chuyên đề số phức luyện thi 2015 – GV lê bá bảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (568.02 KB, 41 trang )
Chuyên
S
PH C
CHUYÊN
Luy n thi
S
:
I- LÝ THUY T:
1/ T p h p s ph c:
2/ S ph c (d ng
⊂
⊂
PH C
⊂
i s ): ∀ ∈
i H c 2015
⊂
⊂
∈
∈
= +
=−
Nh n xét: +
+
3/ Hai s ph c b ng nhau:
=
=
⇔
=
+
=
= ∈
=
=
+
=
⇔
x
=
b
4/ Bi u di n hình h c:
S ph c = + (a, b∈
c bi u di n b i i m
( ) hay b i = ( ) trong mp(Oxy).
5/ C ng và tr s ph c: Cho = +
+ = +
+ +
− =
(
) (
)
6/ Nhân hai s ph c:
=
(
=
(
)+(
−
a
y
+
)+(
−
O
M(a;b)
)
−
)
+
7/ S ph c liên h p c a s ph c = + là = −
a) =
+ = +
=
b)
là s th c ⇔ = ; z là s thu n o ⇔ = −
8/ Mô un c a s ph c: = +
a)
=
b)
≥ ∀ ∈
9/ Chia hai s ph c:
Lúc ó:
+
+
=
=
(
(
+
+
+
=
−
!
=
= ⇔ =
+
)(
)(
=
−
=
) =(
)
=
=
−
=
)(
+
−
2)
= +
=
)
=
là s thu n o ⇔
=
=
=
)
≠
+
L u ý:
1) = + là s th c ⇔ =
LUY N T P:
Ch ng minh r ng: ∀ ! ! ∈ , ta có:
≠
(
+
!
+
≤
+
=
=
∀! ∈
Th c hi n các phép tính sau:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -1-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
# (" − $ ) + ( + % )
(
& −
)
+"
&
)
"
(" − ) + (" + )
"
*
3) Tính các bi u th c sau:
,
a) ! " ! % ! $ !
!
!
b)
(
)!(
+
+
−
c)
% / 0
$ 5
# "
(
+
"
)!(
+
-
(
(
(
−' )−( −%
+
)(
(
−
.T
%
)!(
)(
+
+
Luy n thi i H c 2015
( − % )( " + $ )
)
−% )+(
+
)(
−
ó suy ra cách tính
)!(
+
)
!
(
+( +"
)(
−" )+
2# 3#
a) +
6 7
8
+
)( " + $ ) +
π
+
"
.π
+
'
d)
π
"
.π
'
π
*
'
(
"(
π
+
'
%$ +
$ +
π
+
"
( −% )
"
4
c) %
+"
b)
+-
d) "
+$
1
)(
%$ +
%$
)
(
&
, +
,
)(
.
π
$
+
)
−
$
1
−%
∈
v i
π
)
) (" + )
−%
(
+
)
$
(
(
)
""
+( −
)
+
π
"
%
)
$)
%$
+
+
π
,$ +
% +
(
%
π
"
π
−
(
$
"
' :;< =7 >?
@ A 7 > BC 2 + CD
>H
6 #
a) Ph n th c b ng i ph n o
,$
%
+ "
E +
&
d) Ph n o b ng 2 l n ph n th c c ng 1
+
)
π
.
,
4 &B (F
+
,
"
π
+
&9
+
=
C; CG
<
− <
+"
− =
−
π
+
7
+ <
)
* Ph n th c b ng ph n o
"
)
)
.
+
=
−
h) T ng các bình ph ng c a ph n th c và ph n o b ng 1, ph n th c không âm.
k) Ph n th c không v t quá ph n o.
l) Ph n o l n h n 1
m) Ph n o < , ph n th c >
T ng t : 1) + + " = %
2) − + − =
3)
− = − +
4)
−(
)
=%
5)
+
= −
7) − % + + % =
8) ≤ + − ≤
7) Tìm s ph c , bi t:
a) = !
b) = $!
8) Tìm s th c ! tho mãn i u ki n:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -2-
6)
+
>
−
&I +
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
# + = $+
(
) + ( − + ) = (" −
+ " + ( " − ) = + + ( − ")
+" +
) %
Ch
:
S
) + (%
+
− − ")
= $−
=
PH C VÀ M T S
(
)(
+
)=(
−
−
+
)
+
+
=
+
+
= ⇔
−
⇔
=
+
+
c
(
−
)
−
) = $+
−
+
+
=
−
ho c
)+
+
=
=
+
=
và
=
=
+
= !
=
=− .
.
=−
=
=
K t lu n: Có 3 s ph c th a y.c.b.t là: = !
Bài t p 3: Tìm các s ph c th a mãn:
* Gi i (2) ta
(
B N
=
* Gi i (1) ta
(
)(
+ +( +
= .
+
=
#
+
=
= ∨ =
−
⇔
(
−
= − + (" −
. Khi ó:
= ⇔( +
⇔
)(
=
)
)
là 5.
Bài t p 2: Tìm s ph c , bi t r ng
+
+(
+
D NG TOÁN C
+
. Suy ra, ph n th c c a
G i ý:
t = +
+ +( −
(
*
Bài t p 1: Tìm ph n th c c a s ph c , bi t r ng
G i ý: Ta có
(
&
Luy n thi i H c 2015
+ ) + "( − ) = $ − '
)
+"
c
&
= −
= −%
+
)
(
−
)
+ =
+
−
−% =
*
+
−
=
− +"
+
%
=
G i ý:
#
(
+"
&
(
−
+
−
d)
t
)
)
= − ⇔ ( +"
−% = ⇔
=
)
−( − " )
−
"
=
=− +
+"
−%( + )
, %
, %
= −
= +
− )( + ) $ $
$ $
=− ⇔ =
%
=
−
(
( − + " )( −
− +"
⇔ =
+
( +)
= + . Khi ó:
=
)=
+ % ( + % )( " − % )
%
=
=
+
"+ %
$
$
$
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -3-
CLB Giáo viên tr TP Hu
)
)
Chuyên
S
PH C
= −% ⇔( +
+
Luy n thi
)+ (
)=
−
−% ⇔" −
+%
"
Nh n xét: Trong ví d trên, ta tìm s ph c
)
+ =
t = + . Khi ó:
" =
⇔
=%
=
"
=%
=
V y
(
+ =
−
⇔
−
+ =
− =
−
⇔
)+(
+
⇔
(
+ =
=
=
và
c
=
+
−
= ⇔
(
−
−
+
)+(
)
−
=
+ =
= ∨(
− =
)
+ =
=−
=
.
=
"
và
=−
"
+
−
=− !
"
+
!
"
=
=
=
−
.
=
+
−
= !
=−
=
K t lu n: Có 4 s ph c th a y.c.b.t là:
%
⇔
nh ngh a hai s ph c b ng nhau.
=
=
* Gi i (2) ta
d a vào
⇔
)=
−
ho c
=
c
−
)=
−
−
+ =
* Gi i (1) ta
*
= −% ⇔
i H c 2015
=−
Ta có:
+
=
−
⇔
⇔
+
=−
−
+
=
−
⇔
⇔
+
=−
−
K t lu n: Có 3 s ph
Bài t p 4: Xét các i
%
( − )( + )
−
Giáo viên: LÊ BÁ B
+ = −
⇔
+ =− +
+ =( −
)
+ = (− +
)
⇔
=
=−
c th a y.c.b.t là: = ! = ! = − .
m A, B, C trong m t ph ng theo th t bi u di n các s ph c
+'
.
"−
O...0935.785.115... -4CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
Luy n thi
a) Ch ng minh ABC là tam giác vng cân.
b) Tìm s ph c bi u di n i m D sao cho ABCD là hình vng.
G i ý:
%
a) Ta có
= − . V y ( − ).
−
( − )( + ) = " + , suy ra ( " ) .
T
ng t
+'
=
"−
,v y
=
Lúc ó, ta có
(
).
!
=
!
i H c 2015
=
=
=
+
Tam giác ABC vng cân t i B.
b) G i D là nh th t c a hình vng ABCD. Do ABC là tam giác vng cân nên yêu c u
=−
bài toán t ng
ng v i
=
⇔ ( − −") = (
− )⇔
⇔ (− − )
=−
V y D bi u di n s ph c = − − .
CH
D NG L
:
NG GIÁC C A S
PH C
I- LÝ THUY T:
Cho s ph c ≠ . Gi s i m M là i m trong m t ph ng bi u di n s ph c . S
o (ra ian) c a m i góc l ng giác có tia u Ox, tia cu i OM
c g i là m t argument.
c a .
Nh n xét: N u ϕ là m t argumen c a , thì m i argument c a có d ng ϕ + π .
1. D ng l ng giác c a s ph c:
= +
Xét s ph c
≠ . Gi s mô un c a
thì: = ( ϕ +
= +
= ( ϕ+
ϕ)
G i ϕ là m t argument c a
D ng i s c a :
D ng l ng giác c a :
là
thì
=
=
+
.
ϕ).
ϕ=
Trong ó:
=
=
+
và
ϕ=
2. Nhân và chia s ph c d !i d ng l ng giác:
Cho hai s ph c = ( ϕ +
ϕ )! =
(ϕ
=
Lúc ó:
(ϕ
=
+ϕ ) +
−ϕ ) +
(ϕ
(ϕ
3. Cơng th c Moa-vr": Cho s ph c
=
(
ϕ+
ϕ)
=
(
+ϕ
−ϕ
=
(
ϕ +
ϕ
)v
i
> !
>
)
)
(
ϕ+
ϕ)
ϕ+
ϕ)
4. C#n b c hai c a s ph c d !i d ng l ng giác:
Cho s ph c = ( ϕ +
ϕ ) ! > . Khi ó có hai c n b c hai là:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -5-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
ϕ
Luy n thi
ϕ
+
ϕ
và −
ϕ
+
II- BÀI T P MINH H$A:
Bài t p 1: Cho ! là các nghi m c a ph
ϕ
=
ϕ
+π +
+π
+
+
=
Bài t p 2: Tìm s ph c
G i ý:
t = + !
(
+
+
= − +"
=
=
=
(− )
=
( − ) + ( −")
−( +
−( +
−
=
)+(
−
= $
+
) +(
−
−
)=
= −
)=(
)
+
(
=
.
−
) +(
=
)
−
.
="
=%
=$
=
K t lu n: V y có hai s ph c th a y.c.b.t là = " + % ! = $
Bài t p 3: Vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:
− "
#
− " ( + )
&
+
G i ý:
(
)
"=
a) Ta có: −
−
π
+
"
=
= $
và
+ = $
⇔
+ =
⇔
)
+" =
.
th a mãn
)
! ∈
M t khác, ta có
(
+
ng trình
=
Ta có:
= . Tính giá tr! bi u th c
ng trình
.
G i ý: Xét ph
Lúc ó:
+
= − −"
=
+
i H c 2015
−
π
π
+ =
"
ϕ+
π
+
%
%
ϕ
.
Lúc ó:
(
−
b) T
"
)(
+
)=
"=
ng t : −
Lúc ó:
"
−
+
−
"
−
−
=
π
π
+
π
"
π
+
%
+
+
"
π
%
−
−
−
i
=
ϕ+
ϕ=
π
=
%
−
π
+ =
"
%
+
π
+
−
π
π
%
π
"
=
−
π
"
−
π
+
%
−
π
"
−
π
%
%
=
c) Bi n
"
+
π
π
+
π
π
−ϕ +
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -6-
−
.π
π
+
−
.π
−ϕ
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
V y d ng l
PH C
Luy n thi
ng giác c a
π
là
π
−ϕ +
i H c 2015
−ϕ .
Bài t p 4: Tùy theo góc ϕ , hãy vi t các s ph c sau d i d ng l ng giác:
−
ϕ−
ϕ
#
& ( −
ϕ−
ϕ )( + ϕ +
+
ϕ+
ϕ
G i ý:
a) Xét s ph c:
ϕ
=
ϕ−
ϕ+
−
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
+
−
ϕ
ϕ
π
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= #
ϕ
ϕ
−
−
ϕ
−
ϕ
+
π
= #
ϕ
+
ϕ)
ϕ
−
π
+
−
π
T (1) suy ra:
*N u #
*N u #
*N u #
ϕ
ϕ
ϕ
> , thì s ph c
có d ng l
ng giác chính là (1).
< , thì s ph c
có d ng l
ng giác là − #
= , thì s ph c
khơng có d ng l
l ng giác xác !nh).
b) Xét s ph c: = ( −
=%
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
T (2) suy ra:
*N u
ϕ
−
+
ϕ
ϕ−
ϕ<
−
thì d ng l
ϕ
thì d ng l
ϕ (−
π
ϕ+
ϕ
−
ng giác (vì
ϕ
−
=
ng giác c a s ph c
+
ϕ−
π
ϕ(
π
khơng có d ng
i câu a, ta có:
ϕ)
ϕ−
là:
ϕ
π
là:
π
+ϕ +
*N u
ϕ = , thì s ph c khơng có d ng l ng giác (vì
l ng giác xác !nh).
Bài t p 5: Xác !nh ph n th c và ph n o c a m i s ph c sau:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -7-
=
+
.
ng giác c a s ph c
ϕ) = −
π
ϕ ) . D a vào bi n
ϕ+
ϕ
+
ϕ
ϕ>
*N u
ϕ )( +
ϕ
ϕ−
ϕ
ϕ
=
+ϕ
.
khơng có d ng
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
(
#
)
+
(
Luy n thi
"+
)
π
&
-
"
π
−
$
"
(
i H c 2015
+ "
)
.
G i ý:
a) Xét s ph c
π
=
(
(
)
+
"+
)
-
%
=
π
'
$
π
$π
-
%
+
có ph n th c b ng −
V y
π
+
"π
=
-
$π
+
=
"π
+
%
(
π)=−
π+
'
'
và ph n o b ng 0.
'
b) Xét s ph c
π
=
"
.
=
V y
π
−
$
"
−
π
"
(
+ "
+
−
)
.
=
−
π
+
"
.π
+
"
π
"
.π
"
.
có ph n th c b ng 0 và ph n o b ng
Bài t p 6: Cho s ph c
a)
=
−
.+
%−"
. Tìm
π
π
"
"
.
=
(
.
π
+
"
π)=
π+
.
.
nguyên d
là s th c
ng
b)
:
là s thu n o
G i ý:
=
Ta có:
=
.+
%−"
π
( )
%
=
( . + )( % + " )
=
$
$+ $
$
=( +
)
π
=
%
+
π
%
π
+
%
π
a)
là s th c ⇔
b)
là s thu n o ⇔
%
= ⇔
π
%
π
%
=%
= π⇔
= ⇔
π
%
=
π
(
).
∈
=% +
+ π⇔
Bài t p 7: Xác !nh ph n th c và ph n o c a s ph c
+
(
∈
)
, bi t +
= .
G i ý:
=
Cách 1: Ta có: +
= ⇔
− + = ⇔
=
TH 1: V i
=
π
"
+
π
"
+ "
− "
=
=
π
"
π
"
+
−
π
"
π
"
, thì
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -8-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
+
PH C
π
=
Luy n thi
π
+
"
+
"
π
π
=
"
K t lu n: Khi +
=
−
"
π
"
π
+
"
π
=
+
thì
+
−
π
−
"
"
"
+
"
π
=
π
−
π
+
"
ng t khi
+
"
π
=
TH 2: T
π
+
π
+
"
i H c 2015
π
+
"
π
−
+
"
=
"
'. π =
=
= .
Cách 2: ( H c sinh H% V&N RƠN 12A Niên khóa 2008- 2011)
+ "
=
Ta có: +
= ⇔
− + = ⇔
− "
=
Xét
π
=
"
π
+
=
( )
"
π
=
"
+
Suy ra:
"
'.
+
"
( )
"
'.
π
+
)
'.
G i ý:
Ph ng trình ⇔ ( −
%
Suy ra
Lúc ó:
=
=
(
−
)
)
=
π
"
"
π
−
"
π+
=
+
(−
)
−
+
= − và ta c"ng có
π
+
"
Hồn tồn t ng t cho TH còn l i.
Bài t p 8: G i là nghi m c a ph ng trình
Tính giá tr! bi u th c:
"
=
"
= (−
π
=
'.
π =−
= + =
+ = .
.
(
=
−
).
= −%
+
=
( )
%
$ "
+
( )
%
$ "
= ( −% )
$ "
+
( −% )
$ "
'$ " +
=−
%$ "
Bài t p t "ng t :
Bài t p 1: Cho s ph c
a) Tìm
=
=
− +
− ( −
b) Tìm
)
(
∈
− ≤
Bài t p 2: Xét các s ph c th a mãn i u ki n
).
c) Tìm
%
−
−
có mơ un nh nh#t
=
'−
(1)
a) Tìm t p h p các i m M bi u di n s ph c th a mãn (1).
b) Trong các s ph c th a mãn (1), hãy tìm s ph c có argument d
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -9-
ng nh nh#t.
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
Luy n thi i H c 2015
Bài t p 3: Trong các s ph c th a mãn − $ ≤ " , hãy tìm s ph c có argument d ng
nh nh#t.
Bài t p 4: Cho A, B, C, D theo th t là các i m trong m t ph ng bi u di n các s ph c
(
)
(
% + "+ " !
)
+ " + " ! + " ! " + . Ch ng minh: B n i m A, B, C, D cùng n m trên
m t $ng tròn.
Bài t p 5: Ch ng minh các
#
(
(
+
+
)
--'
+( −
'
) +(
−
)
--'
)
'
ng th c sau:
---
=−
&
(
(
+
−
Bài t p 6: Vi t s ph c
=( #
)
−
%
d
i d ng l
sao cho
+
Bài t p 8: Cho
sau:
ϕ . Cho
là m t s nguyên d
=
+
a)
ϕ+
minh r ng: N u
!
Bài t p 10: Cho α =
∈ !
!
+
−
b)
!
"
!
--$
+
. Tính
(
+α
=
)(
+α%
.
ϕ
=
t
= ( +α )
--$
ng. Ch ng minh các h th c
ng ng bi u di n các s ph c
−
th ng hàng thì
là m t s th c.
" −
"
"
− −
= . Tìm giá tr! l n nh#t c a
ϕ
Bài t p 9: Cho ba i m
"
)
ng giác.
Bài t p 7: Cho các s ph c
=
= (−
−
− +
(
=
+
)
)
)(
+α,
) (
!
!
+α
"
. Ch ng
)v i
≥
Bài t p 11: Cho
=
"−
. Tìm hàm h p
+ "
=
( ( (
))) .
--$
CH
GI I PH
:
NG TRÌNH TRÊN T P S
I- LÝ THUY T:
1. C#n b c hai c a s th c âm:
=− K # L
J
CM N &@
(
−
=−
5Q
+
! N &@
# O# −
# O# − $
5R + S 7 TN &@
±
# O#
−
P +
$(
±
CM N &@
$
0C
PH C
# O# −
= −$
±
2. Ph "ng trình b c nh't v!i h( s ph c:
JU +
Q
+ 2V
=
! ∈
⇔
=
∈
(
≠
)
2. Ph "ng trình b c hai v!i h( s th c:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -10-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
T
Q + 2V
+
W8 ∆ =
Luy n thi
! ! ∈ !
+ =
i H c 2015
≠
−%
5:
∆= !
Q
+ 2V
L CM
5:
∆> !
Q
+ 2V
L #
5: " ∆ < !
Q
+ 2V
Y
@
V ∆ L # N &@
!
#
X
+ 6C
+ 6C
!
X
+ 6C
±
− ±
X−
Z Q + 9 +
K
∆
− ± ∆
L #
+ 6C
2K
4
∆
3. M) r ng: Gi i ph "ng trình b c hai v!i các h( s ph c
D [ >H T
Q + 2V
+ + =
! ! ∈ !
Z9
W8 ∆ = − % ∈
VC >QA N &@ # O# ∆!
\]
= +
CM N &@
+ 6C
!
=
− ±
V&
7
# O# ∆
(
>QA +
)
= ∆ ^_ >L
S <9
Q + 2V
L
∈
CHÚ Ý: Phát bi u và ch ng minh *nh lí o và thu n c a *nh lí Vi-et c a ph "ng
tình b c hai v!i h( s ph c.
Thu n: N u hai s
và là hai nghi m c a ph ng trình
+ + = v i
+
! ! ∈ !
=−
≠ thì
=
Ch ng minh:
Theo công th c nghi m c a ph ng trình b c hai v i h s ph c ta có:
− +δ
− −δ
+ =
+
=−
=
− +δ
− −δ
=
o: N u hai s α β tho mãn: α + β =
trình:
− + = .(1)
Ch ng minh:
Ta có:
⇔
−δ
=
%
và α β =
thì α β là nghi m c a ph
− (α + β ) + αβ = ⇔ ( − α )( − β ) = ⇔
ng
=α
=β
i u này ch ng t α β là nghi m c a ph ng trình (1).
LUY N T P:
Bài t p Tìm c n b c hai c a các s ph c sau:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -11-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
# −$+
& ,+'
Bài t p Gi i các ph ng trình sau:
+
− +"
1)
=
2) +
−
+
+
4)
+
=
$
−
.
−" = −
8
+ =
Bài t p
Gi i các h ph
−
$
=
−,
"
(
"" − $'
= −%
−
+
$
T
` Y ++
#
!
Q + 2V
+ 6C O#
! ;< 1
−
)
+"+
+
=
Gi i các ph
" + + =
"
(
+
$
.
-
−
(
+
%
)
(
)
ng trình sau trên
$
− %=
+ (, +
−
(
+ "+
"
)
)
(
Q + 2V
+ "( $ −
)
)
+
=
)
+
4
− (" +
−%+ ,
− ") =
"
−
+ − =
9)
+
− =
(
'
)
+
%
$
+ =
+ −"=
−' + $=
%
+% − =
(
)
%
+
+% +%− =
%
,
(
+
+
"
=
Ví d- 1: Tìm các c n b c hai c a m i s ph c sau:
# = %+' $
+%+
+
=
− =
+ =
+
)
$
&
"
+ =
XÁC ,NH C&N B C HAI C A S
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -12-
=
− =
)
"
+ '=
)=
= −$ +
−
=
'
(
+
#
:
+ + =
%
= −$ − $
'
+
+ ,+% =
−( −$
+
+! +% ! =
+! =
− =
K+ n#ng 1:
-
=
7) − ' + "% =
8) + + $ =
"
11) " + =
10) − , =
Bài t p
Gi i các ph ng trình sau trên :
+( + ) +$ =
+
"
= − −,
"
+ 7 2? O# 7 & B
+
% "
'
−
=
−
= $−
Bài t p
− +"
+
ng trình sau:
= %+
=
− =
−"
=
+
+
Bài t p
3)
=
−%
=
−,
%
Luy n thi i H c 2015
( −"+ %
+
−
%
=
PH C
=− −
'
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
G i ý:
a) Cách 1: Dùng k% thu t bi n
Luy n thi
i
%+' $ = %+ " $ =" + " $ +
( $ ) = (" + $ )
V y có hai c n b c hai là " + $ và −" − $
Cách 2: D a vào !nh ngh&a: " là 1 c n b c hai c a
t " = + là 1 c n b c hai c a = % + ' $
⇔( +
)
−
⇔
=
= %+' $ ⇔
=%
⇔
" $
T (1) ⇔
−
=
%
−%
(
%$
−
i H c 2015
)+
⇔" =
=%
−
= %+' $ ⇔
=' $
=%
" $
− %$ = ⇔
="
=-⇔
= $
= −"
=− $
V y có hai c n b c hai là " + $ và −" − $
Nh n xét: Rõ ràng, ph ng pháp th hai c b n và khoa h c, hoàn toàn áp d ng cho các
bài tốn. Cịn ph ng pháp th nh t t ra s c s o và “t t” h n.
b) Ta có
=− −
' =− −
" =
( )
" +
−
V y có hai c n b c hai là
− " và − + "
Chú ý: Hai k t qu c s
v n d'ng gi i toán
=( + )
a)
Bài t p 1: Gi i các ph ng trình sau trên :
a)
+ + =
b) + =
d) − =
e) + =
Bài gi i:
a)
+ + =
Ph ng trình có bi t th c ∆ = − =
Ph ng trình có 2 nghi m ph c phân bi t:
=
b)
+ =
(1) ⇔ ( +
− −
=− −
c)
f)
;
=
( " ) =(
b) −
=( −
+ − =
+ =
− +
− "
)
+ =
g)
=− +
)
.
(1)
)(
−
+
)=
⇔
=−
−
+ =
Gi i ph ng trình (*): ∆ = − =
Ph ng trình (*) có 2 nghi m ph c:
=
−
= −
;
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -13-
=
+
= +
.
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chun S PH C
V y ph ng trình (1) có các nghi m là:
=−
c)
+
Luy n thi
= −
= +
;
i H c 2015
.
− =
t =
. Ph
+V i =
=
+ − = ⇔
ng trình tr thành:
=−
=
= ⇔
=−
+V i =−
=
=− ⇔
=−
=
(1) ⇔
(
−
)(
+
+V i =−
+ = ⇔
ng 2:
=−
=− =
= ⇔
= =
(
(
=
∈
)+
−
(
+
=− .
=
⇔
∈
= ;
=−
).
= ⇔
−
=
=
=
)
=
+
Nh n xét: H ng 2 t ra nhanh và có k thu t
+ Xét ph ng trình = −
=− =
(− ) = (
−
)
−
−
⇔
=−
V y ph ng trình có các nghi m là
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -14-
−
c s c h n.
=
=
+
⇔
=−
Ta có:
.
=
+ Xét ph ng trình =
H ng 1: G i = +
H
=−
;
=−
=− ⇔
Lúc ó:
=
=
⇔
=−
V y ph ng trình có các nghi m là
e) + =
Cách 1:
=− ;
;
=
= ⇔
+V i
)=
=−
=
V y ph ng trình có các nghi m là
d) − = (1)
+
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
=
Cách 2: Bi n
Luy n thi
−
=−
+
+
)−
)(
−
+
)=
+ = ⇔
(
+
+
=
(
i
⇔
+
+
=−
= ⇔
(
+
+
⇔
i H c 2015
−
) −(
)
=
+ =
−
+ =
Nh n xét: So sánh 2 ph ng pháp, d th y cách 1 x lí t t h n, khoa h c h n. Cách 2 mang
tính ch t bi n i khéo léo, là m t ph ng án ch p nh n
c!
f) + =
=
Ph ng trình ⇔ − = ⇔ ( − ) + − = ⇔
+ − =
(
)
Gi i ph ng trình (*): ∆ = + =
Ph ng trình (*) có 2 nghi m ph c:
− +
=
V y ph
=
−
=
;
=
ng trình (1) có các nghi m là:
− −
=
=−
−
−
.
=−
;
−
+ =
g)
ng trình ⇔
Ph
=− =
(− ) = (
−
)
=
=
−
=
Xét
−
.G i
Bài t p 2: Gi i các ph
+( + ) +$ =
(
+
)
Bài gi i:
+( +
a)
+ (, +
)
)
= +
(
∈
ng trình sau trên
+ "( $ −
∈
−
⇔
=−
"
.
) . Ti p t
c bi n
+
i…
:
+
)=
%
%
+% − =
+
+
− =
+$ =
Ph ng trình có bi t th c: ∆ = ( + ) −
= − , = -(− ) = -( −
V y ph ng trình có 2 nghi m ph c:
−( + ) + ( + )
−( + ) − ( + )
=
= +
=
=− − .
b)
+ +% − =
Ph ng trình có bi t th c: ∆ = − % ( % − ) = − ' = ( % −
V y ph ng trình có 2 nghi m ph c:
− +( + )
− −( + )
=
= +
=
=− − .
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -15-
)
)
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
c) ( + )
S PH C
+ (, + ) + " ( $ −
Luy n thi
)=
c: ∆ = ( , + )
Ph ng trình có bi t th
− ( $ − )( +
V y ph ng trình có 2 nghi m ph c:
−( + ) + ( − )
−( + ) − ( −
=
=−
=
(+)
(+)
%
+
t =
c)
Ph
+
. Ph
− =
ng trình tr thành:
−
+
+V i =−
)=−
+
)
)=
−
(
−
−
−%
− =
; =
=( −$
)
.
(*)
) = −% − ,
−
=
−
(
(
)
−
) =−
−
=
=− ⇔
+V i = −
(
−
+
(
ng trình (*) có bi t th c: ∆ =
(*) có 2 nghi m là: =
+
)=−
i H c 2015
=−
= −
=
(
−
)
=
⇔
=−
−
+
V y ph ng trình ã cho có các nghi m: = ; = − ; =
− ; =− +
Bài t p 1: Gi i các ph ng trình sau:
% −"−.
= −
& ( − ) − ( + ) −% =
#
−
G i ý:
a) V i i u ki n ≠ , ph ng trình ã cho t ng
ng v i:
% − " − . = ( − )( − ) ⇔ − ( " + % ) + + . = (1)
Ta có: ∆ = " − % = ( −
=
⇔
Lúc ó:
=
)
" +%+( −
) = "+
" + %−( −
)=
V y ph ng trình có hai nghi m
b) Do − ≠ , nên
(
−
)
−
(
)
+
Ta có: ∆ = ( − "
)
−%= ⇔
Lúc ó:
⇔
=
V y ph
= "+
−
+ ,( +
=
" −
)= =(
+( + )
=
" − −( +
ng trình có hai nghi m
+
(
+
−
+
)=−
=
= +
)
−
.
%
= ⇔
−
+( −"
)
−
(
+
)=
(2)
)
+
=− + .
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -16-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
Bài t p 2: Gi i ph
ng trình sau:
⇔( +
G i ý: Ta có:
Xét ph
+
=
− + "
=
+ "
⇔
=
=
− "
⇔
=
K t lu n: V y ph
Bài t p 3: Gi i ph
G i ý: Do
⇔
+
− + "
=
V i
%
+
)=
+
"
+
+ + =
=−
⇔
%
i H c 2015
(1)
+
+ =
) %(
+ "
)
=
) %(
− "
)
=
! −
+
=
(−
%
+
" =
=
(−
%
−
" =
=
+
+ = ⇔
=
V i
)(
+
%
ng trình (*):
=
%
Luy n thi
$
−
=
−
+ "
− − "
− "
− + "
−
"
"
=− +
%
−
"
+
không là nghi m c a ph
−
"
ng trình ã cho có 5 nghi m:
"
"
−! +
! − −
!
ng trình sau:
+
$
−
=
= ⇔
−
=
− "
"
=− −
=
+ "
−
"
+ + =
(1)
⇔
ng trình (1) nên
+"
−"
)
−( −" )
− +
−( +"
⇔
− ( + " ) − = có ∆ = , + ' = ( " + )
ng trình (2) có 2 nghi m là:
+ " + (" + )
+"
=
= + ! =
%
Gi i (3):
− ( − " ) − = có ∆ = , − ' = ( " − )
Do ó ph ng trình (3) có 2 nghi m là:
− " + (" − )
−"
=
= − ! =
%
K t lu n: V y ph ng trình ã cho có 4 nghi m là:
"
+ +
=
− =
− =
"
Gi i (2):
Do ó ph
= + !
=− +
!
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -17-
− (" +
%
− (" −
%
= − !
) =−
+
)=−
−
=− −
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
Bài t p 4: Gi i ph
G i ý:
t =
Luy n thi
+ " + ' . Lúc ó, ph
−"
+
(
ng trình sau:
= ⇔( −
)(
)
(
+" +' +
)
+" +' −"
= −"
+' = ⇔
+
+" +' = ⇔
K t lu n: V y ph
Bài t p 5: Gi i ph
$
= −" − "
= −" + "
ng trình ã cho có 4 nghi m là:
= − − $! = − + $! = −" − "!
=( +
ng trình sau:
= + ! thay vào ph
(
)(
⇔
$
+' +' = ⇔
G i ý: Gi s
+
=− −
=− +
* * Xét
)
=( +
−
= +
⇔
= − +
−
(1)
ng trình (1) tr thành:
=
+" ) = ⇔
= −"
+" +' = ⇔
=
* Xét
=
i H c 2015
)+ ⇔
( + )(
)
+
(1)
ng trình, ta
−
c:
= + +( − +
+
− −
= −" + "
)
)=
= − +
Gi i h
c(
) = ( " ) ! ( ) = ( − −") .
V y nghi m c a ph ng trình là: = " + ! = − − "
$
Bài t p 6: Gi i ph ng trình sau: +
= , − ' (1)
G i ý: Gi s
! ∈
≠
= +
Khi ó, (1) tr thành:
−
+
suy ra
$( −
+
L#y (1) chia (2) v theo v ta có:
=
= −
) =,−'
"
%
và
(
(
⇔
=
−
+
=
+
) (
$) = ' (
+
+ $ =,
+
+
+
+
th vào (1) gi i
c
=
ho c
)
)
= %.
V i =
= ( lo i ).
V i =%
= " . Ta có s ph c: = % + " .
K t lu n: V y ph ng trình có m t nghi m là = % + " .
L u ý: D ng toán “ Gi i ph ng trình b c ba ( ) = bi t r ng ph ng trình có m t
nghi m th c”
Cách gi i:
B c 1: Gi s ph ng trình có nghi m th c là = ∈ , ta
c ( ) = . Bi n
i h th c trên v d ng
B
c 2:Phân tích
+
=
= ⇔
( )=(
−
=
)(
,t
+
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -18-
ó xác !nh
c
.
)
+# =
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
Luy n thi i H c 2015
T ng t v i d ng toán “ Gi i ph ng trình b c ba ( ) = bi t r ng ph ng trình có
m t nghi m th c”
Bài t p 1: Gi i ph ng trình sau: " − ( " − ) − ( − ) + ' − = (1), bi t r ng ph ng
trình có m t nghi m th c.
G i ý: V i ∈ , ph ng trình (1) t ng
ng v i:
"
−" − + ' =
"
−" − + '+
+ −
= ⇔
⇔ =− .
+ − =
(
Lúc ó, ph
)
ng trình (1) ⇔ ( +
)
− ($ −
)
+,−
= .
T ây, tìm
c các nghi m c a ph ng trình (1) là: = −
= +
= "− .
Bài t p 2: Gi i ph ng trình sau: " − ( − " ) + " ( − ) + - = (1), bi t r ng ph ng
trình có m t nghi m thu n o.
G i ý: Gi s (1) có nghi m thu n o là = ( ≠ ! ∈ ) . Thay vào ph ng trình:
"
( ) −(
⇔
−"
)( )
+ "( −
+' =
−
"
−"
+" +- =
)(
Lúc ó, (1) ⇔ ( + "
)( ) + = −" K
⇔
−
(
"
+' + −
= ⇔
−"
+" +-
)
=
= −"
)
+" = .
T ây, tìm
c các nghi m c a ph ng trình (1) là: = −" = +
= −
BÀI T P T. LUY N:
Bài t p 1: Gi i ph ng trình sau: " + ( − ) + ( − ) − = (1), bi t r ng ph
trình có m t nghi m thu n o.
Bài t p 2: Gi i các ph ng trình sau:
#
− , ( − ) + '" − ' =
& ( − " ) + ( % − ") + − =
−( +
)
+'+" =
(
−
Bài t p 3: Gi i ph ng trình sau: " − $ + " + " + (
trình có m t th c.
Bài t p 4:
a) Tìm các s th c !
có phân tích: " + "
b) Gi i ph ng trình " + " + " − '" =
Bài t p 5:
a) Tìm các s th c ! !
có phân tích:
"
− ( + ) + %( + ) − , = ( −
b) Gi i ph
Bài t p 6: Cho ph
"
( +)
ng trình: ( − ) ( −
ng trình
−
(
−
)
+
)
=
+ %( +
)
(1), bi t r ng ph
−
)=
+
+
(
+
ng
+
).
).
−, =
+
ng
+' −, =
+ " − '" = ( − ")
)(
.
. Xác !nh
ph
ng trình:
a) Có úng m t nghi m ph c.
b) Có úng m t nghi m th c.
c) Có ba nghi m ph c.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -19-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
Luy n thi i H c 2015
"
Bài t p 7: Gi i ph ng trình sau: − ( + ) + % ( + ) − , = (1), bi t r ng ph ng
trình có m t nghi m thu n o.
Bài t p 8: G i ! là hai nghi m c a ph ng trình + + % = . Tính giá tr! c a bi u
th c
=
−"
+
Bài t p 9: G i
th c
=
!
(
.
là hai nghi m c a ph
+
+
+
ng trình
−% +
= . Tính giá tr! c a bi u
.
)
Bài t p 10: Ch ng minh r ng n u ph ng trình
+ + =
ph c α ∉ thì α c"ng là nghi m c a ph ng trình ó.
Bài t p 11: Tìm các s th c !
ph ng trình + + =
1 nghi m.
(
nh n s ph c
TÌM T P H P I/M BI/U DI0N C A S
D NG TỐN:
) có nghi
! ! ∈
m
= + làm
PH C
Ph
ng pháp:
Gi s
= + , thay vào gi thi t, t ó tìm
c m t h th c i v i ! . Suy ra
t p h p các i m bi u di n s ph c c n tìm.
Bài t p 1: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c th a mãn: − + =
G i ý: Gi s
= +
(
Ta có: − +
=( −
)+(
Theo
bài:
− +
)
! ∈
(
có i m
) bi
u di n
trên m t ph ng (Oxy).
)
+
(
= ⇔
) +(
−
)
+
= ⇔( −
) +(
)
+
=
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a là
ng tròn tâm $ ( − ) , bán kính
= .
Bài t p 2: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c th a mãn: + − ≤
G i ý: Gi s
(
= +
Ta có:
+ − =( +
Theo
bài:
! ∈
)
) + (−
−
(
+
) + (−
)
−
≤ ⇔( +
= (không k
c a hình trịn tâm $ ( − − ) , bán kính
= (khơng k
Bài t p 3: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c
bài:
(
! ∈
)+(
+
= +
Ta có: − + = ( −
Theo
trên m t ph ng (Oxy).
− + =
) +(
+
)
≤
= .
+ − < , ta k t lu n nh sau: T p h p các i m bi u di n c a
bài là
là hình trịn tâm $ ( − − ) , bán kính
G i ý: Gi s
u di n
là hình trịn tâm $ ( − − ) , bán kính
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a
Nh n xét: N u
) bi
)
+ − ≤ ⇔
(
có i m
+ −
)
)
có i m
(
) bi
ng trịn ó).
th a mãn:
u di n
− + =
+ −
trên m t ph ng (Oxy).
=( +
+ −
⇔
(
ng trịn ó). Ho c: i m trong
−
) + (− − )
) + ( + ) = ( + ) + (−
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -20-
−
)
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
⇔( −
) +(
PH C
+
Luy n thi
) =(
+
) +(
+
)
⇔
−
⇔ + =
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a
+ +
= +
Ta có:
=
+
(
! ∈
+
)
=
có i m
+
+ =
ng th ng ∆
là
Bài t p 4: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c
G i ý: Gi s
+
(
) bi
+
+ +
+
+
+ = .
−(
th a mãn:
u di n
i H c 2015
)
=%
trên m t ph ng (Oxy).
−
=
Theo
bài:
−(
)
−(
=%
)
=%⇔%
=%⇔
= ⇔
=−
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a
là hai
$ng hyperbol (H1):
=
và (H2):
=− .
Bài t p 5: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c
thu n o.
G i ý: Gi s
Khi ó
= +
+ +"
=
−
=
+
T s b ng
+
+
+
+( −
+
)
≠
(
) bi u di n
+ + ( + ")
−(
+ + +"
=
+( − )
+( − )
+ −"+ ( − + )
là s thu n
−" =
( + ) +( + ) = $
⇔
+( − ) ≠
! ∈
)
có i m
(
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a
là m t
+ +"
là m t s
−
=
sao cho
trên m t ph ng (Oxy).
−
)
o khi và ch khi:
$ng tròn tâm $ ( − − ) , bán kính
= $ , lo i i i m ( 0;1) .
Bài t p 6: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c
G i ý: Gi s
= + ( ! ∈ ) có i m (
Khi ó gi thi t t ng
ng v i
+ −" = −%+
+ + ( − ") =
) bi
th a mãn
u di n
−%−( −
+ −"
= .
−%+
trên m t ph ng (Oxy).
)
⇔ ( + ) + ( − ") = ( − % ) + ( − ) ⇔ " − − =
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a là $ng th ng: " − − = .
Bài t p 7: Tìm t p h p các i m bi u di n c a s ph c
(
! ∈
Cách 1:Khi ó gi thi t t
ng
G i ý: Gi s
= +
)
có i m
(
) bi
th a mãn
u di n
−
+ +
= $.
trên m t ph ng (Oxy).,
ng v i
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -21-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
Luy n thi
⇔
(
−
)
+
+
(
+
)
+
(
−
)
+
−
(
+
)
+
(
+
)
+
(
⇔
−
(
)
−
+
−
=$
(
=$⇔
)
+
+
(
−
)
)
+
=$
+
,
=−
$
+
=
+
+
T (1) và (2) ta có h :
(
(
−
)
+
$
=
−
⇔
(
+
)
+
$
=
+
)
−
+
−
%
$
≤
%
$
≥−
(
)
+
$
,
$
$
,
K t lu n: V y t p h p các i m bi u di n c a
là elip
Cách 2: Gi s
(
(
= +
)
! ∈
có i m
Trong m t ph ng (Oxy) xét các i m
=
(−
=
(
−
+ +
Ta có
Gi thi t
di n
Ta có:
−
) + (− )
) + (− )
−
=
=$⇔
%
%
D NG TỐN:
=-
TÌM S
−
)
+
=
+
)
+
=−
,
$
(
%
−
)
+
(
+
)
+
⇔
−
%
$
$ %
= +
$
=
$
−
$
$
≤ ≤
,
,
=
>
$
−
$
$
≤ ≤
,
,
+
, nên t p h p i m bi u
%
%
bi u di n trên m t ph ng (Oxy).
+
(− )! (
(%)
(
−
= $ vì
+
= $
)
−
(− )! ( ) .
( + ) + = +
(
=
là elip có hai tiêu i m là
=$
=%
i H c 2015
$
+
%
-
).
=
%
−
$
$
≤ ≤
.
,
,
PH C CÓ MÔ UN L1N NH2T, NH3 NH2T
Ph
ng pháp:
Gi s
= + , thay vào gi thi t, t ó tìm
c m t h th c i v i ! . Suy ra
t p h p các i m bi u di n s ph c c n tìm.
B !c 1: Tìm t p h p i m ( & ) các i m bi u di n c a th a mãn i u ki n.
B !c 2: Tìm s ph c t ng ng v i i m bi u di n ∈ ( & ) sao cho kho ng cách
có giá tr! l n nh#t ( ho c nh nh t )
Bài t p 1: Bi t r ng s ph c th a mãn = ( + " − )( + + " ) là m t s th c. Tìm giá
tr! nh nh#t c a
G i ý: Gi s
.
= +
= ( +"−
)(
(
) , ta có:
! ∈
+ +" ) =
+"+( −
=
Theo gi thi t
+
)
+ − ( − ")
+% −% +'+
(
− − %)
∈ ⇔ − −%= .
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -22-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên S PH C
V y t p h p các i m bi u di n c a
i m bi u di n c a
Ta tìm
thì
(−
c
)⇔
c a
⇔
C
=− +
Bài t p 2: Bi t r ng s ph c
$ng th ng '
là
⇔
C
Luy n thi
− − % = . Gi s
i H c 2015
( ) là
⊥'
.
+ −
=
+ −
th a mãn
. Tìm giá tr! nh nh#t và l n nh#t
.
(
= +
G i ý: Gi s
+ −
=
+ −
+ +( −
⇔
) , ta có:
! ∈
)
y
+ −( +
=
)
x
O
⇔( +
) +(
−
)
(
=
(
Gi s
)
$ng tròn tâm $ ( −") ,
) là
i m bi u di n c a
C
= −" +
⇔
C
thì
C#=
= "+
(
!
- 10
⇔
(
!
C
.
C#=
)
)
= −" +
c:
= − "+
Bài t p 3: Trong các s ph c th a mãn i u ki n − − = . Tìm s ph c
nh nh#t.
G i ý:
Cách 1: Nh bài trên.
Cách 2: Gi s
= + ( ! ∈ ) và (
) là i m bi u di n s ph c .
Ta có:
− −
=
tr thành:
(
) +( − ) = %.
) + ( − ) = % có tâm
Mơ un c a s ph c
=
Theo b#t
(
chính là
=( +
+
)
= - + %(
ng th c Bunhiacopski ( ho c cách khác ):
+
+
=$
) ≤ +
-−% $ ≤
bán kính
$
= .
dài c a vect
) +(
(
có mơ un
−
V yt ph p i m
là ( ) ( −
Chuy n ph ng trình $ng tròn v d ng tham s :
= +
t
+
( +
).
= +
Ta có:
M
.
C#=
Tìm
+
I
V y t p h p các i m bi u di n c a là
=
) +(
+ ( + ") =
⇔
bán kính
+
)(
)
)
+
− $≤
+
≤ $
≤ -+% $
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -23-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
Luy n thi
=−
V y
= -−% $ ⇔
C
= −
$
=− $⇔
+
=−
i H c 2015
$
%
= −
$
$
%
$
$
BÀI T P T. LUY N:
=
−
+
−
Bài t p 1: Xác !nh t p h p các i m bi u di n các s ph c
Lúc ó, tìm giá tr! nh nh#t và l n nh#t c a
Bài t p 2: Trong các s ph c
th a mãn:
+"−$
=
− +"
.
.
th a mãn i u ki n
− +" =
Bài t p 4: Trong các s ph c
th a mãn i u ki n
+ −$
=
+"−
mo un nh nh#t.
Bài t p 5: Trong các s ph c
mo un nh nh#t.
th a mãn i u ki n
"
− −% =
. Tìm s ph c
có
mo un nh nh#t.
Bài t p 6: Xét s ph c
th a mãn
a) Tìm
=
b) Tìm
=
−
−
(
−
)
(
∈
. Tìm s ph c
−
có
. Tìm s ph c
có
)
− ≤
.
%
có mo un l n nh#t.
c) Tìm s ph c
D NG TOÁN:
.
M TS
D NG TOÁN V CH NG MINH
Ph
ng pháp:
L i gi i các bài toán v! ch ng minh th ng
c d a trên các tính ch t v! mô un và
liên h p c"a s ph c.
Chú ý r ng: N u các s ph c ! có i m bi u di n t ng ng là A, B thì
=
!
=
Bài t p 1: Gi s
!
=
!
−
là các s ph c khác
G i ý:
Cách 1: D a vào tính ch#t:
Ta có:
=
Cách 2: Xu#t phát t :
=
. Ch ng minh r ng:
=
=
=
=
=
( .p.c.m )
+
=
=
+
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -24-
CLB Giáo viên tr TP Hu
Chuyên
S
PH C
Bài t p 2: Gi s
i m bi u di n t
G i ý:
Ta có:
suy ra:
"
"
+
"
M t khác:
(
+ =
! là các s ph c khác , th a mãn −
ng ng c a ! . Ch ng minh r ng: OAB là tam giác
)(
=( +
=−
Luy n thi
"
"
)
−
=
−
=
)−
+
G i A, B là các
u.
)=
+
"
=
(
=
−
i H c 2015
=−
−
nên
=
=
Suy ra:
=
=
nên
=
=
.
V y OAB là tam giác u ( .p.c.m ).
Bài t p 3: Cho 3 s ph c ! ! " u có mơ un b ng 1. Ch ng minh r ng:
+
G i ý: Vì
"
=
+
"
+
"
+
"
+
"
= nên
"
+
+
"
+
+
=
"
"
+
"
=
"
=
+
+
=
+
+
"
=
"
+
+
"
=
"
+
+
"
Suy ra: + + " =
+ " + " ( .p.c.m ).
Nh n xét: Trong bài gi i trên có s d'ng m t s k t qu sau:
!
=
!
=
Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u s ph c
G i ý:
=
t
(
+
"
+
Ta có:
Ta
Vì
c:
"
=
"
+
≥ !
,
"
+
+ !
=
"
th a mãn
=
+
,
"
≤ - thì
"
+
− ' − - ≤ ⇔ ( − ")
suy ra
(
"
= +
)
+" +" ≤
+ " + " > ! ∀ ∈ , nên (1) ⇔ ≤ ⇔
Bài t p 5: Cho hai s ph c
≤ ".
).
∈
+'
+
≤
"
+
,
"
+' +
≤ -+'
(1)
+
≤
( .p.c.m ).
!
u có mơ un b ng 1. Ch ng minh r ng
.T
ng t
=
+
+
là
m t s th c.
G i ý:
Ta có:
=
=
=
=
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115... -25-
CLB Giáo viên tr TP Hu
