Về phổ của toán tử tuyến tính

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lời nói đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô . . . . . . . 9
1.1.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Các không gian con và các không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3. Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm . . . . . . 20
1.2.1. Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2. Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. Định lý ánh xạ mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2. Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3. Định lý miền giá trị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4. Tôpô yếu và tôpô yếu
∗
. . . . . . . . . . 32
1.4.1. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2. Tôpô yếu
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan
trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . 39
2.2. Toán tử compact. . . . . . . . . . . 41
2.3. Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp . . . . . 44
1
2.4. Phổ của một toán tử compact tổng quát . . . . . 48
2.5. Giới thiệu về định lý phổ tổng quát . . . . . . 52
2.5.1. Phổ và giải thức trong một đại số Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2. Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert
56
Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . 60
3.2. Độ đo phổ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 61
3.3. Toán tử chiếu ngẫu nhiên . . . . . . . . 65
3.4. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . 70
Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian L
p
cho lớp toán
tử compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1. Định nghĩa vết . . . . . . . . . . . . 76
4.2. Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt . . . . . . . 77
4.3. Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert - Schmidt. . . . . 82
4.4. Không gian L
p
của lớp toán tử compact. . . . . . . . 86
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
của mình tới Thầy: PGS.TS. Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn và
đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể
các Thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên –
ĐHQG Hà Nội đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn
này.
Trong quá trình viết luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của
các Thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song bản luận văn này
không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự

góp ý, giúp đỡ của các Thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh
hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014
Học viên
Đỗ Văn Hưng
3
LỜI NÓI ĐẦU
Mục đích của lý thuyết phổ là phân lớp các toán tử tuyến tính giữa các
không gian Banach mà ta hạn chế xét trên không gian Hilbert do chúng là một
đại diện đặc biệt của các không gian Banach. Chúng có liên hệ gần gũi với hình
học Euclide.
Ta có thể nghĩ đến nhiều cách khác nhau để phân loại các toán tử tuyến
tính. Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý rằng hai toán tử tuyến tính
T
1
, T
2
: H
1
→ H
2
liên hệ bởi công thức
T
2
◦ U
1
= U
2
◦ T
1

, (1)
với các toán tử khả nghịch U
i
: H
i
→ H
i
thì T
1
, T
2
có chung nhiều tính chất
như nhau. Ta có thể coi chúng cùng một lớp. Trong trường hợp hữu hạn chiều,
U
i
tương ứng với đổi cơ sở trong H
i
, chúng không làm thay đổi bản chất bên
trong của các toán tử. Cách giải thích này nói chung không còn đúng trong
trường hợp vô hạn chiều bởi ở đó không có khái niệm tốt về cơ sở, nhưng cách
định nghĩa trên vẫn có ý nghĩa đáng quan tâm và ta có thể thử mô tả tất cả
các toán tử từ H
1
vào H
2
bởi các quan hệ như trên. Để làm đơn giản ý tưởng,
ta sẽ chọn H
1
= H
2

= H và coi hai toán tử T
1
, T
2
: H → H ở cùng một lớp nếu
tồn tại một toán tử khả nghịch U : H → H sao cho
T
2
◦ U = U ◦T
1
tức là T
2
= UT
1
U
−1
. (2)
Trong đại số tuyến tính, bài toán phân lớp được giải thành công bởi lý thuyết
giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng và tối thiểu (minimal) dẫn
đến “dạng chính tắc”. Cho các toán tử tuyến tính từ C
n
→ C
n
với n ≥ 1. Khi
H có số chiều vô hạn, ta không có một định lý tổng quát. Nhưng xuất hiện
khả năng là nhiều toán tử rất quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trong
trường hợp số chiều hữu hạn có sự mô tả thậm chí đơn giản hơn. Chúng thuộc
một trong các lớp đặc biệt các toán tử trên không gian Hilbert như: toán tử lấy
liên hợp T → T
∗

, toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử
Unita. Đối với các lớp này, nếu dim H = n thì luôn có một cơ sở trực chuẩn
(e
1
, , e
n
) của các vectơ riêng của T với giá trị riêng λ
1
, , λ
n
và trong cơ sở
4
này ta có thể viết
T (

i
α
i
e
i
) =

i
α
i
λ
i
e
i
. (3)

(Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo). Trong trường hợp vô hạn chiều,
nói chung ta không thể viết như thế một cách rõ ràng. Tuy nhiên có một cách
giải thích của biểu diễn này là cho nó tuân theo sự tổng quát. Xét ánh xạ tuyến
tính
U : H → C
n
e
i
−→ (0, , 0, 1, 0, , 0)
với 1 ở vị trí thứ i. Ánh xạ này là một song ánh đẳng cự, do định nghĩa của
một cơ sở trực chuẩn, nếu C
n
là một tích trong tiêu chuẩn và ta định nghĩa
T
1
: C
n
→ C
n
α
i
−→ (α
i
λ
i
).
Thì (3) trở thành
T
1
◦ U = U ◦T. (4)

Rõ ràng là khi ta giải nghĩa điều đó theo cách (nó cho ta một cách nhìn hơi
khác bài toán phân lớp): Với mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều H và toán
tử chuẩn T ta nhận được không gian và toán tử “mẫu” (C
n
, T
1
) sao cho (H, T )
tương đương với (C
n
, T
1
). (Thực ra là unitary tương đương do U là đẳng cự).
Định lý phổ mà chúng tôi trình bày trong luận văn này là sự tổng quát hóa của
loại đưa về “dạng chính tắc” này. Điều này rất thành công vì các không gian và
các toán tử “mẫu” hoàn toàn đơn giản: chúng là loại L
2
(X, µ) với không gian
có độ đo (X, µ) nào đó. (Trường hợp C
n
tương ứng với X = {1, 2, , n} với độ
đo đếm). Và toán tử “mẫu” là toán tử nhân (phép nhân): T
g
: f −→ gf với một
hàm g : X → C thích hợp. Toán tử nhân cho ta một “mẫu” cho mọi toán tử
(chuẩn) trên không gian Hilbert. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu
hạn (tức là µ(X) < +∞). Giả sử g ∈ L
∞
(X, µ) là một hàm bị chặn thì ta có
một ánh xạ tuyến tính liên tục:
M

g
: L
2
(X, µ) → L
2
(X, µ)
f −→ gf
5
do

X
|g(x)f(x)|
2
dµ(x) ≤ g
2
∞
· f
2
,
nên M
g
được định nghĩa tốt và liên tục với chuẩn M
g
 ≤ g
∞
. Chú ý thêm
rằng
< M
g
(f

1
), f
2
> =

X
g(x)f
1
(x)f
2
(x)dµ(x)
=< f
1
, M
g
(f
2
) >
với mọi f
1
, f
2
∈ L
2
(X, µ). Do đó toán tử liên hợp của M
g
được cho bởi M
g
= M
g

,
dẫn đến M
g
là tự liên hợp khi và chỉ khi g là tự liên hợp (hầu khắp nơi).
Với g
1
, g
2
∈ L
∞
(X, µ), ta có
M
g
1
(M
g
2
(f)) = g
1
(g
2
(f)) = g
2
(g
1
(f)) = M
g
2
(M
g

1
(f)).
Do đó mọi toán tử M
g
với g ∈ L
∞
(X, µ) giao hoán. Suy ra chúng đều là
chuẩn tắc. Nếu X ⊂ C là một tập đo được đối với độ đo Lebesgue µ thì trường
hợp g(x) = x là đặc biệt quan trọng. Bổ đề sau cho biết ta không thể xây dựng
nhiều hơn toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn.
Bổ đề. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn và giả sử g là
một hàm đo được X → C. Nếu ϕ −→ gϕ ánh xạ L
2
(X, µ) vào L
2
(X, µ) không
nhất thiết liên tục, thì g ∈ L
∞
(X, µ).
Trở lại câu hỏi động cơ thúc đẩy đến định lý phổ, tại sao ta muốn phân lớp
các toán tử trên không gian Hilbert ? Động cơ căn bản đến từ nguồn chung
giống như của giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải
các phương trình tuyến tính T (v) = w giữa các không gian Banach, đặc biệt
là các không gian Hilbert. Vì mục đích này có một sự phân lớp cụ thể (dạng
hiện) với mô hình mẫu đơn giản sẽ rất có ích. Nếu ta có quan hệ như (1) thì
ta có T
1
(v) = w ⇔ T
2
(v

1
) = w
1
với v
1
= U
1
(v), w
1
= U
2
(w). Như vậy nếu ta
hiểu toán tử “mẫu” T
2
và các ánh xạ khả nghịch U
1
, U
2
, ta có thể chuyển lời
giải của các phương trình tuyến tính liên quan đến T
1
thành lời giải tương ứng
liên quan tới T
2
. Tương tự đối với (2) hay (4).
Bây giờ ta nhận thấy là với mẫu toán tử nhân T
2
= M
g
trên L

2
(X, µ), lời
giải của phương trình M
g
(f) = h thỏa mãn được trực tiếp (ít nhất là về mặt
6
hình thức) là f =
g
h
. Điều này tương ứng một cách trực giác đến chéo hóa hệ
các phương trình tuyến tính, và tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì
hàm g có thể có nghiệm và tỷ số h/g có thể không thuộc L
2
(X, µ).
Trường hợp đặc biệt, tuy còn là hình thức, chú ý rằng làm thế nào biến đổi
Fourier cùng với (6) gợi ý mạnh mẽ chúng ta hãy thử giải các phương trình liên
quan đến toán tử Laplace ∆f = g bằng cách “chuyển sang thế giới của Fourier”.
Thực tế đây là ý tưởng rất hiệu quả, nhưng tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận
trọng hơn vì các toán tử liên quan không liên tục.
Hiểu được ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn của lý thuyết phổ toán tử,
tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là “ Về phổ của toán tử tuyến tính”.
Để tiếp tục tìm hiểu sâu về vấn đề này:
Luận văn được chia làm bốn chương:
Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm và toán tử tuyến
tính
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian Banach, không
gian Hilbert và về khái niệm toán tử tuyến tính trên các không gian này cùng
các tính chất cơ bản nhất của chúng.
Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan
trọng

Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán
tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại
số Banach và cuối cùng là định lý phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong
không gian Hilbert.
Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát
Chương này giới thiệu về độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng
quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên và độ đo phổ ngẫu nhiên
tổng quát; Định lý về bổ sung của một độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát.
Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian L
p
cho lớp
toán tử compact
Chương này giới thiệu khái niệm vết của toán tử và cách sử dụng chúng với
vai trò tích phân của các hàm toán tử để xây dựng các không gian L
p
cho đại
số toán tử, ký hiệu là B
f
(H), chẳng hạn B
1
(H) với chuẩn T 
1
= tr (H) là lớp
toán tử vết có vai trò như là không gian các hàm khả tích. B
2
(H) là lớp toán
7
tử Hilbert-Schmidt có dạng như trong L
2
là một không gian Hilbert

Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014
Học viên
Đỗ Văn Hưng
8
Chương 1
Các khái niệm cơ sở của
giải tích hàm
1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô
1.1.1. Các định nghĩa cơ bản
(1) Một chuẩn xác định một tôpô Hausdorff trên một không gian vectơ mà
các phép toán đại số là liên tục, kết quả là được một không gian tuyến tính
chuẩn. Nếu nó là đầy đủ thì được gọi là không gian Banach.
(2) Tích trong (tích vô hướng) và nửa tích trong: Trong tập số thực một tích
trong là một dạng song tuyến tính xác định dương từ X × X → R. Trong tập
số phức, nó là dạng nửa song tuyến tính: X ×X → C xác định dương, đối xứng
Hermitian. Một (nửa) tích trong sinh ra một (nửa) chuẩn. Do vậy một không
gian tích trong (không gian Unita) là một trường hợp đặc biệt của không gian
tuyến tính chuẩn. Một không gian tích trong đầy đủ (không gian Unita đầy đủ)
là một không gian Hillbert, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach.
Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn của một không gian có tích trong theo
tích trong. Đối với một không gian tích trong thực, đó là:
(x, y) =
1
4
(||x + y||
2
− ||x − y||
2
).
9

Đối với không gian phức, đó là:
(x, y) =
1
4
(||x + y||
2
+ i||x + iy||
2
− ||x − y||
2
− i||x − iy||
2
).
Trong các không gian tích trong, chúng ta cũng có quy tắc hình bình hành:
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
).
Điều này đưa ra một tiêu chuẩn để một không gian định chuẩn là một không
gian tích trong. Bất kỳ một chuẩn nào sinh ra từ một tích trong đều thỏa mãn
quy tắc hình bình hành và, ngược lại, nếu một chuẩn thỏa mãn quy tắc hình
bình hành chúng ta có thể chỉ ra rằng (điều này không dễ) sự phân cực đơn vị
xác định một tích trong, cái mà sinh ra chuẩn đó.
(3) Một không gian vectơ tôpô là một không gian vectơ được trang bị một
tôpô Hausdorff sao cho các phép toán đại số là liên tục. Chú ý rằng chúng ta

có thể mở rộng khái niệm dãy Cauchy cũng như khái niệm đầy đủ trong một
TVS: một dãy x
n
trong một TVS là Cauchy nếu với mọi lân cận U của 0 đều
tồn tại N sao cho x
m
− x
n
∈ U với mọi m, n ≥ N .
Một không gian tuyến tính định chuẩn là một TVS, nhưng có một phép toán
khác, tổng quát hơn liên quan đến chuẩn, nó trang bị không gian vectơ với một
tôpô. Cho X là một không gian vectơ và giả sử rằng một họ {|| · ||
α
}
α∈A
của
các nửa chuẩn trên X cho trước là đủ theo nghĩa ∩
α
{||x||
α
= 0} = 0. Khi đó
tôpô sinh bởi các tập {||x||
α
< r}, α ∈ A, r > 0 biến X thành một TVS. Một
dãy (hay lưới) x
n
hội tụ đến x nếu và chỉ nếu ||x
n
−x||
α

→ 0 với mọi α. Chú ý
rằng, |||x
n
||
α
− ||x||
α
| → 0, chỉ ra rằng mỗi nửa chuẩn là liên tục.
Nếu số lượng các nửa chuẩn là hữu hạn, chúng ta có thể bổ sung chúng để
thu được một chuẩn sinh ra cùng một tôpô. Nếu số lượng các nửa chuẩn là đếm
được, chúng ta có thể xác định một metric
d(x, y) =

n
2
−n
||x −y||
n
1 + ||x −y||
n
,
bởi vậy tôpô là metric hóa được.
Các ví dụ: (1) Trên R
n
hoặc C
n
chúng ta có thể đưa vào chuẩn l
p
, 1 ≤ p ≤ ∞,
hoặc l

p
chuẩn có trọng số với trọng số dương nào đó. Tất cả các chuẩn này là
tương đương (thực vậy, trong không gian hữu hạn chiều thì mọi chuẩn là tương
10
đương), và sinh ra cùng một tôpô Banach. Chỉ với p = 2 thì nó là không gian
Hillbert.
(2) Nếu Ω là một tập con của R
n
(hay, tổng quát hơn, một không gian
Hausdorff bất kỳ) chúng ta có thể xác định không gian C
b
(Ω) gồm các hàm liên
tục và bị chặn với chuẩn sup. Đó là một không gian Banach. Nếu X là compact
thì đó chỉ là không gian C(Ω) gồm các hàm liên tục trên Ω.
(3) Để đơn giản hơn, xét khoảng đơn vị, và xác định C
n
([0, 1]) và C
n,α
([0, 1]),
n ∈ N, α ∈ (0, 1]. Cả hai đều là các không gian Banach với các chuẩn tự nhiên.
C
0,1
là không gian các hàm Lipschitz. C([0, 1]) ⊂ C
0,α
⊂ C
0,β
⊂ C
1
([0, 1]) nếu
0 < α ≤ β ≤ 1.

(4) Với 1 ≤ p < ∞ và Ω là một không gian con đóng hoặc mở của R
n
(hay,
tổng quát hơn, một không gian đo σ - hữu hạn), chúng ta có không gian L
p
(Ω)
gồm các lớp tương đương của các hàm đo được khả tích bậc p (sự tương đương
là bằng nhau ngoài một tập có độ đo 0), và với p = ∞ thì đó là các lớp tương
đương của các hàm bị chặn cốt yếu (bị chặn sau khi điều chỉnh trên một tập
có độ đo không). Với 1 < p < ∞, bất đẳng thức tam giác là không hiển nhiên,
đó là bất đẳng thức Minkowski. Do chúng ta lấy thương các hàm với L
p
- nửa
chuẩn 0, đó là một không gian tuyến tính định chuẩn, và định lý Reisz-Fischer
khẳng định rằng nó là một không gian Banach. L
2
là một không gian Hillbert.
Nếu meas(Ω) < ∞, thì L
p
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) nếu 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞.
(5) Không gian các dãy l
p
, 1 ≤ p ≤ ∞ là một ví dụ của (4) trong trường
hợp không gian đo là N với độ đo đếm. Mỗi một không gian trong số đó là một
không gian Banach, l
2
là một không gian Hillbert. l
p

⊂ l
q
nếu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞
(chú ý rằng bất đẳng thức là đảo ngược so với ví dụ trên). Không gian con c
0
gồm các hàm tiến về 0 là một không gian con đóng của l
∞
.
(6) Nếu Ω là một tập mở trong R
n
(hay là một không gian Hausdorff bất
kỳ), chúng ta có thể trang bị cho C(Ω) các chuẩn f −→ |f(x)| được đánh chỉ
số bởi x ∈ Ω. Điều này làm cho C(Ω) là một TVS, với tôpô hội tụ điểm. Không
gian này không đầy đủ (hội tụ điểm của các hàm liên tục có thể không liên tục).
(7) Nếu Ω là một tập mở trong R
n
chúng ta có thể trang bị cho C(Ω) các
chuẩn f −→ ||f||
L
∞
(K)
được đánh chỉ số bằng các tập con compact của Ω, do
vậy xác định tôpô của sự hội tụ đều trên các tập con compact. Chúng ta có thể
11
có được cùng tôpô như trên bằng cách sử dụng lượng đếm được các tập compact
K
n
= {x ∈ Ω : |x| ≤ n, dist(x, ∂Ω) ≥ 1/n}.
Tôpô này là đầy đủ.
(8) Trong ví dụ trên, nếu Ω là một miền trong C, ta lấy các hàm nhận giá

trị phức, chúng ta có thể xét không gian H(Ω) gồm các hàm chỉnh hình (giải
tích). Theo định lý Weierstrass, nó là một không gian con đóng, và vì vậy nó là
một TVS đầy đủ.
(9) Nếu f, g ∈ L
1
(I), I = (0, 1) và

1
0
f(x)φ(x)dx = −

1
0
g(x)φ

(x)dx,
với tất cả các hàm khả vi vô hạn φ có giá chứa trong I (vì vậy φ là đồng nhất
với 0 ở gần 0 và 1), khi đó chúng ta nói rằng f là khả vi yếu và f

= g. Do đó
chúng ta có thể xác định không gian Sobolev W
1
p
(I) = {f ∈ L
p
(I) : f

∈ L
p
(I)},

với chuẩn
||f||
W
1
p
(I)
=


1
0
|f(x)|
p
dx +

1
0
|f

(x)|
p
dx

1/p
.
Đây là một không gian lớn hơn C
1
(I), nhưng vẫn kết hợp chặt chẽ với tính
khả vi bậc một của f. Trường hợp p = 2 là trường hợp đặc biệt hữu ích, bởi
vì nó cho phép chúng ta xử lý tính khả vi trong ngữ cảnh của một không gian

Hillbert. Các không gian Sobolev có thể được mở rộng để đo bậc khả vi bất kỳ
(thậm chí là phân đoạn), và có thể được xác định trên các miền bất kỳ của R
n
.
1.1.2. Các không gian con và các không gian thương
Nếu X là một không gian vectơ và S là một không gian con của nó, chúng
ta có thể xác định không gian vectơ X/S gồm các lớp. Nếu X là định chuẩn,
chúng ta có thể xác định
||u||
X/S
= inf
x∈u
||x||
X
, hay tương đương với ||x||
X/S
= inf
s∈S
||x −s||
X
.
Đây là một nửa chuẩn, và nó sẽ là một chuẩn nếu và chỉ nếu S là đóng.
Định lý 1.1. Nếu X là một không gian Banach và S là một không gian con
đóng của X thì S là một không gian Banach và X/S cũng là một không gian
Banach.
12
Chứng minh tóm tắt. Giả sử rằng x
n
là một dãy các phần tử của X sao cho các
lớp x

n
là Cauchy. Chúng ta có thể lấy một dãy con sao cho
||x
n
− x
n+1
||
X/S
≤ 2
−n−1
, n = 1, 2,
Đặt s
1
= 0, xác định s
2
∈ S sao cho
||x
1
− (x
2
+ s
2
)||
X
≤
1
2
,
xác định s
3

∈ S sao cho
||(x
2
+ s
2
) −(x
3
+ s
3
)||
X
≤
1
4
,
Khi đó {x
n
+ s
n
} là dãy Cauchy trên X. .
Điều ngược lại cũng đúng.
Định lý 1.2. Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và S là một
không gian con đóng của X sao cho S là một không gian Banach và X/S là
một không gian Banach, khi đó X là một không gian Banach.
Các không gian con hữu hạn chiều luôn đóng (chúng là đầy đủ). Tổng quát
hơn:
Định lý 1.3. Nếu S là một không gian con đóng của một không gian Banach
và V là một không gian con hữu hạn chiều, thì S + V là đóng.
Chứng minh tóm tắt. Trường hợp V là không gian 1 - chiều và V ∩S = 0, ta có
thể chứng minh dễ dàng. Chúng ta thấy rằng S + V là một tổng trực tiếp và do

vậy chúng ta chỉ cần chứng minh rằng các phép chiếu S +V → S và S + V → V
là liên tục (vì khi đó một dãy Cauchy trong S + V sẽ dẫn đến một dãy Cauchy
trên từng không gian con đóng đó, và vì vậy có một dãy con hội tụ). Phép chiếu
π : X → X/S hạn chế tới một ánh xạ 1-1 trên V vì vậy là một đẳng cấu của V
lên ảnh V của nó. Cho µ : V → V là liên tục ngược. Do π(S + V ) ⊂ V , chúng
ta có thể thành lập phép hợp thành µ π|
S+V
: S + V → V và nó là liên tục.
Nhưng nó chỉ là phép chiếu lên V . Phép chiếu lên S là id −µ π, vì vậy nó cũng
liên tục. 
Chú ý 1.4. Tổng của các không gian con đóng của một không gian Banach
không nhất thiết là đóng. Xét một phản ví dụ (trong một không gian Hillbert
13
tách được), cho S
1
là một không gian vectơ gồm tất cả các dãy số thực (x
n
)
∞
n=1
với x
n
= 0 nếu n lẻ, và S
2
gồm các dãy thỏa mãn x
2n
= nx
2n−1
, n = 1, 2, Rõ
ràng X

1
= l
2
∩ S
1
và X
2
= l
2
∩ S
2
là các không gian con đóng của l
2
, không
gian các dãy bình phương khả tích (chúng được xác định như là giao của các
không gian trống của các hàm tuyến tính liên tục). Hiển nhiên là mọi dãy đều
có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phần tử thuộc S
1
và S
2
:
(x
1
, x
2
, ) = (0, x
2
−x
1
, 0, x

4
−2x
3
, 0, x
6
−3x
5
, )+(x
1
, x
1
, x
3
, 2x
3
, x
5
, 3x
5
, ).
Nếu một dãy vô hạn nhưng có hữu hạn phần tử bằng 0 thì chúng ta có hai số
hạng trên. Do vậy tất cả các dãy như vậy thuộc vào X
1
+ X
2
, điều này chỉ ra
rằng X
1
+ X
2

trù mật trong l
2
. Bây giờ xét dãy (1, 0, 1/2, 0, 1/3, ) ∈ l
2
. Đó
chỉ là sự phân tích như là các phần tử của S
1
và S
2
(1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, ) = (0, −1, 0, −1, 0, −1, ) + (1, 1, 1/2, 1, 1/3, 1, )
và do vậy nó không thuộc vào X
1
+ X
2
. Do vậy X
1
+ X
2
không đóng trong l
2
.
1.1.3. Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert
Một tính chất cốt yếu của không gian Hillbert là khoảng cách từ một điểm
đến một tập lồi đóng là luôn xác định.
Định lý 1.5. Định lý về phép chiếu
Giả sử X là một không gian Hillbert, K là một tập con lồi đóng, và x ∈ X.
Khi đó tồn tại duy nhất một x ∈ K sao cho
||x −x|| = inf
y∈K
||x −y||.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x = 0, và vì vậy
chúng ta phải chỉ ra rằng có duy nhất một phần tử thuộc K có chuẩn bé nhất.
Cho d = inf
y∈K
||y|| và chọn x
n
∈ K sao cho ||x
n
|| → d. Khi đó quy tắc hình
bình hành dẫn đến








x
n
− x
m
2









2
=
1
2
||x
n
||
2
+
1
2
||x
m
||
2
−








x
n
+ x
m
2









2
≤
1
2
||x
n
||
2
+
1
2
||x
m
||
2
− d
2
,
14
ở đây chúng ta đã sử dụng tính lồi để suy ra rằng (x
n
+ x

m
)/2 ∈ K. Do vậy x
n
là một dãy Cauchy và vì vậy có một giới hạn x, giới hạn này phải thuộc K do
K đóng. Do chuẩn là liên tục, ||x|| = lim
n
||x
n
|| = d.
Để chứng minh tính duy nhất, chú ý rằng nếu ||x|| = ||x|| = d thì
||(x + x)/2|| = d và từ quy tắc hình bình hành dẫn đến
||x − x||
2
= 2||x||
2
+ 2||x||
2
− ||x + x||
2
= 2d
2
+ 2d
2
− 4d
2
= 0.
Phần tử duy nhất gần x nhất trong K thường được ký hiệu bởi P
K
x, và
được xem như là hình chiếu của x lên K. Nó thỏa mãn P

K
P
K
= P
K
, định
nghĩa của một phép chiếu. Thuật ngữ đặc biệt được sử dụng khi mà K là một
không gian con đóng tuyến tính của X, trong trường hợp đó P
K
là một toán tử
chiếu tuyến tính.
Phép chiếu và tính trực giao. Nếu S là một tập con bất kỳ của không gian
Hillbert X, cho
S
⊥
= {x ∈ X :< x, s >= 0 với tất cả s ∈ S}.
Khi đó S
⊥
là một không gian con đóng của X. Hiển nhiên là chúng ta có
S ∩ S
⊥
= 0 và S ⊂ S
⊥⊥
.
Khẳng định: Nếu S là một không gian con đóng của X, x ∈ X, và P
S
x là
hình chiếu của x lên S, khi đó x − P
S
x ∈ S

⊥
. Thực vậy, nếu s ∈ S là tùy ý và
t ∈ R, thì
||x −P
S
x||
2
≤ ||x − P
S
x −ts||
2
= ||x −P
S
x||
2
− 2t(x − P
S
x, s) + t
2
||s||
2
,
vì vậy đa thức bậc hai bên vế phải đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 0. Đặt đạo hàm
tại đó bằng 0 dẫn đến (x −P
S
x, s) = 0.
Do vậy với bất kỳ x ∈ X chúng ta có thể viết như là s + s
⊥
với s ∈ S và
s

⊥
∈ S
⊥
(tức là s = P
S
x, s
⊥
= x−P
S
x). Sự phân tích này hiển nhiên là duy nhất
(nếu s + s
⊥
là phân tích thứ hai thì chúng ta có s −s = s
⊥
−s
⊥
∈ S ∩S
⊥
= 0).
Rõ ràng chúng ta có
||x||
2
= ||s||
2
+ ||s
⊥
||
2
.
Một hệ quả trực tiếp là S

⊥⊥
= S với S là một không gian con đóng, vì nếu
x ∈ S
⊥⊥
chúng ta có thể viết nó như là s + s
⊥
, vì s
⊥
∈ S
⊥
∩ S
⊥⊥
= 0, tức là
15
x ∈ S. Do vậy chúng ta thấy rằng sự phân tích
x = (I − P
S
)x + P
S
x
là sự phân tích (duy nhất) x thành tổng của các phần tử thuộc S
⊥
và S
⊥⊥
. Do
vậy P
S
⊥
= I − P
S

. Với bất kỳ tập con S của X, S
⊥⊥
là không gian con đóng
nhỏ nhất chứa S.
Các tập trực chuẩn và cơ sở trong không gian Hillbert.
Cho e
1
, e
2
, , e
N
là các phần tử trực chuẩn của một không gian Hillbert
X, và S là một mở rộng của chúng (họ các tổ hợp tuyến tính của các phần
tử trên). Khi đó

n
< x, e
n
> e
n
∈ S và x −

n
< x, e
n
> e
n
⊥ S, vì vậy

n

< x, e
n
> e
n
= P
S
x. Nhưng











n
< x, e
n
> e
n











2
=
N

n=1
< x, e
n
>
2
,
vì vậy
N

n=1
< x, e
n
>
2
≤ ||x||
2
(Bất đẳng thức Bessel.)
Bây giờ cho E là một tập trực chuẩn với lực lượng tùy ý. Từ bất đẳng thức
Bessel thấy rằng với ε > 0 và x ∈ X, {e ∈ E :< x, e >≥ ε} là hữu hạn, và vì vậy
{e ∈ E :< x, e >> 0} là đếm được. Do vậy chúng ta có thể mở rộng bất đẳng
thức Bessel cho một tập trực chuẩn bất kỳ:

e∈E

< x, e >
2
≤ ||x||
2
,
ở đây tổng là tổng đếm được của các số hạng dương.
Điều này hữu ích trong việc mở rộng tổng trên các tập có lực lượng bất kỳ.
Nếu E là một tập bất kỳ và f : E → X là một hàm ánh xạ vào một không gian
Hillbert (hay một không gian tuyến tính định chuẩn hay thậm chí là một TVS),
chúng ta nói

e∈E
f(e) = x (*)
nếu lưới

e∈F
f(e), được đánh chỉ số bởi các tập con hữu hạn F của E, hội tụ
tới x. Nói một cách khác, (*) đúng nếu với mọi lân cận U của gốc tọa độ, có
một tập con hữu hạn F
0
⊂ E sao cho x −

e∈F
f(e) ∈ U nếu F là một tập con
16
hữu hạn của E chứa F
0
. Trong trường hợp E = N, điều này tương đương với sự
hội tụ tuyệt đối của một chuỗi. Chú ý rằng nếu


e∈E
f(e) hội tụ, thì với mọi
ε tồn tại một tập hữu hạn F
0
sao cho nếu F
1
và F
2
là các tập con hữu hạn của
F
0
, thì











e∈F
1
f(e) −

e∈F
2
f(e)











≤ ε.
Điều này cho thấy mỗi tập {e ∈ E : ||f(e)|| ≥ 1/n} là hữu hạn, và vì vậy,
f(e) = 0 với tất cả lượng e ∈ E đếm được.
Bổ đề 1.6. Nếu E là một tập con trực chuẩn của một không gian Hillbert X
và x ∈ X, thì

e∈E
< x, e > e hội tụ.
Chứng minh. Chúng ta có thể sắp thứ tự các phần tử e
1
, e
2
, của E với <
x, e >= 0. Chú ý rằng











N

n=1
< x, e
n
> e
n










2
=
N

n=1
| < x, e
n
> |
2

≤ ||x||
2
.
Điều này chỉ ra rằng các tổng riêng s
N
=

N
n=1
< x, e
n
> e
n
tạo thành một
dãy Cauchy, và vì vậy hội tụ đến một phần tử

∞
n=1
< x, e
n
> e
n
của X. Như
là một bài tập áp dụng định nghĩa, chúng ta chỉ ra rằng

e∈E
< x, e > e =
∞

n=1

< x, e
n
> e
n
.
Cho trước ε > 0, chọn N đủ lớn sao cho
∞

n=N+1
| < x, e
n
> |
2
< ε.
Nếu M > N và F là một tập con hữu hạn của E chứa e
1
, , e
N
, khi đó










M


n=1
< x, e
n
> e
n
−

e∈F
< x, e > e










2
≤ ε.
Cho M tiến ra vô cùng,











∞

n=1
< x, e
n
> e
n
−

e∈F
< x, e > e










2
≤ ε,
ta có điều phải chứng minh.
17
Ta nhắc lại chứng minh rằng mọi không gian vectơ đều có một cơ sở. Chúng
ta xét tập tất cả các tập con độc lập tuyến tính của không gian vectơ được sắp

thứ tự theo quan hệ bao hàm thức, và chú ý rằng nếu chúng ta có một tập con
hoàn toàn sắp thứ tự của tập này, thì khi đó hợp sẽ là một tập con độc lập
tuyến tính chứa tất cả các phần tử của nó. Sau đó áp dụng Bổ đề Zorn ta thấy
rằng có một tập độc lập tuyến tính cực đại. Từ tính cực đại suy ra rằng tập
này cũng mở rộng, tức là, nó là một cơ sở. Trong không gian tích trong chúng
ta có thể sử dụng lập luận tương tự để chứng minh sự tồn tại của một cơ sở
trực chuẩn.
Thực tế là, trong khi các cơ sở tồn tại đối với mọi không gian vectơ, với các
không gian vô hạn chiều các cơ sở rất khó hay không thể xây dựng và hầu như
không bao giờ được sử dụng. Một khái niệm khác của cơ sở hữu ích hơn nhiều,
tức là ta có thể dùng tôpô để cho phép (chấp nhận) các tổ hợp tuyến tính vô
hạn. Để phân biệt các cơ sở thông thường từ khái niệm này, một cơ sở thông
thường được gọi là cơ sở Hamel.
Ở đây chúng ta mô tả một cơ sở trực chuẩn của không gian Hillbert. Theo
định nghĩa, đó là một tập trực chuẩn cực đại. Theo Bổ đề Zorn, một tập trực
chuẩn bất kỳ trong một không gian Hillbert có thể được mở rộng thành một cơ
sở, và vì vậy các cơ sở trực chuẩn tồn tại. Nếu E là một cơ sở trực chuẩn như
vậy, và x ∈ X, thì
x =

e∈E
< x, e > e.
Thực vậy, chúng ta biết rằng tổng bên vế phải tồn tại trong X và dễ dàng
kiểm tra rằng với bất kỳ e
0
∈ E tích trong của nó là < x, e
0
>. Do vậy y :=
x −


e∈E
< x, e > e là trực chuẩn với E, và nếu nó khác 0, thì chúng ta có thể
thêm y/||y|| vào E để thu được tập trực chuẩn lớn hơn.
Do vậy chúng ta đã chỉ ra rằng một phần tử x ∈ X bất kỳ có thể được biểu
diễn như là

c
e
e với c
e
∈ R, nhưng có nhiều phần tử 0. Dễ dàng để chỉ ra rằng
các c
e
xác định duy nhất, cụ thể là c
e
=< x, e > và ||x||
2
=

c
2
e
.
Khái niệm cơ sở trực chuẩn cho phép chúng ta xác định chiều của một không
gian Hillbert, đó chính là lực lượng của một cơ sở trực chuẩn bất kỳ. Để thấy
định nghĩa này là tốt, chúng ta cần kiểm tra rằng hai cơ sở bất kỳ phải có cùng
lực lượng. Nếu một trong hai là hữu hạn thì điều này là tầm thường. Ngoài
ra, cho E và F là hai cơ sở trực chuẩn vô hạn. Với mỗi 0 = x ∈ X, tích trong
18
< x, e >= 0 với ít nhất một e ∈ E. Bởi vậy

F ⊂

e∈E
{f ∈ F :< f, e >= 0},
tức là, F được chứa trong hợp của các tập đếm được thuộc E. Do đó cardF ≤
N
0
cardE = cardE.
Nếu S là một tập bất kỳ, ta xác định một không gian Hillbert riêng l
2
(S)
như là tập các hàm c : S → R, các hàm này triệt tiêu trên một tập đếm được
và thỏa mãn

s∈S
c
2
s
< ∞. Do vậy thông qua một cơ sở chúng ta thấy rằng
một không gian Hillbert bất kỳ có thể được diễn tả như là một song ánh tuyến
tính (hay một đẳng cấu không gian Hillbert) bảo toàn chuẩn (và do đó bảo toàn
tích trong) với một l
2
(S). Do vậy, để thành đẳng cấu, chỉ có một không gian
Hillbert với lực lượng của nó. Đặc biệt chỉ có duy nhất một không gian Hillbert
vô hạn chiều tách được (thành đẳng cự).
Ví dụ: Ví dụ nổi tiếng nhất về một cơ sở trực chuẩn của một không gian
Hillbert vô hạn chiều chính là tập các hàm số e
n
= exp(2πinθ), cái mà lập

thành một cơ sở cho L
2
([0, 1]) phức. (Các hàm đó hiển nhiên là trực chuẩn, và
chúng là tập trực chuẩn lớn nhất theo định lý xấp xỉ Weierstrass. Do vậy một
L
2
hàm bất kỳ có một L
2
chuỗi Fourier hội tụ
f(θ) =
∞

n=−∞
ˆ
f(n)e
2πinθ
,
với
ˆ
f(n) =< f, e
n
>=

1
0
f(θ)e
−2πinθ
dθ. Do vậy từ quan điểm của không gian
Hillbert, lý thuyết về chuỗi Fourier khá là đơn giản. Những tính toán phức tạp
hơn xuất hiện khi mà chúng ta xem xét sự hội tụ trong các tôpô khác (điểm,

đều, hầu khắp nơi, L
p
, C
1
, ).
Cơ sở Schauder. Một cơ sở trực chuẩn trong một không gian Hillbert là
một ví dụ đặc biệt về một cơ sở Schauder. Một tập con E của một không gian
Banach X được gọi là một cơ sở Schauder nếu với mỗi x ∈ X có duy nhất một
hàm số c : E → R thỏa mãn
x =

e∈E
c
e
e.
Schauder xây dựng một cơ sở Schauder hữu ích cho C([0, 1]), và có một cơ sở
Schauder hữu ích trong nhiều không gian Banach tách được khác. Năm 1973
19
Per Enflo đưa ra một câu hỏi mở đã tồn tại từ lâu là chứng minh rằng có những
không gian Banach tách được không có cơ sở Schauder.
1.2. Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm
B(X, Y ) là ký hiệu tập các toán tử tuyến tính bị chặn giữa hai không gian
tuyến tính định chuẩn. Một toán tử tuyến tính là bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị
chặn trên mọi hình cầu; nếu và chỉ nếu nó bị chặn trên hình cầu nào đó; nếu và
chỉ nếu nó liên tục tại mọi điểm; nếu và chỉ nếu nó liên tục tại điểm nào đó.
Định lý 1.7. Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và Y là một
không gian Banach, thì B(X, Y ) là một không gian Banach với chuẩn
||T ||
B(X,Y )
= sup

0=x∈X
||T x||
Y
||x||
X
.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được rằng B(X, Y ) là một không gian tuyến
tính định chuẩn, và chúng ta chỉ còn phải chứng minh nó đầy đủ.
Giả sử rằng T
n
là một dãy Cauchy trong B(X, Y ). Khi đó với mỗi x ∈ X,
T
n
x là một dãy Cauchy trong không gian đầy đủ Y , vì vậy có T x ∈ Y sao cho
T
n
x → T x. Rõ ràng T : X → Y là tuyến tính. Nó có bị chặn không ? Dãy
số thực ||T
n
|| là Cauchy, vì vậy nó bị chặn, giả sử ||T
n
|| ≤ K. Từ đó suy ra
||T || ≤ K, và vì vậy T ∈ B(X, Y ). Để thu được điều phải chứng minh, chúng ta
cần phải chỉ ra rằng ||T
n
− T|| → 0. Chúng ta có
||T
n
− T|| = sup
||x||≤1

||T
n
x −T x|| = sup
||x||≤1
lim
m→∞
||T
n
x −T
m
x||
= sup
||x||≤1
lim sup
m→∞
||T
n
x −T
m
x|| ≤ lim sup
m→∞
||T
n
− T
m
||.
Do vậy lim sup
n→∞
||T
n

− T|| = 0.
Nếu T ∈ B(X, Y ) và U ∈ B(Y, Z) thì U T = U ◦ T ∈ B(X, Z) và
||UT ||
B(X,Z)
≤ ||U||
B(Y,Z)
· ||T||
B(X,Y )
.
Đặc biệt, B(X) := B(X, X) là một đại số Banach, tức là, nó có thêm một
toán tử nhân cái mà làm cho nó là một đại số không giao hoán, và phép nhân
đó là liên tục.
20
Không gian đối ngẫu là X
∗
:= B(X, R) (hay B(X, C) đối với không gian
vectơ phức). Nó là một không gian Banach (mặc cho X có là không gian Banach
hay không).
1.2.1. Định lý Hahn - Banach
Một định lý then chốt liên quan đến các không gian đối ngẫu của các không
gian tuyến tính định chuẩn là định lý Hahn - Banach. Nó đảm bảo cho chúng
ta là đối ngẫu của một không gian tuyến tính định chuẩn không tầm thường
cũng là một không gian không tầm thường. (Chú ý: chuẩn là rất quan trọng
đối với khẳng định này. Tồn tại các không gian vectơ tôpô , chẳng hạn, L
p
với
0 < p < 1 không có phiếm hàm tuyến tính liên tục và khác 0 nào).
Định lý 1.8. (Hahn - Banach)
Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên một không gian con của
một không gain tuyến tính định chuẩn, thì f mở rộng ra toàn không gian với

chuẩn được bảo toàn.
Chú ý rằng gần như không có giả thuyết nào ngoài tính tuyến tính và sự tồn
tại một chuẩn. Thực tế là để phục vụ cho mục đích nào đó, một dạng yếu hơn
của định lý này tở ra hữu ích. Với một không gian vectơ X, ta nói p : X → R
là tuyến tính dưới nếu p(x + y) ≤ p(x) + p(y) và p(αx) = αp(x) với x, y ∈ X,
α ≥ 0.
Định lý 1.9. (Định lý Hahn-Banach tổng quát).
Cho X là một không gian vectơ, p : X → R là một phiếm hàm tuyến tính
dưới, S là một không gian con của X, và f : S → R là một hàm tuyến tính thỏa
mãn f(x) ≤ p(x) với mọi x ∈ S, thì f có thể được mở rộng lên toàn bộ X và
bất đẳng thức tương tự đúng với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Là đủ nếu ta mở rộng f lên không gian căng bởi S và một phần
tử x
0
∈ X \ S mà trên đó bất đẳng thức được bảo toàn, do vậy nếu chúng ta
làm được điều đó thì chúng ta có thể hoàn tất chứng minh nhờ Bổ đề Zorn.
Chúng ta cần xác định f(x
0
) sao cho f (tx
0
+ s) ≤ p(tx
0
+ s) với mọi t ∈ R,
s ∈ S. Trường hợp t = 0, ta đã biết và sử dụng tính thuần nhất để hạn chế
t = ±1. Vì vậy chúng ta cần tìm một giá trị f(x
0
) ∈ R sao cho
f(s) −p(−x
0
+ s) ≤ f(x

0
) ≤ p(x
0
+ s) − f(s) với mọi s ∈ S.
21
Dễ dàng kiểm tra rằng với s
1
, s
2
∈ S bất kỳ,
f(s
1
) −p(−x
0
+ s
1
) ≤ p(x
0
+ s
2
) −f(s
2
),
và do vậy f(x
0
) như trên tồn tại.
Hệ quả 1.10. Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và x ∈ X, thì
tồn tại f ∈ X
∗
có chuẩn 1 sao cho f(x) = ||x||.

Hệ quả 1.11. Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn , S là một không
gian con đóng và x ∈ X, thì có f ∈ X
∗
với chuẩn bằng 1 sao cho f(x) = ||x||
X/S
.
1.2.2. Tính đối ngẫu
Nếu X và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn và T : X → Y , thì
chúng ta có một ánh xạ tự nhiên T
∗
: Y
∗
→ X
∗
xác định bởi T
∗
f(x) = f(Tx)
với mọi f ∈ Y
∗
, x ∈ X. Đặc biệt, nếu T ∈ B(X, Y ) thì T
∗
∈ B(Y
∗
, X
∗
). Thực
tế là,
||T
∗
||

B(Y
∗
,X
∗
)
= ||T ||
B(X,Y )
.
Để chứng minh điều này, chú ý rằng
|T
∗
f(x)| = |f(T x)| ≤ ||f|| · ||T || ·||x||.
Bởi vậy, ||T
∗
f|| ≤ ||f||·||T ||, do đó T
∗
bị chặn, với ||T
∗
|| ≤ ||T ||. Đồng thời
cho y ∈ Y , tồn tại g ∈ Y
∗
sao cho |g(y)| = ||y||, ||g|| = 1. Áp dụng điều này với
y = T x (x ∈ X bất kỳ), ta có
||T x|| = |g(T x)| = |T
∗
g(x)| ≤ ||T
∗
|| ·||g|| · ||x||.
Điều này chứng tỏ ||T|| ≤ ||T
∗

||. Chú ý rằng nếu T ∈ B(X, Y ), U ∈ B(Y, Z) thì
(UT )
∗
= T
∗
U
∗
. Nếu X là một không gian Banach và S là một tập con. Đặt
S
a
= {f ∈ X
∗
| f(s) = 0, ∀s ∈ S}
và gọi là toán tử triệt tiêu của S. Nếu V là một tập con của X
∗
, tương tự ta
đặt
a
V = {x ∈ X| f(x) = 0, ∀f ∈ V }.
22
Chú ý rằng sự khác biệt giữa
a
V và V
a
là ở chỗ: V
a
là tập con của X
∗∗
,
a

V
là tập con của X. Tất cả các toán tử triệt tiêu đều là các không gian con đóng.
Dễ dàng thấy rằng nếu S ⊂ T ⊂ X thì dẫn đến T
a
⊂ S
a
và V ⊂ W ⊂ X
∗
dẫn đến
a
W ⊂
a
V . Hiển nhiên là S ⊂
a
(S
a
) nếu S ⊂ X và V ⊂
a
(V
a
) nếu
V ⊂ X
∗
. Định lý Hahn - Banach khẳng định rằng S =
a
(S
a
) trong trường hợp
S là một không gian con đóng của X (nhưng có thể xảy ra V 
a

(V
a
) với V là
một không gian con đóng của X
∗
). Với S ⊂ X bất kỳ,
a
(S
a
) là không gian con
đóng nhỏ nhất của X chứa S, tức là nó là bao đóng của không gian căng bởi S.
Bây giờ giả sử rằng T : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn giữa các
không gian Banach. Giả sử g ∈ Y
∗
. Khi đó g(T x) = 0 với mọi x ∈ X khi và chỉ
khi T
∗
g(x) = 0 với mọi x ∈ X khi và chỉ khi T
∗
g = 0.
R(T )
a
= N(T
∗
).
Tương tự, với x ∈ X, Tx = 0 ⇔ f(T x) = 0 với mọi f ∈ Y
∗
⇔ T
∗
f(x) = 0

với mọi f ∈ Y
∗
, hay là
a
R(T
∗
) = N(T ).
Lấy các toán tử triệt tiêu, ta có hai kết quả sau:
R(T ) =
a
N(T
∗
), R(T
∗
) ⊂ N(T )
a
.
Đặc biệt, chúng ta thấy rằng T
∗
là đơn ánh nếu và chỉ nếu T có miền giá
trị bị chặn; và T là đơn ánh nếu T
∗
có miền giá trị bị chặn.
Chú ý: chúng ta sẽ có các kết quả sâu hơn theo hướng này nếu chúng ta đưa
ra tôpô yếu
∗
trên X
∗
. Đặc biệt, (
a

S)
a
là bao đóng yếu
∗
của một không gian con
S của X
∗
và T là đơn ánh nếu và chỉ nếu T
∗
có tập giá trị trù mật yếu
∗
.
Đối ngẫu của một không gian con. Một trường hợp quan trọng là khi T là
ánh xạ nhúng i : S → X, trong đó S là một không gian con đóng của X. Khi
đó i
∗
: X
∗
→ S
∗
chỉ là ánh xạ hạn chế: rf(s) = f(s). Hahn - Banach chỉ ra
rằng r là toàn ánh. Hiển nhiên N(r) = S
a
. Do vậy, chúng ta có một đẳng cấu
chính tắc r : X
∗
/S
a
→ S
∗

. Thực vậy, định lý Hahn - Banach chỉ ra rằng nó là
một đẳng cự. Thông qua đẳng cự này, ta thường đồng nhất X
∗
/S
a
với S
∗
.
Đối ngẫu của một không gian thương. Tiếp theo, xét ánh xạ chiếu π : X →
X/S, trong đó S là một không gian con đóng. Khi đó, chúng ta có π
∗
: (X/S)
∗
→
X
∗
. Do π là toàn ánh, nên π
∗
là đơn ánh. Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của
23
ánh xạ này được chứa trong S
a
. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng π
∗
ánh xạ
(X/S)
∗
lên S
a
, và từ đó đưa ra một đẳng cấu chính tắc của S

a
với (X/S)
∗
. Thực
vậy, nếu f ∈ S
a
, thì chúng ta có một sự phân tách f = g ◦ π với g ∈ (X/S)
∗
(chỉ xác định g(c) = f(x) khi mà x là một phần tử bất kỳ nằm trong lớp của
c). Do vậy f = π
∗
g nằm trong miền giá trị của π
∗
. Sự tương ứng này cũng là
một đẳng cự.
Đối ngẫu của một không gian Hillbert. Xác định đối ngẫu của các không
gian là một việc làm khó. Trường hợp không gian Hillbert thì lại dễ dàng.
Định lý 1.12. (Định lý biểu diễn Reisz).
Nếu X là một không gian Hillbert thực, xác định j : X → X
∗
bởi j
y
(x) =<
x, y >. Ánh xạ này là một đẳng cự tuyến tính của X lên X
∗
. Với một không
gian Hillbert phức thì nó là một đẳng cự tuyến tính liên hợp (nó thỏa mãn
j
αy
= αj

y
).
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng j là một đẳng cự của X vào X
∗
và vấn đề
chính là phải chứng minh rằng với f ∈ X
∗
bất kỳ có thể được viết như là một
j
y
với y nào đó. Chúng ta có thể giả sử rằng f = 0. Vì vậy N(f) là không gian
con đóng thực sự của X. Giả sử y
0
∈ [N(f )]
⊥
có chuẩn 1 và đặt y = (fy
0
)y
0
.
Với tất cả x ∈ X, rõ ràng chúng ta có (fy
0
)x −(fx)y
0
∈ N(f), vì vậy
j
y
(x) =< x, (fy
0
)y

0
>=< (fy
0
)x, y
0
>=< (fx)y
0
, y
0
>= fx.
Thông qua ánh xạ j chúng ta có thể xác định một tích trong trên X
∗
, vì
vậy nó cũng là một không gian Hillbert.
Chú ý rằng nếu S là một không gian con đóng của X, thì x ∈ S
⊥
⇔ j
s
∈ S
a
.
Ánh xạ Reisz j đôi khi được dùng để đồng nhất X và X
∗
. Dưới sự đồng nhất
này thì không có sự khác biệt nào giữa S
⊥
và S
a
.
Đối ngẫu của C(Ω). Chú ý rằng có hai định lý khá khác nhau liên quan

đến định lý biểu diễn Reisz. Định lý bên trên là dạng đơn giản. Định lý phức
tạp hơn xác định đối ngẫu của C(Ω), trong đó Ω là một tập con compact của
R
n
(điều này có thể được tổng quát hóa). Nó khẳng định rằng có một đẳng cự
giữa C(Ω)
∗
và không gian các độ đo dấu hữu hạn trên Ω. (Một độ đo dấu hữu
hạn là một hàm tập có dạng µ = µ
1
−µ
2
trong đó µ
i
là các độ đo hữu hạn, và
24
chúng ta xem như là một hàm trên C(X) bởi f −→

Ω
fdµ
1
−

Ω
fdµ
2
). Đây
là trường hợp giá trị thực; trong trường hợp giá trị phức, đẳng cự là các độ đo
phức µ + iλ, trong đó µ và λ là các độ đo có dấu hữu hạn.
Đối ngẫu của C

1
. Dễ dàng để suy ra một biểu diễn cho một phần tử bất kỳ
trong đối ngẫu của C
1
([0, 1]). Ánh xạ f −→ (f, f

) là một đẳng cự của C
1
lên
một không gian con đóng của C × C. Nhờ định lý Hahn-Banach, mọi phần tử
của (C
1
)
∗
mở rộng thành một phiếm hàm trên C ×C, dễ dàng nhận thấy rằng
các phiếm hàm như vậy có dạng
(f, g) −→

fdµ +

gdν,
trong đó µ và ν là các độ đo có dấu ((X ×Y )
∗
= X
∗
×Y
∗
với sự đồng nhất hiển
nhiên). Do vậy mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C
1

có thể được viết là
f −→

fdµ +

f

dν.
Trong biểu diễn này, các độ đo µ và ν là không duy nhất.
Đối ngẫu của L
p
. Bất đẳng thức Holder khẳng định rằng nếu 1 ≤ p ≤ ∞,
q = p/(p − 1), thì

fg ≤ ||f||
L
p
· ||g||
L
q
,
với mọi f ∈ L
p
, g ∈ L
q
. Điều này chỉ ra rằng ánh xạ g −→ λ
g
cho bởi:
λ
g

(f) =

fg,
ánh xạ L
q
tuyến tính lên (L
p
)
∗
với ||λ
g
||
(L
p
)
∗
≤ ||g||
L
q
. Nếu ta chọn f =
sign(g)|g|
q−1
thì ta có đẳng thức. Thực tế là nếu p < ∞, λ là một đẳng cự
tuyến tính của L
q
lên (L
p
)
∗
. Với p = ∞, nó là một đơn ánh đẳng cự, nhưng

trong trường hợp tổng quát nó không là toàn ánh. Do vậy đối ngẫu của L
p
là
L
q
với p hữu hạn. Đối ngẫu của L
∞
là rất lớn, lớn hơn L
1
rất nhiều và hiếm
khi được sử dụng.
Đối ngẫu của c
0
. Áp dụng những sự xem xét bên trên cho đối ngẫu của
không gian các dãy l
p
. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng đối ngẫu của c
0
là l
1
.
Với c = (c
n
) ∈ c
0
và d = (d
n
) ∈ l
1
, chúng ta xác định λ

d
(c) =

c
n
d
n
. Rõ ràng
|λ
d
(c)| ≤ sup |c
n
|

|d
n
| = ||c||
c
0
· ||d||
l
1
,
25