Bộ đề thi thử 2015 môn toán có đáp án

mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 01/50
Thèi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thèi gian giao
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1(4,0 im) Cho hm sậ y =
2x 1
x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Cho hai im A(1; 2) v B(5; 2).Vit phẽng trỡnh tip tuynca (1) cỏch u A, B.
3. Tỡm im M thuẻc (1) cú tng khoÊng cỏch n 2 trctoĐ ẻ Đt giỏ tr nh nhòt.
Cõu 2(4,0 im) GiÊi cỏc phẽng trỡnh
1.
p
2tanx(1 cos x)=
1
cos x
1.
2.
p
4 + ln(x + 1)+x
3
2x
2
+ x 2 = 0.
Cõu 3(1,5 im) Gi S l hỡnh phỉng giểihĐnbi cỏc èng y = x
2
3x + 1; y = 4x + 3. Tớnh th
tớch khậi trũn xoay khi quay S quanh trc honh.

Cõu 4(1,5 im) Gi z
1
, z
2
l hai nghiêmca phẽng trỡnh (1 + i)z
2
2iz 21 + i = 0. Tớnh giỏ tr
ca biuthc A =


z
2
1
z
2
2


.
Cõu 5(1,0 im) Mẻt trũ chẽi quay sậ trỳng thng vểi mõm quay l mẻt ổa trũn ềc chia u thnh
10 ụ v ềc ỏnh sậ tẽng ng t 1 n 10. Ngèi chẽi tham gia băng cỏch quay liờn tip mõm quay
2lản, khi mõm quay dng kim quay chứ tẽng ng vểiụó ềc ỏnh sậ. Ngèi chẽi trỳng thng
nutng ca hai sậ kim quay chứ khi mõm quay dng l mẻtsậ chia ht cho 3. Tớnh xỏc suòt ngèi
chẽi trỳng thng.
Cõu 6(1,5 im) Cho hỡnh lng tr ABC.A
0
B
0
C
0

cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn tĐi A, BC = 2a.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca A
0
lờn mt phỉng (ABC) l trung imcĐnh AB, gúc gia èng thỉng
A
0
C v mt ỏy băng 60
0
. Tớnh th tớch khậilng tr ABC.A
0
B
0
C
0
v khoÊng cỏch tim B nmt
phỉng (AC C
0
A
0
).
Cõu 7(3,5 im)
1. Trong khụng gian vểihê toĐ ẻ Ox yz cho im A(1; 0; 1) v mt phỉng (P) :2x + 2y z 12 = 0.
Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i qua A vuụng gúc vểi (P). Tỡm toĐ ẻ hỡnh chiu vuụng gúc ca
A trờn (P).
2. Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho hỡnh ch nht ABCD cú ứnh A(4; 8).Gi M l im
thuẻc tia BC thoÊ món CM = 2BC, N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn DM. Tỡm toĐ ẻ im B, bit
N(83/13; 1/13)v ứnh C thuẻc èng thỉng 2x + y + 5 = 0.
Cõu 8(1,5 im) GiÊihê phẽng trỡnh
8
<

:
4x xy
2
x
3
=(x
2
+ y
2
4)(
p
x +
p
y 1)
(x y)(x 1)(y 1)(xy + x + y )=4
(x, y 2 R).
Cõu 9(1,5 im) Cho a, b, c l cỏc sậ thác khụng õm thoÊ món a 7. max
{
b, c
}
; a + b + c = 1 .
Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc P = a(b c)
5
+ b(c a)
5
+ c(a b)
5
.
HũT
mathlinks.vn

Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 02/50
Ngy t hi: 25/01/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = 2x
3
3x
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).Gi A, B l 2 imcác tr ca (1). Chng minh răng
tam giỏc AOB vuụng cõn (vểi O l gậctoĐ ẻ).
2. Vit phẽng trỡnh èng thỉng d tip xỳc vểi (1) tĐi im cú honh ẻ x
1
> 0 v ct (1) tĐi im cú
honh ẻ x
2
thoÊ món 2x
1
x
2
= 1.
Cõu 2 (1,0 im).
1. GiÊi phẽng trỡnh log
2
(x
2
1) log
2
(x + 1)

2
=
1
2
log
2
(x 2)
2
.
2. GiÊi phẽng trỡnh 2(1 + sin x)+
p
3cotx = 0.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =

2
R
0
sin 3x
1 + cos x
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
1. Cho sậ phc z thoÊ món (1 + i).z + i.z 1 3i = 0.Vit z
3
dểidĐng lềng giỏc.
2. Tỡm giỏ tr lển nhòt v nh nhòtca hm sậ y =
1
4
x
2
+ ln(x + 1) trờn [0; 2].

Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = a, AC = a
p
3, BC = 2a, SA = SB = SC v tam giỏc
SBC vuụng. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABC v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng SA v BC.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Oxyz cho mt phỉng (P ) : x + y z + 1 = 0 v
èng thỉng d :
x 2
1
=
y 1
1
=
z 1
3
. Tỡm toĐ ẻ giao im I ca d v (P).Vit phẽng trỡnh èng
thỉng d
0
vuụng gúc vểi (P) v ct d tĐi H sao cho IH =
7
p
3
9
.d(H; (P)).
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng toĐ ẻ Ox y cho tam giỏc ABC cú phẽng trỡnh èng phõn giỏc
trong gúc A l y 3 = 0.Gi M(1; 4), N(3; 1) lảnlềt l cỏc im thuẻc cỏc èng thỉng AB, AC. Tỡm
toĐ ẻ cỏc im B, C bit trng tõm tam giỏc ABC l im G

11
3
;

8
3

.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
p
x(3 y)+y 2x = 1
x
2
(
p
x 2y)x =
p
5 2y + 3
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho a, b, c l cỏc sậ thác thoÊ món a, b, c 2
[
0; 2
]
; a + b + c = 3. Tỡm giỏ tr nh nhòt
ca biuthc P =
2
11 a
2
b
2
c

2

a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 5
.
HũT
ng k nhúm 3 hc sinh nhn u ói hc phớ - Chi tittĐi: www.mathlinks.vn
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 03/50
Ngy t hi: 29/01/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
4
2x
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1). Tỡm m phẽng trỡnh x
4
2 x
2
= m cú bận nghiêm
phõn biêt.
2. Vit phẽng trỡnh tip tuyn d ca (1) tip xỳc vểi ( 1) tĐi hai im phõn biêt.

Cõu 2 (1,0 im).
a). GiÊi phẽng trỡnh log
2
(x
2
+ 6x + 1) log
2
p
x
2
+ 1 =
3
2
+ log
2
(x + 1).
b). GiÊi phẽng trỡnh sin

2x

3

cos 2x = 2
p
2cos

x +

4

.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
4
R
0


x
2
7x + 6


dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a). Tỡm sậ phc z thoÊ món
|
z 1 i.z
|
= 1 v z
2
3 l sậ thuản Êo.
b). Cho sậ tá nhiờn n lểnhẽn 2 v khai trin

x
n

nx
2
2

n
= a
0
+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
. Tỡm sậ hĐng cha
x
20
trong khai trin, bit 4a
n
2
2n+2
+ a
n
2
3n+6
= 0.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = 2a, AD = a.Gi M l
trung imcĐnh AB,mt phỉng (SAC) v (SD M) cựng vuụng gúc vểimt ỏy (ABCD).CĐnh bờn SC
tĐovểimt ỏy gúc 60
0
. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABCD v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng CM, SA.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Oxyz cho hai im A(3; 3; 1), B(0; 2; 1) v mt phỉng
(P) : x + y + z 7 = 0.Vit phẽng trỡnh èng thỉng d năm trong (P) v cỏch u hai im A, B. Tỡm

toĐ ẻ im M trờn d tam giỏc MAB cú diên tớch nh nhòt.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng toĐ ẻ Ox y cho hỡnh vuụng ABCD.Gi F l im trờn cĐnh AB thoÊ
món 7BF = 5FA, èng thỉng i qua trung im E cacĐnh AD v trng tõm G ca tam giỏc ABC cú
phẽng trỡnh l 11x 7y + 6 = 0 . Bit F


13
6
;
3
2

v ứnh B cú tung ẻ õm. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh hỡnh
vuụng ABCD.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
(x y +
p
2xy)( y x)x
2
= 1
q
2xy +(y 2x)(x +
p
2xy 4)+
p
y x = 2x +
p

x
.
Cõu 9 (1,0 im). Cho a, b, c l cỏc sậ thácdẽng. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc
P =
(a + b)
3
3
p
2(a + b)(a
2
+ b
2
)
+
(b + c)
3
3
p
2(b + c)(b
2
+ c
2
)
+
(c + a)
3
3
p
2(c + a)(c
2

+ a
2
)
16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca + 1
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 04/50
Ngy t hi: 01/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
(m 1)x m
2
x m
(1),(m 6= 1; m 6= 0).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m èng thỉng y = 2x 1 ct (1) tĐi hai im phõn biêt A, B sao cho tam giỏc OAB cú diên
tớch băng
p
3 (vểi O l gậctoĐ ẻ).
Cõu 2 (1,0 im).
a). GiÊibòt phẽng trỡnh log
2
x log
x
64 < 1.

b). GiÊi phẽng trỡnh cos 4x + 2cosx 3 = 2sin2x(cos x sin x 1).
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
2
R
1
x
2
x + 1
x
.lnxd x.
Cõu 4 (1,0 im).
a). Tỡm nghiêm phcca phẽng trỡnh z
2
i.z = 1.
b). Mẻthẻp áng 10 chicthƠ ềc ỏnh sậ t 0 n 9. Lòy ngđu nhiờn ra 3 chicthƠ, tớnh xỏc 3 ch
sậ trờn 3 thƠ ềclòy ra cú th ghộp thnh mẻtsậ chia ht cho 5.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cĐnh 2a.Gi M, N lảnlềt l trung
imcĐnh AB, AD, H l giao imca CN v DM. Bit SH = 3a v vuụng gúc vểimt ỏy (ABCD).
Tớnh theo a th tớch khậi chúp S.CMAD v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng MD v SC.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Ox yz cho hai im A(0; 2; 1), B(2; 2; 0) v mtcảu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
2y + 2z 2 = 0.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) i qua A, B v tip xỳc vểi (S).
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Oxy cho tam giỏc ABC cú phẽng trỡnh èng phõn
giỏc trong gúc kƠ t A v èng cao kƠ t B lảnlềt l 3x + y = 0; x y 2 = 0. GiÊ sim E(6; 4) l
im ậixng ca B qua C. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh tam giỏc ABC.

Cõu 8 (1,0 im). GiÊibòt phẽng trỡnh (3 +
3
p
7x 6)(4 +
p
7 3x) x
2
+ 4x + 21.
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng thoÊ món x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
= 3. Tỡm giỏ tr nh nhòt
ca biuthc P = 64

x + y
x + y + z + 1

3
+
96z
2

(xyz + 3)
2
+
27
x + y + z
.
HũT
Chi tit: Mathlinks.vn - ng k nhúm 3 hc sinh nhn u ói hc phớ
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 05/50
Ngy t hi: 04/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
3
mx
2
+ mx(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 1.
2. Tỡm m hm sậ (1) Đtcác Đi, các tiutĐi x
1
, x
2
thoÊ món (x
1
x
2
)
2

= 8.
Cõu 2 (1,0 im). GiÊi cỏc phẽng trỡnh
a) cos 2x sin x =
p
3(1 + 2sinx) cos x; b) 8log
9
(2x + 5) log
p
3
(3x 6)
2
+ 4 = 0.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh diên tớch hỡnh phỉng giểihĐnbi cỏc èng y = x
2
+ 4x 3; y = 3x 9.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Cho sậ tá nhiờn n v sậ phc z thoÊ món (2 + 3i)( z + 2z)=2 + 7z. Chng minh w = z
n
+ z
n
l sậ
thác.
b) cú th dá thi vo hê c nhõn s phĐm Toỏn camẻt trèng Đihcs phĐm trèng ra yờu cảubt
buẻc thớ sinh lm bi thi riờng ậivểi mụn Toỏn gm 9 cõu hi trong ú cú 3 cõu hid (gm 1 cõu 2,0
im v 2 cõu 1,0 im); 4 cõu hi trung bỡnh khỏ (mẩi cõu 1,0 im) v 2 cõu hi khú (mẩi cõu 1,0 im).
Thớ sinh Đt yờu cảunu ềc ớt nhòt 8,0 im trong úbt buẻc phÊi hon thnh mẻt cõu hi khú. Hi
cú bao nhiờu cỏch mẻt thớ sinh vềt qua bi thi riờng.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cĐnh 2a,
[
BAD = 60

0
, SA = a. Tam
giỏc SAB vuụng tĐi S v năm trong mt phỉng vuụng gúc vểimt ỏy (ABCD).Gi M, N lảnlềt l
trung imcĐnh AB, BC. Tớnh th tớch khậi chúp S.CDN v cụsin gúc gia hai èng thỉng SM v DN.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê ta ẻ Ox yz cho mt phỉng (P) : x + z 1 = 0; èng thỉng
d :
x 3
1
=
y 4
1
=
z + 8
4
.Gi A l giao imca d v (P), C năm trờn (P) v B năm trờn d sao cho
AB = 3
p
2,
[
AC B = 90
0
,
[
BAC = 30
0
. Tỡm toĐ ẻ im A, C bit B cú honh ẻ dẽng.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho hỡnh ch nht ABCD cú diên tớch băng 16 v
ứnh A(3; 1).Gi M

1

2
;
3
2

l im thuẻc oĐn BD thoÊ món DM = 3BM. èng thỉng CD i qua
im N(1; 1). Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh B, D bit x
D
> 2.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
(x y)
2
= 2y
2
+ 8x + 1
(x 2y)( x y)
2
=(y + 1)
2
2x
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thác thay i thoÊ món (x y)
2
+(y z)
2
+(z x)
2

= 8 v
x
3
+ y
3
+ z
3
= 1. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc P = x
4
+ y
4
+ z
4
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 06/50
Ngy t hi: 08/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
4
2mx
2
+ 2m 1(1 ).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 1.
2. Cho im I

0;

8
5

. Tỡm m (1) cú 3 imcác tr A, B, C v IA = IB = IC.
Cõu 2 (1,0 im). GiÊi cỏc phẽng trỡnh
a) tan x.cot

x +

4

= 1 tan x; b) 6
2xx
2
+ 2 = 2
2xx
2
+ 2.3
2xx
2
.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
6
R
3
x +
p
x 2
x 2
dx.

Cõu 4 (1,0 im).
a) Tỡm cpsậ thác (x; y) thoÊ món (x yi 1)
2
= 1.
b) Xp ngđu nhiờn 4 hc sinh Nam v 4 hc sinh N thnh mẻt hng dc. Tớnh xỏc suòt hc sinh Nam
v N ng xen k nhau.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú AD = CD = a, AB = 2a,
[
BAD =
[
ADC = 90
0
.CĐnh bờn
SA = 3a v vuụng gúc vểimt phỉng (ABCD).Gi I l giao imca AC v BD. Tớnh th tớch khậi chúp
S.ABC v khoÊng cỏch t I nmt phỉng (SC D ).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Ox yz cho hai im A(1; 1; 2) v B(1; 1; 1), èng
thỉng d :
x 1
1
=
y 1
1
=
z + 1
1
.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) cha AB v song song vểi d. Tớnh
khoÊng cỏch t d nmt phỉng (P).
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho èng thỉng d :6x + 8y + 11 = 0.Vit
phẽng trỡnh èng trũn (T) cú tõm I bỏn kớnh băng
p

2 v ct Ox, Oy, d lảnlềt theo cỏc oĐnthỉng
AB, CD, MN thoÊ món S
IMN
= 1; AB = CD(x
I
> 0).
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
>
>
<
>
>
:
x(x +
p
(x y)(x 2y)) =
q
y(y + 3)
2
12x + y + 7(
p
y(x y)+
p
y(x 2y)) = 8
s
(y + 3)
2
y
.

Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thác thoÊ món x
2
+ y
2
+ z
2
= 2. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc
P =
1
|
x y
|
+ 2
+
1
|
y z
|
+ 2
+
1
|
z x
|
+ 2
+
1
p
xy + yz + zx + 2
.

HũT
Hotline: 0976 266 202 - ng k nhúm 3 hc sinh nhn u ói hc phớ
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 07/50
Ngy t hi: 11/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
3
(m + 2)x
2
+(2m + 1)x 1(1) .
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 1.
2. Gi A l giao imca (1) vểi Oy.Vit phẽng trỡnh tip tuynca (1) tĐi A v cỏch im B(1; 2) mẻt
khoÊng băng
p
2.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
log
x
y = log
y
p
xy
x y = 3(xy 1)

2
.
b) Tỡm m > 1 giỏ tr lển nhòtca hm sậ y =
2x + m
p
x
2
+ 1
trờn oĐn [0; 2] băng 4.
Cõu 3 (1,0 im). Gi S l hỡnh phỉng giểihĐnbi cỏc èng y =
1
3
p
e
x
+ 2
; y = 0; x = 0; x = 3ln2. Tớnh
th tớch khậi trũn xoay sinh ra khi quay S quanh trc honh.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Trong cỏc sậ phc z thoÊ món
|
z
|
= 1. Tỡm sậ phc z
|
1 + z
|
+ 3
|
1 z

|
Đt giỏ tr lển nhòt.
b) Cho tp A gm n phảnt phõn biêt trong ú cú phảnt x.Gi S l tphềp cỏc tp con ca A. Tớnh sậ
phảnt ca S,lòy ra ngđu nhiờn mẻt phảnt t S tớnh xỏc suòt phảntú cú cha x.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a,
[
BAC = 120
0
.Gi I l trung imcĐnh AB,
hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phỉng (ABC) l trung imca oĐn CI; gúc gia SA v mt ỏy
băng 60
0
. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABC v khoÊng cỏch tim A nmt phỉng (SBC).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê trctoĐ ẻ Oxyz cho hai im A(3; 2; 3), B(5; 10; 1) v
mt phỉng (P) :2x + y + 2z 1 = 0. Chng minh A, B năm khỏc phớa vểimt phỉng (P). Tỡm toĐ ẻ
im M thuẻc (P) sao cho MA + MB = 4
p
14.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho tam giỏc ABC cú B

21
5
;
3
5

. Phẽng trỡnh
tip tuyntĐi A ca èng trũn ngoĐi tip tam giỏc ABC l x + 2y 7 = 0. èng phõn giỏc ngoi ca
gúc A ct BC kộo di tĐi im E(9; 3). Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh A, C bit A cú tung ẻ dẽng.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊibòt phẽng trỡnh (x 3 +

p
2 x)
3
+
p
2 x +
3
p
2x 1 + 3x 4.
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thác thoÊ món x + y + z = 0. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc
P = 3
|
cos x
|
+ 3
|
cos y
|
+ 3
|
cos z
|
3. max
{|
cos x
|
,
|
cos y
|

,
|
cos z
|}
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 08/50
Ngy t hi: 15/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
x + 1
2x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Cho im I

1
2
;
1
2

.Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i qua I v ct (1) theo mẻt oĐnthỉng cú ẻ
di nh nhòt.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊibòt phẽng trỡnh log
6

(2
2x+1
9
x
) x.
b) Tỡm giỏ tr lển nhòt v nh nhòtca hm sậ y = ln(1 + x) x
x
2
2
trờn oĐn [0; 1].
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
5
R
0




x
2
4x + 3


x 3


dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Tỡm tphềp im biu dinsậ phc z thoÊ món
z + 2i

z 2i
+
z 2i
z + 2i
= 0.
b) Cú hai hẻp áng bỳt, hẻpth nhòt áng 4 bỳt en v 6 bỳt xanh; hẻpth hai áng 5 bỳt en v 8 bỳt
xanh. T mẩihẻplòy ngđu nhiờn ra hai chic bỳt, tớnh xỏc suòt lòy ềc hai cp bỳt khỏc mu.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hẻp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = AA
0
=
2a. Hỡnh chiu vuụng gúc ca A
0
trờn mt phỉng (ABCD) l trung im oĐnthỉng BC. Tớnh th tớch
khậihẻp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng AB

0
v BD
0
.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Oxyz cho hai im A(1; 1; 2), B(1; 1; 11) v èng
thỉng d :
x + 3
2
=
y + 1
2
=
z 1
1
. Chng minh d v AB chộo nhau. Tỡm toĐ ẻ im M trờn d sao cho
MA = MB.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tĐi A,nẻi tip èng trũn
(C) : x
2
+(y 5)
2
= 50. GiÊ s A(5; 10) v èng cao kƠ t C ca tam giỏc ABC ct èng trũn (C)
tĐi imth hai N


17
5
;
6
5

. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh B, C.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊi phẽng trỡnh
p
x +
p
8x 2x
2
2 = 3
s
x(x + 1)
2
6x x
2
1
.
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biuthc
P =
x
p
y
2
+ yz + z
2
+
y
p
z
2
+ zx + x

2
+
z
p
x
2
+ xy + y
2

x + y + z
x + y + z +
p
xy + yz + zx
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 09/50
Ngy t hi: 16/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
x
4
4
(m + 2)x
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m (1) cú ba imcác tr unăm trờn cỏc trctoĐ ẻ.

Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh (1 2cos5x)(2cos2x + 1)=2cosx.
b) GiÊi phẽng trỡnh xln
2
x (3x 1) ln x + 2x 2 = 0.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =

2
R
0
sin x
cos x +
p
4 3cosx
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Gi z
1
, z
2
l hai nghiêmca phẽng trỡnh z
2
2
p
3z + 4 = 0. Tớnh A = z
4
1
+ z
4
2

.
b) Cho sậ tá nhiờn (n 2) v khai trin (x + 1 )
n
(x + 2)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n+1
x
n+1
. Tỡm n bit
răng cỏc sậ a
2
7n; na
n
; a
n2
theo th tá lp thnh mẻtcòpsậ cẻng.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú AB = BC = a, AD = 2a,
[
ABC =
[
DAB = 90
0
. Tam giỏc

SAC cõn tĐi S v năm trong mt phỉng vuụng gúc vểimt ỏy (ABCD).CĐnh bờn SB tĐovểimt ỏy gúc
30
0
.Gi M l im thuẻc oĐn SA thoÊ món AM = 2SM. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABCD v khoÊng
cỏch t M nmt phỉng (SC D).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi trctoĐ ẻ Ox yz cho im A(2; 2; 1) v hai èng thỉng
d
1
:
x 1
1
=
y + 1
4
=
z 1
1
; d
2
:
x 3
1
=
y
2
=
z + 1
2
.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) song song vểi
d

1
, d
2
v cỏch im A mẻt khoÊng băng 3.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Ox y cho èng trũn (C) : x
2
+ y
2
= 9. èng trũn
(T) cú tõm I, bỏn kớnh băng 4 v (C) ct (T) tĐi hai im phõn biêt A, B sao cho t giỏc OAIB cú diên
tớch băng 12 ( vểi O l gậctoĐ ẻ). Vit phẽng trỡnh èng trũn (T), bit I năm trờn èng thỉng
d : x 2y + 2 = 0.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
x
3
2y
2
= 16
y
3
(3x + 2)y
2
+ 3x
2
y = 2(x
2
+ 4)

(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho a, b l hai sậ thácdẽng phõn biêt thoÊ món ab > 1. Tỡm giỏ tr nh nhòtca biu
thc P =
(a + b)
2
(ab 1)(a b)
2

16
(a + b)
2
(ab 1)
+ 2
p
a + b.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 10/50
Ngy t hi: 17/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
3
(m + 2)x
2
+(2m + 1)x + 2(1) .
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m (1) Đtcác ĐitĐi im x
1

, Đtcác tiutĐi im x
2
sao cho x
2
1
x
2
= 1.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh log
18
(3
x
+ 2)=
1 x
2 + log
3
2
.
b) GiÊi phẽng trỡnh sin 2x.sin

x
3
2

= 1 + sin x + tan x.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
2
R
1

2x
1
x

ln
2
xdx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Tỡm cỏc sậ thác a, b, c sao cho hai phẽng trỡnh az
2
+ bz + c = 0; cz
2
+ bz + a + 16 16i = 0 (ân z) cú
nghiêm chung l 1 + 2i.
b) Cho n l sậ tá nhiờn thoÊ món C
2
n
+ A
2
n
= n
2
+ 35. Tỡm sậ hĐng khụng cha x trong khai trin

x
2

2
x

3

n
.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hẻp ch nht ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cú th tớch băng 1. Gi M, N, P lảnlềt l trung
im cỏc oĐnthỉng AA
0
, CD, A
0
D . Tớnh th tớch khậit diên BMNP v giỏ tr lển nhòtca khoÊng cỏch
gia hai èng thỉng CM v A
0
N.
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê trctoĐ ẻ Oxyz cho ba im A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(1; 2; 3).
Vit phẽng trỡnh mt phỉng i qua ba im A, B, C. Tỡm im D trờn tia Oz sao cho t diên ABCD cú
th tớch băng 2.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú AC = 2BC phẽng
trỡnh èng chộo AC l
p
3x y
p
3 = 0.Gi G l trng tõm ca tam giỏc ACD v H

3;
2
p
3

l trác
tõm tam giỏc ABG.Vit phẽng trỡnh èng thỉng AD.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
>
>
<
>
>
:
x
r
y + 1
x + 1
+ y
s
x + 1
y + 1
=
x + y + 2xy
2
x
2
+ y

2
3xy + 5y = 4
p
x(
p
5y 1
p
x)
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng thoÊ món x
2
+ 8y
2
+ 8z
2
= 20. Tỡm giỏ tr lển nhòtca
biuthc P =
2x
2
x
2
(4 yz)+8
+
y + z
x + y + z + 1

x
2
+(y + z)
2

100
.
HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 11/50
Ngy t hi: 25/02/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y =
x 2
x 1
(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1).
2. Tỡm k èng thỉng y = k(x 3) ct (1) tĐi hai im phõn biêt cú honh ẻ lển hẽn 1.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh 3
x
2
.4
x
2x 1
= 12.
b) Tỡm giỏ tr nh nhòt ca hm sậ y =
|
x
|
+

x
2
2
x + 2




.
Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =

2
R
0
cos
3
x
cos
4
x 3cos
2
x + 3
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Gi x
1
, x
2

l hai nghiêm phc ca phẽng trỡnh 2x
2
2x + 1 = 0. Tớnh A =





1
x
2
1

1
x
2
2





.
b) Cho tp X =
{
0, 1, 3, 4, 5
}
. Hi t X cú th lp ềc bao nhiờu sậ tá nhiờn gm 5 ch sậ v chia ht
cho 4?
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh hẻp ABCD.A

0
B
0
C
0
D
0
cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = 2a, BC = a. Gi
O l giao im ca AC v BD, M l mẻt im t huẻc cĐnh AD. Gúc gia cĐnh bờn v mt ỏy băng 60
0
v
A
0
O?(ABCD). Tớnh th tớch khậi t diên A
0
AOB v khoÊng cỏch t im M n mt phỉng (A
0
BC).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểi hê trc toĐ ẻ Ox yz cho hai èng thỉng d
1
:
x 1
1
=
y 1
2
=
z 1
2
; d

2
:
x
1
=
y + 1
2
=
z 3
2
. Tỡm toĐ ẻ giao im I ca d
1
, d
2
. Vit phẽng trỡnh èng thỉng d i
qua im M(0; 1; 2) v ct d
1
, d
2
lản lềt tĐi A, B khỏc I sao cho AI = AB.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trc toĐ ẻ Ox y cho hỡnh ch nht ABCD cú B(1; 5). Gi
E

3
5
;
9
5

l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BD, G

1;
19
4

l im thuẻc oĐn CD thoÊ món
[
EC D =
[
CBG. Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh hỡnh ch nht ABCD bit C cú honh ẻ nguyờn.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊi hê phẽng trỡnh
8
<
:
(x y 1)
p
2(3 y
2
)=xy + 2
y
p
5 x
2
= x y 4
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thác khụng õm thoÊ món max
{|
x y
|
;

|
y z
|
;
|
z x
|}
2 v
xy + yz + zx = 2. Tỡm giỏ tr lển nhòt ca biu thc
P =(
|
x y
|
+ 1)(
|
y z
|
+ 1)(
|
z x
|
+ 1)
q
x
2
+ y
2
+ z
2
.

HũT
mathlinks.vn
Khoỏ giÊi THPT Quậc Gia - Thảy: ng Thnh Nam
Mụn: Toỏn; ú Sằ 13/50
Ngy t hi: 04/03/2015
Thèi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thèi gian phỏt )
Liờn hê ng k khoỏ hc: Hotline: 0976 266 202 - Chi tit: www.mathlinks.vn
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm sậ y = x
4
2mx
2
+ 1(1).
1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ (1) vểi m = 2.
2. Tỡm m (1) ct èng thỉng y = 3 tĐibận im phõn biêt cú honh ẻ nh hẽn 2.
Cõu 2 (1,0 im).
a) GiÊi phẽng trỡnh cos 5x + 2sin
2
x = 1.
b) GiÊi phẽng trỡnh
1
log
3
x + 2
+
2
2log
3
x + 1
= 1.

Cõu 3 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =
1
R
0
(x 1)
2
+ 1
(x + 1)
2
dx.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Cho sậ phc z thoÊ món z 3i +(4 2i).z = 12 4i. Tớnh mụ un casậ phc w =
1 + i + z
z
2
.
b) Gi M l tphềp cỏc sậ tá nhiờn gm 4 ch sậ khỏc nhau. Chn ngđu nhiờn mẻtsậ t M, tớnh xỏc suòt
chn ềcmẻtsậ m ch sậ ng sau lểnhẽn ch sậ ng lin trểc.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng cĐnh 2a v cĐnh bờn SA vuụng gúc vểi
mt ỏy (ABCD).Gi E, F lảnlềt l trung im AD, CD.Mt phỉng (SEF) tĐovểimt phỉng (ABCD)
gúc 60
0
. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABCD v khoÊng cỏch tim B nmt phỉng (SEF).
Cõu 6 (1,0 im). Trong khụng gian vểihê trctoĐ ẻ Ox yz cho 3 im A( 3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3).
Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mtcảu (S) ngoĐi tipt diên OABC.Vit phẽng trỡnh mt phỉng (P) tip
xỳc vểi (S) tĐi A.
Cõu 7 (1,0 im). Trong mt phỉng vểi trctoĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú diên tớch băng 16
v M(4; 7) l trung imcĐnh BC. èng trũn ngoĐi tip tam giỏc CDM ct èng thỉng AC tĐi im
F(
6

5
;
13
5
). Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh A, B, C, D bit ứnh D năm trờn èng thỉng x + y 3 = 0 v ứnh C cú
honh ẻ l sậ nguyờn dẽng.
Cõu 8 (1,0 im). GiÊihê phẽng trỡnh
8
<
:
x
2
2y
2
3x + 6y = 2y
p
x 1
(2
p
3y)(
p
x + y + 1 +
p
x + y)=1
(x, y 2 R).
Cõu 9 (1,0 im). Cho x, y, z l cỏc sậ thácdẽng thoÊ món (x + y)
2
+ 4x
2
y

2
+ 1 =(2z
2
+ 1)
2
. Tỡm giỏ
tr nh nhòtca biuthc P =
16x
3
(y + z)
3
+
16 y
3
(x + z)
3
+ 3.
xy + 1
z
2
+ 1
.
HũT
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%1/9%
B4"C)1%D%)>E)F!GF)H=I9)J%K)L)F4MN()/O&1)F4P&4)QK6)
RS&()F"C&T)/U)VW)*XYZ*)
F4[%)1%K&)$P6)\P%()X]*)@4^#_)24S&1)2`)#4[%)1%K&)1%K")>E)

)
a%b&)4c)>0&1)23)24"C)489)L)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
de=)Xfg_*)>%`6h)Cho%hàm%số%

y =
2x −1
x −1
(1)
.%
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
de=).fg_*)>%`6h%Giải%các%phương%trình%%
1.

2 tan x (1− cos x ) =
1
cos x
−1
.%
2.

4 + ln(x +1) + x
3
− 2x
2
+ x − 2 = 0
.%%%
de=)7fX_Z)>%`6h%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường%

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
de=)gfX_Z)>%`6h%Gọi%

z
1
,z
2
%là%hai%nghiệm%của%phương%trình%

(1+ i)z
2
− 2iz −21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%
de=)ZfX_*)>%`6h%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người% chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%
chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%

de=)-fX_Z)>%`6h)Cho% hình%lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vuông% cân% tại% A,%

BC = 2a
.%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung% điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%60
0
.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
de=),f7_Z)>%`6h))
1. Trong% không% gian% với% hệ% toạ% độ% Oxyz% cho% điểm% A(1;0;Ç1)% và% mặt% phẳng%

(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0
.%Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vuông%góc%với%(P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%là%
điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn%

CM = 2BC
,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết%

N (83/13;−1/13)
và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng%

2x + y + 5 = 0
.%%%
de=)]fX_Z)>%`6h%Giải%hệ%phương%trình

4x − xy
2

− x
3
= (x
2
+ y
2
− 4)( x + y −1)
(x − y)(x −1)(y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.%
de=)+fX_Z)>%`6h)Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn%

a ≥7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
.%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức%

P = a(b −c )
5
+ b(c −a)
5
+ c (a −b)

5
.%
%
iii!jFiii)
)
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%2/9%
/BC)BD)E)F!GDH)/IJK)E)LMD!)NOPD)/Q)*RST*)
F4U&1)>%V6)#<W&1)X&1()) )
YZ=)R()R[R\.]*)>%V6^_)R[.)`a)R[7)6b%)3)R]*)>%V6)
YZ=).().[R)`a).[.)6b%)3).]*)>%V6)
YZ=),(),[R\.]*)>%V6^_),[.\R]T)>%V6^)
YZ=)R\c]*)>%V6^)Cho%hàm%số%

y =
2x −1
x −1
(1)
.%
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
1. Học%sinh%tự%làm.%
2. Đường%thẳng%AB%có%pt%là%

y = 2
;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).%
Giả%sử%tiếp%điểm%

M (m;
2m −1
m −1
),m ≠ 1
.Tiếp%tuyến%có%dạng:%

y = −
1
(m −1)
2
(x − m) +
2m −1
m −1
.%
Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:%
+%Nếu%d//AB%khi%đó%

k
d
= k
AB
⇔ −
1
(m −1)
2
= 0
(vô%nghiệm).%
+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó%

2 = −

1
(m −1)
2
(3− m) +
2m −1
m −1
⇔ m −2 = 0 ⇔ m = 2
.%
Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là%

y = −x + 5
.%%%%
3. Giả%sử%

M (m;
2m −1
m −1
),m ≠ 1
.%Khi%đó%

d(M ;Ox ) =
2m −1
m −1
;d(M ;Oy) = m
.%
Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức%

P =
2m −1
m −1

+ m
.%
+%Nếu%

m >
1
2
⇒ P > m >
1
2
.%
+%Nếu%

m < 0 ⇒ P >
2m −1
m −1
>1
.%
+%Nếu%

0 ≤ m ≤
1
2
⇒ P =
2m −1
m −1
+ m =
m
2
+ m −1

m −1
=
(2m −1)(m +1)
2(m −1)
+
1
2
≥
1
2
.%
So%sánh%có%giá%trị%nhỏ%nhất%bằng%½.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%

m =
1
2
⇒ M
1
2
;0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
.%%%%%
Vậy%điểm%cần%tìm%là%

M 1/ 2;0
( )
.%
YZ=).\c]*)>%V6^%Giải%các%phương%trình%%
1.

2 tan x (1− cos x ) =
1
cos x
−1
.%
2.

4 + ln(x +1) + x
3
− 2x
2
+ x − 2 = 0
.%%%
1. Điều%kiện:%

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
2
+ k 2π

.%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%3/9%
Phương%trình%tương%đương%với:

2 sin x (1− cos x )
cos x
=
1− cos x
cos x
.%
%

⇔ (1− cos x )( 2 sin x −1) = 0 ⇔
cos x = 1
sin x =
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = k2π
x =
π
4

+ k 2π
x =
3π
4
+ k 2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.%%
Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là%

x = k2π;x =
π
4
+ k 2π;x =
3π
4
+ k 2π,k ∈ !
.%%%
2. Điều%kiện:%

x > −1

ln(x +1)+ 4 ≥ 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ x ≥−1+ e
−4
.%
Phương%trình%tương%đương%với:%

4 + ln(x +1) + x(x −1)
2
− 2 = 0
.%
+%Nếu%

x > 0
khi%đó%

VT > 4 + ln(x +1) −2 > 0
,%pt%vô%nghiệm.%
+%Nếu%

x < 0
%khi%đó%

VT < 4 + ln(x +1) −2 < 0

,%pt%vô%nghiệm.%%%%
Nhận%thấy%

x = 0
%thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

x = 0
.%
B4C)3D%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%%
BE=)7FGHI)>%J6K%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường%

y = x
2
− 3x +1; y = −4x + 3
.%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
Phương%trình%hoành%độ%giao%điểm:%

x
2
−3x +1 = −4x + 3 ⇔ x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = −2
x = 1
⎡
⎣
⎢
⎢
.%

Vì%vậy%%

V = π (x
2
−3x +1)
2
−(−4x + 3)
2
dx
−2
1
∫
= π (x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4) dx
−2
1
∫
= π −(x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4)dx
−2
7− 33
2
∫
+
(x −1)(x + 2)(x
2
−7x + 4)dx
7− 33

2
1
∫
=
7856
15
−
847 33
10
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
π
.%%%
B4C)3D%Thể%tích%khối%tròn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số%

y = f (x); y = g(x)
và%các%đường%thẳng%

x = a;x = b(a < b)
được%tính%theo%công%thức%
%

V = π f
2
(x )− g
2
(x ) dx
a
b
∫
.%
Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%

V = π ( f (x)− g(x ))
2
dx
a
b
∫
.%Các%em%
cần%chú%ý.%%%%%
BE=)LFGHI)>%J6K%Gọi%

z
1
,z
2
%là%hai%nghiệm%của%phương%trình%

(1+ i)z
2
− 2iz −21+ i = 0
.%Tính%

A = z
1
2
− z
2
2
.%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%4/9%
Ta%có%

Δ' = i
2
−(1+ i )(−21+ i ) = 21+ 20i = (5+ 2i )
2
.%
Suy%ra%

z = −3+ 2i; z = 4−i
.%
Vì%vậy%

A = (−3+ 2i )

2
− (4 −i )
2
= (5−12i)−(15−8i ) = 10+ 4i = 2 29
.%%%%
B4C)3D%Một%số%học%sinh%tính%toán%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%toán%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.%
BE=)FGHI*)>%J6K%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%
hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trò%chơi%là%

10.10 = 100
.%%
+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%
Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%
(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%
(%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:%
+%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.%
+%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.%
Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là%
9+24=33%cách.%
Vậy%xác%suất%cần%tính%là%

P = 33/100 = 0,33
.%%%
B4C)3D%Có%thể%giải%bằng%cách%liệt%kê%số%phần%tử.%Xem%thêm%bình%luận%cuối%đề.%%
BE=)-GHIF)>%J6K)Cho%hình%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%có%đáy%ABC%là%tam%giác%vuông%cân%tại%A,%

BC = 2a
.%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%60
0
.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
%
Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%

A' H ⊥ (ABC )
.%
Tam%giác%ABC%vuông%cân%tại%A,%suy%ra%

AB = AC = a 2
.%
Tam%giác%AHC%vuông%có:%
%

HC = AC
2
+ AH
2
= 2a
2
+
a
2
2
=
a 10

2
.%%
Có%HC%là%hình%chiếu%của%A’C%trên%(ABC)%nên%

A'CH
!
= 60
0
.%
Suy%ra%

A' H = HC.tan 60
0
=
a 30
2
.%
Vì%vậy%

V
ABC .A'B 'C
= A' H .S
ABC
=
a 30
2
.
1
2
.(a 2)

2
=
a
3
30
2
(đvtt).%%%%
Kẻ%HK%vuông%góc%với%AA’%tại%K%có%

AC ⊥ (ABB ' A ') ⇒ AC ⊥ HK
.%
Suy%ra%

HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d (H ;(ACC ' A'))
.%
Ta%có%

1
HK
2
=
1
AH
2
+
1
A' H
2
=
2

a
2
+
2
15a
2
⇒ HK =
a 30
8
.%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%5/9%
Vì%vậy%

d (B;(ACC ' A')) =
BA
HA
.d(H ;(ACC ' A')) = 2HK =
a 30
4
.%%%%%
BC=),D7EF)>%G6H))
1. Trong%không%gian%với%hệ%toạ%độ%Oxyz%cho%điểm%A(1;0;Ç1)%và%mặt%phẳng%

(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0
.%Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vuông%góc%với%(P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%hệ%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%
là%điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn%

CM = 2BC
,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết%

N 83/13;−1/13
( )
và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng%

2x + y + 5 = 0
.%%%%%%
1. Đường%thẳng%d%vuông%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt%

n
!
= (2;2;−1)
%của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ%
phương.%%Vì%vậy%

d :
x = 1+ 2t
y = 2t
z = −1−t
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
(t ∈ !)
.%
Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:%
%

2(1+ 2t )+ 2.2t −(−1−t )−12 = 0 ⇔ 9t −9 = 0 ⇔ t = 1
.%
Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).%
%
2.%Gọi%

C (t;−2t −5)
.%Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là%
trung%điểm%của%AC%và%BD.%
Do%đó%

I
t −4
2
;
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.%Tam%giác%BDN%vuông%tại%N%có%I%là%trung%
điểm%BD%nên%

IN =
BD
2
= IB = IA
.%
Ta%có%pt:%

83
13
−
t −4
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ −
1
13
−
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
= −4 −
t −4
2
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 8 −
−2t + 3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⇔ t = 1
.%
Suy%ra%

I −
3
2
;
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
;C (1;−7)
.%
Gọi%B(a;b)%ta%có%

CM
! "!!
= 2BC
! "!!
= 2(1− a;−7− b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b)
.%
Ta%có%

BN
! "!!
=
83−13a
13
;−
1+13b
13
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
,MN
! "!!!
=
44 + 26a
13
;
272+ 26b
13
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.%
Do%BN%vuông%góc%với%MN%nên:%

BN
! "!!
.MN
! "!!!
= 0 ⇔ (83−13a)(44 + 26a)−(1+13b)(272+ 26b) = 0 (1)
.%
Mặt%khác:%

IB
2
= IC
2
=
125
2
⇔ a +

3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ b −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

2
=
125
2
(2)
.%%%%%%%%
Từ%(1)%và%(2)%ta%có:%
%

a
2
+ b
2
+ 3a −b = 60
13(a
2
+ b
2
)−61a +137b −130 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
2a −3b = 13
a
2

+ b
2
+ 3a −b = 60
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
a = −4,b = −7
a =
83
13
,b = −
1
13
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.%
Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%6/9%
BC=)DEFGH)>%I6J%Giải%hệ%phương%trình

4x − xy
2
− x
3
= (x
2
+ y
2
− 4)( x + y −1)
(x − y)(x −1)(y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.%
Điều%kiện:%

x ≥ 0; y ≥1
.%
Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:%
%

( x + y −1 + x )(x
2
+ y
2

− 4) = 0 ⇔
x + x + y −1 = 0
x
2
+ y
2
= 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.%
+%Với%

x + x + y −1 = 0 ⇔
x = 0
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).%
+%Với%

x
2

+ y
2
= 4
%ta%có%hệ%phương%trình%

x
2
+ y
2
= 4
(x − y)(x −1)(y −1)(xy + x + y) = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(1)
.%
%
Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:%
%

( y
2
−1)x
3
−( y
3

−1)x
2
+ y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ ( y
2
−1)x
2
−( y
3
−1)(4− y
2
) + y
3
− y
2
− 4 = 0
⇔ ( y
2
−1)x
3
+ y
2
( y − 2)( y +1)
2
= 0
⇔ ( y

2
−1)(4− y
2
)x + y
2
( y − 2)( y +1)
2
= 0
⇔ ( y +1)( y −2) y
2
( y +1)− (y −1)( y + 2)x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 0
⇔
y = −1(l)
y = 2(t / m) ⇒ x = 0
y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2)x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
.%
Ta%xét%phương%trình:%

y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y
2
( y +1) = ( y −1)( y + 2) 4− y
2
.%
Mặt%khác:

1 ≤ y ≤ 2
%suy%ra%:%%
%

y
2
= y
2
+ y −2 + (2− y) ≥ y
2
+ y −2;
y +1= y
2
+ 2y +1 = (4− y
2
) + (2y
2

+ 2y−3) > 4− y
2
.%
Suy%ra%

VT >VP
.Tức%phương%trình%trên%vô%nghiệm.%%%
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

(x; y) = (0;2)
.%%
B4K)3L)MN)95)#4I)1%O%)EFJ)PQ&1).)9R94)24R9):N=()
BR94).(%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:%

(x − y)(x −1) ≥ 0
.%
Khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
%

VT = (y −1) (xy + x + y)(x
2
− xy − x + y)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
≤
( y −1)(x

2
+ 2y)
2
4
=
( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
=
4( y −1)
2
.(5−( y −1)
2
)
4
8
≤
4( y −1)
2
+ 4(5−(y −1)
2
)
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
5
8
= 4
.%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))
Page%7/9%
Đẳng%thức%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi%

4( y −1)
2
= 5−( y −1)
2
x
2
− xy − x + y = xy + x + y
x
2
+ y
2
= 4
⎧
⎨

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ x = 0; y = 2
.%%
Chú)ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh%

( y −1)(4− y
2
+ 2y)
2
4
≤ 4
bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc%
hàm%số.%%%
Cách)3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:%

(x − y)(x −1) ≥ 0 ⇔
x ≥ y ≥1
x ≤1≤ y
⎡
⎣
⎢
⎢

.%
TH1:%Nếu%

x ≥ y ≥1
%khi%đó%sử%dụng%AM%–GM%ta%có:%

(x − y)(y −1) ≤
x − y + y −1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
(x −1)
2
4
.%
Suy%ra%

P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤

(x −1)
3
4
(xy + x + y)
.%
Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:%

(x − y)
2
+ ( y −1)
2
≥
1
2
(x −1)
2
⇒
3
2
(x −1)
2
≤ (x −1)
2
+ (x − y)
2
+ ( y −1)
2
= 10− 2(x + y + xy)
⇒ (x −1)
2

≤
4
3
(5− xy − x − y)
.%
Đặt%

t = x + y + xy ≤ x
2
+ y
2
+1 = 5 ⇒ t ∈ 3;5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.%
Khi%đó%

P
2
≤
(x −1)
6
16
(xy + x + y)
2
≤.

4
3
3
3
(5−t )
3
16
t
2
=
4t
2
(5−t )
3
27
.%
Xét%hàm%số%

f (t ) =
4t
2
(5−t )
3
27
%trên%đoạn%[3;5]%ta%có:%

f '(t ) = −
20t(t − 2)(t − 5)
2
27

< 0 ⇒ f (t) ≤ f (3) =
32
3
<16
.%
Suy%ra%

P < 4
%(mẫu%thuẫn%với%phương%trình%thứ%hai%của%hệ)%vậy%trường%hợp%này%vô%nghiệm.%
TH2:%Nếu%

y ≥1 ≥ x
%khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
%

( y −1)(1− x) ≤
y − x
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

2
.%
Lập%luận%tương%tự%trên%ta%có:%
%

P
2
≤
( y − x )
6
16
(xy + x + y) ≤
4t
2
(5−t )
3
27
,t = xy + x + y ∈ 1;3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.%
Xét%hàm%trên%đoạn%[1;3]%ta%có%

f (t ) =
4t
2

(5−t )
3
27
; f
max
= f (2) = 16
.%
Tức%là%

P
2
≤16 ⇒ P ≤ 4
.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi%

t = xy + x + y = 2
y −1 =1− x
x
2
+ y
2
= 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
⎪
⇔
x = 0
y = 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.%%%%%%%%
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất%

(x; y) = (0;2)
.%%%%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
Page%8/9%
BC=)+DEFG)>%H6I)Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn%

a ≥7.max b,c
{ }
;a + b + c =1
.%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức%

P = a(b −c )
5

+ b(c −a)
5
+ c (a −b)
5
.%
Ta%có%%

P = (a −b)(b − c)(c −a)(a
3
+ b
3
+ c
3
+ ab(a + b)+ bc(c + a) + ca(c + a) −9abc )
= (a −b)(b − c)(c −a)
1
3
(a + b + c)
3
+
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
)−11abc
⎡

⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= (a −b)(b − c)(c −a)
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
)−11abc +
1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.%
JK<L9)#%M&)94=NH&)OP)Q%H=)#4R9)>S%)TR&1)7)Q%U&)>H)VW)TX)$3Y)
Z[N)#K\)#=N]#)>S%)#^)><_9()

P = (a −b)(b − c)(c −a) .
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3
−11abc
≤ (a −b)(b − c)(c −a) .
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3
.%
Bởi%vì%%

0 ≤ abc ≤

a + b + c
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
=
1
27
;
2
3
(a
3
+ b
3
+ c
3
) +
1
3

−11abc ≥
2
3
.3abc +
1
3
−11abc =
1
3
−9abc ≥ 0
.%
Ta%đi%tìm%giá%trị%lớn%nhất%của%

P
%khi%đó%a,b,c%vai%trò%như%nhau%kết%hợp%với%giả%thiết%nên%ta%có%
thể%giả%sử%

a ≥ b ≥ c
.%
Khi%đó%

P ≤
(a −b)(b −c)(a −c)
3
2(a
3
+ b
3
+ c
3

) +1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.%
+%Ta%có%các%đánh%giá%cơ%bản:%

(a −b)(b − c)(a − c) ≤ ab(a −b) ≤ b(1−b)(1− 2b);
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) = 2b
3
+ 2(a
3
+ c
3
) ≤ 2b
3
+ 2(a + c )
3
= 2b
3
+ 2(1−b)

3
%
Suy%ra%%

P ≤
b(1− b)(1− 2b)(2b
3
+ 2(1−b)
3
+1)
3
=
b(1− b)(1− 2b)(2b
2
− 2b +1)
3
.%
B4`)3Y%Điều%kiện%

a ≥7.max b,c
{ }
;a + b + c =1⇒ b ∈ 0;
1
8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦

⎥
⎥
.%
Xét%hàm%số%

f (b) =
b(1− b)(1− 2b)(2b
2
− 2b +1)
3
trên%đoạn%[0;1/8]%ta%có%
%

f '(b) = 20b
4
− 40b
3
+ 30b
2
−10b +1;
f ''(b) = 80b
3
−120b
2
+ 60b −10 = 40b
2
(2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ 0;
1
8
⎡

⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.%
Suy%ra%

f '(b) ≥ f
1
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
149
1024
> 0
.%Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%%

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.))))))))))))))))))/0&1)23)#4'")&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
!"#$%&'&%
()*%+"%

P ≤ f
1
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
525
8192
⇔ −
525
8192
≤ P ≤
525
8192
,% )%/01#%234%435%

b =
1
8
;c = 0;a =
7
8
,%
67*%#58%4+9%1:;%1:.4%<="%!%/01#%>?@?'AB&@,%%
B4C)3D%CD)%:;5%2E4%+"%FG%435%H"I%J:D1%4K<:%2LM<%!%1:L%4+N1,%O:71%4:.*%P:5%

a = b = c ⇒ P = 0
,%
-I%2Q%!%<Q%<8<%1:D1%4R%

(a −b)(b − c)(c −a)
,%OQ5%4:NS%<Q%4:T%P:U1#%<V1%25W)%P5X1%

a ≥7.max b,c
{ }
,%65X<%<:E1%4:NS%25W)%P5X1%1G*%<:Y%1:0S%SZ<%2K1:%/G5%4I81%<Q%P[4%\)]%2^J,%
-31#%4I81%1G*%/31%2_<%4:"S%P:]I%<)`1%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$toán$Min8Max”%
<a1#%48<%#5],%bT%+c1%F)*X1%/31%2_<%4:R%Hd<%ef5%/G5%4I81%Sd<%2g%eh"%J:]5%%H")%
EF%)#"G&D)C:I%"i/i<%FG%<8<%H`%4:j<%P:U1#%DS%4:I]%Sk1%

a + b + c = 1
,%lmS%#58%4+9%Ff1%1:.4%eG%1:;%
1:.4%<="%/5T)%4:d<%

P = a(b −c )

3
+ b(c −a)
3
+ c (a −b)
3
,%%
/G&4)1%G)94=&1)HI)>I)#4%)HF)JF%)$F6)9KL)489):%&4)94")>I):M)*NOP*(%%
Lưu$ý:%!:V1%281:%#58%1G*%nj"%eGI%J:]1%:o5%<="%:_<%H51:%P:5%FGS%/G5,%
bW%4:5%p%Sd<%#<Q&1)>M%)245%ef5%2"%H`%4:K%H51:%eG%1[)%P:U1#%<Q%<8<:%4+m1:%/G*%4`4%Hq%
P:U1#%<Q%2=%4:r5%#5"1%2T%FGS%<8<%<D)%P:Q,%C8<%<D)%4h%9R=)N)>S&),DN%2W%<:I%Sd<%2g%eh"%J:]5%
+5N1#%<Q%9R=)ND7)T)9R=).D.)HF)9R=)P)>U%)4V%)#<)W=X,%6f5%<D)%@,@%<V1%HI%H81:%1#:5XS%ef5%s%t<Q%4:T%
uv4%:GS%H`%4)*%1:5N1%nG5w,%BR=)P%2x5%:;5%<8<%$S%J:]5%4L%n)*%J:D1%<:5"%47J%:MJ%Bs%H`%4:G1:%y%
FI35%%ef5%:M)W<)24%)94%L)94")7D%C:z%{%1[)%*N)%<V)%4:"*%2|5%<:5"%<:I%S%4:m%4"%J:D1%<:5"%47J%:MJ%
4:G1:%<8<%FI35%ef5%H`%nL%P:5%<:5"%<:I%S%t<Q%4:T%#5]5%/01#%JJ%F5X4%PN%H`%P[4%\)]%>%4)*%1:5N1%P:5%
4}1#%H`%FV1%\)"*%FN1%yi~i•%FV1%4:m%Hq%nG5%4:m%4:$I%Fr5%#5]5%4+N1%4"%<Q%<8<:%#5]5%4`5%L)w%,%bD*%FG%
Sg4%/G5%4I81%<€1#%4L•1#%4j%1:L%P:5%4)1#%2o1#%4:r5%<8<%<I1%uz<%H‚<%e7*,%l)*%1:5N1%4:V*%4:.*%
Sg4%H`%/31%4+m1:%/G*%<8<:%nG5%nI%e7*%<:5[S%J:V1%Ff1%4:r5%#5"1%2T%#5]5%\)*[4%<8<%<D)%1G*%SG%
<:L"%<Q%4:r5%#5"1%47J%4+)1#%H)*%1#:ƒ%9G9)JF%)245)#Y)Z,D.)>S&)+[D)BR=),D.)&C#)#4\#%\)"1%4+_1#%
<="%/G5%4I81%FG%J:84%:5X1)]^_]`D%BR=):M)a%eW%:X%J:L•1#%4+m1:%Hq%P:8%F3%ef5%1:5W)%/31,%„V)%
:[4%4mS%2LM<%u…@†*…@‡~%4h%J:L•1#%4+m1:%2V)%4)*%1:5N1%P:U1#%uR%F{%2LM<%e[%<x1%F35t<:5[S%
Asˆ%H`%25TS%<="%<D)%:;5w%‰%Š01#%P‹%1}1#%/5[1%2|5%P[4%:MJ%281:%#58%<•%/]1%4"%<Q%P[4%\)]%/G5%
4I81,%B4C)3)#4b6)9R=)a)$F)>%I=)2%c&)de_*)HF)Xe_N)$F)9f&)#4%S#%2T%:IG1%4:5X1%Fr5%#5]5%<:I%4c)
ZN[D%Œ5N1#%<D)%:M)7%Sg4%H`%/31%S‚<%H"5%FVS%p%<U1#%4:d<%4K1:%4:T%4K<:%P:`5%4+x1%uI"*%eW%25TS%
1G*%<8<%$S%9f&)$<=)3D%BR=)+%4:V*%u).4%J:84%4h%Sg4%{%4Lp1#%<€%†%/G5%4I81%Sf5%4)*%1:5N1%2x5%
:;5%P:vI%FvI%4+I1#%\)8%4+m1:%45[J%<71%eG%:5T)%2W%2[1%4+m1:%/G*%Fr5%#5]5,%%
Bg=)#hC9)>I)94")>I):M)*NOP*)
!"#$%&'()*%)"+$,%"' /%01.%23242354532464789"'(:%;%<'-:=5>%<'-:%?7>@A%
B#$%CD$,/%2364%5354%E4%F4%G32%8G*E%<'-:=5>%<'-:%?6G*E@A%
B#$%CD$,%9HI/%G354;4J%87*E%<'-:=5>%<'-:%?55*E@A%
K"LM%CN%<IO$%:P9%<Q%$"#$%&'()*%)"+$,%"' %$R:%$HM%9"'(:%E>SF>@3%K.M%$"'T$%UV%WX%<Y%W.MZ$%$T$%

)"LM%[\%,']%^%:P9%<Q%9HI%"_$%:Q)%9"`)%a"Ib$,%7>SE>@3%
ij9)>%k6)#h"&1)24"l&1)NmnN-)>%k6):o)>p#)Xb=)9f=D) )
q=L)>RX)95)6r#)2%&4)&14%c6)$F)9G9)$"p%)#"G&)s='&)#4=r9)9G9)'6)9M)1\&1)4"F&)#4%c&)
$t%)1%l%)#4'")4<u&1)#M%)<=)>k)#%S#)2%c6)#4t%)1%L&)$F6)JF%D)/k)$F6)><v9)>%I=)&FX)>U%)4V%)9G9)
'6)9f&)hw&)$=Xc&)&1LX)#Y)JRX)1%t)Jx&1)9G94)1%l%)94%)#%S#)y):=X)&14z)6{)hr&1)9G9)4<u&1)95)
#4k)#%S@)9;&)JF%)#"G&)y)#4'")W|%)24"G)489):G#):L")>k)1%l%)>I)&1LX)24%)>I)><v9)@4G#)4F&4)Hu%)
H%c9)90&)#4t%)1%L&)$F6)JF%)>C&1)Na*)@4C#D)}L=)>5):"):G&4)>G@)G&)94%)#%S#)2w6)~%W'")#4fX)
@4G#)4F&4):L=)>5•))))
Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))
Page%10/9%
Thân$ái!$
Đông$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$
Đặng$Thành$Nam$