phương trình và hệ phương trình vi phân (toán cao cấp 3)

Email:
Phương trình và Hệ phương trình Vi phân

A. Phương trình vi phân cấp 1
1. Phương trình biến số phân ly
+ Dạng: 




+ Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm của phương trình
+ Chú ý: 





+ Ví dụ:
a) 


Tích phân hai vế





 






 
b) 

 
Tích phân hai vế









2. Phương trình vi phân toàn phần
+ Dạng: 



  Thỏa mãn 




+ Cách giải:













Trong đó 



được xác định bởi công thức



























c minh cng lm (0,0)

3. Phương trình tuyến tính cấp 1
+ Dạng: 



 


+ Cách giải:
Email:
Tính:

 

 





Công thức nghiệm:  



4. Phương trình Bernoulli
+ Dạng: 



 








+ Cách giải: Đưa về phương trình tuyến tính cấp 1 và áp dụng công thức nghiệm thông qua
hai bước
- Bước 1: Làm mất  ở vế phải
- Bước 2: Đặt 


Cụ thể:
- Kiểm tra   có là nghiệm của phương trình

- Nếu  chia hai vế phương trình cho 


 











Đặt 

 

















  















Phương trình trở về dạng phương trình tuyến tính cấp 1

5. Phương trình thuần nhất
+ Dạng: 







+ Cách giải:

Đặt 


(với  là hàm biến )
 









 



















(Cách nhớ: Đặt 


Đưa về phương trình biến số phân ly)

Email:
6. Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1
Đây là kinh nghiệm cá nhân













Nếu không giải được thì đưa về dạng 



B. Phương trình vi phân cấp 2
(Tuyến tính với hệ số hằng)

Dạng: 






+ Nếu 

  Phương trình thuần nhất
+ Nếu 

  Phương trình không thuần nhất
1. Phương trình thuần nhất (PTTN)
Dạng: 




Cách giải:
+ Xác định phương trình đặc trưng (PTĐT): 


+ Giải PTĐT, nghiệm của PTĐT sẽ quyết định dạng nghiệm của PTTN
- PTĐT có 2 nghiệm phân biệt 




Phương trình

Dạng: 


Dạng:



PT
tuyến
tính
cấp 1
PT
Bernoulli
PT
thuần
nhất
PT
biến
số
phân
ly
PT vi
phân
toàn
phần
Email:

 Nghiệm PTTN: 














(TQTN: Tổng quát thuần nhất)

- PTĐT có nghiệm kép 





 Nghiệm PTTN: 









- PTĐT có cặp nghiệm phức liên hợp  

 Nghiệm PTTN: 









2. Phương trình không thuần nhất
Dạng: 






Cách giải:
+  Có PTTN tương ứng là 




Khi đó  có công thức nghiệm là:









Trong đó 


là nghiệm riêng được xác định từ vế phải của PT




Cụ thể ta sẽ xét các trường hợp của 


a. TH1: 















Trong đó: 



 


 Ta tính được 




Sau đó thế vào 

 của PT



để tìm các hệ số của 


b. TH2: 






Tính 

Kiểm tra xem



là nghiệm bội  của PTĐT 








 




Email:
3. Chú ý
Trong quá trình tìm nghiệm riêng ta có thể sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm riêng.
Ví dụ: Xét 3 phương trình vi phân






























Khi đó 









C. Hệ hai phương trình vi phân cấp 1
Dạng:








Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2
Chú ý: Rút  theo  và  hoặc rút  theo  và 