ĐỀ THI HOC SINH GIOI TOÁN 11 KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2010- 2011

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (2 điểm)
Giải phương trình:

3 1
3 2 2 2cos2 0
cos2 1
cotx
tan x x
x cotx
−
− − + =
+
Câu II (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:
( )
2011
2 3 2010 2 3 4042110
0 1 2 3 4042110
1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + +
a. Tính tổng
0 2 4 4042110
a a a a+ + + +
b. Chứng minh đẳng thức sau:

0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó
chia hết cho 3.
Câu III (2,5 điểm)
1. Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau
( )
2
1 1 1
2011;
n n n
u u n u u
− −
= = −
,
với mọi
*
, 2n n∈ ≥¥
. Chứng minh rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:

3
2
1
2 1 3 2 2
1
x
x x x
A lim
x
→
− + − −
=
−
Câu IV (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh
a
.
1. Chứng minh rằng
'AC
vuông góc với mặt phẳng
( )
'A BD
và đường thẳng
'AC
đi qua
trọng tâm của tam giác
'A BD
.
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông
góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo

a
.
Hết
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
Đáp án gồm 3 trang
Câu Nội dung Điểm
I
2 điểm
ĐK
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
sin 0 sin 0
sin 0
cot 1 cos sin 0
x x
x
x x
x
x x x
≠ ≠
 
≠


 
≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠

 
≠ − + ≠
 
0,5
Khi đó phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
3sin 2 3 sin cos
2 2cos2 0
cos 2 sin cos
3sin 2 3 cos sin
2 2cos2 0
cos sin cos sin sin cos
x x x
x
x x x
x x x
x
x x x x x x
− −
− + =
+
− −
⇔ + + =
− + +
0.5

( )
( )
( )
2
2
2
2
3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0
3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0
1
2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2
2
x x x x
x x x
x x x x
− + − + =
⇔ − + − + − =
⇔ − + + = ⇔ = = −
0,5
+)
sin 2 1 cos2 0x x= ⇒ =
không thỏa mãn ĐK 0,25
+)
1
sin 2
2
x = −
(thỏa mãn ĐK)
( )
2 2

3 6

2
2 2
3 3
x k x k
k
x k x k
π π
π π
π π
π π π
 
= − + = − +
 
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
= + + = +
 
 
¢
0,25
II
2,5điểm
1.a (1,5 điểm)
Từ khai triển trên lần lượt cho
1; 1x x= − =
ta được 0,5

2011
0 1 2 4042110
0 1 2 4042110
2011
1
a a a a
a a a a

+ + + + =


− + − + =


0,5
Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
2011
0 2 4 4042110
2011 1

2
A a a a a
+
= + + + + =
0,5
1.b (0,5 điểm)
Xét
1x ≠
từ khai triển trên ta có:
( )

( )
( )
2011
2011
2011 2 4042110
0 1 2 4042110
1 1 x x a a x a x a x− = − + + + +
Hệ số của
2011
x
trong vế trái bằng
1
2011
2011C− = −
0,25
Hệ số của
2011
x
trong vế phải bằng
0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
C a C a C a C a C a C a− + − + + −
Từ đó ta có đẳng thức
0,25
0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = −
2. ( 0,5 điểm)
+) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì
chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có

8
9
A
cho 8 vị trí còn lại. Vậy
( )
8
9
9n A A=
0,25
+) Giả sử
{ }
0;1;2; ;9B =
ta thấy tổng các phần tử của B bằng
45 3M
nên số có chín
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các
tập
{ } { } { } { }
\ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9B B B B
nên số các số loại này là
9 8
9 8
3.8.A A+
. Vậy xác suất cần tìm là
9 8
9 8
8
9
3.8.
11

27
9.
A A
A
+
=
0,25
III
(2,5 điểm)
1. (1 điểm)
Từ công thức truy hồi của dãy ta được
( ) ( )
1 2 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
1 1
n n n
u u u u
n n n
n n
− −
   
       
 ÷  ÷
= − = − − = = − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
       

− −
   
0,5
Do đó
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 2
4.2 3.1 1
. . .2011 .2011
2
3 2
1
n
n n n n
n
u
n
n
n
+ − −
+
= =
−
. Từ đó
2011
lim
2
n
u =

0,5
2. (1,5 điểm)
Ta có
3 3
2 2
1 1
2 1 3 2 2 2 1 1 3 2 1
1 1
x x
x x x x x x
lim lim
x x
→ →
− + − − − − + − −
=
− −
0,5
3
2 2
1
2 1 1 3 2 1
1 1
x
x x x
lim
x x
→
 
− − − −
= +

 
− −
 
0,5
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 2
2
1
2
2
3
3
2
1
2
3
3
2 1 3 3
1 2 1 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3
1 2 1 1
1 3 2 3 2 1
4 3 3

4 6 2
x
x
x x x
lim
x x x
x x x
x x
lim
x x x
x x x
→
→
 
 
− − −
= +
 
 
− − +
 
− − + − +
 
 
 
 
 
 
+ +
= +

 
 
+ − +
 
+ − + − +
 
 
 
 
= + =
0,5
IV
(3 điểm)
1. (1,5 điểm)
Ta có
BD AC
⊥
và
'BD AA⊥
nên
( )
' ' 'BD ACC A AC BD⊥ ⇒ ⊥
.
0,25
Tương tự ta chứng minh được
' 'AC A D
⊥
. Từ đó ta suy ra
( )
' 'AC A BD⊥

.
0,5
Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
BD
. Khi đó
' 'G AC A I= ∩
chính là giao điểm của
'AC
và mặt phẳng
( )
'A BD
.
0,25
Do
// ' ' 2
' ' '
GI AI
AC A C
GA A C
⇒ = =
suy ra
G
là trọng tâm của tam giác
'A BD
.
0,5

2. (1,5 điểm)
Đặt
' , ' ' , ' ' ; . . . 0A A m A D n A B p m n p a m n n p p m= = = ⇒ = = = = = =
uuuur ur uuuuur r uuuuur ur ur r ur ur r r ur ur ur
0,25
và
' . ' ; ' . 'A M x A D D N y D C= =
uuuuur uuuur uuuuur uuuur
Ta có
' . . ; ' . . ' ' ' 'A M x m x n D N y m y p MN MA A D D N= + = + ⇒ = + +
uuuuur ur r uuuuur ur ur uuuur uuuur uuuuur uuuuur
( ) ( )
1y x m x n y p= − + − +
ur r ur
0,25
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 0
. ' 0 1 2 0
3
2 0 1
. ' 0
1 0
3
x
y x m x n y p m n

MN B C y x
y x
MN D C
y x m x n y p m p
y

=

− + − + + =


= + − =

  
⇔ ⇔ ⇔
   
− =
=

− + − + + =
 

=



ur r ur ur r
uuuur uuuur
uuuur uuuur
ur r ur ur ur

Vậy M, N là các điểm sao cho
2 1
' ' ; ' '
3 3
A M A D D N D C= =
uuuuur uuuur uuuuur uuuur
0,5
Do đó ta có
2
2
1 1 1 3
3 3 3 3 3
a a
MN m n p MN MN= − + + ⇒ = ⇒ =
uuuur ur r ur
0,5
G
I
C'
B'
A'
C
A
D
B
D'
M
N