Phương pháp liên hợp giải hệ phương trình phần 1

Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!





Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
4 3 2
1 1 10
x y y x y
y x y y

− + = +


− + + + + =



Lời giải:
ĐK:
1; 1
2 0
y x
x y
≥ ≥ −


+ ≥


. Khi đó:
( ) ( ) ( )
8 2 2
1 4 0 4 1 0
3 2 3 2
y x
PT x y x y
y x y y x y
 
−
⇔ − + = ⇔ − − =
 
 
+ + + +
 

Do
1 1 1
1
3 0 3
3 2
y
y x y
≥ ⇒ ≤ =
+
+ +
nên
(
)

1 4
PT x y
⇔ = th
ế
vào PT(2) ta có:
2 2
1 4 1 10 1 1 4 1 3 6 0
y y y y y y y y
− + + + + = ⇔ − − + + − + + − =

( )
1 4
2 3 0 2 8
1 1 4 1 3
y y y x
y y
 
⇔ − + + + = ⇔ = ⇒ =
 
 
− + + +
 
là nghi
ệ
m c
ủ
a PT
V
ậ
y h

ệ
có nghi
ệ
m là
(
)
(
)
; 8;2
=x y
Ví dụ 2:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2 2
2 2
1 1
6 2 1 2 2
x x y y
y x x y x

+ + = + −



+ = + + +



Lời giải:
ĐK:

2 2
1; 2 2 0
y y x
≥ + + ≥

Khi
đ
ó:
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 0 0
1 1
x y x y
PT x y x y
x y x y
+ − − +
⇔ + − + − − = ⇔ + =
+ + + +

( )
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
1 0 1
1 1
x y x y
x y x y
x y y x
+ + + + +
⇔ − + = ⇔ + =
+ + + +

Th
ế
vào PT(2) ta có:
( )
2 2
6 1 2 1 2 3
x x x x x
+ + = + + +

2
2
6 1 1

2 3,
2 1 2
+ +
 
⇔ = + + = −
 
+
 
x x
x x x ko phai nghiem
x

( )
2
2 2
2
6 1 1 1
2 2 3 2 2 1 0
2 1 2 1
2 3 2
x x
x x x x
x x
x x
 
+ +
⇔ − = + + − ⇔ + − − =
 
+ +
+ + +

 

2
2
1 2
2 1 0
3 15
2 3 2 1
3
x
x x
y
x x x
x

= − ±

+ − =

⇔ ⇔ ⇒

+

+ + = −
=





Ví dụ 3:

[ĐVH]. [ĐH – khối B –2014]
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
y x y x x y y
y x y x y x y

− − + = + − −


− + + = − − − −



Lời giải:
Đ
K:
0; ; 2 ;4 5 3
y x y x y x y
≥ ≥ ≥ ≥ +

Để ý cả 2 phương trình, cả 2 PT của hệ đều chứa 2 căn nhưng hãy đặt câu hỏi là PT nào dễ biến đổi hơn?
Đương nhiên là PT(1) rồi, tất cả biểu thức ngoài căn đều có thể biểu diễn theo
;
x y y
−
, các bạn hoàn
toàn có thể đặt
;
a x y b y
= − =
và chú ý là:
2 2
x a b
= +

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Tuy nhiên bài toán sẽ giải quyết nhanh gọn và nhanh nếu sử dụng pp liên hợp cho PT(1) với phương pháp
SHIFT SLOVE thần chưởng. Cho
100
x
=
cái nh
ỉ
?
SHLFT SLOVE đượ
c

1
y
=

Th
ử cho
1000
x
=
cái nữa nhỉ thì …
1
y
=
. Vậy ta dự đoán có nhân tử
1
y
−

Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1

PT y x y y x y y x y
⇔ − − − − = − − − − −

( )
( )
( )
( )
( )( )
1
1 1
1 1 1 1 1 1 0
1
1 1
y
y x y x y y y x y
x y
x y y
 
=

⇔ − − − = − − − ⇔ − − − + = ⇔
 

 
= +
− + +

 

+) V

ớ
i
1
y
=
d
ễ
dàng tìm
đượ
c
(
)
(
)
; 3;1
x y =
+) V
ớ
i
1
x y
= +
th
ế
vào PT(2) ta có:
2 2
2 3 2 1 2 2 1 1
y y y y y y y
+ − = − ⇔ + = − + −

Do
0
y
≥
nên
đ
ên
đ
ây chúng ta có th
ể
xét hàm
(
)
2
2
f t t t
= +
ho
ặ
c liên h
ợ
p ti
ế
p
Đáp số:
( ) ( )
1 5 1 5
; 3;1 ; ;
2 2
x y

 
 
+ − +
 
=
 
 
 
 
 
 

Ví dụ 4:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
2
2 8 3 2 2 3 3
2 2 5 4 2 6 8 0
x y x x y y
x y x y x x


+ − + + + − =



+ − + − + − + − − =

.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
4
2 2;0 2; ; 2 8 3 0
5
x y y x x y x
+ ≥ ≤ ≤ ≥ + − + ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ

a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
2
2 8 3 2 2 2 3 0
+ − + − + + − − =
x y x y x y y

( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 4 2 3 2 1 2 3
2 3 2 3
0 0
2 2 3 2 2 1
2 8 3 2 2 8 3 2
2 3

2 1 1
0 1
2 2 1
2 8 3 2
+ − + + + − + −
+ − + −
⇔ + = ⇔ + =
+ − + + − +
+ − + + + − + +
+ =


+ −
⇔

+ =

+ − +
+ − + +

x y x y x y x y
x y x y
x y y x y y
x y x y x y x y
x y
x y
x y y
x y x y

Vì

( )
2
2 1 1
2 2 0
2 2 1
2 8 3 2
x y
x y
x y y
x y x y
+ −
+ ≥ ⇒ + >
+ − +
+ − + +
, dẫn đến (1) vô nghiệm.
Với
2 3
x y
+ =
thì phương trình thứ hai trở thành
( )
( )( )
( ) ( )
2 2
2
1 5 4 2 3 2 6 8 0 0 5 4 2 1 6 7 0
5 5 2 2
5 4 1 2 1 1 6 5 0 1 6 5 0
5 4 1 2 1 1
5 2

1 6 5 0 1
5 4 1 2 1 1
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
+ − + − − + − − = = ⇔ − + − + − − =
− −
⇔ − − + − − + − − = ⇔ + + − + =
− + − +
 
⇔ − + + + =
 
− + − +
 

Nhận định
5 2 4
6 5 0,
5
5 4 1 2 1 1
x x
x x
+ + + > ∀ ≥
− + − +
nên
(
)

1 1 0 1
x x
⇔ − = ⇔ =
.
Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
x y
= =
.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( ) ( )
4 2
2
2 5 2 3 2 1 3 2
2 2 1 2 4 2 2 5 3
x y x y x y x y
y x y x x x

− − + + + − − = −



− = − + − − + − +

.
Lời giải.
Điều kiện
( )
4
1

;3 2 0;4 2 0; 2; 2 5 2 3 0
2
y x y y x x x y x y
≥ − ≥ − − ≥ ≤ − − + + ≥
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
( ) ( )
4 2
2 5 2 3 3 2 2 1 0
− − + + − − + − − =
x y x y x y x y
( ) ( )
( )
( )
4
2
4
2 4 2 3
2 1 0
2 5 2 3 3 2
− − − +
⇔ + − − =
− − + + + −
x y x y
x y
x y x y x y

Đặt

2
2 ; 2 3 0,t x y t t t
= − + + > ∀ ∈
ℝ
. Ta thu được
( )
( )
( )
2
2
2
4
1 2 3
2 1 0
2 5 2 3 3 2
 
− + +
 
+ − − =
− − + + + −
t t t
x y
x y x y x y

( )
( )
2
2
4
2 3

2 1 1 0
2 5 2 3 3 2
 
+ +
 
⇔ − − + =
 
− − + + + −
 
t t
x y
x y x y x y

Rõ ràng
( )
2
4
2 3
1 0 2 1 0 2 1
2 5 2 3 3 2
t t
x y x y
x y x y x y
+ +
+ > ⇒ − − = ⇔ = +
− − + + + −
.
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2
2 4 3 2 5 4 2 5 3

− = − + − + − +
x x x x x

(
)
( )( )
( ) ( )
2
2 4 4
1 4 4
2 4 3 2 2 1 5 4 1 2 5 3 1 2 3
4 3 1 2 1 5 4 1
8 1 4
1 3 2 0 1
4 3 1 2 1 5 4 1
−
− −
⇔ − − = − − + − − + − + ⇔ = + + − −
− + − + − +
 
⇔ − + + + − =
 
− + − + − +
 
x
x x
x x x x x x x
x x x
x x
x x x

Lại có
8 1 4 3 5
3 2 0, ;
4 4
4 3 1 2 1 5 4 1
x x
x x x
 
+ + + − > ∀ ∈
 
− + − + − +
 
nên
(
)
1 1 0 1
x x
⇔ − = ⇔ =
.
K
ế
t lu
ậ
n h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ

ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
1
x y
= =
.
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
(
)
( )
2
4
3
2 2 2 1
;
4 3 2 2 1.
x x y x y y
x y
x x y x

+ + + = + +

∈


− + + − = +


ℝ
.
Lời giải.
Điều kiện
3
; 0
4
x y
≥ ≥
. Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
(
)
( )

2
2 2 0 0
2
1 2
1 0
2
x y
x y
x y x y y x y x y
x y x y y
x y
x y x y y
−
−
− + + − + − = ⇔ + + − =
+ + +
 
⇔ − + + =
 
 
+ + +
 

Ta có
1 2
1 0 0
2
x y x y
x y x y y
+ + > ⇒ − = ⇔ =

+ + +
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
tr
ở
thành
2
34
4 3 3 2 1
x x x
− + − = +
.
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c liên h
ệ
trung bình c

ộ
ng – trung bình nhân ta có
2
3
4
4 3 1 1 1 3 2 1 1
4 3 3 2 2 1
4 3
x x
x x x x
− + + + − + +
− + − ≤ + = ≤ +
.
D
ấ
u
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
4 3 3 2 1 1 1
x x x x y
− = − = ⇔ =
⇒
= =
.
Ví dụ 7:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) ( )
( )
3 2
3 2
3 2 2 2 3 3 4 ,
;
5 4
2 2 .
2 3
x y x y x y
x y
x y x y
x y y x

+ + + = +

∈

+ + + +
+ + + =



ℝ
.
Lời giải.
Điều kiện các căn thức xác định.
Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
( )
3 2 2 3 3 2 3 3 4 0
3 3
0
3 2 2 3 2 3 4
1 3
0
3 2 2 3 2 3 4
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y
x y x y x y x y
+ − + + + − + =
− −
⇔ + =
+ + + + + +
 
⇔ − + =
 
 
+ + + + + +
 

Lại có
1 1
0 0
3 2 2 3 2 3 4
x y x y
x y x y x y x y
+ > ⇒ − = ⇔ =
+ + + + + +
.
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành
( ) ( )
3 2
3 2
6 4
2 2
2 3
x x x
x x x x
+ + +
+ + + =
.
Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2 3 2 6 4

3 2 3 2
2 2 2
6 4
2 2
2 3
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
+ + + + + + +
+ + + ≤ + =
+ + +
⇒ + + + ≤

Do
đ
ó ph
ươ
ng trình
ẩ
n x có nghi
ệ
m khi các d
ấ
u
đẳ
ng th
ứ
c x
ả

y ra
2
3
2 3
1 1
2 3
x x
x x y
x x

+ =

⇔ ⇔ = ⇒ = =

+ =


.
K
ế
t lu
ậ
n h
ệ

đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ

t.
Ví dụ 8:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình


( )
( )
3 3
3 2
1 9 2 1,
;
5 8 2 3 2 1 12.
x x y y
x y
x x x y y

− = − + −

∈

− + + + − =



ℝ
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
1 9
1;9 0
1
1 0;2 1 0
x
x x
y
y y
≤ ≤

≥ − ≥

⇔
 
≥
− ≥ − ≥



Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng
3
3 3 3
3
10
1 9 2 1 2 1
1 1
x x
x x y y y y
x x
+ −
− − − = − ⇔ = −
− + −
.
Vì
(

)
(
)
3 3 2
2 1 0, 1 10 0 2 2 5 0 2 0 2
y y y x x x x x x x
− ≥ ∀ ≥ ⇒ + − ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
(

)
3 2
5 8 2 3 2 1 12 12
x x x y y f x g y
− + + + − = ⇔ + =
.
Xét hàm s
ố

(
)
[
]
3 2
5 8 ; 2;9
f x x x x x= − + ∈ ta có
(
)
(
)
(
)
[
]
2
3 10 8 3 2 3 4 0, 2;9
f x x x x x x
′
= − + = − − ≥ ∀ ∈ .
Hàm s

ố
này liên t
ụ
c và
đồ
ng bi
ế
n trên mi
ề
n
đ
ang xét nên
(
)
[ ]
(
)
2;9
2 4
x
Min f x f
∈
= =
.
Xét hàm s
ố

(
)
(

)
2 3 2 1; 1
g y y y y
= + − ≥
là hàm liên t
ụ
c,
đồ
ng bi
ế
n nên
(
)
(
)
1
1 2.4 8
y
Min g y g
≥
= = =
.
Do
đ
ó ph
ươ
ng trình th
ứ
hai có nghi
ệ

m khi các d
ấ
u
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra, t
ứ
c là
2; 1
x y
= =
.
C
ặp giá trị này thỏa mãn hệ nên là nghiệm duy nhất của hệ.
Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
3
5 3 5 2 ,
;
17 6 1 3 2 4 8 53.
x x y y
x y
x y y y x x x

− = + + −


∈

+ + + − + + + + =


ℝ
.
Lời giải.
Điều kiện
2
5 0; 3 0; 8 0
2
3
2 0;3 2 0
3 5
x x x
y
y y
x

− ≥ + ≥ + ≥
≤ ≤


⇔
 
− ≥ − ≥



− ≤ ≤


Ph
ương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
2 2
5 3 5 2 5 2
5 3
x
x x y y y y
x x
−
− − + = − ⇔ = −
− + +
.
Vì
2
5 2 0, ;2 2 2 0 1
3
y y y x x
 
− ≥ ∀ ∈ ⇒ − ≥ ⇔ ≤
 
 
. Nh
ư
v
ậ

y
[ ]
2
3;1 ; ;2
3
x y
 
∈ − ∈
 
 
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
(
)
( ) ( )

3
6 1 3 2 17 4 8 53 53
y y y x x x x f y g x
   
+ + − + + + + + = ⇔ + =
   
.
Xét hàm s
ố

( ) ( )
2
6 1 3 2; ;2
3
f y y y y y
 
= + + − ∈
 
 
và hàm s
ố

(
)
(
)
[
]
3
17 4 8; 3;1

g x x x x x x= + + + + ∈ − .
D
ễ
th
ấ
y các hàm
đơ
n l
ẻ

6 ; 1; 3 2
y y y
+ −
và
3
17 ; 4; 8
x x x x
+ + +
đều là các hàm số đồng biến, liên tục trên
từng miền tương ứng với hai biến x, y.
Các hàm ban đầu là tổ hợp tổng – tích các hàm đồng biến nên đều đồng biến.
Dẫn đến
(
)
(
)
(
)
[ ]
(

)
2
3;1
;3
3
2 18; 1 35
x
y
Max f y f Max g x g
∈ −
 
∈
 
 
= = = =
.
Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
2
3;1
;3
3

18 35 53
x
y
f x g y Max f y Max g x
∈ −
 
∈
 
 
+ ≤ + = + =
.
Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu cực trị xảy ra đồng thời, tức là
1; 2
x y
= =
(Thỏa mãn hệ).
Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( )
( )
3
2 3 2 3 2
6 2 2,
;
1 1 4 4 8 16 12.
x y y x
x y
y y xy y x x x

− + = + + +


∈

+ − − + = − + −


ℝ
.
Lời giải.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
3
2 0;6 0
2 6
1
1 0
x x
x
y
y
+ ≥ − ≥
− ≤ ≤


⇔
 
≥

− ≥



Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
3 3
4 2
6 2 2 2
6 2
x
x x y y y y
x x
−
− − + = + − ⇔ = + −

− + +
.
Xét hàm s
ố

(
)
3
2; 1
f y y y y
= + − ≥
ta có
(
)
2
3 1 0,f y y y
′
= + > ∀ ∈
ℝ
nên hàm liên t
ụ
c,
đồ
ng bi
ế
n.
D
ẫ
n
đế

n
( ) ( )
[ ]
1
4 2
1 0 0 4 2 0 2 2;2
6 2
y
x
Min f y f x x x
x x
≥
−
= = ⇒ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇒ ∈ −
− + +
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng
(

)
( )
( ) ( )
2 3 2 2 3 2
2
2 3 3 2
1 1 4 4 7 16 12
1 1 2 7 16 12 1
y y x xy y x x x
y y x y x x x
+ − + − + = − + −
⇔ + − + − = − + −

Xét hàm s
ố

(
)
[
]
3 2
7 16 12; 2;2
g x x x x x= − + − ∈ − .
Ta có
(
)
(
)
(
)

[
]
2
3 14 16 2 3 8 0, 2;2
g x x x x x x
′
= − + = − − > ∀ ∈ − vì
[ ]
2 0
2;2
3 8 0
x
x
x
− <

∀ ∈ −

− <

.
Hàm s
ố
liên t
ụ
c và
đồ
ng bi
ế
n trên mi

ề
n
[
]
(
)
[ ]
(
)
2;2
2;2 2 0
x
Max g x g
∈ −
− ⇒ = =
.
Trong khi
đ
ó
(
)
( )
2
2 3
1 1 2 0, 1;y y x y y x
+ − + − ≥ ∀ ≥ ∀ ∈
ℝ
.
Ph
ươ

ng trình (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi các d
ấ
u c
ự
c tr
ị
x
ả
y ra
3
1 0
2
2 0
1
2
y
x
x y
y
x

− =
=


⇔ − = ⇔

 
=


=


K
ết luận hệ có nghiệm duy nhất kể trên.