Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 2)

CHNG 2
NI DUNG PHNG PHP PHN T HU HN
- Mễ HèNH CHUYN V
ý đồ thay thế môi trờng liên tục -> tập hợp hữu hạn các phần tử đã xuất hiện
từ lâu:
* Euler (TK 18) kiến nghị thay thế mảng mỏng bằng một hệ dây mềm trực giao.
* Bernoulli (1774) thay tấm chữ nhật bằng một hệ dầm trực giao để nghiên cứu
dao động.
* Đầu thế kỷ XX Timosenko tính đập chắn bằng mô hình tính có dạng vòm côn
xôn.
*Hrennikoff (1941) xem vật thể đàn hồi nh một hệ thanh khớp không gian.
*Rzanhitxn (1956) mô hình hoá môi trờng liên tục bằng hệ thanh ,lập điều kiện t-
ơng đơng giữa vật thể và mô hình thay thế (áp dụng cho trờng hợp hệ số Poisson
4/1=
à
).
*Absi (1970) đã lập điều kiện tơng đơng trên cơ sở tơng đơng năng lợng.
*Từ đầu của thập kỷ 60, nhiều tác giả đã công bố tài liệu về phơng pháp này nh
J.H.Argyris, R.C.Clough, H.C.Martin, R.J.Melosh, M.JTurner vv. Đặc biệt,
O.C.Zienkiewic(1970), đã dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn để đặt tên phơng pháp.
1. Sự rời rạc hoá kết cấu liên tục
Mô hình RRH đợc chọn thờng phải thoả mãn hai yêu cầu:
+ Xấp xỉ càng chính xác càng tốt các tính chất hình học và vật liệu của kết cấu
thực.
+ Tránh đợc càng nhiều càng tốt những phức tạp về mặt toán học.
Rời rạc hoá: chia kết cấu liên tục thành một số hữu hạn các miền (hoặc các kết
cấu con ) gọi là các PTHH có kích thớc hữu hạn càng nhỏ càng tốt.
Các PTHH có thể :
+ Có tính chất vật liệu không đổi hoặc thay đổi từ PT này sang PT khác.
+ Có dạng hình học và kích thớc khác nhau
Kích thớc và số lợng các PT phụ thuộc :

+ Dạng hình học và tính chất chịu lực của hệ.
+ Yêu cầu về độ chính xác của bài toán.
Dạng hình học của PTHH :
+ Thanh khi tính hệ thanh
+ Tấm tam giác, chữ nhật khi tính kết cấu tấm
+ Hình hộp, hình trụ, hình chóp khi tính vật thể đàn hồi
Biên hay mặt biên của PTHH: thẳng hoặc cong.
Sau khi RRH kết cấu, các PTHH đợc giả thiết nối với nhau tại một số điểm quy
định (thờng ở đỉnh của mỗi PT) gọi là các nút ,tập hợp các PT đợc rời rạc goi là lới
PTHH.
Lới PTHH càng mau -> số lợng pT càng lớn ->độ chính xác càng tăng
-> số lợng ẩn lớn (cần chú ý vấn đề ổn định nghiệm)


m
45
45
10
20
20
60
100
Các loại phần tử hữu hạn
Cùng một dạng hình học, tuỳ theo số lợng và cách đặt nút trên biên -> phân loại
PTHH.
PTHH bậc một (PTHH tuyến tính ): nút đặt ở các đỉnh của PT (a, c)

PTHH bậc hai , ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm một nút trên mỗi cạnh
(b,d)
PTHH bậc ba ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm hai nút trên mỗi cạnh

PTHH tam giác tuyến tính : phổ biến nhất, đợc dùng từ khi PPPTHH ra đời
(năm1956), cho kết quả tốt khi phân tích bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi
- PTHH chữ nhật tuyến tính : giảm nhẹ khối lợng tính nhờ lới chia có quy luật rõ
ràng hơn, cho kết quả khả quan khi tính các tấm un có dạng chữ nhật.
- PTHH tam giác bậc hai :đợc sử dụng từ năm 1965; cho kết quả chính xác hơn vì
đã tăng số nút trong mỗi phần tử ; CV trên biên sát với CV thực hơn.
Về trực quan, một PTHH bậc hai có thể xem tơng đơng với bốn PTHH tuyến tính
có kích thớc nhỏ hơn.
Trong bài giảng chỉ xét các loại PTHH tuyến tính
2. Hàm chuyển vị
Việc chọn hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH nhằm xác định sự liên hệ giữa CV
nút với CV của mọi điểm trong phạm vi của PTHH.
Trờng chuyển vị - véctơ các hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH.
a
c
b
d
+ PTHH không gian :
[ ]
U
= {u
x
(x,y,z) u
y
(x,y,z) u
z
(x,y,z)} (1)
+ PTHH phẳng :
[ ]
U

= {u
x
(x,y,z) u
y
(x,y,z)} (2)
Các hàm CV thờng đợc chọn dới dạng hàm đa thức
),(
321
+++= yxyxu
x

* Các hệ số
j

giữ vai trò thông số, sẽ đợc biểu thị theo các chuyển vị nút của các
PTHH. Số số hạng hay số hệ số
j

của các hàm phải bằng số CV nút của PTHH.
ẩn số của bài toán là chuyển vị tại các nút của lới PTHH => mô hình chuyển vị
* Bậc của hàm phụ thuộc bậc của PTHH tơng ứng .Với PTHH tuyến tính, mỗi
hàm CV biểu thị một đờng thẳng . Các đờng thẳng này phải nghiệm đúng tại các tọa
độ của từng đôi nút một, tất cả các điểm trên biên nối giữa hai nút sẽ nằm trọn trên
đờng thẳng đó. Kết quả : các biên của PTHH là thẳng trớc khi BD sẽ vẫn là thẳng sau
khi BD .
Hai biên chung của hai PTHH kề nhau có cùng một kiểu chuyển vị => tơng thích
* PTHH tuyến tính
Điều kiện cần và đủ để một PTHH tuyến tính tơng thích : Các hàm CV là các đa
thức bậc một, trong mỗi hàm có số số hạng bằng đúng số nút của PTHH
+ PTHH tam giác:

yxyxu
x 321
),(

++=
u
y
(x,y)=
yx
654

++
(3)
+ PTHH chữ nhật:
xyyxyxu
x 4321
),(

+++=
;
u
y
(x,y)=
xyyx
8765

+++
(4)
+ PTHH hình chóp :

zyxzyxu
x 4321
),,(

+++=
;
u
y
(x,y,z)=
zyx
8765

+++
(5)
u
z
(x,y,z)=
zyx
1211109

+++

+PTHH hình hộp :

zyxzyxu
x 4321
),,(

+++=
+

xyzzxyzxy
8765

+++

u
y
(x,y,z)=
zxyzxyzyx
1514131211109

+++++
+
xyz
16

(6)
u
z
(x,y,z)=
xyzzxyzxyzyx
2423222120191817

+++++++
* PTHH bậc hai
Điều kiện cần và đủ để một PTHH bậc hai tơng thích :hàm CV là đa thức bậc hai có
số số hạng chứa trong mỗi hàm bằng đúng số nút của PTHH tơng ứng.
Các hàm chuyển vị là các đa thức bậc hai. Mỗi hàm biểu thị một đờng cong parabol
thoả mãn các toạ độ của ba điểm nút trên mỗi cạnh, nh vậy trớc và sau khi biến
dạng, các điểm thuộc một cạnh sẽ nằm trên đờng cong parabol đó. Mặt khác, ba nút

nói trên cũng thuộc về một phần tử kề bên, nên cả hai PTHH kề nhau có biến dạng
giống nhau theo cạnh chung.
+PTHH tam giác :

2
65
2
4321
),( yxyxyxyxu
x

+++++=
(7)
u
y
(x,y)=
2
1211
2
10987
yxyxyx

+++++
+PTHH chữ nhật :
u
x
(x,y)
2
65
2

4321
yxyxyx

+++++=
+
2
8
2
7
xyyx

+
(8)
u
y
(x,y) =
15
2
1413
2
1211109

++++++ yxyxyx
yx
2
+
16

2
xy

Trong các liên hệ trên x,y,z là toạ độ của điểm bất kì của PTHH trong hệ toạ độ
riêng. Nên chọn hệ toạ độ riêng sao cho có nhiều toạ độ của đỉnh PTHH bằng không
càng tốt.
3. Quy đổi lực phân bố thành lực tập trung ở nút PTHH
Với mỗi PTHH, ngoài lực tập trung sẵn có ở nút (nếu có), còn có :
* Lực phân bố thể tích
[ ]
[ ]
T
zyx
gggg =
*Lực phân bố theo bề mặt
[ ]
[ ]
zyx
pppp =
T
Dới tác dụng của
[ ]
g
và
[ ]
p
=>
[ ]
[ ]
T
zyx
uuuU =
tại điểm bất kỳ bên trong

PTHH.
Cho PTHH chịu chuyển vị KD
[ ]
u

thì
[ ]
g
và
[ ]
p
sẽ phải sinh công khả dĩ:
[ ] [ ]
T
V
UW

=

[ ]
g
dV
+
[ ]
T
S
U


[ ]

p
dS
(9)
V, S -thể tích và diện tích phân bố tải trọng.
Giữa
[ ]
U
và
[ ]
q
có sự liên hệ :
[ ]
U
=
[ ]
B
[ ]
q
[ ]
B
-Ma trận chữ nhật, thực hiện phép biến đổi TT từ
[ ]
q
sang
[ ]
U
=>
[ ]
U

=
[ ]
B
[ ]
q

=>
[ ]
U

T
=
[ ]
q

T
[ ]
B
T

[ ] [ ] [ ]
T
V
T
BW

=
q

[ ]

g
dV
+
[ ]
T
q

[ ]

S
B
T
[ ]
p
dS
=
[ ]
T
q

[ ]
+
g
R
[ ]
T
q

[ ]
p

R
(10)
Với
[ ]
g
R
=
[ ]
T
V
B

[ ]
g
dV
;
[ ]
p
R
=
[ ]

S
B
T
[ ]
p
dS
(11)
Gọi

[ ]
R
-lực tập trung quy đổi về nút ; CKD của
[ ]
R
:

[ ]
W

=
[ ]
T
q

[ ]
R
(12)
Điều kiện tơng đơng : Công KD của các lực phân bố = Công KD của
[ ]
R
.
Đối chiếu (10) và (12):

[ ]
R
=
[ ]
g
R

+
[ ]
p
R
(13)
4. Các phơng trình cơ bản của PPPTHH-mô hình chuyển vị
Có thể lập theo nhiều hớng, chẳng hạn :NLý CKD, ĐL Castigliano Sử dụng
NLý CKD
4.1. Phơng trình cân bằng của PTHH thứ i
* Trong hệ toạ độ địa phơng 0xyz
Với hệ đàn hồi tuyến tính :
[ ] [ ] [ ]
i
ii
qD=

;
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
i
ii
i
i
qDEE
00
==

TheoNLCKD: :
[ ] [ ] [ ]
i
V

T
ii
DR


=
dV
=
[ ] [ ] [ ] [ ]
i
V
i
i
T
i
qdVDED







0
Hay
[ ]
i
R
=
[ ] [ ]

i
i
qK
(14)

[ ]
=
i
K
[ ] [ ] [ ]

V
i
i
T
i
dVDED
0
(15)
[ ]
i
q
- véc tơ chuyển vị nút ;
[ ]
i
R
- véc tơ các lực nút
[ ]
i
K

- ma trận độ cứng của PTHH thứ i biểu thị phép biến đổi TT từ
[ ]
i
q
sang
[ ]
i
R

[ ]
i
K
- vuông, đối xứng, kích thớc bằng tổng các thành phần CV nút của
PTHH.
- Chứa các đặc trng cơ học và hình học của PTHH.
- Suy biến (
0=K
) vì cha thể hiện điều kiện biên.
* Trong hệ toạ độ chung O'x'y'z' chọn dùng cho toàn hệ
Oxyz => O'x'y'z'
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
i i
i i i
q q
q T q



=

(16)
Tìm
[ ]
i
T
; xét một nút có 3 CV, từ hình giải tích:
x'
q
2
q
q
1
q'
3
q'
2
q'
1
Hệ tọa độ chung
Hệ tọa độ địa phuơng
z'
y'
z
y
x
PTH
H i
3
cosin
của các

Đối với
x y z
x l
xx
l
xy
l
xz
y l
yx
l
yy
l
yz
z l
zx
l
zy
l
zz
1 1 ' 2 ' 3
2 1 ' 2 ' 3
3 1 ' 2 ' 3
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
q l q l q l q
q l q l q l q
q l q l q l q

= + +


= + +


= + +

với
(17)
+ Trờng hợp PTHH là một điểm nút:
[ ] [ ]
i
T l
=
+ Trờng hợp tổng quát:
[ ]
i
T
- MT khối chéo. Kích thớc phụ thuộc kích thớc của
[ ]
i
q
; số khối chéo bằng số tập hợp CV nút
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

i
T l l l l

=

(18)
+ Trờng hợp thanh không gian: 2nút, mỗi nút có tập hợp 3 CV thẳng và 3 CV
xoay:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

i
T l l l l

=

+ Trờng hợp thanh thanh thẳng trong mặt phẳng x, y: phơng z không đổi; 2 nút,
mỗi nút có 3 CV
[ ] [ ] [ ]
i
T l l

=

[ ]
1 1
2 2
3 3
q q
q l q
q q

=




[ ]
' '
' '
' '
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
l l l
l l l l
l l l





=



[ ]
'

'
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0 1 0 0 1
xx xy
yx yy
l l
l l l






= =



(19)
Vì lực và CV tại nút cùng đợc mô tả theo cùng hệ toạ độ địa phơng và chung nên :

[ ] [ ] [ ]
iii
RTR '
=
=>
[ ]
i
R'
=

[ ]
T
i
T
[ ]
i
R
(20)
PTCB trong hệ TĐ địa phơng
[ ]
i
R
=
[ ] [ ]
i
i
qK
=>
[ ]
i
T
[ ]
i
R'
=
[ ]
i
K
[ ]
i

T
[ ]
i
q'
[ ]
i
R'
=
[ ]
1
i
T
[ ]
i
K
[ ]
i
T
[ ]
i
q'
(21)
Khi đổi hệ TĐ ,công của lực trên các chuyển vị tơng ứng không đổi ,nên có ĐK :
[ ] [ ]
=
i
T
i
Rq
[ ]

T
i
q'
[ ]
i
R'
=> (
[ ]
i
T
[ ]
i
q'
)
T
[ ]
i
T
[ ]
i
R'
=
[ ]
T
i
q'
[ ]
T
i
T

[ ]
i
T
[ ]
i
R'
=
[ ]
T
i
q'
[ ]
i
R'
Nghĩa là
[ ]
T
i
T
[ ]
i
T
=
[ ]
1
-ma trận đơn vị =>
[ ]
i
T
ma trận trực giao :

[ ]
1
i
T
=
[ ]
T
i
T
(21) =>
[ ]
i
R'
=
[ ]
T
i
T
[ ]
i
K
[ ]
i
T
[ ]
i
q'
Hay
[ ]
i

R'
=
[ ]
i
K '
[ ]
i
q'
(22)
=>
[ ]
i
K '
=
[ ]
T
i
T
[ ]
i
K
[ ]
i
T
;
[ ]
i
R'
=
[ ]

T
i
T
[ ]
i
R
;
[ ]
i
q'
=
[ ]
T
i
T
[ ]
i
q
(23)
4.2. Phơng trình cân bằng của toàn bộ kết cấu
* Ghép các phần tử - Giả sử hệ đợc rời rạc hoá thành m PTHH .Viết (22) cho tất cả
các PT rồi gộp lại sẽ đợc :

[ ]
'R
=
[ ]
g
K '
[ ]

'q
(24)
Trong đó :
[ ]
{
[ ] [ ] [ ] [ ]
}
mi
RRRRR ' ' '''
21
=

[ ]
'q
=
[ ]
{
[ ] [ ] [ ]
}
mi
qqqq ' ' ''
21
(25)

[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

mi
g
KKKKK ' ' '''

21
=
* Khử trùng lặp - Trong (24), một số phần tử của
[ ]
'R
và
[ ]
'q
đợc lặp lại một số lần
Ví dụ : tại nút k có r PTHH quy tụ => có r PT thể hiện ĐKCB tại nút k => lặp lại r
lần .Cần gộp r PT đó thành một PT chung
Biến đổi
[ ]
'R
=
[ ]
g
K'
[ ]
'q
=>
[ ] [ ][ ]
qKR =
+
[ ]
'q
=
[ ]
H
[ ]

q
(26)

[ ]
q
-MT chuyển vị nút của toàn hệ sau khi đã khử trùng lặp

[ ]
H
- MT nhận dạng kết cấu, cấu trúc phụ thuộc hình dạng kết cấu
+ Tìm
[ ]
'R
theo ĐK công khả dĩ không thay đổi :
[ ] [ ]
[ ]
qRqW
T

== ''

[ ]
'R
Từ (26) :
[ ] [ ]
Hq ='

[ ]
q

=>
[ ]
T
q'

=
[ ]
q

T
[ ]
H
T
=>
[ ]
q

T
[ ]
H
T
[ ]
'R
=
[ ]
q

T
[ ]
R

Vì
[ ]
q

bất kì , khác không nên : (27)
+ Tìm
[ ]
K
theo (24),(26)
[ ]
'R
=
[ ]
g
K '
[ ]
'q
=
[ ]
g
K '
[ ]
H
[ ]
q
Thay vào (27): (28)
Với (29)
Nếu tại các nút của hệ có ngoại lực tập trung mô tả bởi
[ ]
P

R
thì trong (28) cần thay
[ ]
R
bằng
[ ]
='R
[ ]
R
+
[ ]
P
R
=
[ ]
K
[ ]
q
(30)
* Khử suy biến - PTCB (28) và (30) biểu thị sự cân bằng của hệ còn tự do trong
không gian nên
[ ]
K
suy biến
Sau khi bổ sung ĐK biên :
(31)

[ ] [ ][ ]
***
qKR =

[ ]
='R
[ ]
R
+
[ ]
P
R
=
[ ]
K
[ ]
q
[ ]
R
=
[ ]
K
[ ]
q

[ ]
K
=
[ ]
H
T
[ ]
g
K '

[ ]
H

[ ]
R
=
[ ]
H
T
[ ]
'R
[ ]
*
R
và
[ ]
*
q
- suy từ
[ ]
'R
và
[ ]
q
:loại các phần tử thứ i (hàng i) tơng ứng tại toạ độ thứ
i có LK ngăn cản ;
[ ]
*
K
- suy từ

[ ]
K
: loại hàng thứ i và cột thứ i tơng ứng với chuyển vị nút thứ i đã bị
khử LK thứ i
[ ]
*
K
không suy biến -> tồn tại
[ ]
*
K
1
Từ (31) -> (32)
Biết
[ ]
*
q
-> Trạng thái ứng suất và biến dạng cần tìm
5. Thứ tự giải bài toán
1. Chọn loại và dạng PTHH
2. Rời rạc hoá kết cấu thành lới PTHH theo loại và dạng đã chọn
3. Chọn hàm chuyển vị xấp xỉ
[ ]
i
U
cho PTHH đã chọn
4. Lập ma trận độ cứng
[ ]
i
K

cho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng
+
[ ]
i
U
=
[ ]
i
B
[ ]
i
q
=>
[ ]
i
B
+ Căn cứ tính chất của vật liệu =>
[ ]
i
E
0
+ Lập
[ ]
i
K
theo (15):
[ ]
i
K
=

[ ] [ ] [ ]

V
ii
T
i
dVDED
0
5. Xác định MT
[ ]
i
R
cho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng (cha kể TT tập
trung đặt ở nút)
+ Xác định
[ ]
i
g
R
và
[ ]
i
p
R
theo (11):

[ ]
g
R
=

[ ] [ ]

V
T
dVgB
;
[ ]
p
R
=
[ ] [ ]

S
T
dSpB
[ ]
*
q
=
[ ]
*
K
1
[ ]
*
R

+ Xác định
[ ]
i

R
:
[ ]
i
R
=
[ ]
i
g
R
+
[ ]
i
p
R
6. PTCB của các PTHH trong hệ TĐ địa phơng :
7. PTCB của các PTHH trong hệ TĐ chung:
* Lập
[ ] [ ]
T
ii
TT
=>
* Tìm
[ ] [ ]
T
ii
TR
=
'

[ ]
i
R
* Tìm
[ ]
i
K '
=
[ ]
T
i
T
[ ]
i
K
[ ]
i
T
* Tìm
[ ]
i
q'
=
[ ]
T
i
T
[ ]
i
q

8. PTCB của toàn hệ trong hệ TĐ chung:
* Gộp các PTHH
9. PTCB của toàn hệ sau khi khử trùng lặp
* Lập
[ ]
H
->
[ ]
T
H
* Tìm
[ ]
R
=
[ ]
H
T
[ ]
'R
* Tìm
[ ]
='R
[ ]
R
+
[ ]
P
R
* Tìm

[ ]
K
=
[ ]
H
T
[ ]
g
K'
[ ]
H
* Lập
[ ]
q
10. PTCB của toàn hệ sau khi khử suy biến:
*Điều kiện biện

11.Giải PT để xác định MT chuyển vị nút của toàn hệ
[ ] [ ] [ ]
i
ii
qKR =
[ ] [ ] [ ]
i
ii
qKR ''' =
[ ]
[ ]
[ ]
''

'
qKR
g
=
[ ]
R
=
[ ]
K
[ ]
q

[ ] [ ][ ]
*** qKR =
12.X¸c ®Þnh MT CV nót cña tõng PTHH
[ ]
i
q
=>
[ ]
i
ε
=
[ ] [ ]
i
i
qD
=>
[ ]
i

σ
=
[ ]
i
E
0
[ ]
i
ε
[ ] [ ] [ ]
***
1
RKq
−
=