Đề HSG khối 8 (10-11)

Trường THCS Cát Lâm ĐỀ THI TUYỂN HSG LỚP 8 NH: 2010 – 2011.
Thời gian: 120 phút.
//
Bài 1: (3,0 đ)
a) Tìm GTNN của biểu thức
2
A 5 7x x= + +
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
B 4 4 3x x= + −
.
Bài 2: (3,0 đ)
a) Giải phương trình sau:
17 21 1
4
1990 1986 1004
x x x
− − +
+ + =
b) Tìm x, biết:
4 12.2 32 0
x x
− + =
.
Bài 3: (2,0 đ) Cho x, y, z đôi một khác nhau và
1 1 1
0
zx y
+ + =
.
Tính giá trò của biểu thức:

2 2 2
z z
A
2 z 2 z z 2
y x xy
x y y x xy
= + +
+ + +
Bài 4: (2,0 đ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Chứng minh rằng
1 1 2
AB CD MN
+ =
.
The end
Trường THCS Cát Lâm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG LỚP 8 NH: 2010 – 2011.
//
Bài 1: (3,0 đ)
a) Ta có:
2
2
5 3 3
A 5 7
2 4 4
x x x x
 
= + + = + + ≥ ∀
 ÷

 
(1,0 đ)
Vậy GTNN của
3
A
4
=
khi
5
2
x
−
=
(0,5 đ)
b) Ta có:
2 2
B 4 4 3 (4 6 ) (2 3) 2 (2 3) (2 3) (2 3)(2 1)x x x x x x x x x x= + − = + − + = + − + = + −
(1,5 đ)
Bài 2: (3,0 đ)
a) Ta có:
17 21 1
4
1990 1986 1004
x x x
− − +
+ + =
17 21 1
1 1 2 0
1990 1986 1004
x x x− − +

⇔ − + − + − =
(0,5 đ)
2007 2007 2007 1 1 1
0 ( 2007) 0
1990 1986 1004 1990 1986 1004
x x x
x
 
− − −
⇔ + + = ⇔ − + + =
 ÷
 
(0,5 đ)
2007 0 2007x x
⇔ − = ⇔ =
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2007} (0,5 đ)
b) Đặt
t 2
x
=
khi đó, ta có:
2
t 12.t 32 0 (t 8)(t 4) 0 t 8 hoặc t 4− + = ⇔ − − = ⇔ = =
(0,75 đ)
Với t = 8 thì
8 2 3
x
x= ⇒ =
Với t = 4 thì
4 2 2

x
x= ⇒ =
Vậy x = 3; x = 2. (0,75 đ)
Bài 3: (2,0 đ)
Ta có:
1 1 1
0
zx y
+ + =
z z
0 z z 0 yz y z
z
xy y x
xy y x x x
xy
+ +
⇒ = ⇒ + + = ⇒ = − −
( 0,5 đ)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 z yz y z y z y y zx y x x x x x x x x+ = + − − = − − − = − −

Tương tự:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
y 2 z y y z ; z 2 y z z –yx x x x+ = − − + = −
( 0,75 đ)
Do đó:
z z
A

( )( z) ( )( z) (z )(z )
y x xy
x y x y x y x y
= + +
− − − − − −
(0,25 đ)
Tính đúng A = 1 (0,5 đ)
Bài 4: (2,0 đ)
a)
ADC
∆
có OM // DC
OM OA
DC AC
⇒ =
(1)
BCD
∆
có ONM // DC
ON OB
DC BD
⇒ =
(2)
mặc khác, AB // CD
OA OB
OC OD
⇒ =

OA OB
OC OA OD OB

⇒ =
+ +
hay
OA OB
AC BD
=
(3) (0,75 đ)
Từ (1); (2) và (3)
OM ON
DC DC
⇒ =
hay OM = ON. (0,25 đ)
b) Xét
ABD∆
để có OM // AB
OM DM
AB AD
⇒ =
(1)
Xét
ADC
∆
để có OM // CD
OM AM
DC AD
⇒ =
(2)
Cộng (1) và (2) ta được
1 1 AM DM AD
OM. 1

AB CD AD AD
 
+
+ = = =
 ÷
 
(3) (0,5 đ)
Chửựng minh tửụng tửù :
1 1
ON. 1
AB CD

+ =
ữ

(4)
Coọng (3) vaứ (4) ta coự
( )
1 1
OM ON 2
AB CD

+ + =
ữ



1 1 2
AB CD MN
+ =

(ủpcm) (0,5 ủ)