Đề thi Olympic Toán lớp 11 năm 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC- NĂM 2011
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC Môn thi: Toán - Khối 11
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I: (6 điểm)
1. Cho hàm số
1)(
2
+−+==
xxxxfy
.Chứng minh rằng
0)(' >xf
∀
x
∈R.
2. Cho hàm số
x
xy
1
+=
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm
( ;0), (0, ) ( 0, 0) A a B b a b> >

sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4 với điểm O là gốc tọa độ.
Câu II: (6 điểm)
1. Giải phương trình
8 15
2000sin 2011cos 2011x x+ =
2. Cho các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau mà trong mỗi số đó có đúng ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

3. Cho dãy số
( )
n
u
với
nn
u
n
+
=
2
1
. Thành lập dãy số
( )
n
s
với
1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , , ,
n n
s u s u u s u u u s u u u u= = + = + + = + + + +
. Tính:
lim
n
n
s
→+∞
Câu III: (2 điểm)
Cho phương trình
222

222011
+=+−− mmxxx
( m – là tham số).Chứng minh rằng phương
trình có nghiệm thực duy nhất với mọi m.
Câu IV: (6 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau.
1. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
SH SA SB SC
= + +

và H thuộc miền trong của tam giác ABC.
2. Gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC,
, ,
α β γ
lần lượt là các góc
giữa đường thẳng SM và các đường thẳng SA,SB,SC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2
1 1 1
sin sin sin
P
α β γ
= + +
………………………………………Hết……………………………………………….

Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:…………………….