Đề và đáp án tuyển sinh môn toán vào lớp 10 tham khảo năm 2015 (3)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HÀ NỘI – MÔN: TOÁN 2015-2016
Bài IV.
a) Tứ giác ACMD nội tiếp
C/m: góc ACD = góc AMD = 90
0

b) CA.CB = CH.CD
C/m: tứ giác ANHC nội tiếp suy ra góc DAC = góc CHB(cùng bù góc NHC) suy ra tam giác
CAD đồng dạng với tam giác CHB
c) ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của DH
* tứ giác ACMD nội tiếp suy ra góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy ra góc
AMC = góc HBC = góc NMA suy ra góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp do đó
góc DNH = 90
0
do góc ANB = 90
0
suy ra điều phải chứng minh.
* Vì NJ là tiếp tuyến (O) suy ra góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy ra tam giác
NJD cân tại J suy ra JN = JD mà tam giác NDH vuông tại N suy ra góc JNH + góc JND = góc
JDN + góc JHN = 90
0
do đó góc JNH = góc JHN suy ra tam giác INH cân tại J suy ra JN = JH
do vậy JH = JD nên J là trung điểm của DH
d) MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên cung KB
Gọi Q là giao điểm của MN và AB; OJ cắt MN tại L
Ta chứng minh được MJ là tiếp tuyến của (O) suy ra MN vuông góc OJ do đó tam giác OLQ
đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy ra
OL OQ
OC OJ

=
suy ra OL.OJ = OQ.OC. Theo hệ
thức lượng trong tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM
2
= R
2
(R là bán kính (O)) suy ra
OQ.OC = R
2
suy ra
2
R
OQ
OC
=
do O, C cố định R không đổi suy ra OQ không đổi suy ra Q
cố định vậy MN đi qua Q
Bài V (0,5 điểm) (Nguyễn Thành Phát)
Với hai số thực dương không âm a, b thỏa
2 2
4a b+ =
ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 4 2a b a ab b a b ab ab+ = + + = + + = +
Suy ra
( )
2

4 2a b ab+ = +
(do
4 2 0; , 0ab a b+ > >
)
Hay
4 2 4 2a b ab a b ab+ = + ⇔ + = +
Khi đó, biểu thức M được viết lại thành:
2
4 2 2
ab ab
M
a b
ab
= =
+ +
+ +
(1)
Mặc khác:
4 2 4 4 2 4 2ab ab+ > ⇔ + > =
( ) ( )
2 4 2 2 4 2 2ab ab ab⇒ = + + + −
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
4 2 2
2
2
4 2 2
ab ab
M
ab

ab
+ −
= =
+ −
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm a, b ta được:
2 2
4
2
2 2
a b
ab
+
≤ = =
4 2 2 4 2.2 2 2 2 2ab⇒ + − ≤ + − = −
2 2 2
2 1
2
M
−
⇒ ≤ = −
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
0
2
4
a b
a b
a b
= ≥


⇔ = =

+ =

Vậy GTLN của biểu thức M là
2 1−
khi
2a b= =
.