Mô hình black scholes có trễ và ứng dụng

Mục lục
Lời mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường . . . . . . . . . 6
1.1.4 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 9
1.1.8 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường . . . . . . . . 13
1.2.2 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Tài khoản tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ và không có độ chênh thị giá . . . 20
1.3.4 Chiến lược đáp ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mô hình Black - Scholes 24
2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên thông
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Mô hình quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
2.1.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên
thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ . 29
2.2.1 Mô hình giá cổ phiếu có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Mô hình Black -Scholes cho phương trình vi phân ngẫu nhiên
có trễ hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 So sánh mô hình Black - Scholes và Black - Scholes có trễ . . . . . . . 38
3 Ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ xác định bong bóng
hay sụp đổ trong thị trường tài chính 44
3.1 Mô hình hóa kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Những tác động kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Chiến lược đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
2
Lời mở đầu
Hiện nay, các mô hình ngẫu nhiên đã trở thành một trong những đối tượng nghiên
cứu quan trọng trong lí thuyết toán tài chính, giúp chúng ta có công cụ để phân tích
và định giá tài sản tài chính một cách tốt nhất. Công trình có tính chất cách mạng
trong việc tính toán tài chính xuất hiện vào năm 1973 của F.Black và M.Scholes về
tính giá trị hợp lý của các quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”).
Tiếp đó, có một loạt công trình về tính giá hợp lý của các quyền chọn và các sản
phẩm tài chính với những mô hình ở nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác
nhau, đáng chú ý là việc đưa ra mô hình Black - Scholes có trễ. Trong mô hình Black
- Scholes có trễ, sự biến động trong quá khứ ảnh hưởng đến sự biến động hiện tại.
Nó phù hợp với thị trường tài chính hơn so với mô hình Black - Scholes cổ điển.
Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản mô hình Black - Scholes
cho phương trình vi phân thông thường và phương trình vi phân có trễ, chỉ ra mối
liên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình này trong việc định giá quyền chọn.
Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ
trong việc dự đoán khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường.
Bố cục luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trình
ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên thông

thường, phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, các khái niệm cơ bản về thị
trường tài chính và cấu trúc của nó.
• Chương 2 là chương chính, trình bày mô hình Black - Scholes cho phương trình
vi phân ngẫu nhiên thông thường và phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ,
đồng thời xây dựng công thức định giá quyền chọn cho cả hai mô hình và so
sánh mối liên hệ cũng như sự khác nhau giữa hai mô hình.
• Chương 3 trình bày việc ứng dụng của mô hình Black - Scholes có trễ trong
việc xác định khả năng xảy ra bong bóng và sụp đổ thị trường.
3
Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ
Lưu Hoàng Đức, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của em trong suốt quá
trình làm luận văn. Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy tại trường Đại
học Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong những
năm học vừa qua.
Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2014
Học viên
Đồng Thị Trang
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
1. Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một yếu
tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó.
2. F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm
được và phép lấy phần bù; nói các khác F là một σ - trường các tập con của
Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
3. P là một độ đo xác định trên không gian đo (Ω, F).
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

1. Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ≥ 0) là một hàm hai biến X(t, ω) xác định
trên tích R
+
×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đối với σ - trường
tích B
R
+
×F, trong đó B
R
+
là σ - trường các tập Borel trên R
+
= [0, ∞). Điều
đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp
{(t, ω) ∈ R
+
× Ω : X(t, ω) ∈ B}
là một phần tử của σ trường tích B
R
+
× F; σ - trường này là σ- trường nhỏ
nhất chứa các tập có dạng
[0, t] ×A, với t ∈ R
+
và A ∈ F.
5
2. Khi cố định một ω ∈ Ω thì ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R
+

vào R được
gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0) ứng với yếu tố
ngẫu nhiên ω ấy.
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc
1. Một họ các σ - trường con (F
t
, t ≥ 0) của F, F
t
⊂ F được gọi là bộ lọc thỏa
mãn các điều kiện thông thường nếu
• Đó là họ tăng theo t, tức là F
s
⊂ F
t
nếu s < t;
• Họ đó là liên tục phải, tức là F
t
= ∩
>0
F
t+
• Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F
0
(và do đó A nằm trong mọi F
t
)
2. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t

, t ≥ 0). Ta xét σ-trường F
X
t
sinh bởi
tất cả các biến ngẫu nhiên X
s
với s ≤ t: F
X
t
= σ(X
s
, s ≤ t). σ-trường này chứa
đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm
t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X, hay
cũng còn gọi là trường thông tin về X.
3. Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (F
t
)
được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, F, (F
t
), P).
1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường
1. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của F và
X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, B
R
),
trong đó B
R
là σ-trường các tập Borel trên đường thằng R.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên X

∗
sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối
với σ-trường G, nếu
• X
∗
là biến ngẫu nhiên đo được đối với G,
• Với mọi tập A ∈ G thì ta có

A
X
∗
dP =

A
XdP.
Biến ngẫu nhiên này sẽ được kí hiệu là E(X|G) và nó cũng là một biến ngẫu
nhiên.
2. Nếu ta chọn σ-trường σ(Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó. Khi đó
kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được ký hiệu là E(X|Y ).
6
1.1.4 Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện P(A|G)của một biến cố A ∈ F
t
là biến ngẫu nhiên xác định
bởi
P(A|G) = E(11
A
|G)
trong đó 11
A

là hàm chỉ tiêu của một biến cố A, tức là
11
A
(ω) =

1 nếu ω ∈ A
0 nếu ω /∈ A
Tính chất
1. P(Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn);
2. ∀A ∈ F : P(A|G) = 1 −P(A|G) (hầu chắc chắn);
3. ∀A
1
, A
2
, ··· ∈ F rời nhau từng đôi một thì
P

∞

n=1
A
n


G

=
∞

n=1

P(A
n


G) (hầu chắc chắn).
1.1.5 Martingale
Trong phần này chúng tôi trình bày các lý thuyết cơ bản về Martingale. Nội dung
trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 200-201].
Định nghĩa 1.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) được trang bị bộ lọc F = {F
t
, 0 ≤
t ≤ T}. Một quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục {X(t)} thích nghi với bộ lọc {F
t
}
được gọi là một martingale đối với F nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. E|X(t)| < ∞, ∀t ∈ [0, T ],
2. E[X(s)|F
t
] = X(t), t < s ≤ T .
Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó:
1. Nếu E(X
t
| F
s
) ≤ X
s
thì X gọi là martingale trên;
2. Nếu E(X
t
| F

s
) ≥ X
s
thì X gọi là martingale dưới.
Định nghĩa 1.2. Cho {X(t), 0 ≤ t ≤ T } là một martingale.
7
1. {X(t)} được gọi là bình phương khả tích nếu
sup
0≤t≤T
E

X
2
(t)

< ∞.
2. {X(t)} được gọi là khả tích đều nếu
lim
n→∞
sup
0≤t≤T
E

|X(t)|11
{|X(t)|>n}

= 0.
Mệnh đề 1.1. 1. Mọi martingale bình phương khả tích xác định trên khoảng thời
gian hữu hạn là khả tích đều.
2. Cho Y là một biến ngẫu nhiên khả tích, định nghĩa

M(t) = E [Y |F
t
] , 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó, quá trình {M(t)} khả tích đều.
Thời điểm ngẫu nhiên τ được gọi là thời điểm dừng nếu
{τ ≤ t} ∈ F
t
, ∀t ∈ [0, T ].
Một martingale bị dừng ở thời điểm τ là quá trình {M(t ∧ τ), 0 ≤ t ≤ T }, trong đó
t ∧ τ = min {t, τ}. Nếu {M(t)} là một martingale thì quá trình {M(t ∧ τ )} cũng là
một martingale nhưng điều ngược lại thì không đúng.
Định nghĩa 1.3. (Martingale địa phương) Một quá trình thích nghi {X(t)} được
gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng {τ
n
} thỏa
mãn τ
n
→ ∞ khi n → ∞ và với mỗi n, quá trình {M(t ∧τ
n
)} là martingale khả tích
đều. Dãy các thời điểm dừng {τ
n
} được gọi là dãy địa phương hóa.
1.1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown
Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về chuyển động Brown, hàm xác
suất chuyển của chuyển động Brown và đưa ra một số martingale quen thuộc tạo
thành từ chuyền động Brown. Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài liệu tham
khảo [10, trang 46-47] và [3].
Một quá trình ngẫu nhiên W = (W
t

)
t≥0
là một quá trình Wiener hay chuyển động
Brown nếu:
1. W
0
= 0 hầu chắc chắn.
8
2. Hiệu W
t
− W
s
là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là
t −s, (s < t).
3. Các số gia W
t
4
−W
t
3
và W
t
2
−W
t
1
(với mọi t
1
≤ t
2

≤ t
3
≤ t
4
) là các biến ngẫu
nhiên độc lập.
Với các số thực µ và σ, quá trình
X(t) = X(0) + µt + σW (t), t ≥ 0, t ≥ 0
được gọi là chuyển động Brown với độ dịch chuyền µ và hệ số khuếch tán σ. Vì
W (t) ∼ N(0, t) nên X(t) − X(0) ∼ N(µt, σ
2
t).
Gọi S(t) là giá một chứng khoán rủi ro ở thời điểm t, và giả sử {X(t)} với
X(t) = log[S(t)/S(0)] là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển µ và hệ số
khuếch tán σ. Quá trình S(t) xác định bởi
S(t) = S(0)e
X(t)
, t ≥ 0,
được gọi là chuyển động Brown hình học.
Các martingale quen thuộc tạo thành từ W
Cho (W
t
) là một chuyển động Brown và F
t
= F
W
t
. Khi đó thì ta có 3 martingale
quen thuộc là
1. Bản thân W

t
là một martingale đối với (F
t
),
2. W
2
− t là một martingale đối với (F
t
),
3. Với mọi u ∈ R thì e
uW
t
−
u
2
2
t
là một martingale đối với (F
t
).
1.1.7 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên
Liên quan đến lời giải phương trình vi phân về sau, chúng tôi trình bày lý thuyết
cơ bản về biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên. Nội dung trình này được trích
dẫn từ tài liệu tham khảo [3, trang 43-44]
Định nghĩa 1.4. Cho (X
t
) và (Y
t
) là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta
gọi biến phân bậc hai của quá trình ấy và ký hiệu [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiên

xác định bởi giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại
[X, Y ]
t
= lim
max |t
k+1
−t
k
|→0
n−1

n=0
(X
t
k+1
− X
t
k
)(Y
t
k+1
− Y
t
k
) hầu chắc chắn
9
với mọi phân hoạch 0 = t
0
< t
1

< ··· < t
n
= t.
Biến phân bậc hai của một số quá trình
1. Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ]
t
= t.
2. Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Y
t
= X
t
−t
có biến phân bậc hai là [Y
t
] = t.
3. Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi
X = X
0

t
0
h
1
(s, ω)ds +

t
0
f
1
(s, ω)dW

s
Y = Y
0

t
0
h
2
(s, ω)ds +

t
0
f
2
(s, ω)dW
s
thì
[X, Y ]
t
=

t
0
f
1
(s, ω)f
2
(s, ω)ds
1.1.8 Tích phân Ito
Trong phần này chúng tôi trình bày lý thuyết về tích phân Ito, làm cơ sở trình

bày về phương trình vi phân ngẫu nhiên. Nội dung trình bày được trích dẫn từ tài
liệu tham khảo [10, trang 202-204].
Cho chuyển động Brown tiêu chuẩn {W (t), 0 ≤ t ≤ T} và {ψ(t)} là một quá trình
ngẫu nhiên với các quỹ đạo liên tục. Xét tích phân ngẫu nhiên
I(t) =

t
0
ψ(u)dW (u), 0 ≤ t ≤ T.
Để tính I(t), ta chia [0, t] thành n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
n
= t, t
i
≡
t
n
i.
Chúng ta xấp xỉ I(t) bằng tổng Riemann-Stieltjes như sau:
I
n
≡
n−1

i=0
ψ(t

i
) {W (t
i+1
) −W (t
i
)}. (1.1)
Tích phân ngẫu nhiên được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phương trung
bình của tổng tích phân (1.1) được gọi là tích phân Ito.
10
Định nghĩa 1.5. (Quá trình đơn giản) Một quá trình thích nghi {ψ(t)} được gọi
là quá trình đơn giản nếu tồn tại phân hoạch:
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
n
= T
và các biến ngẫu nhiên ξ
i
, i = 0, 1, . . . , n − 1 thỏa mãn ξ
i
là F
t
i
- đo được và
ψ(t) = ψ(0)1
{0}
(t) +
n−1


i=0
ξ
i
1
(t
i
,t
i+1
]
(t), 0 ≤ t ≤ T.
trong đó
1
A
(t) =



1, nếu t ∈ A
0, nếu t ∈ A
Tích phân Ito của quá trình đơn giản {ψ(t)} được định nghĩa bởi
I(t) =
i−1

k=0
ψ(t
k
) [W (t
k+1
) −W (t

k
)] + ψ(t
i
) [W (t) − W(t
i
)] , t
i
< t ≤ t
i+1
≤ T.
(1.2)
Giả thiết

T
0
E

ψ
2
(t)

dt < ∞. Theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện, ta có:
E

I
2
(t)

= E


E

I
2
(t)|F
t
i

, t
i
< t.
Từ (3.12), ta có:
E

I
2
(t)|F
t
i

= I
2
(t
i
)+2I(t
i
)E [ψ(t
i
) {W (t) − W(t
i

)}|F
t
i
]
+ E

ψ
2
(t
i
) {W (t) − W(t
i
)}
2
|F
t
i

.
Do ψ(t
i
) là F
t
i
- đo được nên:
E

I
2
(t)|F

t
i

= I
2
(t
i
) + ψ
2
(t
i
)(t −t
i
).
Do đó:
E

I
2
(t)

= E

I
2
(t
i
)

+ E


ψ
2
(t
i
)

(t −t
i
)
=
i−1

k=0
E

ψ
2
(t
k
)

(t
k+1
− t
k
) + E

ψ
2

(t
i
)

(t −t
i
).
Do vậy,
E



t
0
ψ(s)dW (s)

2

=

t
0
E

ψ
2
(s)

ds.
11

Tổng quát hơn, có thể chỉ ra với hai quá trình đơn giản {f(t)} và {g(t)}, chúng ta
có:
E


t
0
f(s)dW (s)


t
0
g(s)dW (s)

=

t
0
E [f(s)g(s)] ds.
Tích phân Ito của hàm X(t) tổng quát được xây dựng trên ý tưởng là xấp xỉ quá
trình {X(t)} bởi một dãy các quá trình đơn giản {ψ
n
(t)}. Nhưng với lớp quá trình
ngẫu nhiên nào thì có thể xấp xỉ được. Người ta đã chỉ ra rằng sự lựa chọn hợp lý là
lớp các quá trình khả đoán.
Định nghĩa 1.6. (Quá trình khả đoán) Quá trình ngẫu nhiên {X(t)} được gọi
là quá trình khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên
tục trái.
Chúng ta công nhận các kết quả sau:
Mệnh đề 1.2. Cho {X(t)} là quá trình khả đoán thỏa mãn


T
0
X
2
(t)dt < ∞ hầu
chắc chắn. Khi đó, tích phân Ito

T
0
X(t)dW(t) được định nghĩa đúng đắn và là một
martingale địa phương. Ngược lại, một martingale địa phương bất kỳ có thể được biểu
diễn là một quá trình tích phân Ito với quá trình khả đoán {ψ(t)} nào đó thỏa mãn

T
0
ψ
2
(t)dt < ∞ hầu chắc chắn.
Mệnh đề 1.3. Cho {X(t)} là quá trình khả đoán thỏa mãn

T
0
E

X
2
(t)

dt < ∞.

Khi đó, quá trình tích phân Ito {I(t)} xác định bởi I(t) =

t
0
X(u)dW(u) là mar-
tingale bình phương khả tích, kỳ vọng 0 với các quỹ đạo liên tục. Ngược lại, một
martingale bình phương khả tích bất kỳ có thể được biểu diễn là một quá trình tích
phân Ito với quá trình khả đoán {ψ(t)} nào đó thỏa mãn

T
0
E[ψ
2
(t)]dt < ∞.
Định nghĩa 1.7. (Vi phân Ito) Nếu tích phân Ito
I(t) =

t
0
X(s)dW(s)
tồn tại thì biểu diễn dưới dạng
dI(t) = X(t)dW (t)
được gọi là vi phân Ito.
12
1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường
Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều là phương trình có dạng:
dX(t) = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t), 0 ≤ t ≤ T (1.3)
trong đó µ(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T] × R → R, W(t) là
chuyển động Brown tiêu chuẩn.

Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)} được gọi là nghiệm của phương trình (1.3) với
điều kiện ban đầu
X(0) = η, (1.4)
trong đó η là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W(t), t ≥ 0 sao cho Eη
2
< ∞,
nếu X(t) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. X(t) thích nghi với F
t
= σ(W (s), s ≤ t) và đo được đối với σ−trường tích
B
[0,T ]
× F
t
,
2. E

t
0
X
2
(t)dt < ∞, ∀t ∈ [0, T ],
3. X(t) thỏa mãn (1.3) và (1.4).
Nghiệm {X(t)} của phương trình (1.3) (nếu tồn tại) được gọi là quá trình Ito. Từ
nay trở đi, ta viết gọn phương trình (1.3) dưới dạng:
dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T.
Giả sử tồn tại các hằng số K, L > 0 thỏa mãn:
1. µ
2
(t, x) + σ

2
(t, x) ≤ K(1 + x
2
),
2. |µ(t, x) −µ(t, y)| + |σ(t, x) −σ(t, y)| ≤ L|x −y|.
Khi đó, phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.4).
Mệnh đề 1.4. Giả sử quá trình {X(t)} là một nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên:
dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T,
σ(t, x) liên tục và thỏa mãn E[

T
0
σ
2
(t, X)dt] < ∞. Khi đó, quá trình {X(t)} là một
martingale nếu và chỉ nếu µ(t, x) = 0.
13
Mệnh đề 1.5. Giả sử quá trình {X(t)} là một nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên:
dX
X
= σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T,
σ(t, x) liên tục và thỏa mãn E[exp{
1
2

T
0
σ

2
(t, X)dt}] < ∞. Khi đó, quá trình {X(t)}
là một martingale.
Xét phương trình tuyến tính dạng:
dX = (b(t) + µ(t)X)dt + σ(t)dW, 0 ≤ t ≤ T,
trong đó b(t), µ(t) và σ(t) là các hàm tất định. Nghiệm của phương trình này là:
X(t) = e

t
0
µ(s)ds

x +

t
0
b(s)e
−

s
0
µ(u)du
ds +

t
0
σ(s)e
−

s

0
µ(u)du
dW (s)

với X(0) = x. Kỳ vọng của X(t) được cho bởi:
E [X(t)] = e

t
0
µ(s)ds

x +

t
0
b(s)e
−

s
0
µ(u)du
ds

và phương sai của X(t) là:
V [X(t)] =

t
0
σ
2

(s)e
−2

s
0
µ(u)du
ds.
1.2.2 Công thức Ito
Cho {X(t)} là nghiệm của phương trình (1.3). Trong nhiều ứng dụng, chúng ta
thường xét một quá trình ngẫu nhiên {Y (t)} xác định bởi:
Y (t) = f(t, X(t)), 0 ≤ t ≤ T,
với f(t, x) là hàm trơn.
Định lí 1.1. (Công thức Ito) Cho X(t) là quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương
trình vi phân ngẫu nhiên
dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó, với hàm trơn f(t, x), Y (t) = f(t, X(t)) thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu
nhiên
dY = µ
Y
(t)dt + σ
Y
(t)dW, 0 ≤ t ≤ T,
14
trong đó
µ
Y
(t) = f
t
(t, X) + f
x

(t, X)µ(t, X) +
f
xx
(t, X)
2
σ
2
(t, X)
và
σ
Y
(t) = f
x
(t, X)σ(t, X).
Cho {X(t)} là nghiệm của phương trình (1.3), ta định nghĩa toán tử L
t
như sau:
L
t
f(t, x) = µ(t, x)f
x
(t, x) +
1
2
σ
2
(t, x)f
xx
(t, x)
với f(t, x) là hàm đủ trơn. Sử dụng toán tử L

t
, công thức Ito có thể được phát biểu
dưới dạng:
df(t, X) = (L
t
f(t, X) + f
t
(t, X))dt + f
x
(t, X)σ(t, X)dW.
Ví dụ 1.1. (Công thức Feynman-Kac) Giả sử {X(t)} là nghiệm của phương
trình (1.3), tức là:
dX = µ(t, X)dt + σ(t, X)dW, 0 ≤ t ≤ T,
và giả sử tồn tại nghiệm của phương trình
f
t
(t, x) + L
t
f(t, x) = r(t, x)f(t, x), 0 ≤ t ≤ T, (1.5)
với điều kiện biên f(T, x) = g(x). Giả sử f(t, x) là nghiệm của nó và áp dụng công
thức Ito đối với f(t, X) ta được:
df(t, X) = (f
t
(t, X) + L
t
f(t, X))dt + dM, 0 ≤ t ≤ T,
trong đó dM = f
x
(t, X)σ(t, X)dW. Từ (1.5) ta có
df(t, X) = r(t, X)f(t, X)dt + dM, 0 ≤ t ≤ T.

Đây là phương trình tuyến tính, nghiệm của nó là:
f(T, X) = e

T
t
r(u,X)du

f(t, X) +

T
t
e
−

s
t
r(u,X)du
dM(s)

.
Số hạng cuối ở vế phải là tích phân Ito nên nó là martingale. Vì vậy, lấy kỳ vọng và
sử dụng điều kiện biên, ta thu được:
f(t, X(t)) = E

g(X(T ))e
−

T
t
r(u,X)du

| X(t) = x

.
15
1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ
Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ (sdde) là tổng quát của cả phương trình vi
phân có trễ tất định (dde) và phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường (không
có trễ) (sode).
Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với bộ lọc (F
t
)
0≤t≤T
thỏa mãn điều kiện
thông thường. E(X) =

Ω
XdP, chúng ta nói với 1 ≤ p ≤ ∞thì X ∈ L
p
= L
p
(Ω, F, P)
nếu E(|X|
p
) < ∞, và ta xác định chuẩn
X
p
= (E(|X|
p
))
1

p
.
Cho W(t) là quá trình Wiener một chiều trên không gian xác suất được lọc (Ω, F, P)
X(t), t ∈ (−∞, +∞) là một quá trình ngẫu nhiên. Xét phương trình vi phân ngẫu
nhiên có trễ như sau





dX(t) =
hệ số dịch chuyển
  
F (t, X(t), X(t −τ )) dt +
hệ số khuếch tán
  
G(t, X(t), X(t − τ)) dW (t), với t ∈ [0, T ],
X(t) = ψ(t) với t ∈ [−τ, 0]
(1.6)
trong đó trễ τ ∈ (0, ∞), ψ(t) ∈ C([−τ, 0], R), F
0
-đo được sao cho Eψ
2
< ∞.
(Không gian C([−τ, 0], R) là không gian Banach chứa các ánh xạ liên tục từ [−τ, 0] →
R với chuẩn η = sup
s∈[−τ,0]
|η(s)|, η ∈ C). Các hàm F : R×R → R và G : R×R → R
là liên tục. Công thức (1.6) có thể viết dưới dạng hiện
X(t) = ψ(0)+


t
0
F (s, X(s), X(s−τ))dt+

t
0
G(s, X(s), X(s−τ))dW (t) với t ∈ [0, T ]
(1.7)
và X(t) = ψ(t), với t ∈ [−τ, 0].
Tích phân thứ hai trong (1.7) là một tích phân ngẫu nhiên Itô. Nếu G không phụ
thuộc vào X thì phương trình có nhiễu cộng tính, ngược lại phương trình có nhiễu
nhân tính.
Định nghĩa 1.8. • Một quá trình ngẫu nhiên X(t) : [−τ, T ]×Ω → R được gọi là
nghiệm mạnh của (1.6)nếu nó một quá trình đo được, liên tục sao cho X|[0, T ]
là (F
t
)
0≤t≤T
-thích nghi được và thỏa mãn (1.6) hoặc (1.7) hầu chắc chắn và
điều kiện ban đầu X(t) = ψ(t), t ∈ [−τ, 0].
• Một nghiệm X(t) được gọi là duy nhất quỹ đạo nếu những nghiệm

X(t) khác
bằng X(t) hầu chắc chắn, tức là P(X(t) =

X(t), −τ ≤ t ≤ T ) = 1.
Giả thiết 1.1. 1. Hàm F và G liên tục.
16
2. (a) Hàm F và hàm G thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều, đó là tồn tại các hằng

số dương L
1
, L
2
, L
3
, L
4
sao cho với mọi ξ
1
, ξ
2
, η
1
, η
2
∈ R và t ∈ [0, T ]
|F (ξ
1
, η
2
) −F (ξ
2
, η
2
)| ≤ L
1
|ξ
1
− ξ

2
| + L
2
|η
1
− η
2
|
và |G(ξ
1
, η
2
) −G(ξ
2
, η
2
)| ≤ L
3
|ξ
1
− ξ
2
| + L
4
|η
1
− η
2
|
(b) Tồn tại một hằng số dương L

5
sao cho với t, s ∈ [−τ, 0] ta có
E(|ϕ(t) −ϕ(s)|
p
) ≤ L
5
|t −s|
pγ
, p = 1, 2.
3. Hàm F và G thỏa mãn điều kiện cấp tăng tuyến tính. Đó là tồn tại các hằng
số dương K
1
, K
2
sao cho với mọi ξ, ξ
1
, η, η
1
∈ R và t ∈ [0, T ]
|F (ξ, ξ
1
)|
2
≤ K
1

1 + |ξ|
2
+ |ξ
1

|
2

và |F (η, η
1
)|
2
≤ K
2

1 + |η|
2
+ |η
1
|
2

Định lí 1.2. (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm F và G thỏa mãn giả
thiết (1.1) ở trên thì tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh của phương trình vi phân có
trễ (1.6).
Trong lý thuyết về phương trình vi phân có trễ tất định, phương trình vi phân
có trễ với trễ là một số cố định có thể được biểu diễn trên mỗi đoạn độ dài τ
là một phương trình vi phân không có trễ. Xác định γ
0
(t) = t, γ
1
(t) = t − τ , và
γ
i
(t) = γ

1
(γ
i−1
(t)) với t ≥ 2; X(t) = Y
m
(t) với t ∈ [mτ, (m + 1)τ], Y
−1
(t) = ϕ(t) và
dW
m
(t) = dW (γ
m−r
(t)). Thì phương trình (1.6) trở thành
dY
r
(t) =γ

m−r
(t)f(γ
m−r
(t), Y
r
(t), Y
r−1
(t))dt
+ γ

m−r
(t)g(γ
m−r

(t), Y
r
(t), Y
r−1
(t))dW
m
(t),
với t ∈ [mτ, (m + 1)τ], r = 0, ··· , m.
Với phương pháp này, việc giải quyết phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ có thể
quy về giải quyết phương trình một chuỗi các phương trình sode theo chiều tăng của
các đoạn [mτ, (m + 1)τ]. Việc giả sử các hệ số Lipschitz toàn cục, dùng xấp xỉ liên
tiếp thu được lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Sử dụng kết quả duy
nhất địa phương ở trên ta có thể vá những nghiệm của những phương trình vi phân
bị chặt khi N tăng vô hạn.
17
1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính
1.3.1 Tài khoản tiền tệ
Phần này chúng tôi trình bày về tài khoản tiền tệ và nội dung trình này được
trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 61-62]
Xét một tài khoản gửi ngân hàng với số tiền gửi ban đầu là F = 1. Ký hiệu B
t
là
số tiền trong tài khoản sau t thời kỳ. Tiền lãi thu được ở thời kỳ t bằng B
t+1
− B
t
.
Với lãi suất r > 0, nếu tính theo lãi kép thì: B
t+1
− B

t
= rB
t
, t = 0, 1, 2, . . .
Vì B
t+1
= (1 + r)B
t
nên B
t
= (1 + r)
t
, t = 0, 1, 2, . . ., B(t) gọi là tài khoản tiền tệ.
Giả sử lãi suất hàng năm là r và lãi được trả vào n thời điểm mỗi năm. Chúng ta
chia mỗi năm thành n khoảng thời gian bằng nhau. Vì vậy, lãi suất ở mỗi thời kỳ là
r/n. Dễ thấy rằng tổng số tiền gửi sau m thời kỳ là
B
m
=

1 +
r
n

m
, m = 0, 1, 2, . . . (1.8)
Giả sử t = m/n với m, n là các số nguyên dương và B(t) là số tiền gửi ở thời điểm
t với lãi suất hàng năm là r. Từ (1.8) ta có:B(t) = (1 + r/n)
nt
.

Cho n → ∞, ta được:
B(t) =

lim
n→∞

1 +
r
n

n

t
= e
rt
, t ≥ 0. (1.9)
Xét trường hợp lãi suất biến đổi theo thời gian. Lãi suất ở thời điểm t được cho
bởi r(t) = r
i
nếu t
i−1
≤ t < t
i
, i = 1, 2, . . . , với t
0
= 0.
Định lí 1.3. Giả sử lãi suất giao ngay ở thời điểm t là r(t). Nếu tính theo lãi kép
liên tục thì tài khoản tiền tệ ở thời điểm t được cho bởi
B(t) = exp



t
0
r(u)du

, t ≥ 0
với giả thiết tích phân tồn tại.
1.3.2 Thị trường tài chính
Thị trường tài chính là thị trường tại đó các tác nhân có thể phát hành, mua bán,
trao đổi, chuyển nhượng các tài sản tài chính theo các quy tắc, luật lệ ấn định trước.
Nhìn chung, nếu phân loại các tài sản tài chính theo hình thức huy động vốn của
các đơn vị phát hành, chúng ta có thể phân chia chúng thành 2 loại: chứng khoán nợ
(trái phiếu), chứng khoán vốn (cổ phiếu).
18
Chứng khoán nợ (trái phiếu): Là giấy chứng nhận do chính phủ hay doanh nghiệp
phát hành. Số tiền ghi trên giấy chứng nhận nợ gọi là mệnh giá. Trái phiếu có thời
hạn tồn tại nhất định, có mệnh giá xác định và lãi suất được hưởng trên mệnh giá
(coupon rate) cố định. Người phát hành (người vay) cam kết sẽ trả cho người mua
(người cho vay) lãi định kỳ theo lãi suất ghi trên trái phiếu và hoàn trả vốn gốc vào
ngày đáo hạn của chúng.
Chứng khoán vốn (cổ phiếu): Số tiền mà người mua bỏ ra để sở hữu các chứng
khoán vốn (cổ phiếu) chính là phần vốn họ góp với đơn vị phát hành là các công ty
cổ phần. Cổ phiếu cũng có mệnh giá xác định nhưng không được hưởng lãi suất cố
định trên mệnh giá như trái phiếu. Phần lãi hưởng được (gọi là cổ tức) sẽ tùy thuộc
vào kết quả kinh doanh và vào quyết định chia hay giữ lại của doanh nghiệp. Chính
vì vậy, mục đích chủ yếu khi mua cổ phiếu không phải là hưởng lãi trên mệnh giá
như đối với mua trái phiếu, nhà đầu tư chủ yếu hướng tới việc hưởng lợi từ việc thay
đổi giá cả của cổ phiếu trên thị trường.
Tài sản phái sinh: Là loại tài sản tài chính được tạo ra trên tài sản cơ sở và giá
trị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở. Tùy theo mục đích, những người

tham gia mua bán các tài sản này sẽ được chia làm hai loại: Những người phòng hộ
rủi ro tham gia thị trường để như một hình thức bảo hiểm trước những thay đổi bất
thường của thị trường. Trong khi đó, người đầu cơ tham gia thị trường để khai thác
và mong muốn hưởng lợi từ sự biến động giá của hàng hóa trên thị trường. Các công
cụ phái sinh được giao dịch chủ yếu bao gồm hợp đồng kỳ hạn – forwards và hợp
đồng tương lai – futures là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản cơ sở (hàng hoá
hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương lai với giá cả và số lượng
đã xác định trước.
Tuy nhiên, hợp đồng tương lai là các công cụ được chuẩn hóa, được thỏa thuận và
ký kết thông qua nhà môi giới và được giao dịch trên thị trường tập trung như các tài
sản tài chính khác. Hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận và ký kết giữa hai bên tham
gia hợp đồng và không được giao dịch trên thị trường. Người tham gia hợp đồng kỳ
hạn hay tương lai có bổn phận thực hiện hợp đồng (mua hoặc bán tài sản cơ sở) khi
hợp đồng đáo hạn.
Hợp đồng quyền chọn – options, gọi tắt là quyền chọn (về tài sản cơ sở) là hợp
đồng quy định người nắm giữ có quyền nhưng không bắt buộc mua hoặc bán tài sản
theo giá và tại thời điểm được ấn định trước. Giá định trước trong hợp đồng gọi là
giá thực hiện (Strike price), thời điểm thực hiện mua hoặc bán tài sản gọi là thời
điểm đáo hạn của quyền chọn (Exercise date).
19
Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call Option) và quyền chọn bán (Put
Option) tùy thuộc vào quyền được mua hoặc bán tài sản của người nắm giữ quyền
chọn. Loại quyền cho phép người nắm giữ có thể thực hiện tại thời điểm bất kì trước
trước khi đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Mỹ. Quyền chọn chỉ được phép thực hiện
tại thời điểm đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Âu. Có thể nói lí thuyết tài chính hiện
đại bắt đầu từ việc giải các bài toán về định giá rủi ro tài chính và khả năng phòng
hộ rủi ro. Đối với một quyền chọn mua, giá trị của thu hoạch là 0 nếu giá trị S của
tài sản cơ sở nhỏ hơn hoặc bằng giá thực hiện K, vì chủ sở hữu quyền mua sẽ không
thực hiện lúc đáo hạn để mua S ở giá K nếu như anh ta có thể mua với giá thấp hơn,
giá trị của thu hoạch sẽ bằng S − K nếu S ≥ K vì khi thêm vào giá thực hiện K ta

thu được giá thực S.
1.3.3 Danh mục đầu tư tự tài trợ và không có độ chênh thị
giá
Một danh mục đầu tư (hay phương án đầu tư) là một tổ hợp của một số hữu hạn
các chứng khoán với các trọng số nào đó. Giả sử có n chứng khoán với các giá trị tại
thời điểm t là S
1
(t), , S
n
(t). Một danh mục đầu tư là một cách chọn ra α
1
(t) chứng
khoán S
1
, , α
n
(t) chứng khoán S
n
tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của
danh mục đầu tư tại thời điểm t được xác định là
V (t) =
n

i=1
α
i
(t)S
i
(t) (1.10)
Một danh mục đầu tư gọi là tự cân đối tài chính (self - financing) nếu giá của danh

mục này không thay đổi khi ta thay đổi các trọng số của danh mục đó. Tức là
n

i=1
α
i
(t)S
i
(t) =
n

i=1
β
i
(t)S
i
(t)
hay
n

i=1
[β
i
(t) −α
i
(t)]S
i
(t) = 0 (1.11)
Có nghĩa là với danh mục đầu tư tự cân đối tài chính thì muốn tăng đầu tư cho một
số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác.

Đặt β
i
(t) −α
i
(t) = ∆α
i
(t) thì (1.11) trở thành
n

i=1
S
i
(t)∆α
i
(t) = 0 (1.12)
20
nếu α
i
(t) là các hàm khả vi.
Mặt khác, do (1.10) ta có vi phân của V (t)
dV (t) =
n

i=1
α
i
(t)dS
i
(t) +
n


i=1
S
i
(t)dα
i
(t). (1.13)
Kết hợp (1.12) và (1.13) ta có kết luận: Một danh mục đầu tư (α, S) là một danh
mục tự tài trợ nếu và chỉ nếu
dV (t) =
n

i=1
α
i
(t)dS
i
(t) (1.14)
Định nghĩa 1.9. Một danh mục đầu tư tự cân đối tài chính φ được gọi là ac-bit
(arbitrage hay cơ hội có độ chênh thị giá ) nếu quá trình giá V
t
(φ) của danh mục thỏa
mãn các điều kiện:
1. P{V
0
(φ) = 0} = 1,
2. P{V
T
(φ) ≥ 0} = 1,
3. P{V

T
(φ) > 0} > 0.
Như vậy cơ hội có độ chênh thị giá là cơ hội kiếm lợi nhuận từ sự đầu tư ban đầu
bằng không.
Định nghĩa 1.10. Một thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương
án đầu tư {φ = (α, S)} là một thị trường không có ac-bit nếu không tồn tại một
danh mục đầu tư nào có ac-bit.
1.3.4 Chiến lược đáp ứng
Một chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X
T
tại thời điểm
đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ φ sao cho
V
T
(φ) = X
T
(1.15)
tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị đáo
hạn X
T
đã định trước và đã ghi trong hợp đồng.
Quá trình V
t
(φ) của phương án ấy (tức quá trình mà giá trị lúc đáo hạn là
V
T
(φ) = X
T
) được gọi là quá trình đáp ứng.
21

1.3.5 Xác suất trung hòa rủi ro
Trong phần này chúng tôi trình bày về xác suất trung hòa rủi ro, độ đo xác suất
tương đương và định lý liên quan đến phép biến đổi độ đo. Nội dung trình bày được
trích dẫn từ tài liệu tham khảo [3], ([10, trang 87-88], [6]
Xét một tài sản phái sinh kiểu Âu (X) có giá đáo hạn là X(T ) đối với tài sản cơ
sở S = (S(t), 0 ≤ t ≤ T ), thời gian đáo hạn là T . Giả thiết rằng các giá của S đều là
một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất (Ω, F, F
t
, P) trong đó (F
t
)
là bộ lọc mang thông tin về thị trường.
Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) =
1
β(t)
, trong đó β(t) nói chung là một quá trình
ngẫu nhiên xác định trên không gian nói trên. Thông thường người ta hay chọn
β(t) = e
r(T −t)
, do đó hệ số chiết khấu là e
−r(T −t)
, nếu lãi suất không có rủi ro thì r là
tất định và hệ số chiết khấu là tất định.
Định nghĩa 1.11. Một độ đo xác suất Q trên (Ω, F) được gọi là xác suất trung hòa
rủi ro nếu:
1. Q tương đương với P, tức là Q(A) = 0 khi và chỉ khi P(A) = 0 với A ∈ F.
2. Với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có E
Q

S(t)

β(t)
| F
t

=
S(s)
β(s)
- hầu chắc chắn.
Chú ý
1. Tính chất (2) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu. Do đó
xác suất Q cũng còn được gọi là độ đo martingale.
2. Giả sử Q là một độ đo martingale. Gọi V (t) là quá trình giá của một chiến lược
đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở S. Người ta đã chứng minh được
rằng khi đó quá trình giá đã chiết khấu

V (t) =
V (t)
β(t)
(1.16)
cũng là một martingale đối với (Q, F
t
).
Nói riêng, khi đó ta có
V (0)
β(0)
= E
Q

V (T )
β(T )

|F
0

. (1.17)
Nếu thị trường là đầy đủ thì giá của hợp đồng phái sinh (X) được đáp ứng bởi
một chiến lược tự tài trợ sao cho V (T ) = X(T ) và do đó
V (0) = β(0)E
Q

X(T)
β(T )
|F
0

. (1.18)
22
Vì σ-trường F
0
chỉ gồm hai tập là ∅ và Ω cho nên kỳ vọng có điều kiện lấy đối
với F
0
cũng là kỳ vọng thường không điều kiện
V (0) = β(0)E
Q

X(T)
β(T )

. (1.19)
Vậy nhờ có xác suất Q mà bây giờ hiện giá V (0) được biểu diễn tất định (không

còn ngẫu nhiên hay rủi ro). Cho nên xác suất Q được gọi là xác suất trung
hòa rủi ro. Cũng nhờ có độ đo Q mà giá tài sản V (t) biến thành

V (t) là một
martingale cho nên Q cũng được gọi là độ đo martingale.
Định lí 1.4. (Định lý định giá tài sản) Không có cơ hội có độ chênh thị giá nếu
và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất trung hòa rủi ro. Khi đó, giá của một tài sản
phái sinh đạt được X được cho bởi (1.19) đối với mọi phương án đầu tư đáp ứng.
Cho không gian xác suất (Ω, F, P ), giả sử Q cũng là một độ đo xác suất.
Định lí 1.5. Hai độ đo xác suất P và Q tương đương khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu
nhiên η > 0 sao cho E[η] = 1 và thỏa mãn:

A
dQ(ω) =

A
η(ω)dP (ω), A ∈ F,
biến ngẫu nhiên η được ký hiệu bởi dQ/dP và được gọi là đạo hàm Radon-Nikodym.
Định lí 1.6. (Girsanov)
Cho W (t), t ∈ [0, T ] là một chuyển động Brown tiêu chuẩn trên (Ω, F, P), Σ là
quá trình khả đoán sao cho

T
0
|σ(u)|
2
du < ∞ hầu chắc chắn và
ρ
t
= exp



t
0
Σ(u)dW (u) −
1
2

t
0
|Σ(u)|
2
du

, t ∈ [0, T ]
thỏa mãn E
P
(ρ
T
) = 1. Với độ đo xác suất Q trên (Ω, F) bởi dQ = ρ
T
dP thì quá trình

W (t) = W(t) −

t
0
Σ(u)du, t ∈ [0, T ]
là một quá trình Wiener tiêu chuẩn dưới độ đo Q.
Định nghĩa 1.12. Một thị trường chứng khoán được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản

phái sinh đều đạt được.
Định lí 1.7. Một thị trường chứng khoán là đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất
một độ đo xác suất trung hòa rủi ro.
23
Chương 2
Mô hình Black - Scholes
Trước khi đề cập đến mô hình Black - Scholes có trễ, chúng tôi trình bày mô hình
Black - Scholes cho phương trình vi phân thông thường. Nội dung trình bày được
trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10, trang 217-225].
2.1 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi
phân ngẫu nhiên thông thường
2.1.1 Mô hình quá trình giá
Giả sử R(t) là lợi suất tức thời ở thời điểm t của chứng khoán S(t). Ta có:
R(t)dt =
dS(t) + d(t)dt
S(t)
, 0 ≤ t ≤ T, (2.1)
Giả sử lợi suất tức thời của chứng khoán trong khoảng thời gian [t, t + dt] được biểu
diễn dưới dạng:
R(t)dt = µ(t, S(t))dt + σ(t, S(t))dW (t), (2.2)
trong đó {W (t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn. µ(t, S) được gọi là lợi suất trung
bình, σ(t, S) được gọi là độ biến động. Từ (2.1) và (2.2) ta có:
dS = [µ(t, S)S − d(t)] dt + σ(t, S)SdW, 0 ≤ t ≤ T.
Nói riêng, nếu chứng khoán không trả cổ tức thì phương trình trên trở thành:
dS
S
= µ(t, S)dt + σ(t, S)dW, 0 ≤ t ≤ T. (2.3)
24
Ví dụ 2.1. Trong mô hình (2.3), chúng ta sẽ tìm vi phân ngẫu nhiên của Y (t) =
log S(t). Để đạt được mục tiêu này, chúng ta áp dụng công thức Ito với f(t, x) = log x.

Ta có:
f
x
(t, x) =
1
x
, f
xx
(t, x) = −
1
x
2
, f
t
(t, x) = 0.
Khi đó:
d log S =

µ(t, S) −
1
2
σ
2
(t, S)

dt + σ(t, S)dW. (2.4)
Nói riêng, nếu lợi suất trung bình µ(t, x) = µ và độ biến động σ(t, x) = σ thì
d log S = νdt + σdW, ν ≡ µ −
σ
2

2
.
Lấy tích phân hai vế phương trình trên theo t trên đoạn [0, t] ta được:
log S(t) −log S(0) = νt + σW(t), 0 ≤ t ≤ T.
Suy ra:
S(t) = S(0)e
νt+σW (t)
, 0 ≤ t ≤ T.
Ngược lại, giả sử có phương trình vi phân ngẫu nhiên
d log S = µ(t, S)dt + σ(t, S)dW, 0 ≤ t ≤ T.
Khi đó:
dS
S
=

µ(t, S) +
σ
2
(t, S)
2

dt + σ(t, S)dW, 0 ≤ t ≤ T. (2.5)
2.1.2 Mô hình Black - Scholes cho phương trình vi phân ngẫu
nhiên thông thường
Xét một thị trường chứng khoán gồm có chứng khoán không rủi ro là tài khoản
tiền tệ B(t) thỏa mãn phương trình vi phân thường
dB(t) = rB(t)dt, 0 ≤ t ≤ T,
với r là một hằng số dương và chứng khoán rủi ro (cổ phiếu) không trả cổ tức có giá
ở thời điểm t là S(t). Mô hình Black-Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân
ngẫu nhiên:

dS = S [µdt + σdW ] , 0 ≤ t ≤ T, (2.6)
25