Tích phân trong đề thi đại học chính thức từ 2013 trở về trước có giải chi tiết

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
1

-

Tích phân trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013
Tính tích phân sau:
2
2
2
1
1
ln
x
I xdx
x
−
=
∫

Hướng dẫn giải
ðặt
2

2
1
ln
1
1
u x
du dx
x
x
dv dx
v x
x
x

=

=

 
⇔
 
−
=
 
= +




Ta có:

2 2 2
2
1
1 1 1
1 1 1 1 1 5 3
ln ln ln 2
2 2
I x x x dx x x x
x x x x x
       
= + − + = + − − = −
       
       
∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013
Tính tích phân sau:
1
2
0
2
x x dx
−
∫

Hướng dẫn giải
ðặt
2
2

u x
= −
thì
2
2
du
du xdx xdx= − ⇔ = −

Khi
0 2
1 1
x u
x u
= =
 
⇒
 
= =
 
thay vào ta ñược
2
3
1 3
2
1 1 2
2
2 2
0 2 1
1
1 1 1 2 2 1

2 2 1
3
2 2 2 3 3
2
u u
x x dx du u du
 
   
−
− = − = = = − =
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013
Tính tích phân sau:
( )
2
1
2
0
1
1
x
dx
x
+

+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có biến ñổi:
( )
( )
( )
2
2
1
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
0
1
2 1 2
1 ln 1 1 ln2
1 1 1
x
x x x
dx dx dx x x
x x x

+
+ +
 
= = + = + + = +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫











TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
2

-

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012

Tính tích phân sau:
(
)
3
2
1
1 ln 1
x
I dx
x
+ +
=
∫

Hướng dẫn giải
ðặt:
( )
2
1 ln 1
1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x
x


= + +

=

 
+
⇒
 
=
 
= −



thay vào ta có :
( )
( )
( )
( )
3
3 3
1 1
1
3
1
1 ln 1 2 ln 2
1 1
1 3 1
2 ln 2

2 2
ln ln3 ln 2
3 1 3 3
x
dx
I dx
x x x x x
x
x
+ + +
 
= − + = + −
 
+ +
 
+
= + = + −
+
∫ ∫



Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012
Tính tích phân sau:
3
1
4 2
0
3 2
x

I dx
x x
=
+ +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

ðặ
t:
2
2
t x dt xdx
= ⇒ = . Với x = 0 thì t = 0; với x = 1 thì t = 1
Khi ñó:
( )( )
( )( )
2
1 1
2 2
0 0
1
1
0

0
1 .2
2 1 2
1 2
1 2 1 1 3
ln 2 ln 1 ln3 ln 2
2 2 1 2 2
x xdx tdt
I dx dx
t t
x x
dt t t
t t
= =
+ +
+ +
   
= − = + − + = −
   
+ +
   
∫ ∫
∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012
Tính tích phân sau:
( )
4
0

1 sin 2
I x x dx
π
= +
∫

Hướng dẫn giải
2 2
4
4 4 4 4
0 0 0 0
0
sin 2 sin 2 sin 2
2 32
x
I xdx x xdx x xdx x xdx
π
π π π π
π
= + = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

ðặt
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx

v x
=

=


⇒
 
=
= −




Khi ñó:
4 4
4 4 4
0 0 0
0 0
1 1 1 1 1
sin 2 cos2 cos2 cos2 sin 2
2 2 2 4 4
x xdx x x xdx xdx x
π π
π π π
= − + = = =
∫ ∫ ∫

Do ñó:
2

1
32 4
I
π
= +





TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
3

-

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ðẳng-2012
Tính tích phân sau:
3
0
1
x
dx
x +
∫

Hướng dẫn giải
ðặt
1; 2
t x dx tdt
= + =

ðổi cận : khi
0 1, 3 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

Ta có:
( )
2
3
2
2
1
1
8
2 1 2
3 3
t
I t dt t
 
= − = − =
 
 
∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011
Giải phương trình sau:
(
)
4
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π
+ +
+
∫

Hướng dẫn giải
(
)
4 4 4 4 4
0 0 0 0 0
sin 1 cos
sin cos cos cos cos
1
sin cos sin cos sin cos sin cos
x x x x
x x x x x x x x x
dx dx dx dx dx
x x x x x x x x x x x x

π π π π π
+ +
+ +
 
= = + = +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ta có:+
4
0
4
dx
π
π
=
∫

+
(
)
( )
4 4 4
00 0
sin cos
cos 2 2
ln sin cos ln 1 ln 1
sin cos sin cos 2 4 4 2 4
d x x x

x x
dx dx x x x I
x x x x x x
π π
π
π π π
   
+
   
= = + = + ⇒ = + +
   
   
   
+ +
   
   
∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011
Tính tích phân sau:
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+

∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
3 3 3 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 sin 1 sin 1 sin
cos cos cos cos cos
x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x
π π π π
+
 
= + = +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ta có: +
3
3
2
0

0
1
tan 3
cos
dx x
x
π
π
= =
∫

+
3
3 3 3 3
2 2
0 0 0 0
0
sin 1 2 sin
cos cos cos cos 3 sin 1
x x x dx d x
dx xdx
x x x x x
π
π π π π
π
 
= = − = +
 
−
 

∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )
( )
3
3
0
0
2 1 1 1 2 1 sin 1 2
sin ln ln 2 3
3 2 sin 1 sin 1 3 2 sin 1 3
2
3 ln 2 3
3
x
d x
x x x
I
π
π
π π π
π
 − 
 
= + − = + = + −
 
 
− + +
 

 
⇒ = + + −
∫











Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
4

-

Tính tích phân sau:
4
0
4 1
2 1 2

x
dx
x
−
+ +
∫

Hướng dẫn giải
ðặt:
2 1
t x
= +

(
)
2
4 2 1 ,
x t dx tdt
= − =

ðổi cận :
0 1; 4 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

3
3 3
4 3 3
2 2
0 1 1

1
4 1 2 3 10 2 34 3
2 4 5 2 5 10ln 2 10ln
2 2 3 3 5
2 1 2
x t t t
dx dt t t dt t t t
t t
x
 
− −
 
= = − + − = − + − + = +
 
 
+ +
+ +
 
 
∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ðẳng-2011
Tính tích phân sau:
( )
2
1
2 1
1
x
dx

x x
+
+
∫

Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1
1 1
1
I dx
x x
 
= +
 
+
 
∫

+
2
2
1
1
1
ln ln 2
dx x
x
= =

∫
và
2
2
1
1
1
ln 1 ln3 ln 2
1
dx x
x
= + = −
+
∫

Vậy
ln3
I
=


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010
Tính tích phân sau:
1
2 2
0
2
1 2
x x
x

x e x e
I dx
e
+ +
=
+
∫


Hướng dẫn giải
1 1
2 2
1 1
2 2
0 0
0 0
2
1 2 1 2 1 2
x x x x
x x x
x e x e e e
I dx x dx x dx dx
e e e
 
+ +
= = + = +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

+
1
3
1
2
0
0
1
3 3
x
x dx
= =
∫

+
(
)
1
1 1
0 0
0
1 2
1 1
ln 1 2
1 2 2 1 2 2
x
x
x
x x

d e
e
dx e
e e
+
= = +
+ +
∫ ∫

V
ậ
y
( )
1
0
1 1 1 1 1 2 1 1 1 2
ln 1 2 ln ln
3 2 3 2 3 3 2 3
x
e e
I e
+ +
= + + = + = +

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010
Tính tích phân sau:
( )
2
1
ln

2 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt
2 ln
t x
= +
, ta có:
1
dt dx
x
=
.
ðôi cận:
1 2; 3
x t x e t
=

⇒
= =
⇒
=

3
3 3 3
3
2 2
2
2 2 2
2
2 1 1 2 1 3
2 ln ln
3 2
t
dt dt dt t
t t t t
−
= − = + = −
∫ ∫ ∫


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
5

-

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010
Tính tích phân sau:
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
 
= −
 
 
∫

Hướng dẫn giải
1 1
1
3 3
2 ln 2 ln ln
e
e e
I x xdx x xdx xdx
x x
 
= − = −
 
 

∫ ∫ ∫

+ ðặt
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
v x

=
=


⇒
 
=


=


+
( )
2 2
2 2
1 1

1
1
1
2 ln ln
2 2
e
e
e e
x e
x xdx x x xdx e
+
= − = − =
∫ ∫

+
( )
2
1 1
1
ln ln 1
ln ln
2 2
e
e e
x x
dx xd x
x
= = =
∫ ∫
. Vậy

2
1
2
e
I
= −

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ðẳng-2010
Tính tích phân sau:
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
1 1 1
1
1

0
0
0 0 0
3
2 2 3 2 3ln 1 2 3ln 2
1 1
dx
I dx dx x x
x x
 
= − = − = − + = −
 
+ +
 
∫ ∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009
Tính tích phân sau:
( )
2
3 2
0
cos 1 os
I x c xdx
π
= −
∫

H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
( ) ( )
2 2
3 2 5 2
0 0
cos 1 os cos os
I x c xdx x c x dx
π π
= − = −
∫ ∫

ðặt
sin , cos
0 0; 1
2
t x dt xdx
x t x t
π
= =
= ⇒ = = ⇒ =

+
( ) ( )
1
1

2 2
5 2 2 3 5
2 2
1
0 0 0
0
2 1 8
cos 1 sin cos 1
3 5 15
I xdx x xdx t dt t t t
π π
 
= = − = − = − + =
 
 
∫ ∫ ∫

+
( )
2
2
2 2
2
0 0
0
1 1 1
cos 1 cos2 sin2
2 2 2 4
I xdx x dx x x
π

π π
π
 
= = + = + =
 
 
∫ ∫

Vậy
1 2
8
15 4
I I I
π
= − = −






TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
6

-

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009
Tính tích phân sau:
( )
3
2
1
3 ln
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

Hướng dẫn giải
ðặt:
( )
2
1
3 ln
1
1
1
u x
du dx
x
dx

dv
v
x
x

= +

=

 
⇔
 
=
 
= −
+


+


( ) ( )
3
3 3 3
1 1 1
1
3 3
1 1
3 ln 1 3 ln3 3 1 1
1 1 4 2 1

3 ln3 1 27
ln ln 1 3 ln
4 4 16
x
I dx dx dx
x x x x x
x x
+ +
= − + = − + + −
+ + +
−
 
= + − + = +
 
 
∫ ∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009
Tính tích phân sau:
3
1
1
x
dx
I
e
=
−
∫

Hướng dẫn giải

ðặt
3
, ; 1 ; 3
x
dt
t e dx x t e x t e
t
= = = ⇒ = = ⇒ =

( )
( )
3 3
3 3
2
1 1
ln 1 ln ln 1 2
1 1
e e
e e
e e
e e
dt
I dt t t e e
t t t t
 
= = − = − − = + + −
 

− −
 
∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ðẳng-2009
Tính tích phân sau:
(
)
1
2
0
x x
e x e dx
−
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
1

1
x x x x x
I e dx xe dx e xe dx xe dx
e
− −
= + = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

ðặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 

1
1 1
0 0
0
1 1 1
1 1 2
x x x
I xe e dx e e
e e e
= − + − = − + − = −
∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008
Tính tích phân sau:
4
6
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

( )
4 4
6 6
2 2

0 0
tan tan
cos2
1 tan cos
x x
I dx dx
x
x x
π π
= =
−
∫ ∫

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
7

-

ðặt
2
tan
cos
dx
t x dt
x

= ⇒ =
ðổ
i c
ậ
n
1
0 0;
6
3
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

Suy ra
( )
( )
1 1 1
4
2
3 3 3
2
0 0 0
1
3
3
0
1 1 1
1
1 2 1 1
1 1 1 10

ln ln 2 3
3 2 1 2
9 3
t
I dt t dt dt
t t t
t t
t
t
 
= = − + + −
 
− + −
 
 
+
= − − + = + −
 
−
 
∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008
Tính tích phân sau:
( )
4
0
sin
4
sin2 21 sin cos

x
I dx
x x x
π
π
 
−
 
 
=
+ + +
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt:
( )
sin cos cos sin 2sin
4
t x x dt x x dx x dx
π
 
= + ⇒ = − = − −
 
 

ðổi cận:
0 1; 2
4
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

Ta có:
( ) ( )
( )
2
2
2
2
1
1
sin 2 2 1 sin cos 1
2 2 1 2 1 1 4 3 2
.
2 2 1 2 2 4
2 1
1
x x x t
dt
I
t
t
+ + + = +
−

 
⇒ = − = = − =
 
+
+
+
 
∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008
Tính tích phân sau:
2
3
1
ln
x
I dx
x
=
∫

Hướng dẫn giải
ðặt
3
2
ln
1
1
2
dx

u x
du
x
dv dx
v
x
x

=
=


 
⇒
 
=
 
= −




Khi ñó:
2 2
2
2 3 2
1
1 1
ln 1 ln 2 1 3 2ln 2
2 2 8 4 16

x
I dx
x x x
−
= − + = − − =
∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ðẳng-2008
Tính diện tích hình phẳng ñược giới hạn bởi
(
)
2
: 4
P y x x
= − +
và ñường thẳng
(
)
:
d y x
=

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường ñã cho là:
2
0
4
3
x

x x x
x
=

− + = ⇔

=


Diện tích của hình phẳng cần tìm là
( )
( )
3
3 2
3 3 3
2 2 2
0 0 0
0
3 9
4 3 3
3 2 2
x x
S x x x dx x x dx x x dx dvdt
 
= − + − = − + = − + = − + =
 
 
∫ ∫ ∫

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
8

-

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
(
)
1
y e x
= +
,
(
)
1
x
y e x
= +

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường ñã cho là:
( )
( ) ( )

0
1 1 0
1
x x
x
e x e x e e x
x
=

+ = + ⇔ − = ⇔

=


Diện tích của hình phẳng cần tìm là
( )
1
2
1 1 1
1
0
0 0 0
0
1( )
2 2
x x x x
ex e
S xe ex dx xe ex dx xe e dx dvdt
= − = − = − + = −
∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2007

Cho hình phẳng H ñược giới hạn bởi các ñường
ln , 0,
y x x y x e
= = =
. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay
hình H quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành ñô giao ñiểm của các ñường ñã cho là
ln 0 0
x x x
= ⇔ =
hoặc x = 1
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình H quanh trục hoành là:
( )
2
2
1 1
ln
e e
V y dx x x dx
π π
= =
∫ ∫
.
Tính tích phân từng phần hai lần ñối với tích phân này kết quả ta ñược

(
)
3
5 2
27
e
V
π
−
=
(ñơn vị thể tích)
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007
Tính tích phân sau:
3 2
1
ln
e
I x xdx
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt:
2

4
3
2ln
ln
4
x
du dx
u x
x
x
dv x dx
v

=


=
 
⇒
 
=



=



Ta có:
4 4

2 3
1
1
1
ln ln
4 2 4
e
e
x e
I x x xdx
= − =
∫

Vậy :
4
5 1
32
e
I
−
=

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
9

-



Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2006
Tính tích phân sau:
2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Hướng dẫn giải

Ta có:
2 2
2 2 2
0 0
sin 2 sin 2
cos 4sin 1 3sin
x x
I dx dx
x x x
π π
= =
+ +
∫ ∫

ðặt
2
1 3sin 3sin 2
t x dt xdx
= + ⇒ =

Với
0 1, 4
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

Vậy
4
4
1
1
1 2 2
3 3 3
dt
I t
t
= = =
∫



Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2006
Tính tích phân sau:
ln5
ln3
1
2 3
x x
I dx
e e
−
=
+ −
∫

Hướng dẫn giải

ln5 ln5
2
ln3 ln3
1
2 3 3 2
x
x x x x
e
I dx dx
e e e e
−
= =
+ − − +
∫ ∫

ðặt
x x
t e dt e dx
=
⇒
=
Với
ln3 3; ln5 5
x t x t
=
⇒
= =
⇒
=

( )( )
5
5 5
3 3
3
1 1 2 3
ln ln
1 2 2 1 1 2
dt t
I dt
t t t t t
−
 
⇒ = = − = =
 
− − − − −
 
∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2006
Tính tích phân sau:
( )
1
2
0
2
x
I x e dx
= −

∫

Hướng dẫn giải
ðặt
2
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

= −


⇔
 
=
=




( )
2 2

1
1 1
2 2 2
0 0
0
1 1 1 5 3
2 1
2 2 2 4 4
x x x
e e
I x e e dx e
−
= − − = − + − =
∫









TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
10

-


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2005
Tính tích phân sau:
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫

Hướng dẫn giải
( )
2 2
0 0
2cos 1 sin
sin 2 sin
1 3cos 1 3cos
x x
x x
I dx dx
x x

π π
+
+
= =
+ +
∫ ∫

ðặt
2
1 3sin
1 3cos cos ;
3
2 1 3cos
t x
t x x dt dx
x
−
= + ⇒ = = −
+

Khi
0 2, 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

( )
2
1 2

2
2 1
2
3
1
1 2 2
2 2 1
3 3 9
2 2 2 16 2 34
2 1
9 3 9 3 3 27
t
I dt t dt
t
t
−
 
= − = +
 
 
 
 
   
= + = + − + =
 
   
 
   
 
 

∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2005
Tính tích phân sau:
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Ta có:
2
2
0
sin cos
2

1 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫

ðặt
1 cos sin ; 0 2; 1
2
t x dt xdx x t x t
π
= + ⇒ = − = ⇒ = = ⇒ =

( )
( )
2
2
2
1 1
2 2
1
1
1
2 2 2 2 2 ln 2ln 2 1
2
t
t

I d t t dt t t
t t
−
 
 
= − = − + = − + = −
 
 
 
 
∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2005
Tính tích phân sau:
( )
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
π
= +
∫


H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i

( )
sin
2 2
0 0
2
sin
2
0
0
1 cos2
sin
2
1 1
sin 2 1
2 2 4
x
x
x
I e d x dx
e x x e
π π
π
π
π
+
= +

 
= + + = + −
 
 
∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2004
Tính tích phân sau:
2
1
1 1
x
I dx
x
=
+ −
∫


TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
11

-

Hướng dẫn giải

2
1
1 1
x
I dx
x
=
+ −
∫


ðăth
2
1 1 2 ; 1 0; 2 1
t x x t dx tdt x t x t
= − ⇒ = + ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =


Ta có:
1
2 3
1 1 1
2 3 2
0 0 0
0
1 2 1 1 11
2 2 2 2 2 2 2ln 1 4ln 2
1 1 1 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt t t t t

t t t
+ +
   
= = = − + − = − + − + = −
   
+ + +
   
∫ ∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2004
Tính tích phân sau:
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải

ðặt
2
1 3ln 1 3ln 2 3
dx
t x t x tdt
x

= + ⇒ = + ⇒ =

1 1; 2
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =

Ta có:
( )
2
2 2
2 4 2
1 1
2 1 2 116
3 3 9 135
t
I t dt t t dt
−
= = − =
∫ ∫


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2004
Tính tích phân sau:
( )
3
2
2
ln
I x x dx
= −

∫

Hướng dẫn giải
ðặt
( )
2
2
2 1
ln
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x
−


= −
=
 
⇔
−
 
=



=


( )
( )
3
2 2
2
1 1
2
2
1
2 1 1
ln 3ln6 2ln 2 2
1 1
3ln6 2ln 2 2 ln 1 3ln3 2
x
I x x x dx dx
x x
x x
−
 
= − − = − − +
 
− −
 
= − − + − = −
∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2003
Tính tích phân sau:
2 3

2
5
1
4
I dx
x x
=
+
∫


H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
ðặt
2 2 2
2
4 ; 4
4
xdx
t x dt x t
x
= + ⇒ = = −
+

Với :

5 3; 2 3 4
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

Khi ñó :
4 4
2
3 3
1 1 1 1 5
ln
4 4 2 2 4 3
dt
I dt
t t t
 
= = − =
 
− − +
 
∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2003
Tính tích phân sau:
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
I dx

x
π
−
=
+
∫

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
12

-

Hướng dẫn giải
2
4 4
0 0
1 2sin cos2
1 sin 2 1 sin 2
x x
I dx dx
x x
π π
−
= =
+ +

∫ ∫

ðặt
1 sin 2 2cos2 ; 0 1; 2
4
t x dt xdx x t x t
π
= + ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =

2
2
1
1
1 1 1
ln ln 2
2 2 2
dt
I t
t
= = =
∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2003
Tính tích phân sau:
2
2
0
I x xdx
= −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
( ) ( )
2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
0 0 1 0 1
1
I x xdx x xdx x xdx x x dx x x dx
= − = − + − = − + − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2002
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ

ng
2
4 3 ; 3
y x x y x
= − + = +

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường ñã cho là
1
2
2
0
4 3 3
5
x
x x x
x
=

− + = + ⇔

=


Mặt khác:
[
]
2
4 3 3, 0;5
x x x x− + ≤ + ∀ ∈

(
)
( ) ( ) ( )
( )
5
2
0
1 3 5
2 2 2
0 1 3
3 4 3
3 4 3 3 4 3 3 4 3
13 26 22 109
6 3 3 6
S x x x dx
x x x dx x x x dx x x x dx
dvdt
= + − − +
= + − + − + + + − + + + − + −
= + + =
∫
∫ ∫ ∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2002
Tính tích phân sau:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường
2 2
4 ;
4
4 2
x x
y y= − =

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành dộ giao ñiểm của các
ñường vừa cho là
2 2
2
4 8 2 2
4
4 2
x x
x x− = ⇔ = ⇔ = ±

Trên
2 2;2 2
 
−
 
, ta có
2 2
4

4
4 2
x x
≤ −
và
do tính ñối xứng qua trục tung nên ta có

(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2
2 2 0 0 0
1
4 2 4 16
4 4
4 2 4 2 4 2
x x x x
S dx dx x dx x dx S S
−
   
= − − = − − = − − = −
   
   
   
∫ ∫ ∫ ∫
ðể tính
1
S

ta dùng phép biến ñổi ñặt
4sin
x t
=
, khi
0 0 2 2
4
t x
π
≤ ≤
⇒
≤ ≤

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:


-
Trang
13

-

4cos ;cos 0, 0;
4
dx tdt t t
π
 
= > ∀ ∈
 

 

Do ñó:
2 2
2 2
4 4
1
0 0 0
1 cos2
16 16 cos 9 2 4
2
t
S x dx tdt dt
π π
π
+
= − = = = +
∫ ∫ ∫

2 2
2 2
2 3
2
0
0
1 1 8
3
2 2 6 2
S x dx x
= = =

∫

Vậy diện tích của hình cần tìm là
2 2
2 2
2 2
4
4 2
4 3
4 2
x x
S dx
π
−
 
= − − = +
 
 
 
∫

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2002
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñồ thị của hàm số
3 1
1
x
y
x
− −
=

−
và hai trục tọa ñộ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Diện tích cần tìm là
( )
0 0 0
0
1
1 1 1
3
3 3 3
3 1 1
3 4 3. 4 ln 1 1 4ln
1 1 3 3
x dx
S dx dx x dvdt
x x
−
− − −
− − 4
= = − − = − − − = − +
− −
∫ ∫ ∫

+ Qua 10 năm thực hiện ñề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi ñã biên soạn và giới thiệu ñến cộng ñồng
một hệ thống những chuyên ñề luyện thi tuyển sinh ñại học của từng năm.
+Tài liệu ñược sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung tâm giáo viên
Quốc Tuấn ñịa chỉ 157 ðặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -ðiện thoại: 0905671232-0989824932. Là nơi quy
tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi ñạy học có uy tín trên ñịa bàn thành phố Huế. Luôn có những chính
sách và những phương pháp giảng dạy cũng như tính cập nhật hàng ñầu. Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học
chất lượng cao với chi phí rẽ. ðặc biệt hưởng lợi ñược từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm
Video Tutorial bài giảng ñược cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng ñồng học sinh.
+ ðặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí ñến học một tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi ñến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên ñến học
- ðược sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối.
- ðược phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
 ðến tham quan và ñăng ký học tại ñịa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số ñiện thoại: 0905671232
hoặc website
 Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn