Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 1)

Phơng pháp phần tử hữu hạn
Giáo viên : TS. Đỗ Văn Bình
Bộ môn: Kết cấu xây dựng, ĐHGTVT
Thời gian : 45 T
1
CHNG 1 Khỏi nim c bn
1. Sơ đồ giải bài toán phân tích trạng thái ứng suất dạng
A. Lý thuyết đàn hồi
B. Phơng pháp phần tử hữu hạn
Phơng trình trạng thái - biểu thị theo các hàm ẩn
* chuyển vị các phơng trình Lamé
* ứng suất các phơng trình Beltrami - Michel
Điều kiện biên
+
Giải PTTT: * Tích phân các PTVP đạo hàm riêng Nghiệm giải tích
* Rời rạc toán học ( Sai phân hữu hạn) Nghiệm bằng số
Trạng thái ứng suất- biến dạng
2
Nghiên cứu phân tố:
1. ĐK cân bằng (ứng suất - ngoại lực):3 Ph.trình Navier- Cauchy
2. ĐK chập ( biến dạng- chuyển vị): 6 Công thức Cauchy
3. ĐK vật lý ( ứng suất- biến dạng)- ĐL Hooke 6 Ph.trình
Điều kiện tơng đơng :
- Năng lợng trong mô hình thay thế

Năng lợng trong hệ thực
- Trên các biên , điều kiện chập ( liên tục về lực và chuyển vị) phải đợc thoả mãn.
H
THC
H THAY
TH

Ri
rc
v
t lý
Bc t do =
Bc t do hu hn
PTHH(kớch thc
hu hn)
Biờn
Nỳt (liờn
kt
cỏc phn
t
3
Nhiệm vụ thực hiện trong PPPTHH
+ PPPTHH là gần đúng (mô hình rời rạc chỉ phản ánh gần đúng công trình thực)
+ Muốn chính xác hơn ,tăng số lợng PT ( khối lợng tính tăng theo)
+ Ngôn ngữ sử dụng PPPTHH là PP số ,cần dùng máy tính

ma trận.
2. Công thức ma trận của các phơng trình cơ bản trong lý thuyết đàn
hồi
Rời rạc hoá kết cấu
Chọn ẩn * Chuyển vị - mô hình chuyển vị
* ứng suất - mô hình ứng suất
Nghiên cứu TTs - BD của PTHH( sử dụng LT đàn hồi)
Tổ chức ghép nối các PTHH bằng các liên kết đặt ở nút
Lập các phơng trình cơ bản cho toàn hệ trong hệ toạ độ chung
Điều kiện biên
Giải hệ PT đại số tuyến tính Nghiệm

ứng suất,chuyển vị tại nút của các PTHH
4
A. Các phơng trình cân bằng
Bài toán không gian
Tách phân tố hình học dx,dy,dz ,lập phơng trình cân bằng:
0=+


+


+


g
x
z
xz
y
xy
x
x





x
yx

+
y
y



+
z
yz



+
0
=
g
y

x
zx



+
y
zy

+
0
=+


g
z
z
z


x
,

y
,

z
:ứng suất pháp

xy
,

yz
,

zx
:ứng suất tiếp, tuân theo luật đối ngẫu
g

x
,
g
y
,
g
z
:các thành phần lực thể tích theo các phơng x,y,z trên đơn vị thể tích
Y
X
Z
z
z
z
dz



+

yz
yz
z
dz



+

xz

xz
z
dz



+

y
y
y
dy



+

zy
zy
y
dy



+

x

xy
xy

y
dy



+

x
x
x
dx



+

yx
yx
x
dx



+

zx
zx
x
dx

+

z

xz

yz

y

zy

xy

zx

5
Dạng ma trận

xyz
zxy
zyx
000

000
000
























zx
yz
xy
z

y
x
+












g
g
g
z
y
x
=

0
0
0
=>
[ ]
[ ] [ ] [ ]
0
=+

g
T


(1)
[ ]
=

xz
yz
xy
y
y
x
0
0
0
00
00
00
;
[ ]

=

zx
yz
xy
z
y
x
={

x

y

z

xy

yz

zx
};
[ ]
g
=












g
g
g
z
y

x
={
g
x
g
y
g
z
}
[ ]

-ma trận các toán tử vi phân biểu thị phép biến đổi tuyến tính(toán tử Laplace)
Các PTCB phải đợc thoả mãn ở bất kì mọi điểm của vật thể :trong và trên bề mặt
Điều kiện bề mặt:điểm trên bề mặt phải cân bằng với ngoại lực tác dụng trên bề
mặt .Theo kết quả nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt nghiêng.
l
x

+ m
xy

+ n
xz

=
x
p

l
yz

+ m
y

+ n
yz

= p
y
6



xy



yz

x



zx



zy

A

z



y

xy


B



xz

y



x

z

C

l
zx

+ m
zy

+ n
z

=p
z
l,m,n -các cosin chỉ phơng của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể tại điểm đang xét
l= cos(v,x); m= cos(v,y); n= cos(v,z)
x
p
, p
y
, p
z
: thành phần ngoại lực theo x,y,z trên đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể
Dạng ma trận:
[ ]
L
[ ]

=
[ ]
p
(2)
[ ]
L
=

lmn
nlm
nml
000
000
000
;
[ ]
p
=

z
y
x
p
p
p
={
x
p
y
p
z
p
}
Bài toán phẳng
0
=+


+


g
x
y
xy
x
x

x
yx



+
y
y



+
0
=
g
y
Dạng ma trận
[ ]
[ ] [ ] [ ]
0
=+

g
T

(3)
[ ]

T

=




















xy
yx
0
0
;
[ ]

=

xy
y
x



;
[ ]
g
=








g
g
y

x
Phơng trình biểu thị điều kiện chu vi :
l
x

+ m
xy

=
p
x
l
yx

+ m
y

=
p
y
7
=>






lm
ml

0
0










xy
y
x



=








p
p
y

x
=>
[ ]
L
[ ]

=
[ ]
p
(4)
B. Các phơng trình biến dạng - chuyển vị
Bài toán không gian
Trong hệ x,y,z chuyển vị của điểm A bất kì
Ux = x'- x = Ux(x,y,z) ;
Uy = y'- y= Uy(x,y,z) ;
Uz = z'-z = Uz(x,y,z) ;
Biến dạng tỷ đối
x
x
x
u


=

;

y
=
y

y
u


;
z
z
z
u


=

;
=

xy
x
x
u


+
y
y
u


;
=

y
yz
y
y
u


+
z
z
u


;

zx
=
z
z
u


+
x
x
u


Do luật đối ngẫu:
=

xy

yx
;
=
y
yz

zy
;

zx
=

xz
Dạng ma trận :
8
A(x',y',z')
A(x,y,z)
x
u
z
u
x
u
y
y
z
=




































∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xz
yz
xy
y
y
x
0
0

0
00
00
00










u
u
u
z
y
x
;=>
[ ] [ ][ ]
u
∇=
ε
(5)
9





















γ
γ
γ
ε
ε
ε
zx
zx
xy
z
y
x

• Bµi to¸n ph¼ng
=
yz
γ
0;
zx
γ
= 0 ;
z
u
= 0
D¹ng ma trËn :
dx
y
x
d
x
u
x
d
y
A B
DC
y
y
u
u dy
y
∂
+

∂
u
y
x
x
u
u dx
x
∂
+
∂
x
x
u
u dy
y
∂
+
∂
y
y
u
u dy
y
∂
+
∂
A
1
B

1
C
1
D
1
β
α
0
10
















xy
y
x
=

xy
y
x
0
0

u
u
y
x
=>
[ ] [ ][ ]
u
=

(6)
C. Các phơng trình ứng suất - biến dạng
Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính ,đồng nhất và đẳng hớng =>ĐL Hooke tổng quát
Xét ảnh hởng của sự thay đổi nhiệt độ (chỉ xét biến dạng dọc trục vì nhiệt,bỏ qua ảnh h-
ởng biến dạng trợt vì nhiệt)
Bài toán không gian

x
=
T
E
zyx
à

++ )]([
1



à
xyxy
xy
GE
1)1(2
=
+
=
++= )]([
1

à
zxyy
E
T


=
+
=


à
yz

yz
E
)1(2
G
1

yz
(7)
)([
1

à
yxzz
E
+=
]+
T



à
zxzx
zx
GE
1)1(2
=
+
=
E- môđun đàn hồi dọc trục G- môđun đàn hồi trợt
à

-hệ số Poisson


Hệ số giãn nở vì nhiệt T- Độ biến thiên nhiệt độ
Suy ra:
)21)(1(
àà

+
=
E
x
[(1-
x
à
)
+
)](
zy
à
+
-
T
E

à
)21(
;
xyxy
E

à

)1(2 +
=
= G
xy

11
T
EE
zxyy
α
µ
εεµεµ
µµ
σ
)21(
)]()1[(
)21)(1(
−
−++−
−+
=
;
yzyzyz
G
E
γγ
µ

τ
=
+
=
)1(2
(8)
T
EE
yxzz
α
µ
εεµεµ
µµ
σ
)21(
)]()1[(
)21)(1( −
−++−
−+
=
;
zxzxzx
G
E
γγ
µ
τ
=
+
=

)1(2
D¹ng ma trËn cña (8):


















τ
τ
τ
σ
σ
σ
zx
yz
xy
z

y
x
=


















−
−
−
−
−
−
−+
)21(00000
0)21(0000

00)21(000
000)1(222
0002)1(22
00022)1(2
)21)(1(2
µ
µ
µ
µµµ
µµµ
µµµ
µµ
E
x





















γ
γ
γ
ε
ε
ε
zx
yz
xy
z
y
x
-



















−
0
0
0
1
1
1
)21(
µ
α
TE
12
[ ] [ ][ ] [ ]
10
)21(
lT
E
E

à


=
(9)
[ ]

0
E
-ma trận đàn hồi :vuông ,đối xứng,không suy biến chứa các đặc trng đàn hồi
[ ]
0
E
=

+
)21(00000
0)21(0000
00)21(000
000)1(222
0002)1(22
00022)1(2
)21)(1(2
à
à
à
ààà
ààà
ààà
àà
E
(10)
[ ]
1
l
= {1 1 1 0 0 0} (11)
Dạng ma trận của (7)

zx
zx
xy
z
y
x
=

+
+
+



)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1
à
à
à

àà
àà
àà
E
























zx
yz

xy
z
y
x
+
T



















0
0
0
1
1

1
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
0
lTE

+=

(12)
13
Bài toán phẳng-Bài toán phẳng của LTĐH đợc chia thành 2 loại:
- Trạng thái phẳng về ứng suất (TT ứng suất phẳng)
- Đối tợng :tấm,bề dày nhỏ so với hai kích thớc còn lại chịu tải trọng trong mặt
phẳng của tấm .Gọi x0y - hệ trục trong mặt phẳng tấm;0z- trục

mặt tấm:
0=
z

;
0
==
zyzx

Các biến dạng:
zx

=
zy

= 0:
TT
E
yxyxz

à
à

à
à
à

+
++


=++=
1
1
)(
1
)(
1


0
Nh vậy ,
z

tồn tại và có liên hệ tuyến tính với
x

và
y

.Có thể bỏ qua
z

.Sự gần đúng
này vi phạm điều kiện tơng thích ,nhng với tấm mỏng ,thờng cho phép.
Từ (7) với
0
=
z

;
0==
zyzx

;
zx

=
zy

=0:
0
=
z

x

=
[ ]
T
E
yx
à
+
1
;
x

=
[ ]
T
EE
yx

à
à
à

+

11
2
y

=
[ ]
T
E
xy
à
+
1
;
y

=
[ ]
T
EE
xy

à
à
à

+
11
2
xyxyyxxy
GE

à

1

)1(2
=
+
==

xyxyyxxy
G
E

à

=
+
==
)1(2
z
y
x
0
14
Dạng ma trận:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
0
lTE

+=

(13)

[ ] [ ][ ] [ ]
10
)1(
lT
E
E

à


=
(14)
[ ]










=
xy
y
x

;
[ ]










=
xy
y
x




;
[ ]

=
0
1
1
1
l
(15)
[ ]












=
à
à
à
à
100

222
022
)1(2
2
0
E
E
;
[ ]










+


=

)1(200
01
01
1
1
0

à
à
à
E
E
- Trạng thái phẳng về biến dạng (TT biến dạng phẳng)
Đối tợng : vật thể có tiết diện không đổi ,chiều dài lớn so với kích thớc hai chiều còn
lại ,tải trọng

trục dài của vật thể .Gọi x0y -hệ trục song song với mặt phẳng tiết diện
:),( yxuu
xx
=
:),( yxuu
yy
=
=>
0=


=


=


z
z
z
y

z
x
u
u
u
:=>
zx

=
zy

=0 v
0
=
z

Y
Z
x
15
0
=
z
u
Tõ (7) :
)([
1
σσσε
µ
yxzz

E
+−=
]+
T
α
=0 =>
σ
z
=
TE
yx
ασσµ
−+ )(
Thay vµo c¸c biÕn d¹ng cßn l¹i trong (7), sÏ ®îc:
[ ]
;)1()1(
1
T
E
yxx
αµµσσµ
µ
ε
++−−
+
=
x
σ
=
[ ]

T
EE
yx
α
µ
µεεµ
µµ
21
)1(
)21)(1(
−
−+−
−+

[ ]
T
E
xyy
αµµσσµ
µ
ε
)1()1(
1
++−−
+
=
;=>
y
σ
=

[ ]
T
EE
xy
α
µ
µεεµ
µµ
21
)1(
)21)(1(
−
−+−
−+
yxxy
γγ
=
=
xyxy
GE
ττ
µ
1)1(2
=
+
;
xyyxxy
G
E
γγ

µ
ττ
=
+
==
)1(2
D¹ng ma trËn :
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
0
)1( lTE
αµσε
++=
−
(17)

[ ] [ ][ ] [ ]
10
)21(
lT
E
E
α
µ
εσ
−
−=
(18)
[ ]











−
−
−
−+
=
µ
µµ
µµ
µµ
2100
0)1(22
02)1(2
)21)(1(2
0
E
E
[ ]
1
0
−

E
=










−−
−−
+
200
01
01
1
µµ
µµ
µ
E
16
Bài toán một chiều :
0=====
yzzxxyzy

=>
T

E
xx

+=
1
;
E
x
=

x

-E
T

1. MT biến dạng => một phần tử :biến dạng dài tỷ đối
x

2. MT ứng suất => một phần tử là ứng suất pháp
x

3. MT đàn hồi => một phần tử là môđun đàn hồi E
3. Khái niệm về toạ độ
Hệ toạ độ : công cụ biểu thị lực và chuyển vị tại các nút. Qua đó có thể biểu
thị nhất quán các điều kiện nghiên cứu cho một phần tử cũng nh cho một hệ
Quy ớc: thống nhất về phơng ,chiều của lực và chuyển vị (hình vẽ)
CV của hệ hoặc của phần tử đợc mô tả bởi véc tơ chuyển vị tơng ứng :
[ ]
{=q
q

1
q
2
q
i
q
n
}: q
i
-CV tại toạ độ i
Với phần tử e (hình vẽ) :
[ ]
{=
e
q
q
1
q
2
q
12
}
Lực tác dụng trên hệ hoặc ở nút phần tử đợc mô tả bởi véc tơ lực tơng ứng :
2
q
3
q
1
q
4

q
5
q
6
q
7
q
8
q
9
q
10
q
11
q
12
q
X
Y
17
2
R
3
R
1
R
4
R
5
R

6
R
7
R
8
R
9
R
10
R
11
R
12
R
X
Y

[ ]
1
{RR =
R
2
R
i
R
n
}: R
i
-lực đặt tại toạ độ i
Với phần tử e(hình vẽ):

[ ]
{=
e
R
R
1
R
2
R
12
}
4. Các nguyên lý năng lợng
NLNL là cơ sở để thiết lập các phơng trình cơ bản của lý thuyết tính kết cấu
Hai nguyên lý:
- Nguyên lý công khả dĩ (NL chuyển vị khả dĩ)
- Nguyên lý công bù khả dĩ ( NL lực khả dĩ)
A. Khái niệm về công và công bù, NL biến dạng và NL biến dạng bù
Xét hệ chịu lực tĩnh
[ ]
R
ở vị trí cân bằng => ứng suất
[ ]

;BD
[ ]

;CV nút
[ ]
q

Giả thiết tại toạ độ j : giữa R
j
và q
j
có sự liên hệ theo đờng cong R
j
- q
j
Giữa

và

có sự liên hệ theo đờng cong

-

18
w*
j
W
j
q

q
j

W
j
0
R

q
j

R
j
R
j

W*
j
Trạng thái 2
Trạng thái 1
A*
0









A
A
j
Trạng thái 1
Trạng thái 2

A

- Công W
j
- phần DT bên dới , giữa đờng cong R
j
- q
j
và trục q
j
- Công bù W
j
-phần DT bên trên ,giữa đờng cong R
j
- q
j
và trục R
j
- NL biến dạng A
j
-phần DT bên dới ,giữa đờng cong

-

và trục

- NL biến dạng bù A
j
-phần DT bên trên ,giữa đờng cong

-

và trục

B. Chuyển vị khả dĩ và nguyên lý công khả dĩ
B.1. Độ biến thiên của W
j
và của Aj
Xét hệ ở hai trạng thái:
- TT1 chịu hệ lực
[ ]
R
=>
[ ]
q
;
[ ]

;
[ ]

- TT2 thay đổi vô cùng bé
[ ]
R

=>
[ ]
q

;
[ ]

;
[ ]


Độ biến thiên của W
j
:

W
j
= R
j
.

q
j
+

R
j

q
j
/2 (19)
Độ biến thiên của Aj :
j
A
=

+

/2. (20)
Xét toàn hệ :
- Chỉ chịu lực tập trung:


W =



n
j
j
W
1
=


n
j
jj
qR
1

+
2
1

n
j
jj
qR
1

(21)
19
- Chịu lực phân bố:


W =
++

VV
dVzyxuzyxgdVzyxuzyxg ),,(),,(
2
1
),,(),,(

+

+
SS
dSzyxuzyxpdSzyxuzyxp ),,(),,(
2
1
),,(),,(

u(x,y,z) chuyển vị tại điểm (x,y,z);

g(x,y,z); p(x,y,z) cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z)
Trong thực hành : lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trung
Dạng ma trận :

W=
[ ] [ ] [ ] [ ]
RqRq
TT

2
1
+
(22)
Tơng tự :
[ ] [ ] [ ] [ ]
dVdVA
T
V
T
V


+=
2
1
(23)
B.2. Chuyển vị khả dĩ, công khả dĩ
Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về chuyển vị
[ ]
q

và biến dạng
[ ]


[ ]
R
;
[ ]

không đổi, nghĩa là
[ ]
R

=0;
[ ]

= 0 =>
[ ]
q

,
[ ]

gọi là CVKD và
BDKD
CVKD phải vô cùng bé ,thoả mãn ĐK liên tục về mặt động học ,phù hợp ĐK liên kết
Công KD khác với độ biến thiên của công thực (22) là chỉ tồn tại biến phân thứ
nhất (bỏ qua VCB bậc hai)
Công khả dĩ :

[ ] [ ]
RqW
T

=
(24)
20
Tơng tự ,biến dạng KD:
[ ] [ ]
dVA
T
V


=
(25)
B.3. Nguyên lý công khả dĩ (NL chuyển vị khả dĩ )
Điều kiện cần và đủ để cho vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là CKD của
các ngoại lực trên các CVKD bằng năng lợng BDKD gây ra trên những BDKD

W=
A

=>
[ ]
T
q

[ ]
R

=
[ ] [ ]
dV
T
V


(26)
Hệ đàn hồi tuyến tính - Giả thiết giữa BD và CV có sự liên hệ TT:

[ ] [ ][ ]
qD=

=>
[ ]

=
[ ][ ]
qD

=>
[ ] [ ] [ ]
TTT
Dq

=
(26) =>
[ ]
T
q

{
[ ] [ ] [ ]
dVDR
T
V



}=0
Vì
[ ]
T
q


0 nên:
[ ]
R
=
[ ] [ ]
dVD
T
V


(27)
- Tạo CVKD
1
=

r
q

chỉ ở điểm đặt lực R
r
theo phơng R
r
còn
0=
j
q

khi j

r
Từ (27) : 1. R
r
=
[ ] [ ]
dVD
T
V


(28)
đó là ĐL chuyển vị đơn vị - đợc dùng để xác định lực R
r
cần thiết để giữ cho hệ
cân bằng dới ảnh hởng của một trờng phân bố ứng suất đã cho.
B.4. Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần (đối với hệ bảo toàn)

Gọi V - thế năng của ngoại lực
Độ biến thiên
V

của TN của ngoại lực
[ ]
R
=-CKD của ngoại lực
[ ]
R
:
V

=-
W

Theo NLCKD :

W=
A

nên
V

+

W=
V

+

A

=0 =>
0)( =+ AV

Gọi

= V+A- thế năng toàn phần của hệ :

=+ )( AV


=0 =>

=const
21
Định lý: Trong các trờng hợp CV tơng thích thoả mãn các ĐK biên ,khi thoả mãn
các ĐK cân bằng
tĩnh thì thế năng toàn phần có giá trị đứng (NL biến phân Lagrange)
* Cũng chứng minh đợc : Dạng biến dạng của hệ tơng ứng với TTCB phải là một
trong những dạng làm cho năng lợng biến dạng A cực tiểu(ĐL NLBD cực tiểu)
B.5. Định lý Castigliano thứ nhất (Lagrange)
Xét hệ ĐH phi tuyến ,chịu hệ lực
1
R
R
2
R
i
R

n
=> q
1
q
2
q
i
q
n
Thế năng toàn phần :

= V+A =A-
j
n
j
j
qR

=1
áp dụng NL giá trị đứng


=
AV

+
=0 với chú ý :
A

và

V

không phụ thuộc
độ biến thiên của tải trọng vì
[ ]
R

=0 => A chỉ là hàm của CV : A = A(q
1
q
2
q
i
q
n
)

=




=
j
n
j
j
q
q
A

1
j
n
j
j
qR

=1
=




j
j
q
A
q (

j
R
)=0
Vì CVKD
j
q

bất kỳ nên :
j
R

=
j
q
A


(ĐL Castigliano1)
Đạo hàm riêng của NL biến dạng A theo CV bằng lực tơng ứng với CV đó
j
R
và
j
q
là lực khái quát và CV khái quát tơng ứng
Lập luận tơng tự :
j
j
A




=
Tại điểm bất kỳ ,vectơ ứng suất
[ ]

chính là gradien của mật độ năng lợng biến
dạng tơng ứng tại điểm đó
C. Lực khả dĩ và nguyên lý công bù khả dĩ
C.1. Độ biến thiên của

*
j
W
và của A
*
Xét hệ ở hai trạng thái :* TT1 - chịu hệ lực
[ ]
R
=>
[ ]
q
;
[ ]

;
[ ]

22
* TT2- thay đổi vô cùng bé
[ ]
R

=>
[ ]
q

;
[ ]

;

[ ]

Độ biến thiên của
*
j
W
:


*
j
W
=
j
q
j
R

+
j
R

j
q

/2 (31)
Độ biến thiên của A
*
:

A
*
=
2/

+
(32)
Xét toàn hệ :
+ Chỉ chịu lực tập trung:

*
W
=

=

n
j
j
W
1
*
=

=
n
j
jj
Rq

1

+

=
n
j
jj
Rq
1
2
1

(33)
+ Chịu lực phân bố:

*
W
=
++

VV
dVzyxgzyxudVzyxgzyxu ),,(),,(
2
1
),,(),,(

+

+

SS
dSzyxpzyxudSzyxpzyxu ),,(),,(
2
1
),,(),,(

u(x,y,z)- chuyển vị tại điểm (x,y,z)
g(x,y,z),p(x,y,z)- cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z)
Trong thực hành :lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trung
Dạng ma trận :

*
W
=
[ ] [ ] [ ] [ ]
qRqR
TT

2
1
+
(34)
Tơng tự :

A
*
=
[ ] [ ] [ ] [ ]
dVdV
T

V
T
V


+
2
1
(35)
C.2.Lực khả dĩ ,công bù khả dĩ
Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về lực
[ ]
R

và ứng suất
[ ]

[ ]
q
;
[ ]

không đổi ,nghĩa là
[ ]
q

=0;
[ ]

=0 =>

[ ]
R

,
[ ]

gọi là lực KD và ƯSKD
23
Lực KD phải vô cùng bé ,đặt vào hệ trong khi CV của hệ không thay đổi ,thoả
mãn ĐK cân bằng tĩnh học
Công bù KD khác với độ biến thiên của công bù thực (34) là chỉ tồn tại biến phân
thứ nhất (bỏ qua VCB bậc hai)
Công bù khả dĩ:

*
W
=
[ ]
T
R

[ ]
q
(36)
Tơng tựu ,biến đang bù KD:

A
*
=
[ ] [ ]

dV
T
V


(37)
C.3. Nguyên lý công bù khả dĩ (NL lực khả dĩ)
Điều kiện cần và đủ để cho một vật thể biến dạng có các chuyển vị thoả mãn điều
kiện tơng thích (liên tục ) là công bù KD của các ngoại lực KD bất kỳ thoả mãn
ĐK tĩnh học ,bằng năng lợng BD bù KD của nội lực tơng ứng

*
W
=

A
*
=>
[ ]
T
R

[ ]
q
=
[ ] [ ]
dV
T
V

(38)
Hệ đàn hồi tuyến tính - Giả thiết giữa ngoại lực và ứng suất có sự liên hệ TT:
[ ] [ ][ ]
Rb=

=>
[ ]

=
[ ]
b
[ ]
R

=>
[ ]

T
=
[ ]
R

T
[ ]
b
T
(38) =>
[ ]
T

R

{
[ ]
q
-
[ ] [ ]
}dVb
T
V


=0
Vì
[ ]
T
R

khác 0 nên :
[ ]
q
=
[ ] [ ]
dVb
T
V


(39)
Cho lực KD

r
R

= 1 còn
j
R

= 0 khi j

r
Từ (39) 1.q
r
=
[ ] [ ]
dVb
T
V


(40)
đó là ĐL lực đơn vị -đợc dùng để xác định chuyển vị q
r
khi trờng phân bố biến đã
cho.
C. 4. Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù toàn phần
Gọi V* -thế năng bù của ngoại lực
24
Độ biến thiên

V* của TN bù của ngoại lực

[ ]
R
=-CKD của ngoại lực
[ ]
R
:

V*=-

*
W
Theo NLCBKD

*
W
=

A
*
nên

V* +

*
W
=

V* +

A

*
=0 =>
*)*( AV +

=0
Gọi

*= V*+A* -thế năng bù toàn phần của hệ :
*)*( AV +

=
*

=0 =>

*=
const
Định lý : Trong các trờng ứng suất cân bằng tĩnh thoả mãn các ĐK biên khi thoả
mãn các ĐK tơng thích thì thế năng bù toàn phần có giá trị dừng
+ Cũng chứng minh đợc : khi thoả mãn các ĐK tơng thích thì năng lợng biến
dạng bù A* có giá trị cực tiểu (ĐL NLBD bù cực tiểu)
C.5. Định lý Castigliano thứ hai (Engesser)
Xét hệ ĐH phi tuyến, chịu hệ lực
1
R
R
2
R
i
R

n
=> CV q
1
q
2
q
i
q
n
Thế năng bù toàn phần

*= V*+A*= A* -
j
n
j
j
qR

=1
áp dụng NL giá trị dừng


*=

V*+

A*=0 với chú ý

V*;

A*không phụ
thuộc độ biến thiên của CV vì
[ ]
0=q

=> A* chỉ là hàm của các lực A* = A*(
1
R
R
2
R
i
R
n
)


*=
0)
*
(
*
111
=


=

===
j
j
n
j
jj
n
j
jj
n
j
j
q
R
A
RRqR
R
A

Vì lực KD
j
R

bất kì nên
j
q
=
j
R
A

*
(ĐLCastigliano) (41)
Đạo hàm riêngcủa NL biến dạng bù A* theo lực
j
R
bằng CV tơng ứng với lực đó
Lập luận tơng tự
j
j
A




=
*
(42)
Tại điểm bất kì ,véctơ biến dạng
[ ]

chính là gradien của mật độ năng lợng biến
dạng bù đối với ứng suất tơng ứng tại điểm đó.
D. Chú ý
25