Hot _Phương pháp giải các dạng Toán Hình Học 11 Nâng cao

Chương III: VECTO – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ:
Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết:
1. Quy tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và điểm I là trung điểm của AB ta luôn có:
0IA IB+ =
uur uur r
và
( )
1
2
MI MA MB= +
uuur uuur uuur

2. Quy tắc ba điểm:
2.1
AB AC CB= +
uuur uuur uuur
( xen điểm C )
2.2
AC AB BC− =
uuur uuur uuur
( hiệu hai vec tơ cùng gốc )
3. Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
4. Quy tắc trọng tâm tam giác: Với điểm M tùy ý và điểm G là trọng tâm của
ABC∆
ta luôn có:

0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r

và
3.MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
5. Quy tắc đường chéo hình hộp: Cho hình hộp
' ' ' '
.ABCD A B C D
. Ta luôn có:
' '
AAAC AB AD= + +
uuuur uuuur
uuur uuur
Dạng 2: Chứng minh 3 vec tơ đồng phẳng:
Phương pháp chung:
1) Dùng định nghĩa: Ba vec tơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng song song một mặt
phẳng
( )
α
.
2) Dùng định lý: Ba vec tơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại một cặp số (m,n) duy nhất sao
cho
. .c m a n b= +
r r r
Bài tập:
Bài 1: Cho hình hộp

' ' ' '
.ABCD A B C D
. Chứng minh rằng:
a)
' '
AC CC CB CD= − −
uuuur uuuur
uuur uuur
b) Đường chéo
'
AC
cắt các
' '
CB D∆
và
'
A BD∆
lần lượt tại trọng tâm
1
G
của
' '
CAC∆
, trọng tâm
2
G
của
'
ACA∆
mà

'
1 1 2 2
C G G G G A= =
uuuur
uuuuur uuuur
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với M, N là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện.
Chứng minh rằng:
a)
2.MN AD BC AC BD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
b)
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
c) Với mọi I:
4.IG IA IB IC ID= + + +
uur uur uur uur uur
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD.
a) Nếu đáy ABCD là hình bình hành, chứng minh:
SB SD SA SC+ = +
uur uuur uur uuur
b) Nếu đáy ABCD là hình chữ nhật, chứng minh:
2 2 2 2
SB SD SA SC+ = +
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng
minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
4.SA SB SC SD SI+ + + =
uur uur uuur uuur uur
.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm
ABC

∆
là:
. . . 0GD GA GD GB GD GC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho tứ diện ABCD.
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh:
, ,BC IJ AD
uuur uur uuur
đồng phẳng.
b) Lấy hai điểm M, N thỏa
3.AM MD=
uuuur uuuur
và
3.BN NC=
uuur uuur
. Chứng minh
, ,AB MN DC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Lấy điểm
M AD∈
và
điểm
N BC
∈
sao cho
.MA k MD=
uuur uuuur
và
( )

. 1NB k NC k= ≠
uuur uuur
. Chúng minh bốn điểm I, J, M, N đồng phẳng.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Trên cạnh AC và BD
lấy hai điểm M và N sao cho:
AM BN
k
AC BD
= =
. Chứng minh:
, ,IM IN IJ
uuur uur uur
đồng phẳng.
Bài 9: Cho hình hộp
' ' ' '
.ABCD A B C D
. Gọi
' ' '
, , ,P Q Q R
lần lượt là tâm các hình bình hành
' ' ' ' ' ' ' '
, , ,ABCD A B C D DCC D ADD A
. Gọi P, R lần lượt là trung điểm của
' '
,AB A D
. Chứng minh:
a)
' ' '
0PP QQ RR+ + =
uuur uuuur uuur

r
b) Hai tam giác
' ' '
,PQR P Q R∆ ∆
có cùng trọng tâm.
Bài 10: Cho
ABC∆
vẽ các hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và
khác với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh ba vec tơ
, ,FK EH BC
uuur uuur uuur
đồng phẳng.
b) Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH, BC chứng minh AIJL là hình bình hành.
c) Chứng minh
, ,CH LJ BE
uuur uur uuur
đồng phẳng.
Bài 11: Cho hình lập phương
' ' ' '
.ABCD A B C D
.
a) Chứng minh
'
BD AC⊥
.
b) Tính góc hợp bởi AC và
'
DA
.

Bài 12: Trong không gian cho hai đoạn thẳng AC và BD chéo nhau sao cho:
AB AC
⊥
và
BA BD⊥
.
Gọi O là trung điểm của AB và I là trung điểm của CD. Chứng minh:
a)
, ,AC OI BD
uuur uur uuur
đồng phẳng.
b)
AB OI⊥
.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
Phương pháp chung: Có thể sử dụng một trong các cách sau:
1) Nếu hai đường thẳng a, b được đưa về cùng trong mặt phẳng
( )
α
: Sử dụng cách chứng minh
hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng.
2) Dùng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian và chứng minh góc đó bằng
' ' ' '
.ABCD A B C D
.
3) Tìm hai vec tơ chỉ phương
' ' ' '
.ABCD A B C D
của hai đường thẳng a , b và chứng minh

' ' ' '
.ABCD A B C D
Trong các bài toán có nhiều câu hỏi, có thể sử dụng kết hợp để chứng minh bằng cách dùng các tính
chất:
a) Chứng minh:
( )
( )
a
a b
b
α
α
⊥ 

⇒ ⊥

⊂


b) Dùng định lý ba đường vuông góc (thuận – đảo)
c) Chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
b
a b
a
a
α β

α β
α
β
⊥


∩ =

⇒ ⊥

⊂


⊥

Dạng 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:
Phương pháp chung: Dùng định nghĩa hoặc dùng tích vô hướng.
Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:
1) Chứng minh
a b
⊥
và
a c
⊥
với b, c là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
( )
α
, suy ra
( )

a
α
⊥
.
2) Chứng minh a // b và
( )
b
α
⊥
, suy ra
( )
a
α
⊥
.
3) Chứng minh
( )
α
//
( )
β
và
( )
a
β
⊥
, suy ra
( )
a
α

⊥
.
4) Chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
OA
OA
α β
α β
α
β
⊥ 

∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

∈


⊥ ∆

5) Chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
β γ

α β α
α γ
∩ = ∆

⊥ ⇒ ∆ ⊥


⊥

Dạng 4: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp chung:
Trong thực hành để tính góc
θ
giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
có giao tuyến
∆
; ta vẽ mặt phẳng
( )
γ
vuông góc với
∆
tại O.
( ) ( )
( ) ( )
·

Ox
xOy
Oy
α γ
θ
β γ
∩ = 

⇒ =

∩ =


.
Hoặc trong trường hợp đặt biệt thường gặp, ta tìm điểm
( )
A
α
∈
và kẻ
( )
AB
β
⊥
(có thể dữ kiện đề bài
đã cho, ta chỉ cần phát hiện). Kẻ
AH ⊥ ∆
thì theo định lý ba đường vuông góc,
BH ⊥ ∆
nên

·
AHB
θ
=
.
(hoặc kẻ
BH AH⊥ ∆ ⇒ ⊥ ∆
)
Dạng 5: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng
( )
α
.
2) Chứng minh:
( )
α
3) Gọi
( )
α
và
( )
α
là hai vec tơ pháp tuyến của
( )
α
và
( )
α
. Chứng minh:

( )
α
Dạng 6: Tính khoảng cách:
1) Loại 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
- Thông thường ta tìm mặt phẳng
( )
β
đi qua điểm A và
( ) ( )
β α
⊥
theo giao tuyến
∆
. Qua A,
kẻ
AH ⊥ ∆
, nên
( )
AH
α
⊥
và
( )
( )
,d A AH
α
=
.
- Có trường hợp xem
( )

( )
,d A
α
như là đường cao của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện theo
hai cách, suy ra
( )
( )
,d A
α
2) Loại 2: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Xét mặt phẳng
( )
α
qua điểm A và
( )
α
⊥ ∆
tại H thì
( )
,d A AH∆ =
3) Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng cheo nhau:
-
( )
1 2
,d IJ∆ ∆ =
với IJ là đoạn vuông góc chung của
1
∆
và
2

∆
.
- Trong thực hành, ta thường xét mặt phẳng
( )
α
chứa
2
∆
và
( )
α
//
1
∆
. Lấy điểm M tùy ý trên
1
∆
là:
( ) ( )
( )
1 2
, ,d d M
α
∆ ∆ =
Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD.
a) Đáy ABCD là hình bình hành và
SABV
vuông tại A.
SCDV

vuông tại D. Chứng minh
( )
AB SAD⊥
.
b) Đáy ABCD là hình thoi và SA = SC. Chứng minh:
( )
AC SBD⊥
.
c) Đáy ABCD là hình chữ nhật,
SBCV
vuông tại B và
SCDV
vuông tại D. Chứng minh
( )
SA ABCD⊥
.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.
a) Đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC ; SB = SD. Chứng minh
( )
SO ABCD⊥
.
b) Đáy ABCD là hình chữ nhật và SA = SB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh
( )
CD SIJ⊥
.
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Gọi H là trực tâm của
ABCV

. Chứng minh
( )
OH ABC⊥
.
b) Kẻ
( )
OK ABC⊥
. Chứng minh K là trực tâm của
ABCV
.
c) Tính OH theo a, b, c.
Bài 4; Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
.
1) Kẻ
, ,AH SB AI SC AK SD⊥ ⊥ ⊥
với
, ,H SB I SC K SD∈ ∈ ∈
. Chứng minh:
a)
( )
SC AHK⊥
và
( )
I AHK∈
.
b)
( )
HK SAC⊥

và
HK AI⊥
2) Qua A vẽ mặt phẳng
( )
α
vuông góc với SC tại I. Mặt phẳng
( )
α
cắt SB, SD lần lượt tại H và K.
Chứng minh
( )
AH SBC⊥
và tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.