MỘT SỐ PP GIÁI PT BẬC 2 NGHIỆM NGUYÊN

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
1

Một số phương pháp
giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.




I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng
không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số
phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải
phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng
biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn.
II.NỘI DUNG
A. Xét phương trình
22
123456
0
axaxyaxayaya
+++++=
.Trong đó
1
0
a
≠
hoặc

2
0
a
≠
,
5
0
a
≠

B. Các phương pháp giải.
a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương
Dạng 1.
222
0
ABC
++=
0
0
0
A
B
C
=


⇔=


=



Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên:
22
52498140(1)
xyxyyx+++−+=
Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của
một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ
sổ là số chính phương, do đó
222
222
54
2
xxx
yyy
=+
=+

Phương trình (1)
2222
4
xxyy
⇔++++
4449140
xyxxy
−−++=

Ta coi bình phương của một tam thức
22
()(())

abcabc
++=++
là bình phương
của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c.
Vậy (1)
2222
4
xxyy
⇔++++
4449140
xyxxy
−−++=


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
2
⇔
2222
((2)2.2(1)(1))(2)(3)0
xxyyxy
+−+−+−+−=

()()()
222
21230
xyxy
+−+−+−=

222
(21)(3)(2)0
210
30
20
2
3
xyyx
xy
y
x
x
y
⇔+−+++−=
+−=


⇔+=


−=

=

⇔

=−


Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên:
1,
22
25144840
xyxyyx
++−−−=

2,
22
52144480
xyxyyx
+++−+=

3,
22
510312820
xyxyyx
++−+−=

4,
22
105381216360
xyxyyx
++−+−=

5,
22
104341220360
xyxyyx
++−+−=

Giải:
1,
22
25144840
xyxyyx
++−−−=

2222
4484140
xxyyxyyx
⇔+++−−−+=

()()()
222
21320
xyxy
⇔−++−+−=

210
30
20
xy
x
y
−+=


⇔−=



−=


3
2
x
y
=

⇔

=


2,
22
52144480
xyxyyx
+++−+=

2222
4484140
xxyyxyxy
⇔+++++−+=

()()()
222
21230
xyxy

⇔+++++−=

210
20
30
xy
x
y
++=


⇔+=


−=


2
3
x
y
=−

⇔

=



3,

22
510312820
xyxyyx
++−+−=

2222
49122830
xxyyxyxy
⇔+++−−++=

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
3
()()()
222
231110
xyxy
⇔−−++++=

2310
10
10
xy
x
y
−−=



⇔+=


+=


1
1
x
y
=−

⇔

=−



4,
22
105381216360
xyxyyx
++−+−=


()()()
()()
2222
22
22

94381216360
(32.3.2525)69440
xxyyxyyx
xxyyxxyy
⇔++++−+−=
⇔−++++−++−+=

()()()
222
325320
xyxy
⇔−−+−+−=

3250
30
20
xy
x
y
−−=


⇔−=


−=


3
2

x
y
=

⇔

=



5,
222
94341220360
xxyxyyx
+++−+−=

()()
22
32530
xyx
⇔+−+−=

3250
30
xy
x
+−=

⇔


−=


3
2
x
y
=

⇔

=−




Dạng 2.
222222

ABCmnp
+++=+++
Am
Bn
Cp
=±


⇔=±



=±


và các hoán vị của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình:
22
60
xxy
−−+=

22
222222
442440
(21)(2)253405
xxy
xy
⇔−−+=
⇔−+==+=+

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
4
Do 2x-1 lẻ nên
213
24
x
y


−=


=


2;1
2
x
y
=−

⇔

=±


Hoặc
215
3;2
0
20
x
x
y
y

−=
=−



⇔

=
=




Phương trình đã cho có nghiệm:
(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)

Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
1,
22
100613
xxyy
=+−
2,
22
45169
xxyy−+=
Giải:
1,
22
100613
xxyy
=+−
222
694100

xxyyy⇔−++=
22
2222
3210068010
xy⇔−+==+=+

36
28
x
y

−=

⇔

=


9
4
x
y
=

⇔

=


Hoặc

38
26
x
y

−=


=


11
3
x
y
=

⇔

=


Hoặc
310
20
x
y

−=



=


13
0
x
y
=

⇔

=


Hoặc
30
210
x
y

−=


=


3
5
x

y
=

⇔

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
}
,9;411;33;5
xy=
2,
22
45169
xxyy−+=
222
44169
xxyyy⇔−++=
222222
2169125013

xyy⇔−+==+=+

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
5
212
5
xy
y

−=

⇔

=


22
5
x
y
=

⇔

=


hoặc
25
12
xy
y

−=


=


19
12
x
y
=

⇔

=


hoặc
20
13
xy
y

−=



=


26
13
x
y
=

⇔

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
}
,22;519;1226;13
xy=
b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử

Dạng 1. A.B.C =0
0
0
0
A
B
C
=


⇔=


=


Dạng 2. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên)
Am
Bn
Cp
=


⇔=


=


và các hoán vị của chúng.

Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
22
310896
xxyy
++=

22
364896
xxyxyy
⇔+++=

(2)(34)9616.612.824.4
xyxy
⇔++====

Do x,y là các số nguyên dương nên
(34)(2)3
xyxy
+>+≥

24164
261
xyx
xyy
+==

⇒⇔

+==


Hoặc
24124
286
xyx
xyy
+==−

⇔

+==

(loại)
Hoặc
242416
246
xyx
xyy
+==

⇔

+==−

(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
(
)
(
)

,4;1
xy =
Bài tập:
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1,
22
6
yxx
=++

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
6
2,
(
)
2
256
xyy
−=+

3,
22
65121
xxyy−+=
4,
(
)

532
xyxy
+=−

5,
2
360
xxxyy
−−+−=

Giải:
1,
22
6
yxx
=++

22
44424
yxx
⇔=++

22
(2)(441)23
yxx
⇔−++=

22
(2)(21)23
yx

⇔−+=

(
)
(
)
221221231.23(1).(23)23.1(23).(1)
yxyx
⇔−−++===−−==−−

(
)
()
22123
2211
yx
yx

++=

∗

−−=


6
5
y
x
=


⇔

=


(
)
()
2211
22123
yx
yx

++=

∗

−−=


6
6
y
x
=

⇔

=−



(
)
()
22123
2211
yx
yx

++=−

∗

−−=−


6
6
y
x
=−

⇔

=−


(
)

()
2211
22123
yx
yx

++=−

∗

−−=−


6
5
y
x
=−

⇔

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm
nguyên:
(
)
(
)

{
(
)
(
)
(
)
}
,5;6,6;6,6;6,5;6
xy
=−−−−

2,
(
)
2
256
xyy
−=+

(
)
22
6916
xyy
⇔−++=

(
)
22

6916
xyy
⇔−++=

()()
22
316
xy
⇔−+=

(
)
(
)
3316
xyxy
⇔−−++=

Do
(
)
(
)
33
xyxy
−−≤++

Và
(
)

(
)
3;3
xyxy
−−++
cùng tính chẵn lẻ nên
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
332.84.48244
xyxy
−−++===−−=−−

325
380
xyx
xyy
−−==

∗⇔


++==


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
7
344
343
xyx
xyy
−−==

∗⇔

++==−


385
320
xyx
xyy
−−=−=−

∗⇔

++=−=


344
343
xyx
xyy
−−=−=−

∗⇔

++=−=−


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
}
,5;05;04;34;3
xy
=−−−−

3,
22

65121
xxyy−+=
222
694121
xxyyy⇔−+−=
()()
22
32121
xyy⇔−−=
(
)
(
)
3232121
xyyxyy⇔−+−−=
Do
(
)
(
)
3232
xyyxyy
−+≥−−
Và
(
)
(
)
32;32
xyyxyy

−+−− cùng tính chẵn lẻ nên

(
)
()
32121
361
361
260
30
321
xyy
xy
xy
y
y
xyy

−+=

−=

−=

∗⇔⇔

=
=±

−−=






Nếu
30
y
=
Thì
9061151;29
xx−=⇒=
Nếu
30
y
=−
Thì
9061151;29
xx
+=⇒=−−

(
)
()
3211
311
11
0
20
3211

xyy
xy
x
y
y
xyy

−+=

−=
=±


∗⇔⇔

=
=

−−=




Vậy phương trình đã cho cónghiệm
nguyên:
(
)
(
)
{

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
}
,29;30,151;30,29;30,151;30,11;0,11;0
xy=−−−−−
4,
(
)
532
xyxy
+=−

(
)
532
xyxy
⇔+−=−

(
)
1596
xyxy

⇔+−=−

()()
()()
1596
353553256
353531
xxy
xyy
xy
⇔−=−
⇔−−−+=−
⇔−−=

Không mất tính tổng quát giả sử
xy
≤
3535
xy
⇒−≤−

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
8
3512
353112
xx
yy

−==

∗⇔

−==


4
351
3
353126
3
x
x
y
y

=

−=−


∗⇔

−=−−


=



(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
}
,2;1212;2
xy=
5,
2
360
xxxyy
−−+−=

2
33260
xxxyyx
⇔−−++−=

(
)
(
)
(
)
33230

xxyxx
⇔−−−+−=

(
)
(
)
320
xxy
⇔−−+=

3;
2;
xyZ
yxxZ
=∈

⇔

=+∈


c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia
là hằng số.Chẳng hạn
(,)
0
xy
f
=

ta coi y hằng số.
Dạng 1. nếu
2
y
aybyc
∆=++
có hệ số a < 0.
hoặc
y
byc
∆=+
có hệ số b < 0.
Để phương trình
(,)
0
xy
f
=
có nghiệm thì
0
y
∆≥
từ đó tìm được một nghiệm là y
và suy ra nghiệm còn lại x.
Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên:
22
(3)8
xxyyxy
++=+

22
3(31)380
xyxyy
⇔+−+−=

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có
2
2791
y
yy
∆=−++
.
Để pt đã cho có nghiệm thì
2
27910
0,013,3;
y
yy
yyZ
∆=−++≥
⇔−≤≤∈

{
}
0,1,2,3
y∈ Thay vào ta được
Nếu
2
030
yxx

=⇒−=

2
1
30
3
0
x
xx
x

=

⇔−=⇒

=


Nếu
2
13250
yxx
=⇒+−=

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
9
2

1
3250
5
3
x
xx
x
=


⇔+−=⇒
−

=


Nếu
2
23540
yxx
=⇒+−=

254873
∆=+=
(không phải là số chính phương)
Nếu
2
33830
yxx
=⇒++=

/
1697
∆=−=
(không phải là số chính phương)
pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1)
Bài tập:
Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1,
22
20
xxyyxy
++−−=

2,
22
xxyyxy
−+=+

Giải:
1,
22
20
xxyyxy
++−−=

(
)
22
20

xxyyy
⇔+−++=

22
4444
yyyy
∆=−+−+

2
43
y
∆=−
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
22
430111
yyy
−≥⇔≤⇔−≤≤

Nếu
2
11210
yxxx
=−⇒−+−+=

2
2
320
1
x
xx

x
=

⇔−+=⇒

=


Nếu
2
020
yxx
=⇒−=

2
2
20
0
x
xx
x
=

⇔−=⇒

=


Nếu
2

11210
yxxx
=⇒++−−=

2
0
0
1
x
xx
x
=

⇔−=⇒

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
}
,1;1,2;1,0;0,2;0,1;1,0;1
xy=−−
2,
22
xxyyxy
−+=+

(
)
22
10
xxyyy
⇔−++−=

222
2144361
yyyyyy
∆=++−+=−++

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
0
∆≥

⇔
2

3610
yy
−++≥

0,1542,154
y
⇔−≤≤

}
{
0;1;2
y∈
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
10
Nếu
2
00
yxx
=⇒−=

2
1
0
0
x
xx
x

=

⇔−=⇒

=


Nếu
2
120
yxx
=⇒−=

2
2
20
0
x
xx
x
=

⇔−=⇒

=


Nếu
2
2320

yxx
=⇒−+=

2
2
320
1
x
xx
x
=

⇔−+=⇒

=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
}
,0;0,1;0,0;1,2;1,1;2,2;2
xy=
Dạng 2. Nếu
2
y
aybyc
∆=++
có hệ số a là một số chính phương Để phương
trình
(,)
0
xy
f
=
có nghiệm thì
2
y
m
∆= từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra
nghiệm còn lại x.
Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên:
1,
22
2326
xyxyxy
++−−=

22
(32)260
xyxyy
⇔+−+−−=

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
2
81612
y
yy
∆=−++

Để pt đã cho có nghiệm thì
2
y
m
∆=
22
22
81612
(4)12
y
yym
my
∆=−++=
⇔−−=
(4)(4)122.62.(6)
mymy
−++−===−−

Vì(m+y-4)
≥
(m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên
42
46
my
my
−+=


+−=

4
6
m
y
=

⇔

=

Thay y=6 vào pt đã cho ta có:
2
2
72182120
16600
xxx
xx

++−−=
⇔++=

Pt này vô nghiệm.
46
42
my
my
−+=−


+−=−

4
6
m
y
=−

⇔

=


Pt đ ã cho vô nghiệm
2,
(
)
22
2363260

xyyxxxxyy
−−+=⇔−−−−=
Coi phương trình này là
phương trinh bậc hai ẩn x.
2
6924
y
yy
∆=−++

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
11
Để pt đã cho có nghiệm thì
2
y
m
∆=
22
22
2132
(1)32
y
yym
my
∆=+++=
⇔−+=
(

)
(
)
1132
mymy
⇔++−+=

Do
(
)
(
)
11
mymy
++≥−+

Và
(
)
(
)
1;1
mymy
++−+
có cùng tính chẵn lẻ,
(
)
10
my
++≥

nên
(
)
10
my
−+≥
.Ta có
12
9
9
6;8
17
116
my
m
m
y
y
my


−+=
=
=±


∗⇔⇔

=−

+=

++=




14
6
6
1;3
12
18
my
m
m
y
y
my


−+=
=
=±


∗⇔⇔

=−
+=


++=




Nếu
2
6312660
yxxx
=⇒−−+−=
2
3180
xx
⇔+−=

94.1881
∆=+=
1
39
3
2
x
−+
⇒==
;
2
39
6
2

x
−−
==−

Nếu
2
8316860
yxxx
=−⇒−+−−=
2
11100
xx
⇔−+=

phương trinh có nghiệm:
12
1;10
xx
==

Nếu
2
13260
yxxx
=⇒−−+−=
2
280
xx
⇔−−=

/
189
∆=+=
1
134
x
⇒=+=
;
2
132
x
=−=−

Nếu
2
336360
yxxx
=−⇒−+−−=
2
60
xx
⇔−=

1
0
x
⇒=
;
2
6

x
=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
}
,3;6,6;6,10;8,1;8,4;1,2;10;36;3
xy
=−−−−−−

3,
2222

0
xxyyxy
++−=

(
)
222
10
xyxyy
⇔−++=

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
(
)
(
)
2222244222
41444343
y
yyyyyyyyyy
∆=−−=−+=−=−

Để pt đã cho có nghiệm thì
y
∆
là số chính phương
(
)
(
)

22
22
4323223
ymymymym
⇒−=⇔−=⇔−+=

2122
1
1
231
ymy
y
m
ymm

−==
=±


∗⇔⇔

=±
+==




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
12
Nếu y = 1
22
10101
xxxxx
⇒++−=⇔+=⇔=−

Nếu y = -1
22
10101
xxxxx
⇒−+−=⇔−+=⇔=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
}
,1;1,1;1
xy=−−

d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương:
Nếu phương trình
(,)
0

xy
f
=
có dạng
2
(,)()
xyx
AB
=hoặc
2
(,)()
xyy
AB
= Thì
2
()
()
0
x
x
Bm
B

=


≥


hoặc

2
()
()
0
y
y
Bm
B

=


≥



Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình;
222
2
()(9)
(9)9(92)
xxyx
xyy
++=+
⇔+−=−

Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương.
2
2
18209;0

1824161;20
182247;8
yyx
yyx
yyx
−=⇔==
−==⇒==
−==⇒==

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1)
C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn:
1. Giải phương trình nghiệm nguyên
a. x
4
– 2y
4
– x
2
y
2
– 4x
2
– 7y
2
-5 = 0
Đ ặt t=x
2
ta c ó: t
2
– 2y

4
- ty
2
– 4t – 7y
2
-5 = 0
⇔ t
2
– (y
2
+ 4)t –(2y
4
+ 7y
2
+ 5) = 0
Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
x
3
+ 7y = y
3
+7x (x≠y) ⇔ x
3
– y
3
= 7(x-y) ⇔x
2
+xy + y
2
=7

⇔x
2
+xy +y
2
– 7 =0
222
428283
y
yyy
∆=−+=−
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
0
y
∆≥

}
{
222
283091;4;9
yyy⇒−≥⇔≤⇔∈
Nếu y = -1
22
12
170602;3
xxxxxx
⇒−+−=⇔−−=⇔=−=

Nếu y = 1
22
12

170602;3
xxxxxx
⇒++−=⇔+−=⇔==−

Nếu y = -2
22
12
24702301;3
xxxxxx
⇒−+−=⇔−−=⇔=−=

Nếu y = 2
22
12
24702301;3
xxxxxx
⇒++−=⇔+−=⇔==−

Nếu y = 3
22
12
39703201;2
xxxxxx
⇒++−=⇔++=⇔=−=−

Nếu y = -3
22
12
39703201;2
xxxxxx

⇒−+−=⇔−+=⇔==

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.

Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương
13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
}
,2;1,3;1,2;1,3;1,1;2,3;21;23;21;32;31;32
;3
xy
=−−−−−−−−−−−−

III. KẾT LUẬN:
Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho
từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp
giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết
có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ngày 30 tháng 5 năm 2008
Người viết:
Phan Thị Nguyệt.








PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version