Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2006

Đáp án đề thi Đại Học môn Toán 2006

1/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối D (Đáp án - Thang điểm có 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm) 3y x 3x 2.=−+ • TXĐ: .\ • Sự biến thiên: 2y' 3x 3, y' 0 x 1, x 1.=− =⇔=− = 0,25 Bảng biến thiên: _+++∞-∞04001-1+∞-∞yy'x yCĐ = () ()CTy1 4,y y1 0.−= = = 0,50 • Đồ thị: 0,25 2 Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt (1,00 điểm) Phương trình đường thẳng d là: ()y m x 3 20.=−+ 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của d và ()C là: () ()()32x 3x 2 m x 3 20 x 3 x 3x 6 m 0.−+= −+ ⇔− ++− = 0,25 Đường thẳng d cắt đồ thị ()C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi ()2fx x 3x 6 m=++− có 2 nghiệm phân biệt khác 3 0,25 ()()15946m 0m4f3 24 m 0m 24.⎧Δ= − − >⎧>⎪⎪⇔⇔⎨⎨=− ≠⎪⎪⎩≠⎩ 0,25 O −1 1 2 4 x y −2 2/4 II 2,00 1 Giải phương trình (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: ()22sin 2x.sin x 2sin x 0 sin x sin 2x sin x 0−−=⇔+= ()2sin x 2 cos x 1 0.⇔+= 0,50 • ()sin x 0 x k k .=⇔=π ∈] 0,25 • ()12cos x x k2 k .23π=− ⇔ =± + π ∈] 0,25 2 Giải phương trình (1,00 điểm) Đặt ()2t1t2x1t0x .2+=−≥⇒ = Phương trình đã cho trở thành: 42t4t4t10−+−= 0,25 ()()22t1 t 2t1 0⇔− + −= t1,t 21.⇔= = − 0,50 Với t1,= ta có x1.= Với t21,=− ta có x2 2.=− 0,25 III 2,00 1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d1 (1,00 điểm) Mặt phẳng ()α đi qua ()A1;2;3 và vuông góc với 1d có phương trình là: ()( )()2x 1 y 2 z 3 0 2x y z 3 0.−−−+−=⇔ −+−= 0,50 Tọa độ giao điểm H của 1d và ()α là nghiệm của hệ: ()x0x2 y2 z3y1 H0;1;2.2112x y z 3 0z2=⎧−+−⎧==⎪⎪⇔=−⇒ −−⎨⎨⎪⎪−+−==⎩⎩ 0,25 Vì A' đối xứng với A qua 1d nên H là trung điểm của AA ' ()A' 1; 4;1 .⇒−− 0,25 2 Viết phương trình đường thẳng Δ (1,00 điểm) Vì Δ đi qua A, vuông góc với 1d và cắt 2d , nên Δ đi qua giao điểm B của 2d và ().α 0,25 Tọa độ giao điểm B của 2d và ()α là nghiệm của hệ: ()x2x1 y1 z1y1 B2;1;2.12 12x y z 3 0z2=⎧−−+⎧==⎪⎪⇔=−⇒ −−−⎨⎨⎪⎪−+−==−⎩⎩ 0,25 Vectơ chỉ phương của Δ là: ()u AB 1;3;5.==−−G JJJG 0,25 Phương trình của Δ là: x1 y2 z3.135−−−==−− 0,25 IV 2,00 1 Tính tích phân (1,00 điểm) ()12x0I x 2 e dx.=−∫ Đặt 2x2xux21du dx, v e .2dv e dx=−⎧⎪⇒ ==⎨=⎪⎩ 0,25 ()112x 2x0011Ix2e edx22=− −∫ 0,25 1222x0e1 53e1e .24 4−=− + − = 0,50 3/4 2 Chứng minh với mọi a 0,> hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1,00 điểm) Điều kiện: x, y 1.>− Hệ đã cho tương đương với: () ( ) ()()xa xe e ln 1 x ln 1 a x 0 1yxa 2+⎧−+ +− ++=⎪⎨=+⎪⎩ Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất trong khoảng ()1; .−+∞ 0,25 Xét hàm số () ( ) ( )xa xf x e e ln 1 x ln 1 a x ,+=−++−++ với x1.>− Do ()fx liên tục trong khoảng ()1;−+∞ và () ()x1 xlim f x , lim f x+→− →+ ∞=−∞ =+∞ nên phương trình ()fx 0= có nghiệm trong khoảng ()1; .−+∞ 0,25 Mặt khác: ()()()( )xa xxa11f' x e e1x 1a xaee 1 0,x 1.1x1a x+=−+−+++=−+ >∀>−+++ ⇒ ()fx đồng biến trong khoảng ()1; .−+∞ 0,25 Suy ra, phương trình ()fx 0= có nghiệm duy nhất trong khoảng ()1;−+∞. Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 0,25 V.a 1 Tìm tọa độ điểm M để đường tròn tâm M tiếp xúc . (1,00 điểm) Đường tròn ()C có tâm ()I1;1, bán kính R1.= Vì Md∈ nên ()Mx;x 3.+ 0,25 Yêu cầu của bài toán tương đương với: ()( )22MI R 2R x 1 x 2 9 x 1, x 2.=+ ⇔ − + + =⇔= =− 0,50 Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: () ( )12M1;4,M 2;1.− 0,25 2 Số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp (1,00 điểm) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là 412C 495.= 0,25 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: - Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 21 1543C .C .C 120.= - Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 121543C .C .C 90.= - Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 11 2543C .C .C 60.= 0,50 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là: 120 90 60 270.++= Vậy, số cách chọn phải tìm là: 495 270 225.−= 0,25 4/4 V.b 2,00 1 Gii phng trỡnh (1,00 im) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ()()()()22 22x xx xx 2x xx22 142 10 2 42 10. = = 0,50 2x 2x 224022 x1.= = = 22xx xx 221021xx0x0,x1.= = = = = Vy, phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x 1.== 0,50 2 Tớnh th tớch ca khi chúp A.BCNM (1,00 im) MKHNCBAS Gi K l trung im ca BC, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SK. Do BC AK, BC SA nờn BC AH. Do AH SK, AH BC nờn ()AH SBC . 0,25 Xột tam giỏc vuụng SAK: 22 2111 23aAH .AH SA AK19=+= 0,25 Xột tam giỏc vuụng SAB: 222SM SA 4SA SM.SB .SB 5SB= == Xột tam giỏc vuụng SAC: 222SN SA 4SA SN.SC .SC 5SC= == Suy ra: 2SMNBCNM SBCSBCS16 9 9 19aSS .S 25 25 100= == 0,25 Vy, th tớch ca khi chúp A.BCNM l: 3BCNM133aV.AH.S .350== 0,25 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định. ---------------- Ht ---------------- . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006 Môn: TOÁN, khối D (Đáp án - Thang điểm có 04 trang). cầu bài toán là: () ( )12M1;4,M 2;1.− 0,25 2 Số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp (1,00 điểm) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh