phương pháp hàm số trong bài toán tham số hệ phương trình bất phương trình phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (655.17 KB, 20 trang )
A). Phương Pháp:
Với phương trình có dạng : )()( mgxf =
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của
phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số )(xfy =
• Tìm tập xác ñịnh
D
• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'=y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤≤⇔
• Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(
mg cắt )(xf tại
k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm
⇔ hai hàm số không cắt nhau
Với bất phương trình có dạng : )()(
mgxf ≤
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xét hàm số )(xfy =
• Tìm tập xác ñịnh
D
• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'=y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm
D
∈ )(min mgy ≤⇔
• Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx ∈∀
)(max
mgy ≤⇔
Chú ý : Nếu )()(
mgxf ≥
thì:
•
Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min
mgy ≥⇔
•
Bất phương trình nghiệm ñúng
Dx ∈∀
)(max
mgy ≥⇔
Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ
)(
xht = . Từ ñiều kiện của
x
chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều
kiện :
•
Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
•
Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
•
Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )
B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a)
mxxxx =+−−++ 11
22
b)
)45(12 xxmxxx −+−=++
c)
mxxxx ++−=−+ 99
2
d)
mxx =−+
4
2
1
1
e)
0113
4
4
=−++− xmxx
f)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm
g)
03)cot(tancottan
22
=++++ xxmxx
Bài làm :
a)
mxxxx =+−−++ 11
22
Xét hàm số
11
22
+−−++= xxxxy
• Miền xác ñịnh :
R
D
=
• ðạo hàm :
12
12
12
12
'
22
+−
−
−
++
+
=
xx
x
xx
x
y
1)12(1)12(0'
22
+−+=++−⇔= xxxxxxy
+−+=++−
>+−
⇔
)1()12()1()12(
0)12)(12(
2222
xxxxxx
xx
⇔
vô nghiệm
Mà
01)0(' >=y
nên hàm số ñồng biến trên R
• Giới hạn :
1
11
2
lim)11(limlim
22
22
=
+−+++
=+−−++=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
x
xxxxy
xxx
1
11
2
limlim
22
−=
+−+++
=
−∞→−∞→
xxxx
x
y
xx
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
11
<<− m
b)
)45(12
xxmxxx −+−=++
ðiều kiện :
40
04
05
012
0
≤≤⇔
≥−
≥−
≥+
≥
x
x
x
x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
mxxxxx =−−−++
)45)(12(
(1)
Xét hàm số :
)45)(12(
xxxxxy −−−++=
• Miền xác ñịnh :
[ ]
4,0=D
x
∞−
∞+
'
y
+
y
1
-1
2
• Nhận xét rằng :
- Hàm
)12()(
++=
xxxxh
là hàm ñồng biến trên
D
- Hàm
xxxg
−−−=
45)(
có :
Dx
xx
xx
xg
∈∀>
−−
−−−
=
0
452
45
)('
.Suy ra ñồng biến
)().(
xgxhy
=⇒
là hàm ñồng biến trên
D
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi :
)4()0(
fmf
≤≤
12)25(12
≤≤−⇔
m
c)
mxxxx ++−=−+ 99
2
ðiều kiện :
90
09
0
≤≤⇔
≥−
≥
x
x
x
Biến ñổi phương trình :
mxxxx ++−=−+ 9)9(29
2
mxxxx =+−+−−⇔ 9299
22
Xét hàm số
xxxxy
9299
22
+−++−=
• Miền xác ñịnh :
[ ]
9,0=D
• ðạo hàm :
xx
x
xy
9
)92(
92'
2
+−
+−
−−=
0
9
1
1)92(0'
2
=
+−
+−⇔=
xx
xy
2
9
=⇔ x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi :
9
4
9
≤≤− m
d)
mxx =−+
4
2
1
ðiều kiện :
0≥x
Xét hàm số :
xxy −+=
4
2
1
• Miền xác ñịnh :
[
)
+∞= ,0D
x
0
2
9
9
'y
– 0 +
y
9 9
4
9
−
3
• ðạo hàm :
x
x
x
y
2
1
)1(2
'
4
32
−
+
=
4
32
)1(0' +=⇔= xxxy
326
)1( +=⇔ xx
1
22
+=⇔ xx
(vô nghiệm)
Suy ra
)(' xy
không ñổi dấu trên
D
, mà
0
2
1
82
1
)1('
4
<−=y
Do ñó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0
)1)(1(
1
lim)1(limlim
2
4
2
4
2
=
++++
=−+=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxy
xxx
• Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm khi :
10 ≤< m
e)
0113
4
4
=−++− xmxx
Biến ñổi phương trinh :
xmxx −=+− 113
4
4
−=+−
≥−
⇔
44
)1(13
01
xmxx
x
=+−−
≤
⇔
mxxx
x
13)1(
1
44
Xét hàm số
xxxy 13)1(
44
+−−=
• Miền xác ñịnh :
(
]
1,∞−=D
• ðạo hàm :
91212134)1(4'
233
++−=+−−−= xxxxy
0912120'
2
=++−⇔= xxy
−=
=
⇔
)(
2
1
)(
2
3
nx
lx
• Giới hạn :
[
]
+∞=+−−=
−∞→−∞→
xxxy
xx
13)1(limlim
44
• Bảng biến thiên:
x
0
∞+
'y
–
y
1
0
4
Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−≥m
f)
4
2
4
2
422)422( −=+−−+− xxxxm
ðiều kiện :
2≥x
Khi
2=x : VPVT
VP
VT
≠⇔
=
−=
0
2
(loại)
Khi
:2>x Chia 2 vế cho
4
2
4−x
ta ñược :
2
2
2
2
2
2
44
=
−
+
−
+
+
−
x
x
x
x
m
(*)
ðặt
4
2
2
−
+
=
x
x
t
Tìm ñiều kiện cho
t
Cách 1: Xét hàm số
2
2
2
)(
4
>∀
−
+
= x
x
x
xf
ðạo hàm :
( )
0
2
2
2
1
2
2
4
1
2
2
)('
4
3
2
4
3
'
<
−
+
−
−
=
−
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
xf
Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2>∀x
1)(lim)( >⇔>⇔
+∞→
txfxf
x
Cách 2: Ta có
2>x .
Mà
4
2
2
−
+
=
x
x
t
2
2
4
−
+
=⇔
x
x
t
1
)1(2
2)2(
4
4
4
−
+
=⇔
+=−⇔
t
t
x
xxt
Do ñó:
>
−<
⇔
−<
>
⇔>−⇔
>
−
⇔>
−
+
1
1
1
1
01
0
1
4
2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t
x
∞−
2
1
−
1
'
y
— 0 +
y
∞+
12
2
3
−
5
Mặc khác
10
>⇒> tt
Lúc ñó : (*)
)()(
12
2
22
1
2
tfmg
t
tt
mt
t
m =⇔
+
+
=⇔=−
+⇒
Xét hàm số
12
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf
• Miền xác ñịnh :
( )
+∞= ,1D
• ðạo hàm :
( )
⇒>
+
++
=
0
12
222
)('
2
2
t
tt
tf
hàm số ñồng biến
• Giới hạn :
+∞=
+∞→
)(lim
tf
t
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có nghiệm :
11)(
>⇔> mmg
g)
03)cot(tancottan
22
=++++ xxmxx
ðặt
x
x
t
cottan
+=
2cottan
222
++=⇒ xxt
Tìm ñiều kiện cho t :
2cot.tan2cottancottan
≥⇔≥+=+= txxxxxxt
(vì
)1cot.tan
=xx
Lúc ñó :
)()(
1
01
2
2
tfmg
t
t
mmtt =⇔
+
=−⇔=++
Xét hàm số
t
t
tf
1
)(
2
+
=
• Miền xác ñịnh:
),2()2,(
+∞∨−−∞=D
• ðạo hàm :
Dx
t
t
tf ∈∀>
−
=
0
1
)('
2
2
• Giới hạn :
±∞=
+
=
±∞→±∞→
t
t
tf
tt
1
lim)(lim
2
• Bảng biến thiên :
x
1
∞+
'
y
+
y
∞+
1
x
∞−
2
−
2
∞+
'
y
+ +
y
2
5
−
∞+
∞−
2
5
6
Vậy ñể phương trình có nghiệm:
>
−<
2
5
2
5
m
m
Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a)
mxxxx =−+−++
626222
44
b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx
Bài làm :
a)
mxxxx =−+−++
626222
44
(1)
ðiều kiện :
60
06
02
≤≤⇔
≥−
≥
x
x
x
Xét hàm số
xxxxy −+−++=
626222
44
• Miền xác ñịnh:
[ ]
6,0=D
• ðạo hàm
x
x
x
x
y
−
−
−
−+=
6
1
)6(2
1
2
1
)2(2
1
'
4
3
4
3
0
6
1
2
1
)6(2
1
)2(2
1
0'
4
3
4
3
=
−
−+
−
−⇔=
xx
xx
y
0
6
1
2
1
)6(2
1
6
1
2
1
2
1
6
1
2
1
44
4
44
=
−
++
−
+
−
+
−
−⇔
xxxxxxxx
44
6
1
2
1
xx −
=⇔
xx −=⇔
62
2
=⇔ x
• Bảng biến thiên:
ðể (1) có hai nghiệm phân biệt:
)44(3)66(2
4
4
+<≤+ m
x
0
2
6
'
y
+ 0 —
y
)44(3
4
+
)66(2
4
+
1212
4
+
7
b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx
ðặt
)0(164
4
34
≥++−= tmxxxt
Lúc ñó :
066
22
=−+⇔=+ tttt
−=
=
⇔
)(3
)(2
lt
nt
Với
mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔=
16164161642
3434
(*)
Xét hàm số :
xxxxf
164)(
34
+−=
• Miền xác ñịnh:
R
D
=
• ðạo hàm :
1684)('
23
+−= xxxf
016840)('
23
=+−⇔= xxxf
=
−=
⇔
2
1
x
x
• Giới hạn
+∞=+−=
+∞→+∞→
)164(lim)(lim
34
xxxxf
xx
+∞=+−=
−∞→−∞→
)164(lim)(lim
34
xxxxf
xx
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể có hai nghiệm khi :
271116
<⇔−>− mm
3.Tìm m ñể phương trình
xmx
cos1
2
=+ có ñúng 1 nghiệm thuộc
)
2
,0(
π
Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
1cos
2
−= xmx (1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi
0
≤m
( vì
0
>m lúc ñó
0,0 <> VPVT
)
Lúc ñó (1)
m
x
x
x
x
m −=
⇔
−
=⇔
2
2
2
2
4
2
sin2
1cos
x
∞− -1 2
∞+
'
y
— 0 + 0 +
y
∞+
∞+
16
-11
8
m
x
x
2
2
2
sin
2
2
−=
⇔
(2)
ðặt
2
x
t =
. Vì
∈⇒
∈
4
,0
2
,0
ππ
tx
(2)
m
t
t
m
t
t
2
sin
2
sin
2
2
2
−=
⇔−=⇔
Xét hàm số:
t
t
tf
sin
)( =
• Miền xác ñịnh
=
4
,0
π
D
• ðạo hàm
Dt
t
ttt
t
ttt
tf ∈∀<
−
=
−
= 0
)tan.(cossincos.
)('
22
( vì
tttDt <>⇒∈ tan,0cos
)
Do ñó hàm
)(tf
nghịch biến
• Giới hạn :
1
sin
lim)(lim
00
=
=
→→
t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
22
2
2
4
2
1
12
8
1
sin8
1)(
22
πππ
π
−<<−⇔<−<⇔<
<⇔<< mm
t
t
tf
4.Tìm m ñể phương trình
mxxm +=+ 2
2
có ba nghiệm phân biệt
Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
xxm =−+ )12(
2
12
2
−+
=⇔
x
x
m
(vì
22
2
≥+x
)
Xét hàm số
12
)(
2
−+
=
x
x
xf
• Miền xác ñịnh :
R
D
=
t
0
4
π
)(' tf
–
)(tf
1
π
22
9
• ðạo hàm :
222
2
)12(2
22
)('
−++
+−
=
xx
x
xf
220)('
2
=+⇔= xxf
2±=⇔ x
• Giới hạn
1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
=
+
++
=
−+
=
+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
xf
xxx
1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
−=
+
++
=
−+
=
−∞→−∞→−∞→
x
xx
x
x
xf
xxx
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt:
22 <<− m
Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x
a)
1256
2
>++− mxxx
b)
0139. ≥+−
xx
m
c)
04.
4
≥+− mxxm
Bài làm :
a) Xét hàm số :
mxxxxfy 256)(
2
++−==
<<−++−=
≥∨≤+−+=
=
)51(5)3(2)(
)51(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x
{ }
1)3(),5(),1(min1)(min
111
>−⇔>⇔ mfffxf
51
056
10
1
2
1
1)3(
1)5(
1)1(
2
1
1
1
<<⇔
<+−
>
>
⇔
>−
>
>
⇔ m
mm
m
m
mf
f
f
Vậy với
51 << m
bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi
x
x
∞−
2−
2
∞+
'y
— 0 + 0 —
y
1−
2
2−
1
10
b) ðặt
)0(3 >= tt
x
Lúc ñó :
)()(
1
101.
2
22
tfmg
t
t
mtmtttm ≥⇔
−
≥⇔−≥⇔≥+−
Xét hàm số
2
1
)(
t
t
tf
−
=
• Miền xác ñịnh
( )
+∞= ,0D
• ðạo hàm :
4
2
2
)('
t
tt
tf
−
=
=
=
⇔=−⇔=
2
0
020)('
2
t
t
tttf
• Giới hạn :
0
2
lim)(lim
4
2
=
−
=
+∞→+∞→
t
tt
tf
xx
• Bảng biến thiên:
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x
)(max)( tfmg ≥⇔
4
1
≥⇔ m
c) Biến ñổi bất phương trình có dạng :
xxm 4)1(
4
≥+
)()(
1
4
4
xfmg
x
x
m ≥⇔
+
≥⇔
Xét hàm số
1
4
)(
4
+
=
x
x
xf
• Miền xác ñịnh
R
D
=
• ðạo hàm
( )
2
4
4
1
124
)('
+
−
=
x
x
xf
4
3
1
0)(' ±=⇔= xxf
• Giới hạn :
0)(lim =
±∞→
xf
x
• Bảng biến thiên:
x
0
2
∞+
'y
+ 0 —
y
4
1
∞−
0
11
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x
4
27)(max)( ≥⇔≥⇔ mxfmg
Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a)
13 +≤−− mxmx
b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+
c)
06234
2
>−++− mxxx
Bài làm :
a)
13 +≤−− mxmx
ðiều kiện :
3≥x
ðặt
)0(3 ≥−= txt
Lúc ñó :
1)3(
2
+≤−+ mttm
2
1
1)2(
2
2
+
+
≤⇔+≤+⇔
t
t
mttm
)()( tfmg ≤⇔
Xét hàm số:
2
1
)(
2
+
+
=
t
t
tf
• Miền xác ñịnh
[
)
+∞= ,0D
• ðạo hàm
( )
2
2
2
1
22
)('
+
+−−
=
t
tt
tf
310)(' ±−=⇔= xtf
• Giới hạn :
0
2
1
lim)(lim
2
=
+
+
=
+∞→+∞→
t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên :
ðể bất phương trình có nghiệm:
4
13
)(max)(
+
≤⇔≤ mtfmg
y
0
4
27
4
27−
0
x
0
31+−
∞+
'y
+ 0 —
y
4
13 +
2
1
0
12
x
∞−
4
3
1
−
4
3
1
∞+
'y
— 0 + 0 —
b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+
(*)
Chia 2 vế của (*) cho
x
2
sin
3
ta có:
)1(
9
1
.3
3
2
3
3
3
2
22
2
2
2
sinsin
sin
sin1
sin
mm
xx
x
x
x
≥
+
⇔≥+
−
Xét hàm số
xx
y
22
sinsin
9
1
.3
3
2
+
=
là hàm nghịch biến
Lúc ñó :
00sinsin11
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
9
1
.3
3
2
1sin0
22
+
≤
+
≤
+
⇔≤≤
xx
x
41 ≤≤⇔ y
ðể (1) có nghiệm
4max ≤⇔≥ mmy
c)
06234
2
>−++− mxxx
(*)
Xét hàm số
6234)(
2
−++−= mxxxxf
≤≤−++−=
≥∪≤+−+=
=⇔
)31(9)2(2)(
)31(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf
Vậy (*) có nghiệm
0)(max >⇔ xf
{ }
0)2();3();1(max
222
>+⇔ mfff
<<⇔
>+−
>+
>−
⇔
>+
>
>
⇔ 51
056
056
062
0)2(
0)3(
0)1(
2
2
2
2
m
mm
m
m
mf
f
f
Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình
3
3
1
23
x
mxx −≤−+− thoả mãn với 1≥x
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng:
3
3
1
23
x
xmx −+≤
4
36
12
3
x
xx
m
−+
≤⇔
Xét hàm số
4
36
12
)(
x
xx
xf
−+
=
• Miền xác ñịnh :
[
)
+∞= ,1D
• ðạo hàm :
Dx
x
xx
x
xx
xf ∈∀>
+−
=
+−
= 0
4)1(2422
)('
5
33
5
36
• Giới hạn : +∞=
+−
=
+∞→+∞→
5
36
422
lim)(lim
x
xx
xf
xx
• Bảng biến thiên :
13
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với
1≥x
)()(min mgxf ≥⇔
3
2
23 ≤⇔≤⇔ mm
Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1log
log
2
2
2
2
nghiệm ñúng với mọi 0>x
Bài làm:
ðặt
xt
2
2
log=
Tìm ñiều kiện cho
t : Vì 10 >⇔> tx
Lúc ñó :
)()(
1
mgtfm
t
t
≥⇔≥
−
Xét hàm số
1
)(
−
=
t
t
tf
• Miền xác ñịnh
( )
+∞= ,1D
• ðạo hàm :
( )
3
2
12
2
)('
−
−
=
t
t
tf
20)(' =⇔= ttf
• Giới hạn :
( )
=
−
−
=
+∞→+∞→
3
2
12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
∞+
( )
+∞=
−
−
=
++
→→
3
2
11
12
2
lim)(lim
t
t
tf
tt
• Bảng biến thiên :
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
0>x
⇔
0)()( >∀≥ tmgtf
mmgtf
≥⇔≥⇔ 1)()(min
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình
m
xx
<
+−−
)32(log
2
4
4
3
nghiệm ñúng với mọi
( )
0,2−∈x
y
∞+
2
x
1 2
∞+
'y
— 0 +
y
∞+
∞+
1
x
1
∞+
'y
+
14
Bài làm:
ðiều kiện :
13032
2
<<−⇔>+−− xxx
Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn
( )
0,2−∈x
Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên :
( )
0,2−∈x
Xét hàm số :
)32(log)(
2
4
+−−= xxxf
• Miền xác ñịnh
( )
0,2−=D
• ðạo hàm
)32.(2ln2
22
4ln
)32ln(
)('
2
'
2
+−−
−−
=
+−−
=
xx
xxx
xf
10)(' −=⇔= xxf
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
)0,2(−∈x mmxf <
⇔<⇔
3log
4
4
3
)(max
Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
=+
=+−
)2(2
)1(0
xyy
myx
Bài làm:
Từ (2) suy ra:
+−
=
≥−
y
yy
x
y
44
02
2
Lúc ñó (1) có :
)()(
44
0
44
2
yfmg
y
y
mmy
y
yy
=⇔
−
=⇔=+−
+−
Xét hàm số
y
y
yf
44
)(
−
=
• Miền xác ñịnh
(
]
{ }
0\2,∞−=D
• ðạo hàm
0
4
)('
2
>=
y
yf .Hàm số ñồng biến trên
D
• Giới hạn
x
2− 1− 0
)(' xf
+ 0 —
)(xf
1
3log
4
3log
4
15
+∞=
−∞=
=
−
+
→
→
−∞→
)(lim
)(lim
4)(lim
0
0
yf
yf
yf
y
y
y
• Bảng biến thiên :
Vậy ñể hệ có nghiệm :
),4(]2,( +∞∪−∞∈m
Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
=−+−
>−−+
+−
)2(52log)52(log
)1(4log)1(log)1(log
52
2
2
3
33
2
xx
mxx
xx
Bài làm :
ðiều kiện 1>x
Từ (1) ta có
312
1
1
4log
1
1
log
3
3
<<⇔>
−
+
⇔>
−
+
x
x
x
x
x
ðặt
)52(log
2
2
+−= xxt
Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số
)3,1()52(log)(
2
2
∈∀+−= xxxxf
• ðạo hàm:
)3,1(
)52.(2ln
22
)('
2
∈∀>
+−
−
= x
xx
x
xf
Hàm số ñồng biến nên ta có
32)3()()1( <<⇔<< tfxff
Nhận xét số nghiệm của
x
thông qua
t
• Ta có
42)1(252
22
−=−⇔=+−
tt
xxx
Suy ra ứng với mỗi giá trị
)3,2(∈t
thì ta luôn có một giá trị
)3,1(∈x
Lúc ñó (2) suy ra:
mtt
t
m
t =−⇔=− 55
2
Xét hàm số
)3,2(5)(
2
∈∀−= ttttf
• ðạo hàm :
2
5
052)(' =⇔=−= tttf
• Bảng biến thiên :
x
∞−
0
2
'y
+ +
y
∞+
2
4
∞−
16
ðể hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt
6
4
25
4
25
6 <<⇔−>−>−⇔ mm
Bài 3: Tìm m ñể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn ñiều kiện
4≥x
≤+++
=+
)2(35
)1(3
myx
yx
Bài làm:
ðiều kiện:
≥
≥
0
0
y
x
ðặt
xt =
.Lúc ñó (1):
)96(3
2
+−=⇔−= ttyty
ðiều kiện của t:
32 ≤≤ t
Khi ñó (2)
mttt ≤+−++⇔ 1265
22
Xét hàm số
1265)(
22
+−++= ttttf
• Miền xác ñịnh
[ ]
3,2=D
• ðạo hàm :
126
3
5
)('
22
+−
−
+
+
=
tt
t
t
t
tf
126
3
5
0)('
22
+−
−
=
+
⇔=
tt
t
t
t
tf
5)3(126
22
+−=+−⇔ ttttt
4530146126
234234
+−+−=+−⇔ ttttttt
045302
2
=+−⇔ tt
vô nghiệm với
Dx ∈
Mà
)(0)3(' tff ⇒>
ñồng biến trên
D
Do ñó:
5)2(min =f
ðể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn
4≥x ⇔
(2) có nghiệm thoả (1) và
4≥x mtf ≤⇔ )(
thoả mãn với mọi
32 ≤≤ t
⇔ mtf ≤)(min 5≥⇔ m
Bài 4: Tìm m ñể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu:
'y
+ 0 —
y
6−
6−
4
25
−
x
2
2
5
3
17
−=−
=+−+
)2(sinsin
)1(052
2
yxyx
mxxyx
Bài làm:
Biến ñổi (2) về dạng:
yyxx sinsin −=−
)()( yfxf =⇔
(*)
Xét hàm số
tttf sin)( −=
• Miền xác ñịnh
R
D
=
• ðạo hàm
<+
>−
=
)0(cos1
)0(cos1
)('
tt
tt
tf
Suy ra
0)(' ≥tf ⇔≠∀ 0t
hàm số ñồng biến
Từ (*)
y
x
=⇔
.Thay vào (1):
053
2
=+− mxx
(**)
ðể hệ có hai nghiệm với tung ñộ trái dấu
⇔
phương trình (**) có 2 nghiệm
trái dấu
00 <⇔<⇔ mP
Bài 5: Tìm m ñể hệ có nghiệm:
=+
+−=−
)2(
)1())((33
22
myx
mxyxy
yx
Bài làm:
Thay (2) vào (1) ta có :
))((33
22
yxxyxy
yx
++−=−
33
33 xy
yx
−=−⇔
33
33 yx
yx
+=+⇔
)()( yfxf =⇔
Xét hàm số
3
3)( ttf
t
+=
• Miền xác ñịnh
R
D
=
• ðạo hàm
033.3ln)('
2
>+= txf
t
.Hàm số ñồng biến
Do ñó
y
x
=
.Thay vào phương trình (2) ta có:
2
2
2222
m
xmxmxx =⇔=⇔=+
ðể hệ có nghiệm:
0≥m
C).Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình
1)2( +≥−+ xmxm
có nghiệm
[ ]
2,0∈x
Bài 2: Tìm m ñể
04).1(6).1(29
222
222
≥++−−
−−− xxxxxx
mm
nghiệm ñúng với mọi
x
thoả ñiều
kiện
2
1
≥x
Bài 3: Tìm m ñể phương trình
0)1(2 =++− mxx
có ba nghiệm phân biệt
18
Bài 4: Tìm m ñể phương trình
1
3
1
2
2
2
++=
−
mm
xx
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m ñể phương trình
mxxxx +−=−+− 58102
22
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6: Tìm m ñể
mxxxx +−≤−+ 4)7)(3(
2
nghiệm ñúng
[ ]
7,3−∈∀x
Bài 7: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
=+−
≤
−
0163
2
1
2
2
54
2
xmxx
x
x
Bài 8: Tìm m ñể hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt
=+
=−++
1
0)1(3
2
xyx
myx
Bài 9: Tìm m ñể hệ có nghiệm
≥−−−
≤−−
0153
043
23
2
mmxxx
xx
Bài 10: Tìm m ñể hệ vô nghiệm:
+=+
+=+
xmy
ymx
y
x
33
33
Bài 11: Tìm m ñể phương trình có nghiệm:
=+++−
≤+−
++++
)2(032)2(
)1(2007200777
2
1212
mxmx
x
xxx
19
20
TOÁN; Khối: A
Giải hệ phương trình
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
42347
xxy y
xy x
⎧
++− −=
⎪
⎨
++ − =
⎪
⎩
(x, y ∈
R
).
Điều kiện: x ≤
3
4
; y ≤
5
2
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x
2
+ 1).2x = (5 − 2y + 1)
52
y
−
(1)
Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f(
52
y
−
), với f(t) = (t
2
+ 1)t.
Ta có
'
f
(t) = 3t
2
+ 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R.
Do đó: (1) ⇔ 2x =
52
y
−
⇔
2
0
54
.
2
x
x
y
≥
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4x
2
+
2
2
5
2
2
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
+ 2
34
x
−
−7 = 0 (3).
Nhận thấy x = 0 và x =
3
4
không phải là nghiệm của (3).
Xét hàm g(x) = 4x
2
+
2
2
5
2
2
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
+ 2
34
x
−
− 7, trên khoảng
3
0;
4
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
'( )
g
x
= 8x − 8x
2
5
2
2
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
−
4
34
x
−
= 4x (4x
2
− 3) −
4
34
x
−
< 0, suy ra hàm g(x) nghịch biến.
Mặt khác
1
2
g
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x =
1
2
; suy ra y = 2.
Vậy, hệ đã cho có nghiệm: (x; y) =
1
;2
2
⎛⎞
⎜⎟
.
Bài làm:
