Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian.

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 1 Lớp: SP Toán học K36

A. PHẦN MỞ ĐẦU
=================
1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là một mảng kiến thức khó với học sinh trung học phổ
thông, khi đứng trước những khái niệm mới, những dạng toán mới các em khó có
thể tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài tập gặp vô vàng
những khó khăn.
"Môn toán là một môn học "công cụ" cung cấp những kiến thức, kỹ năng,
phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao
động mới làm chủ tập thể". Hơn nữa, mỗi một môn học đều có một đặc thù riêng và
chúng đòi hỏi người giáo viên cần nhận ra những đặc điểm đó để tìm ra phương
pháp giảng dạy phù hợp. Trong đó, toán học là một môn học gắn liền với các quy
trình, vì thế bên cạnh việc rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo cho
học sinh, chúng ta cần rèn luyện cho học sinh các thao tác, cách thức giải quyết vấn
đề theo một quy trình nhất định.
Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán là một điều kiện để thông qua việc dạy
học các quy trình trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng :
tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy
tính.
Từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường trung học phổ thông, sau đó với tư cách là
một giáo sinh kiến tập sư phạm, qua tìm hiểu em biết được việc giải bài toán hình
học không gian đối với học sinh tương đối khó. Yêu cầu trước hết đòi hỏi học sinh
phải hiểu sâu sắc nội dung định nghĩa, định lý từ đó làm cơ sở để xây dựng cho
mình những thuật toán để giải bài tập.
Là một giáo viên tương lai, em hiểu mình cần phải trao dồi và rèn luyện trình độ

chuyên môn sâu cũng như bồi dưỡng nâng cao lý luận dạy học, tím ra phương pháp
học tốt phục vụ cho sự nghiệp trồng người sau này.
Những lí do trên đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Xây
dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian".


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 2 Lớp: SP Toán học K36

2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm hệ thống lại các một số phương pháp giải toán hình không gian cũng như các
thao tác thuật toán. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình học không
gian.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nhắc lại các kiến thức về thuật toán và quy trình tựa thuật toán.
- Nhắc lại mục đích, vai trò, ý nghĩa, vị trí và chức năng của bài tập toán.
- Tìm hiểu về phương pháp dạy học tìm tòi lời giải bài toán.
- Tóm tắt một số lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nâng cao.
- Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán cụ thể để giải các bài tập hình học không
gian.
- Hệ thống và một số bài tập điển hình theo chủ đề thể tích khối đa diện.
- Đề xuất một số giáo án sử dụng việc xây dựng quy trình thuật toán trong dạy học.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận dạy học toán, đặc biệt là thuật toán và quy trình
tựa thuật toán.
- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa, sách bài tập và một số sách tham khảo.
- Phần thực nghiệm đã sử dụng phương pháp trực quan, điều tra và vận dụng lí
thuyết vào dạy học cụ thể. Tổng kết kinh nghiệm, đánh giá thống kê kết quả đạt

được trong quá trình thực nghiệm.
5. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh thông qua việc xây dựng một số
quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập.
Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 và tham khảo các sách bài tập khác.
7. Cấu trúc và nội dung luận văn (gồm 3 phần)
Phần mở đầu
Phần nội dung


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 3 Lớp: SP Toán học K36

Chương I: Thuật toán và quy trình tựa thuật toán
Chương II: Cơ sở lí luận của dạy học giải bài tập toán
Chương III: Tóm tắt lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11 nâng cao.
Chương IV: Xây dựng quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không
gian.
Chương V: Một số bài tập hình học không gian chọn lọc
Chương VI: Thực nghiệm sư phạm.
Phần kết luận
8. Một số từ ngữ được viết tắt trong đề tài

Kí hiệu Tên đầy đủ
SGK Sách giáo khoa
THPT Trung học phổ thông
mp mặt phẳng

HS học sinh
GV Giáo viên
MTĐT máy tính điện tử



Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 4 Lớp: SP Toán học K36

B. NỘI DUNG
Chương I: THUẬT TOÁN VÀ QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN
=================
1.1 Quy trình
Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó.
Ví dụ: Quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán, quy trình giải bài toán
bằng cách lập phương trình,
Mỗi quy trình có thể chia thành các bước. Mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định. Mỗi hoạt động có thể có nhiều thao tác.
Ví dụ: Hoạt động "Tìm hiểu nội dung bài toán" có các thao tác: Vẽ hình, chọn kí
hiệu, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán. [12].
1.2 Thuật toán
1.2.1 Khái niệm về thuật toán
Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định mô tả qúa trình giải. Từ
đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán và khái niệm này đã được dùng
từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học. [7,tr.401].
Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu như
một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người hay máy thực hiện
được một số hữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài

toán nhất định. Như vậy thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải vấn đề bài
toán. Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp
ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác. [8,tr.200].
Ở trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như cộng,
trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của
hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải phương trình bậc hai dưới
dạng chuẩn…[8,tr.200].
1.2.2 Phương pháp thuật toán (Algôrít) trong dạy học
Phương pháp Algôrít được mang tên nhà toán học người Ảrập thời Trung cổ


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 5 Lớp: SP Toán học K36

là Algôríthm, người đầu tiên sáng chế ra một công trình thuật toán trên bàn tính
trong đó phân đoạn sự tính toán thành từng khâu, từng bước hợp lí theo một hệ
thống lôgic chặt chẽ mà sau này gọi là những quy trình vv
Công trình đó chìm lắng dần theo thời gian, mãi đến đầu thế kỉ XX khi khoa
học - công nghệ có sự phát triển mạnh mẽ, Algôrít được coi là một phương pháp tư
duy và đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực khoa học, đặc biệt là công nghệ tin học
(Algôrít là công cụ chủ yếu để phân đoạn, chia nhánh lập trình trong các phần mềm
của máy vi tính).
Đến giữa thế kỉ XX, một số nhà giáo dục ở các nước tiên tiến đã vận dụng
Algôrít như là một phương pháp có hiệu quả nhằm thu thập thông tin, xử lí thông
tin để giải quyết các vấn đề phức tạp trong dạy học.
Như vậy, phương pháp Algôrít trong dạy học là tổng hợp cách thức thiết kế
và thi công một hệ thống các thao tác hợp lí theo một trình tự lôgic chặt chẽ nhằm
đạt kết quả tối ưu các nhiệm vụ dạy học.
Đặc điểm của phương pháp Algôrít là tiến trình bài học được chia nhỏ thành

các giai đoạn, các bước, các công đoạn giúp người học có thể dễ dàng thực hiện các
nhiệm vụ dạy học.
Để giải quyết một nhiệm vụ học tập, người học phải thiết kế và thi công một
quy trình hợp lí, nghĩa là phải "Algôrít hóa" nội dung và các thao tác hoạt động trí
tuệ. Nghệ thuật dạy học là phải thiết kế được các Algôrít tối ưu (không phức tạp, ít
thao tác, có bước đi hợp lí, vừa sức nhưng phát triển tối đa trí tuệ của người học )
Trong quá trình giáo dục - đào tạo, phương pháp Algôrít được ứng dụng phổ
biến trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học, trong dạy học, trong tự học và cả
trong cuộc sống đời thường. Trong dạy học, để phát triển ở mức độ cao năng lực và
phẩm chất trí tuệ cho người học, vấn đề quan trọng là phải có phương pháp tư duy,
tư duy có sắc sảo, năng động, sáng tạo thì tài năng mới bộc lộ và phát triển. Vì thế,
nghệ thuật dạy học là phải biết cách dạy phương pháp tư duy, tư duy một cách
thông minh, độc lập, sáng tạo. Phương pháp Algôrít góp phần quan trọng nhằm thực
hiện nhiệm vụ đó.
Tuy nhiên, để thiết kế và thi công, để có thể "Algôrít hóa" một bài học theo


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 6 Lớp: SP Toán học K36

quy trình hợp lí, có hiệu quả, đòi hỏi giáo viên phải có trình độ chuyên môn và
nghiệp vụ sư phạm cao để tổ chức và thiết kế Algôrít bài giảng hợp lí và học sinh
phải học tập tích cực để có thể thi công nhanh, đúng như quy trình và ờ mức độ cao
hơn là có thể tự thiết kế và thi công quy trình tự học, tự làm việc có hiệu quả của cá
nhân
1.2.3 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán
a) Tính xác định
Mỗi bước của thuật toán cần phải được mô tả một cách chính xác, chỉ rõ một
cách hiểu duy nhất. Hiển nhiên, đây là một đòi hỏi quan trọng. Bởi vì nếu một bước

có thể hiểu theo nhiều cách nhau, thì cùng một dữ liệu vào, những người thực hiện
thuật toán khác nhau có thể dẫn đến kết quả khác nhau.
b) Tính khả thi
Tất cả các phép toán có mặt trong các bước của thuật toán phải đủ đơn giản.
Điều đó có nghĩa là các phép toán phải sao cho có ít nhất về nguyên tắc có thể thực
hiện được bởi con đường bằng giấy trắng và bút chì trong khoảng thời gian hữu hạn
bước thực hiện.
Các chỉ dẫn trong thuật toán phải có khả năng thực hiện được trong một thời
gian hữu hạn. Ví dụ sau đây không thể là mô tả một thuật toán: gán cho x giá trị 1
nếu bài toán tô màu giải được và cho giá trị 0 nếu bài toán tô màu không giải được
(Bài toán tô màu khẳng định không cần dùng quá 4 màu để tô các nước trong bản
đồ đề hai nước có biên giới chung phải có màu khác nhau. Người ta kiểm chứng
trên thực tế thì đúng nhưng chưa tìm được chứng minh cho bài toán này).
c) Tính dừng
Với mọi bộ dữ liệu vào thỏa mãn các điều kiện của dữ liệu vào (tức là được
lấy ra từ các tập của dữ liệu vào) thuật toán phải dừng lại sau một số hữu hạn bước
thực hiện.
Việc thực hiện các bước theo một thuật toán phải dừng sau một số hữu hạn
bước. Thuật toán Euclid tìm UCLN thoả mãn tính dừng vì sau mỗi bước ta thấy
tổng
a b


giảm thực sự nhưng không được nhỏ hơn 2. Vì vậy quá trình trên nhất
định phải dừng sau một số hữu hạn bước.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 7 Lớp: SP Toán học K36

Tính xác định, tính khả thi, tính dừng là những tính chất đặc trưng của thuật
toán, bên cạnh đó thuật toán còn có một số tính chất sau:

Tính phổ dụng
Thuật toán phải được áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ
không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp
dụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào
cũng đảm bảo được yêu cầu đó. Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một
dạng đặc trưng của bài toán mà thôi.
Tính phổ dụng có nghĩa là một thuật toán có thể được áp dụng với một lớp
các bài toán với input thay đổi chứ không chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể.
Thuật toán Euclid nói trên có thể áp dụng cho bất kỳ cặp hai số tự nhiên.

Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch, các
câu lệch được sắp xếp theo thứ tự nhất định.

Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều máy
tính vẫn phải cho kết quả giống nhau.

Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận được
các đại lượng vào (Dữ liệu vào – Input), các dữ liệu vào thường lấy từ một tập xác
định cho trước. Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho ta một số đại
lượng ra (Dữ liệu ra – Output).

Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa trên theo những tiêu chuẩn: Số
các phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu…Tùy vào yêu cầu sử dụng
mà người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuật toán.

Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải

được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất, nghĩa là hai phần tử
thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì
phải cho cùng kết quả. Vì thế khi thực hiện thuật toán, chúng ta không cần hiểu ý
nghĩa của những thao tác. Nhờ tính chất này mà chúng ta có thể sử dụng thiết bị tự
động để thực hiện thuật toán.
1.2.4 Tư duy thuật toán
Khái niệm thuật toán gắn liền chặt chẽ với tư duy thuật toán. Vì thế người


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 8 Lớp: SP Toán học K36

thầy giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc, phương pháp có tính
chất thuật toán trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng : tư
duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính.
[8,tr.201].
1.2.5 Sự cần thiết phát triển tư duy thuật toán
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý do
sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa
trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự
ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền
tảng tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của
quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho chuyển giao một số chức năng của
con người cho máy thực hiện.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong
khi giải bài bằng máy tính điện tử (MTĐT). Thật vậy, thiết kế thuật toán là một
khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực
hiện tốt khâu đó.

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà
trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh
lãnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho các phép tính trên những tập hợp
số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v.
Thứ tư, tư duy thật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ
chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … và hình thành những phẩm chất
của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự
kiểm tra. [8,tr.201].
1.2.6 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán
Tư duy thuật toán quan hệ chặc chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên.
Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
(1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật toán
cho trước.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 9 Lớp: SP Toán học K36

(2) Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện
theo một trình tự xác định.
(3) Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động.
(4) Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt
động trên một lớp đối tượng.
(5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát
hiện thuật toán tối ưu.
Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần sau thể
hiện khả năng xây dựng thực toán.
Việc phát triển tư duy thuật toán có thể thực hiện cả khi trực tiếp dạy những
nội dung Tin học lẫn khi dạy học những nội dung lĩnh vực khác, kể cả những nội

dung truyền thống của giáo dục phổ thông. Mặt thứ nhất là rõ ràng và tường minh
khi đã có chủ trương đưa tin học vào nhà trường. Mặt thứ hai – mặt phát triển tư
duy thuật toán trong dạy học những nội dung ngoài tin học – dễ bị lãng quên bỏ
qua. Vì vậy mục này chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong môn Toán để tránh điều
đáng tiếc đó.
Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn
thuật toán … đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường
phổ thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán,
chuẩn bị cho việc học tập về MTĐT và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, trong
trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một cách tường minh vào trong
chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương
hướng rèn luyện cho họ những khả năng (1) – (5) đã liệt kê những thành tố của
phương thức tư duy này. [8,tr.201-202].
Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là
phương tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán.
Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:
a) Thực hiện thuật toán
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định
phù hợp với thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số qui tắc toán học thành


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 10 Lớp: SP Toán học K36

những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ
phỏng trình nếu học sinh đã học những ngôn ngữ này, rồi yêu cầu họ thực hiện
những quy tắc ấy thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước
trong mỗi quy tắc.
Ví dụ thuật toán giải phương trình bậc 2:

2
a 0
x bx c
  

 Thuật toán
Bước 1: Xác định hệ số
, ,
a b c
.
Bước 2: Xét hệ số
a
:
+ Nếu
0
a

chuyển sang bước 7.
+ Nếu
0
a

chuyển sang bước 3.
Bước 3: Tính
2
4
b ac
  
.
+ Nếu

0
 
chuyển sang bước 4.
+ Nếu
0
 
chuyển sang bước 5.
+ Nếu
0
 
chuyển sang bước 6.
Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm. Kết thúc.
Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép.
1 2
2
b
x x
a
  

Kết thúc
Bước 6: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
     
 

Kết thúc
Bước 7: Phương trình trở về phương trình bậc nhất.
b) Phân tích một hoạt động
Cách làm trên cũng là đồng thời tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động
thành những thao tác thành phần theo tình tự xác định.Cần rèn luyện cho học sinh
hoạt động này ngay cả đối với những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn
toàn đầy đủ yêu cầu chặc chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học.
Ví dụ 1: Quy tắc trong xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 11 Lớp: SP Toán học K36

Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng
Bước 2: Xác định góc của đường thẳng với hình chiếu của nó
Quy tắc này tỏ ra rất hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán : "Một hình chóp
SABC
có hai mặt bên
SAB
và
SAC
vuông góc với đáy. Đáy
ABC
là tam giac cân
tại đỉnh
A
, trung tuyến
AD a


. Cạnh
SB
tạo với đáy một góc

và tạo với mặt
phẳng
SAD
góc

. Xác định góc

và

…"(trích Hướng dẫn ôn tập môn toán, Bộ
giáo dục). Theo các bước trên thì việc xác định góc

không có gì khó khăn, còn
với góc

, chắc chắn xác định được hình chiếu của
SB
trên
( )
SAD
chính là
SD
, do
đó góc


SBD



Ví dụ 2: Quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các bước:
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm.
Bước 3 : Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm
Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc bước kia
đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được xác định góc theo
trình tự trên là cần thiết và sẽ đạt được kết quả. Hơn nữa cũng theo trình tự ấy, học
sinh còn biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng, ngắn gọn, góp phần khắc phục
nhược điềm về cách diễn đạt vốn vẫn là một trong những khó khăn đáng kể của học
sinh trong học tập môn toán.
c) Mô tả tuật toán (tường minh hóa thuật toán)
Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình,
cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của
mình. Giáo viên theo dõi tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậy để
tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những đối tượng
riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn họ đi từ
giải phương trình bậc hai cụ thể tới giải phương trình bậc hai tổng quát dạng
2
a 0
x bx c
  
.
Cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sánh những thuật toán

Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 12 Lớp: SP Toán học K36

khác nhau ( thực hiện cùng một công việc ) và phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất về
tiết kiệm thao tác. Đó cũng là yếu tố tư duy thuật toán trong những nét đặc trưng
của sự làm việc với máy tính điện tử. [8,tr.202-204].
d) Khái quát hóa một hoạt động
Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những
đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn
các em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng
quát, từ việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai tổng
quát dạng
2
0 ( 0)
ax bx c a
   
; từ việc giải bất phương trình cụ thể
2
12 7
x x x
   
sang giải bất phương trình tổng quát dạng
( ) ( )
f x g x
 ; từ giải
phương trình cụ thể như:
5sin 2x -12(sin x - cos x) +12 = 0 sang giải phương trình tổng quát dạng
asin x cos x + b(sin x ± cos x) + c = 0; từ việc giải phương trình cụ thể như
25 5.15 6.9 0

x x x
  
sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:
a( f (x))
2
+ bf (x)g(x) + c(g(x))
2
= 0 ,…
e) Chọn thuật toán tối ưu
Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng một
công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết
kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương trình:
2
2
2 3 2
1 3
x x
x
 


thì sau khi qui đồng mẫu số và rút gọn, bỏ qua việc xét dấu mẫu số;
hoặc giải và biện luận bất phương trình
2
( 1) 0
m x m
  
thì không cần xét trường
hợp hệ số a


0 ,…
Phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất là về phương diện tiết kiệm thao tác đó là yếu tố
của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính
điện tử.
Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể, giáo
viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã
trình bày trên.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 13 Lớp: SP Toán học K36

1.2.7 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán
Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và
có vẻ xa lạ. Tuy nhiên, sự bắt trước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay
chính là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
phương pháp tổng quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc.
Người ta đã dạy nhau nấu một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ
cụ thể bước 1 làm gì, bước 2 phải làm như thế nào,…chính là thực hiện thuật toán,
sự thành thạo có được là do làm nhiều lần theo một công thức có sẵn. Từ đó cho
thấy sự cần thiết phải có thuật toán và rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời
sống.
Trong quá trình toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn,
quan trọng hơn. Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toán
tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện,
việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống. Học tập với thuật toán
giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương, phát triển
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ
năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong

học tập môn toán và cả đời sống.
1.3 Quy trình tựa thuật toán
1.3.1 Khái niệm về quy trình tựa thuật toán
Những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu
chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là quy trình tựa thuật toán.
Một quy trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà quy trình đó
chỉ tương tự như một thuật toán, Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước
để giải quyết một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quả
duy nhất còn qui trình tựa thuật đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì
vấn đề đặt ra được giải quyết. Đối với một thuật toán thì cho dù người hay máy tính
thực hiện đều mang lại một kết quả duy nhất. Nhưng đối với một qui trình tựa thuật
toán thì vấn đề có khác hơn, đó là máy không thực hiện được qui trình này. Trong
chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được học những quy trình tựa


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 14 Lớp: SP Toán học K36

thuật toán như giải bài toán bằng cách lập phương trình, quy trình xác định vectơ
tổng của hai vectơ cho trước, quy trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…
Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a

và
b
cho trước như sau:
Quy trình 1:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
( )

Q
chứa
b
và song song với
a

Bước 2: Xác định hình chiếu
'
a
của
a
trên mp
( )
Q

Bước 3: Xác định giao điểm
N
của
'
a
với
b

Bước 4: Xác định đường thẳng
c
qua
N
và
( )
c Q



Quy trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán
về xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Tuy
nhiên, khi vận dụng các quy trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của
tư duy thì vần đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất.
Quy trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán "Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng
AB
và
'
CC
". Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau mà không cần đến quy trình đã nêu.
Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh những quy trình để
giải một lớp các bài toán.
Sau đây là một quy trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
cho trước.
Quy trình 2:
Bước 1: Xác định mặt phẳng
( )
P
vuông góc với đường thẳng
.

a

Bước 2: Xác định giao điểm
O
của
a
với mp
( ).
P

Bước 3: Xác định hình chiếu
'
b
của
b
lên mp
( ).
P

Bước 4: Xác định hình chiếu
H
của
O
lên
.
b

Bước 5: Xác định
N b


sao cho
NH
//
.
a

Bươc 6: Xác định
M a

sao cho
MN
//
.
OH

Khi đó đường thẳng
MN
là đường vuông góc chung của
a
và
.
b



Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 15 Lớp: SP Toán học K36

Nếu sau bước 3 của quy trình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trường hợp nào

thì
'
b
//
b
? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳng
a
và
b
? Thì ta có một quy
trình khác gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau và vuông góc với nhau
a
và
b
cho trước.
Quy trình 3:
Bước 1: Xác định mp
( )
P
chứa
b
và vuông góc với
.
a

Bước 2: Xác định giao điểm
M
của
a

với mp
( ).
P

Bước 3: Xác định hình chiếu
N
của
M
lên
.
b

Khi đó đường thẳng
MN
là đường vuông góc chung của
a
và
.
b

Từ quy trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
là khá rõ ràng. Tuy nhiên việc áp dụng vào
các bài toán cụ thể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn nên xác định mp
( )
P
chứa

b
và
song song với
a
hay chứa
a
và song song với
b
? Bằng cách nào để tìm hình chiếu
của
b
trên mp
( )
P
? Trong những trường hợp đó cần sự giúp đỡ của giáo viên, đặc
biệt là tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy của người làm toán.
Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,
d d
. Trong đó
1 2
,
d d

là hai đường
thẳng chéo nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương.
Ví dụ 2: Đối với bài toán kết hợp phương pháp dự đoán và quy nạp toán học,
với quy trình thực hiện như sau:
Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể.
Bước 2: Dùng phương pháp quy luật toán học để khẳng định tính đúng đắn
của kết quả đã dự đoán.
Bài tập vận dụng:
1) Tính tổng
1 3 5 (2 1)
n
S n
     

2) Tìm đạo hàm cấp
n
của hàm số
sin
y x


1.3.2 Các đặc điểm của một quy trình tựa thuật toán
Mỗi quy trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếp
theo một trình tự xác định. Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể,


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 16 Lớp: SP Toán học K36

có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là một gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc
là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp.
Thực hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì kết
quả là vấn đề đặt ra chưa được giải quyết.
Ví dụ 1: Quy trình giải bất phương trình phân thức
Giải bất phương trình phân thức dạng:
( ) ( )
( ) ( )
P x H x
Q x G x
 hoặc
( ) ( )
( ) ( )
P x H x
Q x G x
 có thể thực hiện theo các bước sau:
1) Đưa bất phương trình về dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( )
P x G x Q x H x
Q x G x


hoặc
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( )
P x G x Q x H x
Q x G x




Xét dấu biểu thức ở vế trái (xét dấu tử, mẫu, kết hợp bằng một bảng xét dấu)
2) Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình
Ví dụ 2: Quy trình chứng minh một mệnh đề toán học có chứa tham số
n

( )
n



bằng phương pháp quy nạp toán học cần hướng dẫn học sinh chứng minh hai phần:
1) Chứng minh mệnh đề đúng nới
1
n


2) Giả sử mệnh đề đúng với
( 1)
n k k
 
, chứng minh mệnh đề đúng với
1
n k
 
.
Trong dạy học toán trung học phổ thông cần rèn luyện cho học sinh biết phân
tích một hoạt động thành những thao tác thành phần theo một trình tự xác định ngay

cả đối với những dạng toán thuộc loại quy trình tựa thuật toán.
Trong chương trình toán trung học phổ thông có nhiều loại toán có phương
pháp giải nhất định, hoặc có thể nêu trình tự các bước giải. Đối với những loại toán
đó giáo viên cần hướng dẫn để cho học sinh xây dựng phương pháp giải theo trình
tự từng bước có tính chất thuật toán. Khi học sinh đã thành thạo phương pháp chung
cần chú ý rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo khi vận dụng.
1.4 Kết luận chương 1
Chương đầu tiên của luận văn đề cập khái niệm thuật toán và quy trình tựa thuật
toán, vị trí và ý nghĩa của thuật toán giúp cho học sinh có thể giải được những bài
toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 17 Lớp: SP Toán học K36

diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống. Học tập với thuật
toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương; phát triển
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ
năng, kỹ xảo, linh hoạt , nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong
học tập môn toán và cả đời sống.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 18 Lớp: SP Toán học K36

Chương II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
=================
2.1 Bài toán là gì?

Ở trường trung học phổ thông bài toán vừa là mục đích, vừa là nội dung, vừa
là phương pháp hiệu nghiệm. Nó không những cung cấp kiến thức cho học sinh và
cả con đường giành lấy kiến thức mà còn mang lại niềm vui sướng cho sự phát hiện.
Ngoài ra nó còn giữ vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo, trong
việc hình thành nhân cách của học sinh. Vì vậy, bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm
kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt ngay.
Đôi khi bài toán còn được nhìn nhận với một phương diện khác. Chẳng hạn,
bài toán là hệ thông tin xác định bao gồm những điều kiện và những yêu cầu luôn
luôn không phù hợp, mâu thuẫn với nhau, dẫn đến nhu cầu phải khắc phục bằng
cách biến đổi chúng.
2.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
Polya cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn so
với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích
hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta
không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn
nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó là phải nắm vững môn học. Vậy
thế nào là muốn nắm vững môn toán? đó là biết giải toán” [25, tr.82].
2.2.1 Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường trung học phổ thông là: Phát
triển ở học sinh những phẩm chất và năng lực trí tuệ, giúp hoc sinh biến những tri
thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công
cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như
trong học tập hiện nay và sau này. Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác,
vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản,
hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những kiến thức đó vào
những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 19 Lớp: SP Toán học K36

bộ môn khoa học khác.
2.2.2 Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ
thhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học học tốt các môn khoa học
khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói “Một
khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán
học” [5,tr.5].
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ
như: phân tích, tồng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những
phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ
luật, khoa học, sáng tạo…
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,
Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện
các mục đích dạy học.
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và
tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là bài
tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt

động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt
động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 20 Lớp: SP Toán học K36

bình diện này.
Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá
mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt
mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá
trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những
phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo
đức của người lao động.
2.2.3 Ý nghĩa
Ở trường trung học phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng
cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến
thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình
thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận
dụng kiến thức đã học của học sinh.
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt
động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để
hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý
thuyết.

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động
để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục
tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học
sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng
tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội
dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương
tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 21 Lớp: SP Toán học K36

phát triển của học sinh,
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên
2.3 Vị trí và chức năng của bài tập toán học
2.3.1 Vị trí của bài tập toán
Qúa trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã
học và phát huy tính tích cực, sáng tạo. Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm
quan trọng đặc biệt trong dạy học toán.
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Đối với học sinh có thể
xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở
trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát huy tư duy, hình thành kĩ năng kĩ
xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để
thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông . Vì vậy, tổ chức có
hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy
toán” [8,tr.206].

Trong thực tiễn dạy học bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để tạo động cơ học tập,
để làm việc với nội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức,…Tất nhiên, việc
dạy để giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó
mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Giải bài tập toán là hình
thức chủ yếu tập dược cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời
sống và lao động sản xuất. Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học
sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả
năng vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể. Giải bài tập toán có tác dụng
giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp
suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo,…
2.3.2 Chức năng của bài tập toán
Dạy học toán là dạng hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc
giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ
thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 22 Lớp: SP Toán học K36

học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo,
ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc
dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm với
nội dung mới, để củng cố ôn tập hoặc kiểm tra,… Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ
thể thường không chỉ nhằm vào một nội dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao
hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu [8,tr.206].

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay không tường minh những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):
a) Chức năng dạy học
Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo
ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
b) Chức năng giáo dục
Bài toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú
học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
c) Chức năng phát triển
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt rèn luyện những
thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
d) Chức năng kiểm tra
Bài tập toán còn nhằm đánh giá mức độ về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng
độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.
Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý
nói việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công
khai. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phải phụ thuộc vào việc khai
thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 23 Lớp: SP Toán học K36

người viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải
có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm và
trình độ nghệ thuật dạy học sư phạm của mình.

Ta hãy minh họa điều vừa trình bày bằng một ví dụ. Ở chương 1 sách Hình
học 10 (Văn Như Cương 1990) có bài tập sau "Cho tam giác ABC có trọng tâm G.
Hãy dựng vectơ tổng
GA GB

 
. Từ đó suy ra
0
GA GB GC
  
   
".
Bài toán này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo theo quy
tắc hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất
tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Điều đó thể hiện
tường minh chức năng dạy học của bài tập này.
Khi dạy giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đến
kết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu
O

là trung điểm của đoạn thẳng
AB
thì
0
OA OB
 
  
), biết thay thế tổng
GA GB


 
ở
đẳng thức phải chứng minh là
GD

để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là
0
GD GC
 
  
, tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự
thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam giác.
Như vậy là khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên.
Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung
điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi
lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ diện
ABCD
(bốn điểm), một ngũ giác hay
một đa giác nói chung có hay không một điểm
O

sao cho:
0
OA OB OC OD
   
    

Rõ ràng nếu
ABCD
là hình bình hành thì

O
chính là tâm của nó. Như thế chức
năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng, luyện tập cho học sinh kĩ
năng vận dụng tương tự hóa, khái quát hóa, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng,
khả năng dự đoán khoa học…
Ví dụ trên càng làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài tập toán
phụ thuộc nội dung cũng như vào phương pháp khai thác hóa lời giải của nó. Điều
đó định hướng việc lựa chọn bài toán của giáo viên, tránh tình trạng ra bài toán cho
học sinh một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần túy.


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 24 Lớp: SP Toán học K36

2.4 Cách tiếp cận một bài toán
Thông thường người giải toán hay có thói quen bắt tay vào giải ngay khi
đứng trước một bài toán vì họ dựa vào một cách thức đơn giản. Chúng ta có nhiều
phương pháp tiếp cận bài toán.
2.4.1 Nhận biết câu hỏi hay bài toán
 Bạn có hiểu ngôn từ dùng diễn đạt bài toán không? (có cái bẫy nào không?).
 Bài toán là một dạng đã biết?
 Cái gì đã cho?
2.4.2 Tìm những ý tưởng liên quan
 Bài toán thuộc dạng nào?
 Bài toán nào tương tự như bài toán nào?
2.4.3 Giới hạn bài toán
 Có thể đơn giản hóa bài toán bởi thực hiện một số phép toán không?
 Có chi tiết nào được cho là thừa không?
 Bài toán có thể biến đổi thành một phương trình hay mô tả hình học không?

2.4.4 Chiến lược giải
 Dữ liệu bài toán có thể tổ chức thành một mô hình không?
 Bài toán này khác với các bài toán đã giải trước đây ở những điểm nào?
 Có thể bổ xung những điều kiện nào để làm bài toán đơn giản hơn?
2.4.5 Dùng các tài liệu tham khảo
 Có bài toán nào tương tự trong sách giáo khoa không?
 Những công thức hay định lí nào sẽ được áp dụng vào bài toán loại này?
 Sau khi giải một bài toán, nhiều giáo viên và học sinh phát triển nó đến một
mức cao hơn. Như vậy, một bài toán sau khi được giải sẽ có giá trị đối với
người giải hơn. Sau đây là một số câu hỏi có thể áp dụng cho việc phát triển
một bài toán.
 Kết quả này có thể áp dụng vào một bài toán tương tự?
 Trong các điều kiện nào thì bài toán này giải được? Không giải được?
vô nghĩa?


Luận văn tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Sáng

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 25 Lớp: SP Toán học K36

 Có thể tổng kết hóa bài toán này không?
 Những lập luận nào đã được dùng?
2.5 Giải bài toán là gì?
Giải bài toán là quá trình tìm cách khắc phục sự không phù hợp hay mâu
thuẫn giữa các điều kiện và các yêu cầu của bài toán biến đổi chúng để cuối cùng đi
đến sự thống nhất. Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì
bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự
chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề hay nói một cách khác có thể
hiểu giải bài tập toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để
đạt tới một mục đích của bài toán. Đó là quá trình tìm tòi sáng tạo huy động kiến

thức, kĩ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán đã cho.
Ngoài ra việc giải bài toán còn dựa trên mối quan hệ chủ yếu giữa người giải
và cấu trúc của bài toán trong đó phương tiện của người giải là chủ yếu.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một
bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ
một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng
tập hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán
ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập
hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập
con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài
toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp,
học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài
toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác
định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài
toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài
toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu