Đạo hàm trong các bài toán khai triển Niuton

Chuyên đề
Sử dụng đạo hàm
tính tổng của khai triển nhị thức newtơn
1. Nhận dạng:
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1. (đạo
hàm 1 lần)
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo
hàm cấp 2; hoặc mất
0
n
C
và
1
n
C
hoặc
n
n
C
và
1-n
n
C
2. Các bớc giải
* Bớc 1: Chon khai triển (b + x)
n
khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k
k
n
C
a

k-1
b
n-k
* Bớc 2: Chọn đạo hàm cấp 1, cấp 2.
* Bớc 3: Chọn x = a kết quả.
3. Bài tập.
Bài 1. Tính tổng: S = 1.2
0
1
n
C
+ 2.2
1
2
n
C
+ 3.2
2
3
n
C
+ + n.2
n - 1
n
n
C
HD: (1 + x)
n
= C
0

n
+ xC
1
n
+ x
2
C
2
n
+ x
3
C
3
n
+ + x
n
C
n
n


n(1 + x)
n 1
= C
1
n
+ 2x
1
C
2

n
+ 3x
2
C
3
n
+ + nx
n - 1
C
n
n
Thay x = 2 ta đợc S = n.3
n 1
Bài 2. Tính tổng: S = n.3
0
n
n
C
+ (n - 1)3
1
1-n
n
C
+ (n - 2).3
2
2-n
n
C
+ + 1.3
n - 1

1
n
C
HD Khai triển (1 + x)
n
, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 3 ta đợc S = n4
n 1
Bài 3. Chứng minh rằng: 1
1
n
C
+ 2
2
n
C
+ 3
3
n
C
+ + n
n
n
C
= n2
n 1
HD: Khai triển (1 + x)
n
, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 1
Bài 4. Chứng minh rằng:
1n

n
n
1n
3
n
2
2
n
1
1
n
0
2
3
nC
2
n
C
2
3
C
2
2
C
2
1

=++++
HD: Khai triển (1 + x)
n
, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x =
2
1
Bài 5. Tìm n Z
+
thoả mãn:
1.2
0
1
12n
C
+
- 2.2
1
2
12n
C
+
+ 3.2
2
3
12n
C

+
- + (2n + 1).2
2n
12n
12n
C
+
+
= 2005
(Đề ĐH + CĐ - A - 2005)
HD: Khai triển (-1 + x)
2n + 1
, lấy đạo hàm bậc nhất hai vế, thay x = 2 ta đợc 2005 = 2n + 1
Bài 6. Tìm số nguyên dơng n thoả mãn:
2006 + 1.2
0
1
2n
C
- 2.2
1
2
2n
C
+ 3.2
2
3
2n
C
- + 2n.2

2n - 1
2n
2n
C
= 0
HD: Sử dụng khai triển (1 + x)
2n
Bài 7. Tính tổng: S = 1.2
2
n
C
+ 2.3
3
n
C
+ 3.4
4
n
C
+ + (n-1)n
n
n
C
HD: Khai triển (1 + x)
n
, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta đợc S = n(n-1)2
n - 2
Bài 8. S = 2.1.3
0
2

200
C
- 3.2.3
1
3
200
C
+ 4.3.3
2
4
200
C
- + 200.199.3
198
200
200
C
HD: Khai triển (1 - x)
200
, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 3, ta đợc S = 200.199.2
198
Bài 9. Tính tổng S = 1
2
C
1
n
+ 2
2
C
2

n
+ 3
2
C
3
n
+ 4
2
C
4
n
+ + n
2
C
n
n
HD: Ta có: S = 1(1+0)C
1
n
+ 2(1+1)C
2
n
+ 3(2+1)C
3
n
+ 4(3+1)C
4
n
+ + n(n-1+1)C
n

n
=
= [2.1C
2
n
+ 3.2C
3
n
+ 4.3C
4
n
+ + n(n-1)C
n
n
] + [1C
1
n
+ 2C
2
n
+ 3C
3
n
+ 4C
4
n
+ + nC
n
n
]

Bài 10. Tính tổng S = 2C
1
100
+ 3C
2
100
+ 4C
3
100
+ + 101C
100
100
HD: Khai triển x(1 + x)
100
, tính đạo hàm và thay x = 1.
Bài 11. Tính tổng: S = 3
1
.2.C
1
n
+ 3
2
.3.C
2
n
+ 3
3
.4.C
3
n

+ + 3
n
(n + 1)C
n
n
HD: Khai triển x(1 + x)
n
, tính đạo hàm 2 vế và thay x = 3
Bài 12. Tính tổng; S = 1.2
1
C
1
n
+ 2.2
2
C
2
n
+ 3.2
3
C
3
n
+ + n.2
n
C
n
n
HD: S = 1.2
1

C
1
n
+ 2.2
2
C
2
n
+ 3.2
3
C
3
n
+ + n.2
n
C
n
n

= (2 - 1).2
1
C
1
n
+ (3 - 1).2
2
C
2
n
+ (4 - 1).2

3
C
3
n
+ + (n + 1- 1).2
n
C
n
n

= (2.2
1
C
1
n
+ 3.2
2
C
2
n
+ 4.2
3
C
3
n
+ + (n+1).2
n
C
n
n

) - (2
1
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
+ 2
3
C
3
n
+ + 2
n
C
n
n
)
Bài 13. Chứng minh rằng:
2.2
1
C
2
100
+ 4.2
3
C

4
100
+ 6.2
5
C
6
100
+ + 100.2
99
C
100
100
= 50(3
99
+ 1)
HD: Khai triển: (1 + x)
100
và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)
100
và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 2
Bài 14. Tính tổng: S = 1.C
1
2n
+ 3.C
3
2n
+ 5.C
5

2n
+ + (2n - 1)C
12n
2n

HD: Khai triển: (1 + x)
2n
và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)
2n
và lấy đạo hàm
Trừ vế với vế và thay x = 1
Bài 15. Chứng minh rằng: 2C
2
12n +
+ 4C
4
12n +
+ 6C
6
12n +
+ + 2nC
2n
12n +
= (2n + 1).2
2n 1
HD: Khai triển: (1 + x)
2n+1
và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)

2n+1
và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 1
4. Giải đề thi:
Bài 15. Chứng minh rằng: C
1
n
.3
n 1
+ 2.C
2
n
.3
n 2
+ 3.C
3
n
.3
n 3
+ + nC
n
n
= n.4
n 1
, trong đó n là
một số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1.
(ĐH Luật HCM A - 2001)
HD: Khai triển (3 + x)
n
, lấy đạo hàm và thay x = 1

Bài 16. Tìm số nguyên dơng n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200
+
+ + + +
+ + + + =
k k k n n
n n n n
C C k k C n n C
(Tài liệu ôn thi đại học)
HD: Khai triển (1 - x)
2n + 1
, lấy đạo hàm và thay x = 2
Bài 17. Tính tổng:
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C 2010C= + + + +
.
Bài 18. Tính tổng:
2 3 25
25 25 25
S 1.2. 2.3. 24.25.C C C= + + +
Bài 19. Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)
2n
, với n là số nguyên dơng. Từ đó chứng minh rằng: 1.
( )
n
nnn
n

nnn
nC C.C.Cn CC
2
2
4
2
2
2
12
2
3
2
1
2
242123 +++=+++