Hướng dẫn giải bài tập HHKG 11 theo đề cương của Sở GD-ĐT Tây Ninh năm học 2010-211

1

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN
THEO ðỀ CƯƠNG TOÁN 11

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy ,
SA = a
2
.
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
b) CMR (SAC)
⊥
(SBD) .
c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD)
e) Tính d(A, (SCD)) .
Giải
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
 Ta có :
(
)
,
SA ABCD SA AD SA AB
⊥ ⇒ ⊥ ⊥

,
SAD SAB
⇒ ∆ ∆
vuông tại A.
 Chứng minh

SBC
∆
vuông :
Ta có :
BC AB
⊥
( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

BC SA
⊥
( vì
(
)
SA ABCD
⊥
)

(
)
BC SAB
⇒ ⊥
, mà
(
)
SB SAB BC SB
⊂ ⇒ ⊥


SBC
⇒ ∆

vuông tại B.
 Chứng minh
SCD
∆
vuông :
Ta có :
CD AD
⊥
( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

CD SA
⊥
(Vì
(
)
SA ABCD
⊥
)

(
)
CD SAD
⇒ ⊥
, mà
(
)
SD SAD CD SD
⊂ ⇒ ⊥

SCD
⇒ ∆
vuông tại D.
b) CMR (SAC)
⊥
(SBD) :

BD AC
⊥
(Hai ñường chéo của hình vuông ABCD )
BD SA
⊥
( Vì
(
)
SA ABCD
⊥
)

(
)
BD SAC
⇒ ⊥
, mà
(
)
(
)
(
)

BD SBD SAC SBD
⊂ ⇒ ⊥
.
c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) :
 Do
(
)
BC SAB
⊥
tại B nên hình chiếu của C lên (SAB) là B.

⇒
Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB.

( )

(
)

(
)

, ,
SC SAB SC SB CSB
⇒ = =
.
 Trong
SAB
∆
vuông tại A, ta có :

( )
2
2 2 2
2 3
SB SA AB a a a
= + = + =
.
 Trong
SBC
∆
vuông tại B, ta có :
 
0
1
tan 30
3 3
BC a
CSB CSB
SB
a
= = = ⇒ =
.
Vậy
( )

(
)
0
, 30
SC SAB =

.
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) :
Ta có :
(
)
(
)
SBD ABCD BD
∩ =
.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,
O BD
∈
.
Theo chứng minh ở câu b)
(
)
BD SAC
⊥
, mà
(
)
SO SAC SO BD
⊂ ⇒ ⊥
.
Mặc khác,
AO BD
⊥
.
O

a
a 2
A
B
C
D
S
H

2

 Vậy
( ) ( )

(
)

(
)

, ,
SBD ABCD SO AO AOS
= =
(do

AOS
là góc nhọn).

2
2

2
a
AC a AO= ⇒ =
.
 Trong
SAO
∆
vuông tại A, ta có :
 
2
tan 2 arctan 2
2
2
SA a
AOS AOS
AO
a
= = = ⇒ =
.
( ) ( )

(
)

, arctan 2
SBD ABCD AOS⇒ = =
.
Nhận xét : ðể xác ñịnh góc giữa
(
)

α
và
(
)
β
ta có thể làm theo các cách sau :


 Cách 1 : Tìm a, b sao cho
( ) ( ) ( ) ( )

(
)

(
)
, , ,
a b a b
α β α β
⊥ ⊥ ⇒ =
.


 Cách 2 : Nếu
(
)
(
)
α β
∩ = ∆

thì tìm
O
∈∆
. Từ O, trong
(
)
α
vẽ
a
⊥ ∆
tại O ;
trong
(
)
β
vẽ
b
⊥ ∆
tại O. Suy ra
( ) ( )

(
)

(
)
, ,
a b
α β
=

. (ñã trình bày ở câu d) )


 Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :
 Tìm
(
)
(
)
α β
∩ = ∆
;
 Tìm
(
)
γ
sao cho
(
)
γ
⊥ ∆
;
 Tìm
(
)
(
)
a
γ α
∩ =

,
(
)
(
)
b
γ β
∩ =
;
Kết luận :
( ) ( )

(
)

(
)
, ,
a b
α β
=
.

Câu d) ta có thể trình bày cách 3 như sau :
 Ta có :
(
)
(
)
SBD ABCD BD

∩ =
;

(
)
BD SAC
⊥
(theo chứng minh câu b) )

(
)
(
)
SAC SBD SO
∩ =
,
(
)
(
)
SAC ABCD AC
∩ =
;
Vậy
( ) ( )

(
)

(

)

, ,
SBD ABCD AC SO AOS
= =
( Vì

AOS
là góc nhọn).
e) Tính d(A, (SCD)) :
Gọi H là hình chiếu của A lên SD.
Ta có :
AH SD
⊥
(1)

CD AD
⊥
( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

CD SA
⊥
(Vì
(
)
SA ABCD
⊥
).

(

)
CD SAD
⇒ ⊥
, mà
(
)
AH SAD CD AH
⊂ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1), (2)
(
)
AH SCD
⇒ ⊥
tại H
(
)
(
)
,
d A SCD AH
⇒ =
.
Xét
SAD
∆
vuông tại A có AH là ñường cao :
Ta có :
( )
2

2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 2 2
2 3
3
2
a a
AH AH
AH AS AD a a
a
= + = + = ⇒ = ⇒ =
.
Vậy
( )
( )
2
,
3
a
d A SCD AH= =
.
Bài 2.
Cho hình chóp S. ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C và SB
⊥
(ABC), biết AC = a
2
,
BC = a, SB = 3a.

a)

Chứng minh: AC
⊥
(SBC)
b)

Gọi BH là ñường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA
⊥
BH.
c)

Tính góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)


3

3a
a
a 2
B
C
A
S
H
M
B
A
C
a

60°
a
a
a
H
O
A
D
B
C
S
Giải
a) Chứng minh : AC
⊥
(SBC)
Ta có :
AC BC
⊥
(gt) ;

AC SB
⊥
(Vì
(
)
SB ABC
⊥
) ;

(

)
AC SBC
⇒ ⊥
.
b) Chứng minh : SA
⊥
BH
ðể chứng minh SA
⊥
BH ta chứng minh
(
)
BH SAC
⊥
.
Ta có :
BH SC
⊥
(gt) (1)
Theo chứng minh trên ,
(
)
AC SBC
⊥
mà
(
)
BH SBC BH AC
⊂ ⇒ ⊥
(2)

Từ (1) và (2)
(
)
BH SAC
⇒ ⊥
, mà
(
)
SA SAC BH SA
⊂ ⇒ ⊥
.
c) Tính góc giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
Do
(
)
SB ABC
⊥
tại B nên hình chiếu của S lên (ABC) là B.
⇒
Hình chiếu của SA lên (ABC) là BA.
( )

(
)

(
)

, ,
SA ABC SA BA SAB

⇒ = =
.

Trong
ABC
∆
vuông tại C, ta có :
2 2 2 2
2 3.
AB BC AC a a a
= + = + =


Trong
SBA
∆
vuông tại B, ta có :
 
0
3
tan 3 60
3
SB a
SAB SAB
AB
a
= = = ⇒ =
.
Vậy
( )


(
)

0
, 60
SA ABC SAB
= =
.
Bài 3.
Cho hình chóp S. ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc

BAD
= 60
0

và SA=SB = SD = a.
a)

Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)
b)

Chứng minh tam giác SAC vuông
c)

Tính khoảng cách từ S ñến (ABCD)
Giải
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có :

SBD
∆
cân tại S có O là trung ñiểm của BD nên
SO BD
⊥
;
ABCD là hình thoi nên
BD AC
⊥
;

(
)
BD SAC
⇒ ⊥
, mà
(
)
(
)
(
)
BD ABCD SAC ABCD
⊂ ⇒ ⊥
.
b) Chứng minh tam giác SAC vuông
Ta chứng minh SO = AO = OC.

Do
ABD

∆
cân tại A có

0
60
BAD ABD
= ⇒ ∆
ñều.


ABD
∆
ñều cạnh a có AO là ñường trung tuyến
3
2
a
AO
⇒ =
.

Xét
SOD
∆
vuông tại O, ta có :
2
2
2 2 2
3 3
2 4 2
a a a

SO SD OD a
 
= − = − = =
 
 
.
3
2
a
SO AO OC
⇒ = = =
, mà SO là ñường trung tuyến của
SAC SAC
∆ ⇒ ∆
vuông tại S.
Chú ý :
Cho tam giác ABC có AM là ñường trung tuyến
ABC
∆
vuông tại A
AM MB MC
⇔ = =
.

“Trong một tam giác vuông ñường trung tuyến ứng với
cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”



4

a
Q
K
M
H
O
F
E
A
B
C
D
S
P


c) Tính khoảng cách từ S ñến (ABCD)
Xét hình chóp S.ABD :
Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp ñều.
Gọi H là trọng tâm của
(
)
ABD SH ABD
∆ ⇒ ⊥
(Theo tính chất của hình chóp ñều).
(
)
SH ABCD
⇒ ⊥

tại H
(
)
(
)
,
d S ABCD SH
⇒ =
.

Vì H là trọng tâm
ABD
∆
nên
2 2 3 3
.
3 3 2 3
a a
AH AO= = =
.

Trong
SHA
∆
vuông tại H, ta có :
2 2
2
2 2 2 2
3 3 2 2
3 3 3

3
a a a a
SH SA AH a a
   
= − = − = − = =
   
   
   
.
( )
( )
2
,
3
a
d S ABCD SH
⇒ = =
.
Bài 4.
Cho hình chóp S. ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác ñều. Gọi
E, F là trung ñiểm của AB và CD.
a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE
⊥
(SCD) và SF
⊥
(SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF. Chứng minh: SH
⊥
AC
c) Tính góc giữa ñường thẳng BD và mặt phẳng (SAD)

Giải
a) Chứng minh SE
⊥
(SCD) và SF
⊥
(SAB).


 Chứng minh SE
⊥
(SCD) :

Do
SCD
∆
cân tại S có F là trung ñiểm của CD
⇒
CD SF
⊥

Mà
CD EF
⊥
(theo tính chất của hình vuông)
(
)
CD SEF
⇒ ⊥
, mà
(

)
SE SEF SE CD
⊂ ⇒ ⊥
(1)

Ta chứng minh
SEF
∆
vuông tại S bằng cách
sử dụng ñịnh lý Pytago như sau :
SCD
∆
vuông tại S có SF là ñường trung tuyến nên
1
2 2
a
SF CD
= =
.
SAB
∆
ñều cạnh a có SE là trung tuyến nên
3
2
a
SE
=
.
EF = a.
Ta có :

2
2
2 2
2 2 2 2
3 3
2 2 4 4
a a a a
SE SF a EF
 
 
+ = + = + = =
 
 
 
 
 
.
Vậy
SEF
∆
vuông tại S
SE SF
⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2)
(
)
SE SCD
⇒ ⊥
.



 Chứng minh SF
⊥
(SAB) :
Theo chứng minh trên,
SF SE
⊥
(3)

(
)
CD SEF
⊥
, mà AB // CD
(
)
AB SEF SF AB
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(4)
Từ (3) và (4)
(
)
SF SAB
⇒ ⊥
.
b) Chứng minh SH
⊥
AC
Ta có :

(
)
CD SEF
⊥
(theo chứng minh trên), mà
(
)
SH SEF SH CD
⊂ ⇒ ⊥
.

5

Hơn nữa,
SH EF
⊥
(gt)
⇒

(
)
SH ABCD
⊥
.
Mà
(
)
AC ABCD
⊂
SH AC

⇒ ⊥
.
c) Tính góc giữa ñường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh ñọc tham khảo).
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có AC, BD và EF ñồng quy tại O.
Vì
SE SF
>
nên H thuộc ñoạn OF.

Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ ñường thẳng song song với CD cắt AD, OD lần lượt tại M và K.
Vậy góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là góc giữa KD và (SAD). Ta ñi tìm hình chiếu của K lên (SAD).
Ta có :
,
AD MH AD SH
⊥ ⊥
(do
(
)
SH ABCD
⊥
)
(
)
(
)
(
)
AD SHM SAD SHM
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

.
(
)
(
)
SAD SHM SM
∩ =
.

Vẽ
KP SM
⊥
(
P SM
∈
)
(
)
KP SAD
⇒ ⊥
tại P.
Nhận xét :
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì ñường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
⇒
Hình chiếu của K lên (SAD) là P.
⇒
Hình chiếu của KD lên (SAD) là PD.
⇒
( )


(
)
( )

(
)

(
)

, , ,
BD SAD KD SAD KD PD KDP
= = =
.

ðể tìm góc

KDP
ta ñi tìm KD và KP.


SEF
∆
vuông tại S có SH là ñường cao nên ta có :
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 4 4 16 3 3

3
3 3 16 4
3
4 4
2
2
a a
SH SH
a a
SH SE SF a a a
a
a
= + = + = + = + = ⇒ = ⇒ =
   
 
 
 
 
.


SEH
∆
vuông tại H nên ta có :
2 2 2
2 2
3 3 9 3
4 16 16 4
a a a a
EH SE SH= − = − = =

.


3
4 2 4 2 4 4
a a a a a a
OH EH OE HF OF OH
= − = − = ⇒ = − = − =
.
⇒
H là trung ñiểm của OF, mà HK // DF nên HK là ñường trung bình của
FOD
∆
.
⇒
K là trung ñiểm của OD
1 1 2 2
.
2 2 2 4
a a
KD OD
⇒ = = =
⇒ = = =⇒ = = =
⇒ = = =
. (do
2
BD a
=
).


1 1
.
2 2 2 4
a a
HK DF
= = =
,
2 4 4
a a a
MK MH HK K
= − = − = ⇒ là trung ñiểm của MH.

Trong (SHM), vẽ
HQ SM
⊥
(
Q SM
∈
), mà
KP SM
⊥
/ /
KP HQ
⇒
mà K là trung ñiểm của MH nên
KP là ñường trung bình của
1
2
MHQ KP HQ

∆ ⇒ = .


SHM
∆
vuông tại H có HQ là ñường cao, ta có :
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 16 4 28 3 3
3
3 3 28
2 7
3
16 4
2
4
a a
HQ HQ
a a
HQ HS HM a a a
a
a
= + = + = + = + = ⇒ = ⇒ =
   
 
 
 
 

.
1 3 3
.
2
2 7 4 7
a a
KP
⇒ = =
⇒ = =⇒ = =
⇒ = =
.

Trong
KPD
∆
vuông tại P, ta có :
 
0
3
3
4 7
sin 27 35'
2 14
4
a
KP
KDP KDP
KD
a
= = = ⇒ ≈

Vậy
( )

(
)

0
, 27 35'
BD SAD KDP= ≈
.

6

2a
a
H
O
A
D
B
C
S

Bài 5.
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a,
⊥
( )
SA ABCD
và SA = 2a.

a). Chứng minh
⊥
( ) ( )
SAC SBD
;
⊥
( ) ( )
SCD SAD

b). Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC);
c). Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Giải
a) Chứng minh
⊥
( ) ( )
SAC SBD
;
⊥
( ) ( )
SCD SAD



 Chứng minh
(
)
(
)
SAC SBD
⊥

:
Ta có :
BD AC
⊥
(Hai ñường chéo của hình vuông ABCD) ;

BD SA
⊥
(do
(
)
SA ABCD
⊥ ) ;

(
)
BD SAC
⇒ ⊥ , mà
(
)
(
)
(
)
BD SBD SAC SBD
⊂ ⇒ ⊥ .



 Chứng minh

(
)
(
)
SCD SAD
⊥
:
Ta có :
CD AD
⊥
(Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

CD SA
⊥
(do
(
)
SA ABCD
⊥ ;

(
)
CD SAD
⇒ ⊥ , mà
(
)
(
)
(
)

CD SCD SCD SAD
⊂ ⇒ ⊥ .
b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).


 Tính góc giữa SD và (ABCD).

Ta có :
(
)
SA ABCD
⊥ tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A.
⇒
Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD.
⇒
( )

(
)

(
)

, ,
SD ABCD SD AD SDA
= =
.
Trong
SAD
∆

vuông tại A,
 
2
tan 2 arctan 2.
SA a
SDA SDA
AD a
= = = ⇒ =
Vậy
( )

(
)

, arctan 2
SD ABCD SDA= =
.


 Tính góc giữa SB và (SAD).
Ta có :
(
)
,
BA SA BA AD BA SAD
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
tại A nên hình chiếu của B lên (SAD) là A.
⇒
Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA.
⇒

( )

(
)

(
)

, ,
SB SAD SB SA BSA
= =
.
Trong
SAB
∆
vuông tại A,
 
1 1
tan arctan .
2 2 2
AB a
BSA BSA
SA a
= = = ⇒ =

Vậy
( )

(
)


1
, arctan
2
SB SAD BSA= =
.


 Tính góc giữa SB và (SAC).
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Theo chứng minh trên
(
)
BD SAC
⊥ tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.
⇒
Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO.
( )

(
)

(
)

, ,
SB SAC SB SO BSO
⇒ = =
.


1 2
2
2 2
a
BD a BO BD= ⇒ = =
.


SAB
∆
vuông tại A nên
( )
2
2 2 2
2 5
SB SA AD a a a
= + = + =
.

7


Trong
SOB
∆
vuông tại O, ta có :
 
2
2 1 1

2
sin arcsin
5 2 5 10 10
a
BO
BSO BSO
SB
a
= = = = ⇒ =
.
Vậy
( )

(
)

1
, arcsin
10
SB SAC BSO= =
.


c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)).


Tính d(A, (SCD)).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD.
Ta có :
AH SD

⊥
.
Theo chứng minh ở câu a,
(
)
CD SAD
⊥
mà
(
)
AH SAD AH CD
⊂ ⇒ ⊥
.
(
)
AH SCD
⇒ ⊥
tại H
(
)
(
)
,
d A SCD AH
⇒ =
.


SAD
∆

vuông tại A có
AH
là ñường cao, ta có :
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 4 2
4 4 5
5
a a
AH AH
AH AD AS a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ =
.

Vậy
( )
( )
2
,
5
a
d A SCD AH= =
.
Nhận xét :
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì ñường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Trong ý trên, do (SAD)
⊥
(SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẽ

AH SD
⊥
thì
(
)
AH SCD
⊥
.



Tính d(B,(SAC)).
Theo chứng minh trên
(
)
BD SAC
⊥
tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.
( )
( )
2
,
2
a
d B SAC BO⇒ = =
.

Bài 6.
Hình chóp S.ABC.
∆

ABC vuông tại A, góc

B
= 60
0
, AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC)
vuông góc với ñáy; SB = a. Hạ BH
⊥
SA (H
∈
SA); BK
⊥
SC (K
∈
SC).
a) CM: SB
⊥
(ABC)
b) CM: mp(BHK)
⊥
SC.
c) CM:
∆
BHK vuông .
d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
Giải
Nhận xét :
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông
góc với mặt phẳng ñó, tức là :
Ta có :

(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
;
d
d
α β
γ
α γ β γ
∩ = 

⇒ ⊥

⊥ ⊥


.

a) CM SB ⊥
⊥⊥
⊥ (ABC) :
Ta có :
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )

( )
;
SAB SBC SB
SB ABC
SAB ABC SBC ABC
∩ = 

⇒ ⊥

⊥ ⊥


.

8

60°
2a
a
K
B
A
C
S
H
b) CM (BHK) ⊥
⊥⊥
⊥ SC :


SC BK
⊥
(gt) (1)

AC AB
⊥
(
ABC
∆
vuông tại A) ;

AC SB
⊥
(do
(
)
SB ABC
⊥
)
(
)
AC SAB
⇒ ⊥
.
mà
(
)
BH SAB BH AC
⊂ ⇒ ⊥
, mặc khác

BH SA
⊥
(gt)
(
)
BH SAC
⇒ ⊥
mà
(
)
SC SAC SC BH
⊂ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2)
(
)
SC BHK
⇒ ⊥
.
c) CM ∆
∆∆
∆BHK vuông :
Theo chứng minh ở câu b,
(
)
BH SAC
⊥
mà
(
)

HK SAC BH HK
⊂ ⇒ ⊥
.
Vậy
BHK
∆
vuông tại H.
d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :
Vì
H SA
∈
nên
( )

(
)
( )

(
)
, ,
SA BHK SH BHK
=
.
Theo chứng minh ở câu b,
(
)
SC BHK
⊥
tại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K.

⇒
Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH.
( )

(
)
( )

(
)

(
)


, , , .
SA BHK SH BHK SH SK HSK ASC
⇒ = = = =



BAC
∆
vuông tại A,
0
0
cos60 2
1
cos60
2

AB AB a
BC a
BC
= ⇒ = = =
.


SBC
∆
vuông tại B nên
2 2 2 2
4 4 2 2
SC BS BC a a a
= + = + =
.


SBA
∆
vuông tại B nên
2 2 2 2
4 5
SA BS BA a a a
= + = + =
.

Trong
SAC
∆
vuông tại A, ta có :


5 5 10
cos
4
2 2 2 2
SA a
ASC
SC
a
= = = =
.
Vậy
( )

(
)

10
cos , cos
4
SA BHK ASC= =
.
Bài 7.
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng
2
5a
. Gọi O là tâm của
hình vuông ABCD. Và M là trung ñiểm của SC.
a)

Chứng minh: (MBD)
⊥
(SAC)
b)

Tính góc giữa SA và mp(ABCD) .
c)

Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD).
d)
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD)


Nhắc lại :
Hình chóp ñều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có ñáy là ña giác ñều. Do ñó, trong
hình chóp ñều, tâm của ña giác ñáy trùng với hình chiếu của ñỉnh S lên mặt ñáy.


a) Chứng minh : (MBD)
⊥
(SAC) :
Vì hình chóp S.ABCD ñều nên
(
)
SO ABCD
⊥
;
mà
(
)

BD ABCD BD SO
⊂ ⇒ ⊥
;
Hơn nữa,
BD AC
⊥
(Hai ñường chéo của hình vuông ABCD);
(
)
BD SAC
⇒ ⊥
mà
(
)
(
)
(
)
BD MBD MBD SAC
⊂ ⇒ ⊥
.
b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) :
Ta có :
(
)
SO ABCD
⊥
nên hình chiếu của S lên (ABCD) là O.
⇒
Hình chiếu của SA lên (ABCD) là OA.

9

a 5
2
a
M
O
A
D
B
C
S
E
F
( )

(
)

(
)

, ,
SA ABCD SA OA SAO
⇒ = =
.


5

2
a
SA =
;
2
2
2
a
AC a AO= ⇒ =


Trong
SOA
∆
vuông tại O, ta có :

 
2
2 2
2
cos cos
5 5 5
2
a
AO
SAO SAO arc
SA
a
= = = ⇒ =
.

Vậy
( )

( )

2
, cos
5
SA ABCD SAO arc= =
.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :

Ta có :
(
)
(
)
MBD ABCD BD
∩ =
;


(
)
BD SAC
⊥
;


(

)
(
)
SAC ABCD AC
∩ =
;


(
)
(
)
SAC MBD MO
∩ =
;
( ) ( )

(
)

(
)

, ,
MBD ABCD AC MO COM
⇒ = =
( Vì

COM
là góc nhọn )


Trong
SOC
∆
vuông tại O có OM là ñường trung tuyến nên
1 1 5 5
.
2 2 2 4
a a
OM SC= = =
.


2 1 5
;
2 2 4
a a
OC MC SC= = =
.

Áp dụng ñịnh lí cosin trong tam giác COM, ta có :

2 2 2
2 . .cos
CM OM OC OM OC COM
= + −
.
 
2 2 2
2 2 2

5 2 5
2
4 2 4
2 2
2
cos arccos
2 .
5 2 5 5 5
2 .
4 2 2
a a a
a
OM OC CM
COM COM
OM OC
a a a
     
+ −
     
+ −
     
⇒ = = = = ⇒ =
.
Vậy
( ) ( )

( )

2
, arccos .

5
MBD ABCD COM= =

Cách 2 :

Trong
SOC
∆
vuông tại O có OM là ñường trung tuyến nên
1 1 5 5
.
2 2 2 4
a a
OM SC CM
= = = =
.
COM
⇒ ∆
cân tại M


COM MCO
⇒ =
.
Mặc khác,


MCO SAO
=
( Vì

SAC
∆
cân tại S)


COM SAO
⇒ =
. Theo câu b,

2
arccos
5
SAO =
.
Từ ñó suy ra
( ) ( )

( )

2
, arccos .
5
MBD ABCD COM= =


Nhận xét :
Trong việc xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) ta có thể dùng cách 2 như ñã
nói ở bài tập 1. Cách này không ñơn giản vì tìm ñiểm thuộc BD ñể từ ñó vẽ trong (ABCD) và (MBD) hai
ñường thẳng lần lượt vuông góc với BD tại ñiểm ñó là khó. Thực chất, người ta thường dùng cách 3 ñể từ
ñó trình bày cách 2 cho ñơn giản.

d)
d)d)
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) :



Ta có :
(
)
(
)
SAB ABCD AB
∩ = ;

10

a 3
2a
a
K
H'
B'
O
C
A
C'
A'
B
H

Gọi E, F lần lượt là trung ñiểm của AB và CD.


;
AB EF AB SO
⊥ ⊥
(do
(
)
SO ABCD
⊥ )
(
)
AB SEF
⇒ ⊥ .


(
)
(
)
SEF ABCD EF
∩ = ;


(
)
(
)
SEF SAB SE

∩ = ;
( ) ( )

(
)

(
)

, ,
SAB ABCD SE EF SEF
⇒ = =
( Vì

SEF
là góc nhọn )


SOC
∆
vuông tại O nên
2 2
2 2
2 2
5 2 5 2 3
2 2 4 4 2
a a a a a
SO SC OC
   
= − = − = − =

   
   
   


Trong
SEO
∆
vuông tại O, ta có :
 
0
3
2
tan 3 60
2
a
SO
SEF SEF
a
OE
= = = ⇒ =
Vậy
( ) ( )

(
)

0
, 60
SAB ABCD SEF= =

.
Bài 8.
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A có
BC = 2a, AB = a
3
.
a) Tính khoảng cách từ AA′ ñến mặt phẳng (BCC′B′).
b) Tính khoảng cách từ A ñến (A′BC).
c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ ñến mặt phẳng (ABC′).
Giải
a) Tính khoảng cách từ AA
′
′′
′
ñến mặt phẳng (BCC
′
′′
′
B
′
′′
′
).
Vì
'/ / '
AA BB
nên
(
)
'/ / ' '

AA BCC B

⇒
(
)
(
)
(
)
(
)
', ' ' , ' '
d AA BB C C d A BCC B
= .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Từ H, vẽ ñường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ tại H’.
Do
'/ / '
AA HH
,
(
)
(
)
' ' '
AA ABC HH ABC HH AH
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ .
Ta có :
( )
' '

'
AH BC
AH BCC B
AH HH
⊥

⇒ ⊥

⊥

tại H

(
)
(
)
, ' '
d A BCC B AH
⇒ = .


ABC
∆
vuông tại A nên
2 2 2 2
4 3
AC BC AB a a a
= − = − =
.


ABC
∆
vuông tại A có AH là ñường cao nên
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3 3
3 3 4 2
a a
AH AH
AH AC AB a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ =
.
( )
( )
3
', ' '
2
a
d AA BB C C AH⇒ = =
.
b) Tính khoảng cách từ A ñến (A
′
′′
′
BC).


'

AB AA
⊥
(do
(
)
'
AA ABC
⊥ ) ;
AB AC
⊥
(gt)
(
)
' ' '
AB A ACC AB A C
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ .
Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ là hình vuông.
Gọi O là tâm của hình vuông A’ACC’.

Do
( )
' '
' '
'
A C AC
A C ABC
A C AB
⊥

⇒ ⊥


⊥

mà
(
)
(
)
(
)
' ' ' '
A C A BC ABC A BC
⊂ ⇒ ⊥ .

Hai mặt phẳng
(
)
(
)
' , '
A BC ABC
có giao tuyến là
OB
.
Trong
(
)
'
ABC
kẻ

(
)
(
)
'
AK OB K OB AK A BC
⊥ ∈ ⇒ ⊥ tại K.

11

(
)
(
)
, '
d A A BC AK
⇒ = .


AOB
∆
vuông tại A có AK là ñường cao nên
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 6 7 3 3
3 3 3 3 7
7
2

2
a a
AK AK
AK AB AO a a a a a
a
+
= + = + = + = = ⇒ = ⇒ =
 
 
 
.
Vậy
( )
( )
3
, '
7
a
d A A BC AK= =
.

Cách 2 :

Vì
(
)
(
)
(
)

, ' ' ' '
BC AH BC AA BC AA H A BC AA H
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến A’H.

Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ
(
)
(
)
' ' '
AI A H I A H AI A BC
⊥ ∈ ⇒ ⊥ tại I.
(
)
(
)
, '
d A A BC AI
⇒ = .


'
AA H
∆
vuông tại A có AI là ñường cao nên
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 1 7 3
3

' 3 3
7
4
a
AI
a
AI AH AA a a a a
= + = + = + = ⇒ =
.
( )
( )
3
, '
7
a
d A A BC AI⇒ = =
.
Nhận xét :
Hai ñiểm I và K hiển nhiên trùng nhau.
c) Chứng minh rằng AB
⊥
⊥⊥
⊥
(ACC
′
′′
′
A
′
′′

′
) và tính khoảng cách từ A
′
′′
′
ñến mặt phẳng (ABC
′
′′
′
).


 Chứng minh rằng AB
⊥
⊥⊥
⊥
(ACC
′
′′
′
A
′
′′
′
) :
Ta có :
, '
AB AC AB AA
⊥ ⊥
(do

(
)
'
AA ABC
⊥
)
(
)
' '
AB ACC A
⇒ ⊥
.


 Tính khoảng cách từ A
′
′′
′
ñến mặt phẳng (ABC
′
′′
′
) :
Theo chứng minh trên,
(
)
' '
A C ABC
⊥
tại O nên

(
)
(
)
', ' '
d A ABC A O
=
.
Ta có :
( )
( )
2 2
' 2 ' ', '
2 2
a a
A C a A O d A ABC= ⇒ = ⇒ =
.
Nhận xét :
ðể tính khoảng cách từ M ñến
(
)
α
, nếu ñề bài cho không xác ñịnh trực tiếp ñược hình chiếu
của M lên
(
)
α
thì ta làm như sau :

Tìm mp

(
)
β
ñi qua M và
(
)
(
)
β α
⊥
;

Tìm giao tuyến
(
)
(
)
α β
∆ = ∩
;

Kẻ
(
)
(
)
(
)
(
)

,
MH H MH d M MH
α α
⊥ ∆ ∈∆ ⇒ ⊥ ⇒ =
.
Chúc các em thi ñạt kết quả thật tốt !
Biên soạn : GV. Trần Quốc Dũng