 1
Đặt f(x) = log
2
x f(x) là hàm số đồng biến
g(x) = -4x 1 g(x) là hàm số nghịch biến
ta có
2
4
1
log)
4
1
(
2
==f
21
4
1
.4)
4
1
( ==g
Vởy x =
4
1
là nghiệm duy nhất
.KL: pt có tập nghiệm

=
4
1
;2S
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh giải theo cách khác đáp án trên, giải đúng, logíc,
lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa của mỗi ý.