De thi hoc sinh gioi lop 8 nam 2009-2010

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học 2009 - 2010
MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (3,5 ñiểm) Cho biểu thức:
P =
( )
(
)
2
2
2 3 3

x - 1
1 - 2x + 4x 1 2x
- + :
x - 1
x - 1 x + x
3x + x - 1
 
 
 
 
 
 
(v

ớ
i x
≠
0, x
≠
1)
a) Rút g
ọ
n P.
b) V
ớ
i x b
ằ
ng bao nhiêu thì P
ñạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
ñ
ó.

Câu 2. (4,5 ñiểm)
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a) x
2
- 10x + 16 = 0
b)
327 −=− xx

c)
2 2 2
1 1 1 3
+ + =
40
x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20


Câu 3. (4,5 ñiểm)
a) Tìm số tự nhiên n ñể
2
n + 7
n + 8
là số tự nhiên.
b) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên khác 1 thì biểu thức
5
2

b - 5b + 4
b + 1 - 2b
là số nguyên
c) Tìm số nguyên m lớn nhất ñể phương trình 2x – 1 = 3m – 6 có nghiệm x là số âm.


Câu 4. (6,0 ñiểm)
1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là trung ñiểm của cạnh
AC. Các ñường trung trực của cạnh BC và AC cắt nhau tại O, H là trực tâm và G là
trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng:
a)
∆ABH

ñồng dạng với
MNO.
∆

b)
∆AHG
ñồng dạng với
MOG.
∆

c) Ba ñiểm H, G, O thẳng hàng.

2. Cho tam giác ABC có góc A gấp hai lần góc B, AC = 9cm, BC = 12cm. Tính ñộ
dài cạnh AB?

Câu 5. (1,5 ñiểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 5x

2
+ 2y
2
- 4xy - 8x - 4y + 19


Hết



ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI KHÁO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Năm học 2009 - 2010
MÔN TOÁN - LỚP 8
(Hướng dẫn này gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm
a) (2,0 ñiểm)
P =
( )
(
)
2
2
2 3 3

x - 1
1 - 2x + 4x 1 2x
- + :
x - 1
x - 1 x + x
3x + x - 1
 
 
 
 
 
 


P
( )
(
)
(
)
2 2
2
2 2
2 1 1 2 4 1 2
:
1
1
1 1 1
x x x x x

x
x x
x x x x x
 
− + − +
 
= − +
 
−
+ +
− + + +
 
 



(0,5 ñiểm)
P
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2 2 2
2
2

1 2 1 1 2 4 1
2
:
1
1 1
x x x x x x x
x
x x x
− − + − − + + + +
=
+
− + +

(0,5 ñiểm)
P
( )
(
)
3 2 2 2 2
2
2
2 2 1 1 2 4 1 2
:
1
1 1
x x x x x x x x x
x
x x x
− + − + − − + − + + +
=

+
− + +

(0,5 ñiểm)


P
( )
(
)
3 2 2
2
1 1 1
.
2 2
1 1
x x x
x x x
− + +
= =
− + +

(0,5 ñiểm)
b) (1,5 ñiểm)
P ñạt giá trị nhỏ nhất khi
2
1
2
x
+

ñạt giá trị nhỏ nhất

(0,5 ñiểm)
P =
2
1
2
x
+
2
1 1
2 2 2
x
= + ≥

∀
x (vì
2
0; 2 >0
x
≥

∀
x)

(0,5 ñiểm)
1
(3.5
ñiểm)
P =

1
2
khi x = 0 mà x = 0 không thuộc tập xác ñịnh vậy P không có
giá trị nhỏ nhất.

(0,5 ñiểm)
a) (2,0 ñiểm)
x
2
- 10x + 16 = 0
⇔
x
2
- 2x - 8x + 16 = 0

(0,25 ñiểm)

⇔
(x
2
- 2x) - (8x - 16) = 0
(0,25 ñiểm)

⇔
x( x - 2 ) -8 (x - 2 ) = 0
(0,25 ñiểm)


⇔
(x - 2)(x - 8) = 0

(0,25 ñiểm)

⇔
x - 2 = 0 hoặc x - 8 = 0
(0,5 ñiểm)
⇔
x = 2 hoặc x = 8
(0,25 ñiểm)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 8 (0,25 ñiểm)

b) (1,5 ñiểm)
327 −=− xx


TH1:
7
x
≥
ta có x - 7 = 2x - 3
(0,5 ñiểm)
x = - 4 (loại) (0,25 ñiểm)

TH2:
7
x
<
ta có 7 - x = 2x - 3
(0,25 ñiểm)

2
(4.5
ñiểm)
x =
10
3
(nhận)
(0,25 ñiểm)


Vậy phương trình có 1 nghiệm x =
10
3

(0,25 ñiểm)

c) (1,0 ñiểm)
2 2 2
1 1 1 3
+ + =
40
x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20
(1)


(ĐK x
2; 3; 4; 5
≠ − − − −
)

(1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 3
2 3 3 4 4 5 40
x x x x x x
⇔ + + =
+ + + + + +

(0,25 ñiểm)


(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 3
2 3 3 4 4 5 40
x x x x x x
⇔ − + − + − =
+ + + + + +
(2)

(2)
1 1 3
2 5 40
x x
⇔ − =
+ +

(0,25 ñiểm)

(
)
(
)
( )( )
3 3
2 5 40
2 5 40
x x

x x
⇔ = ⇒ + + =
+ +


(
)
(
)
2
7 30 0 3 10 0
x x x x
⇔ + − = ⇔ − + =

(0,25 ñiểm)

⇔
3
10
x
x

=


= −

Thỏa mãn ñiều kiện

2

(4.5
ñiểm)
Vậy phương trình có tập nghiệm là S =
{
}
-10; 3

(0,25 ñiểm)

a) (1,5 ñiểm)
Vì n là số tự nhiên =>
2
n 7
n 8
+
+
là số tự nhiên
(
)
(
)
2
7 8
n n
⇔ + +
⋮


(0,25 ñiểm)

(
)
( ) ( ) ( )
2
n - 64 +71 n + 8 n - 8 (n + 8) + 71 n+8
 
 
 
 
 
 
⇔ ⇔⋮ ⋮


(0,25 ñiểm)
(
)
71 8
n
⇔ +
⋮

(0,25 ñiểm)

Hay n + 8 là ước của 71 (0,25 ñiểm)


n + 8 - 1 - 71 1 71
n - 9 (lo¹i)

- 79 (lo¹i) - 7 (lo¹i) 63 (nhËn)


(0,25 ñiểm)
Vậy n = 63 thì
2
n 8
n 8
+
+
là số tự nhiên.

(0,25 ñiểm)
b) (1,5 ñiểm)
vì
2
b +1 - 2b
= (b - 1)
2
nên b khác 1 thì biểu thức có nghĩa.
(0,25 ñiểm)
ta có
5
2
b - 5b + 4
b +1 - 2b

(
)
(

)
(
)
2
3 2
2
1 2 3 4
1
b b b b
b
− + + +
= =
−


(0,25 ñiểm)
=
3 2
2 3 4
b b b
+ + +

(0,5 ñiểm)
vì b là số nguyên =>
3 2
2 3 4
b b b
+ + +
là số nguyên
(0,25 ñiểm)

hay
5
2
b - 5b + 4
b +1 - 2b
là số nguyên khi b là số nguyên khác 1

(0,25 ñiểm)
c) (1,5 ñiểm)
2x – 1 = 3m – 6
⇔

x =
2
53
−
m


(0,5 ñiểm)
3
(4.5
ñiểm)
x < 0
⇔
2
53
−
m
< 0

(0,5 ñiểm)

M
H
O
G
N
C
B
A
⇔
m <
5
3
=> m = 1 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

(0,5 ñiểm)





1) (4,0 ñiểm)
Vẽ ñúng hình ý a cho 0,25 ñiểm
a) (1,75 ñiểm)
Ta có OM // AH (Vì cùng vuông góc với BC) (0,25 ñiểm)
MN //AB (vì MN là ñường trung bình của
ABC
∆
)

(0,25 ñiểm)
Hai góc nhọn HAB và OMN có các cạnh tương ứng song song .
Vậy


HAB = OMN
(*)
(0,25 ñiểm)
(0,25 ñiểm)

Tương tự ta có


HBA = ONM

(0,5 ñiểm)
=>
∆ABH
ñồng dạng với
MNO
∆
(g-g)
(0,25 ñiểm)
b) (1,0 ñiểm)
Ta có AH//MO (vì cùng vuông góc với BC)
=>


HAG = OMG
(ở vị trí so le trong)

(0,25 ñiểm)
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC nên
( )
1
MG 1
=
AG 2


(0,25 ñiểm)
∆ABH
ñồng dạng với
MNO
∆

( )
2
OM MN 1
= =
AH AB 2
⇒

(0,25 ñiểm)
Từ (1) và (2) ta có
MG OM
=
AG AH

(0,25 ñiểm)

Vậy
∆AHG
ñồng dạng với
MOG
∆


c) (1,0 ñiểm)
Từ câu b, suy ra

AGH
=

OGM
,
(0,25 ñiểm)

hai góc này bằng nhau mà hai cạnh AG, GM nằm trên ñường thẳng
AM. Hai cạnh GH và GO nằm ở hai phía của AM nên cũng phải
nằm trên một ñường thẳng.
(0,5 ñiểm)
nghĩa là ba ñiểm H; G; O thẳng hàng. (0,25 ñiểm)

C

D


2) (2,0 ñiểm) A B
Kẻ phân giác AD, ta có

∠
CAD =
∠
DAB =
∠
B ( cùng bằng
nửa góc A)
(0,25 ñiểm)

suy ra tam giác ADB cân tại D (0,25 ñiểm)

⇒
AD = BD
(0,25 ñiểm)

4
6.0
ñiểm)
Suy ra tam giác ACD ñồng dạng với tam giác BCA
AC CD
BC AC
⇒ =

(0,25 ñiểm)


2
81 27
12 4
AC

CD
BC
⇒ = = =

(0,25 ñiểm)


4
21
4
27
12 =−=⇒ BD

(0,25 ñiểm)

Mặt khác, áp dụng tính chất ñường phân giác trong tam giác ta có:
AC CD
AB BD
=

(0,25 ñiểm)

4
6.0
ñiểm)
. 21 27
9. : 7
4 4
AC BD
AB

CD
⇒ = = =
(cm)
(0,25 ñiểm)

A = 5x
2
+ 2y
2
- 4xy - 8x - 4y + 19
= (4x
2
+ y
2
+ 1 - 4xy - 4x + 2y) + (x
2
- 4x + 4) + (y
2
- 6y + 9) + 5 (0,5 ñiểm)
= (2x - y - 1)
2
+ ( x - 2)
2
+ (y - 3)
2
+ 5 (0,5 ñiểm)
=> A
≥
5 với mọi x, y (0,25 ñiểm)

5
1.5
ñiểm)
=> Giá trị nhỏ nhất của A bằng 5  x = 2 và y = 3 (0,25 ñiểm)


Chú ý:
- Hướng dẫn trên chỉ ñưa ra một ñáp án, nếu thí sinh làm cách khác mà ñúng thì
cho ñiểm tối ña, tương ñương.
- Trong bài hình nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm.
- Các ý của câu 2 và câu 3 bắt buộc phải chấm ñiểm kết luận.
- Học sinh có thể sử dụng kiến thức lớp trên hoặc kiến thức trong giới hạn ôn tập ở
công văn số 1088 của sở GD & ĐT Ninh Bình.
- Điểm bài thi không làm tròn.