CHƯƠNG 4 TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG 4
CHƯƠNG 4
1. Trò riêng, vectơ riêng :

Bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng
TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

Ta nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của hệ hai
phương trình vi phân tuyến tính :







−=
−=
wv
dt
dw
wv
dt
dv
32
54
(4.1)

thỏa điều kiện đầu






−
−
=






=






=
32
54
,
5

8
;
)(
)(
)(
0
Au
tw
tv
tu
(4.2)



v = 8, w = 5 khi t = 0




Đặt :
(4.3)




Bài toán (4.1), (4.2) có thể viết lại dưới dạng ma
trận :
Au
dt
du

=
(4.5)




u = u
0
khi t = 0




(4.4)





Nghiệm được tìm dưới dạng :




(4.6)



u (t) = e
λt

x










=
z
y
x
(4.8)



Ax = λx
(4.7)




Trong đó :

Thế (4.6) vào (4.4) ta thu được :




hoặc




(4.9)



(A - λI) x = 0

Thậy vậy, ứng với mỗi trò số λ, vectơ x = 0 luôn
thỏa phương trình Ax = λx.
Nhưng vectơ x = 0 không thú vò trong việc xây
dựng nghiệm u (t) = e
λt
x
.
. Vì vậy ta cần xác đònh
những trò số λ mà ứng với chúng cectơ riêng x khác
không. Điều này chỉ có thể khi hạng của ma trận
A - λI nhỏ hơn cấp của nó, tức là ma trận này phải
là ma trận suy biến.







−−
−−
=−
λ
λ
λ
32
54
IA
Rõ ràng là vectơ x không thuộc không gian không
của ma trận.


Đònh nghóa trò riêng, vectơ riêng.
Cho A là ma trận vuông cấp n. Vô hướng λ
được gọi là trò riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ
khác không v thỏa mãn phương trình :
Av = λv
(4.10)




Vectơ khác không v được gọi là vectơ riêng của ma
trận.
Trò riêng, vectơ riêng còn được gọi là trò đặc

trưng, vectơ đặc trưng.
Cần nhấn mạnh rằng, vectơ riêng phải khác
không. Cho v là vectơ không làm cho đònh nghóa trở
thành vô nghóa, vì A0 = λ0 đúng với mọi giá trò thực

λ. Ngược lại, trò riêng có thể bằng không.
Đònh lý 1 : Cho A là ma trận vuông cấp n.
i. Trò riêng của ma trận A là vô hướng λ nghiệm
đúng phương trình
det (A - λI) = 0
(4.11)




ii. Vectơ riêng của ma trận A tương ứng với trò
riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ phương
trình thuần nhất.
(A - λI) v = 0
(4.12)




Phương trình (4.11) được gọi là phương trình
đặc trưng của ma trận A. Vế trái của phương trình

Bây giờ ta quay về bài toán tìm trò riêng,
vectơ riêng đặt ra ở đầu chương. Phương trình (4.11)
có dạng :

(4.11) được gọi là đa thức đặc trưng. Trò riêng là
nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A. Vì đa
thức đặc trưng của ma trận A là đa thức bậc n, ma
trận A có thể có nhiều nhất n trò riêng phân biệt.
10)3)(4(
32
54
det +−−−=






−−
−−
λλ
λ
λ
0)2)(1(2
2
=−+=−−=
λλλλ
Ma trận A trong trường hợp cụ thể đang xét có hai trò
riêng phân biệt là λ
1
= -1 và λ
2
= 2.

Ta tìm vectơ riêng tương ứng với mỗi trò riêng
bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất (4.12).






=












−
−
=−−=
0
0
22
55
)(,1
11

z
y
xIA
λλ
Nghiệm không tầm thường là
vectơ






=
1
1
11
ax
a
1
là vô hướng bất kỳ khác không.






=













−
−
=−=
0
0
52
52
)(,2
22
z
y
xIA
λλ

Thế các vectơ riêng x
1
, x
2
vào (4.6) ta thu được hai
nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân (4.4) (cho a

1
= a
2
= 1).
Nghiệm khác không là vectơ






=
2
5
22
ax
a
2
là vô hướng bất kỳ khác không.






==
−
1
1
)(

11
1
t
t
exetu
λ






==
2
5
)(
2
22
2
t
t
exetu
λ
(4.13)





Phương trình (4.4) tuyến tính nên theo quy tắc công

nghiệm, tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm độc lập
tuyến tính (4.13) cũng là nghiệm của (4.4).
.)(
2211
21
xeCxeCtu
tt
λλ
+=
(4.14)




Hai hằng số C
1
và C
2
được xác đònh bằng điều kiện
ban đầu khi t = 0.
C
1
x
1
+ C
2
x
2
= u
0

.
(4.15)




Hoặc










=













5
8
21
51
2
1
C
C
(4.15’)





Qua thí dụ trên ta thấy rằng : trò riêng và vectơ
riêng là chìa khóa để tìm nghiệm u (t). Ý nghóa vật
lý
Giải (4.15’) ta thu được C
1
= 3 và C
2
= 1. Vậy nghiệm
của phương trình vi phân (4.4) là :






+







=
−
2
5
1
1
3)(
21 t
eCtu
(4.16)




Tách ra hai thành phần riêng biệt từ (4.16) ta thu
được nghiệm của hệ phương trình vi phân xuất phát
(4.1) :
t
eCtu
21
53)( +=
−
(4.17)

t
eCtw
21
23)( +=
−

của trò riêng, vectơ riêng rất quan trọng. Mọi người
đều biết rằng đoàn quân khi qua cầu không được
bước đều, lý do là tránh sự trùng nhòp bước đều với
một tần số dao động riêng của cầu. Nếu không chú ý
điều này, có thể xảy ra sự cộng hưởng làm sập cây
cầu. Các kỹ sư thiết kế tên lửa tính toán cẩn thận các
tần số dao động riêng của tên lửa phải khác với tần
số dao động của dòng nhiên liệu. Nói chung, trò riêng
và vectơ riêng đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong
tất cả các bài toán của hệ động lực.

Các bước giải bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng
Cho ma trận vuông cấp n A.





Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng.
[ A - λI ] = 0
Phương trình đặc trưng là phương trình đa thức cấp n

đối với biến λ.
Bước 2 : Giải phương trình đặc trưng tìm các nghiệm
thức. Các nghiệm này là các trò riêng của ma trận A.
Bước 3 : Đối với mỗi trò riêng λ, tìm các vectơ riêng
tương ứng với λ, bằng cách giải hệ phương trình
thuần nhất.
( A - λ,I ) v = 0

Dùng các phép toán sơ cấp để rút gọn ma trận vuông
cấp n A - λ, I, ma trận rút gọn chứa ít nhất một
hằng toàn số không.
Thí dụ :
1. Tìm trò riêng, vectơ riêng của ma trận.










−−
−
−
=
144
010
021

A
Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng.

0
144
010
021
=
−−−
−−
−−
=−
λ
λ
λ
λ
IA
0)1)(1(
2
=+−
λλ
Bước 2 : Có 2 trò đặc trưng phân biệt λ
1
= 1, λ
2
= -1,
trong đó λ
2
= -1 là trò đặc trưng bội 2.
Bước 3 : Tìm vectơ đặc trưng tương ứng với các trò

đặc trưng đã tìm.










−−−
−−
−−
=−=
1144
0110
0211
:1
11
IA
λλ

Vậy tương ứng với trò riêng λ
1
= 1 ta thu được một
vectơ riêng độc lập tuyến tính (cho a = 1).











−










−−
−
−
102
000
010
~
244
020
020
~











=





















−
=−
0
0
0
102
000
010
)(
3
2
1
11
x
x
x
vIA
λ
0;
2
0
1
11
≠=











= axav
là biến tự do.











=
2
0
1
1
v











+−−
+−
−+
=−−=
1144
0110
0211
:1
22
IA
λλ










−











−
−
000
000
011
~
044
000
022
~

Đối với 3 ẩn cơ sở y
1
, y
2
, y
3
(các thành phần của
vectơ v
2
) chỉ có một phương trình y
1
- y
2
= 0, vì vậy

có hai biến tự do : y
1
= a, y
3
=
β
, a,
β

≠
0.










=





















−
=−
0
0
0
000
000
011
)(
3
2
1
22
y
y
y
vIA
λ

)1(
1
0
0
)1(
0
1
1
32
=










==











=
β
cho vàa cho vv
Mọi vectơ riêng khác tương ứng với trò riêng kép
λ
2
= -1 biểu thò bằng tổ hợp tuyến tính của v
2
và v
3
.

2. Tỡm trũ rieõng, vectụ rieõng cuỷa ma traọn.












=
300
001
012

A
Bửụực 1 : Laọp phửụng trỡnh ủaởc trửng.
0
300
01
012
=






0)1det( =

A

Bước 2 : Có 2 trò riêng phân biệt là λ
1
= 3, λ
2
= 1,
trong đó λ
2
là nghiệm kép (nghiệm bội 2) của
phương trình đặc trưng.
Bước 3 : Tìm các vectơ riêng.
Khai triển đònh thức, ta được :
0)1)(3(
2

=−−
λλ










−
−
−−
=−=
3300
031
0132
:3
11
IA
λλ












−
−−










−
−−
000
010
011
~
000
031
011
~











=




















−
−
−−

=−
0
0
0
100
010
011
)(
3
2
1
11
x
x
x
vIA
λ
0;
1
0
0
:3
311
≠=











== axav
λ
là biến tự do.
Từ đây ta tìm được vectơ riêng v
1
ứng với trò riêng :

Vậy ứng với trò riêng λ
1
= 3 chỉ có một vectơ riêng
độc lập v
1
.










=
1
0

0
1
v










−
−
−−
=−
1300
011
0112
2
IA
λ











−










−
−
100
000
011
~
200
011
011
~
λ
2
= 1, ta có :
Cho a = 1, ta có :












=





















−
=−
0
0
0
100
000
011
)(
3
2
1
22
y
y
y
vIA
λ
0;
0
1
1
:1
2122
≠=











==
ββλ
yyv
là biến tự do.
Vectơ riêng v
2
ứng với trò riêng :
Với trò riêng kép λ
2
= 1 cũng thu được
một vectơ riêng độc lập tuyến tính cho
β = 1










=
0
1

1
2
v

Ta nhận thấy tương ứng với một trò riêng kép (bội 2)
ma trận A chỉ có một vectơ riêng độc lập tuyến tính.










=
200
020
012
A
Bước 1 : Viết phương trình đặc trưng.
0)2(
200
020
012
3
=−=
−
−

−
=−
λ
λ
λ
λ
λ
IA
3. Tìm trò riêng, vectơ riêng của ma trận

Bước 2 : Xác đònh trò riêng : ma trận A chỉ có một trò
riêng bội ba λ = 2.
Bước 3 : Tìm các vectơ riêng tương ứng :










=−
000
000
010
2IA











=




















=−

0
0
0
000
000
010
)2(
3
2
1
x
x
x
vIA