TỔNG hợp TOÀN bộ KIẾN THỨC môn HÌNH học lớp 11

TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
Đ
∆
Phép đối xứng trục ∆
Đối xứng
Đ
O
Phép đối xứng tâm O Đối xứng
v
T

Phép tịnh tiến theo vectơ
v

Tịnh tiến
),(
α
O
Q
Phép quay tâm O, góc quay a Quay
),( kI
V
Phép vị tự tâm I, tỉ số k Tịnh tiến
(a) hoặc mp(a) Mặt phẳng a
A ∈ (a)
Điểm A thuộc mp(a) hay A nằm trên (a) hay
(a) chứa A hay (a) qua A
A ∉ (a)
Điểm A không thuộc (a) hay A không nằm

trên (a) hay (a) không chứa A hay (a) không
qua A
d ⊂ (a)
d chứa trong mặt phẳng a
d ∩ (a) = {M}
d cắt mặt phẳng (a) tại M
(a) ∩ (β) = ∆ mp(a) cắt mp(β) theo giao tuyến ∆
S.ABCD Hình chóp S là đỉnh, ABCD là mặt
đáy
ABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác
d(A,(a)) Khoảng cách từ A đến mp(a) Distance from A to (a)
d(∆,(a)) Khoảng giữa đường thẳng ∆ và mp(β)
d((a),(β)) Khoảng giữa hai mp(a) và mp(β)
1
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Vectơ:
a) Các định nghĩa:
• Độ dài vectơ
AB
kí hiệu
AB
bằng độ dài đoạn
thẳng AB.
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng
hướng và cùng độ dài.

• Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược
hướng và cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ
a

kí hiệu là -
a

;
vectơ đối của
MN
là
NM
nên ta có
NMMN
=−
.
• Hai vectơ
a

và
b

cùng phương ∃k ∈ R:
a

= k
b

.
•

0.
=⇔⊥
baba




• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là
hình bình hành thì:
ACADAB
=+
• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta
có:
ACBCAB
=+
CBACAB =−
• A, B, C thẳng hàng
ACkAB
=
, k ∈ R
• I là trung điểm AB
0

=+
IBIA
• G là trọng tâm ∆ABC
0

=++
GCGBGA

b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:
Cho hai vectơ
u

= (u
1
; u
2
),
v

= (v
1
; v
2
), ta có:
•
vu

+
= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
)
•

vu

−
= (u
1
- v
1
; u
2
- v
2
)
• k
u

= (ku
1
; ku
2
)
•
vu

.
= u
1
v
1
+ u
2

v
2
•
2
2
2
1
uuu +=

•



=
=
⇔=
22
11
vu
vu
vu

Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B

), ta có:
•
AB
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
)
• AB =
AB
• Tọa độ trung điểm của AB: I(
2
;
2
BABA
yyxx
++
)
• Tọa độ trọng tâm ∆ABC: G(
3
;
3
CBACBA
yyyxxx ++++
)
2. Đường thẳng trong mặt phẳng:

• Phương trình tham số của đường thẳng ∆:



=
b)(a;VTCPcoù
)y;M (xquañi
00
u
là ∆:



+=
+=
btyy
atxx
0
0
.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆:



= B)(A;VTPTcoù
)y;M(xquañi
00
n
là: A(x - x
0

) + B(y - y
0
) = 0.
2
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến
);( BAn
=

.
• Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương
);( bau
=

thì d có một vectơ pháp tuyến
);( abn
−=

.
Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến
n

= (A; B) thì ∆ có một vectơ chỉ phương là
);( ABu
−=

.
• Đường thẳng song song đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C
1
= 0 (C ≠

C
1
).
• Đường thẳng vuông góc đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C
2
= 0.
3. Đường tròn:
• Đường tròn (C):



Rkínhbaùn
baItaâm );(
có phương trình: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
.
• Phương trình x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi
a
2
+ b
2
- c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =

cba
−+
22
.
 Ghi chú:














3
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

4
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

5
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của
điểm M lên đường thẳng d. Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế?
ĐỊNH NGHĨA:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của
mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' =
F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh
của hình H qua phép biến hình F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a.
Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì
sao?
 Ghi chú:

6
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11










CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI










7
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

8
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§2. PHÉP TỊNH TIẾN
I- ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng cho vectơ
v

. Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M' sao cho
'MM
=
v

được gọi
là phép tịnh tiến theo vectơ
v

.
• Phép tịnh tiến theo vectơ
v

thường được kí hiệu là
v
T

,
v


được gọi là vectơ tịnh tiến.
• Vậy:
vMMMMT
v


=⇔= '')(
• Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.
 Cho hai tam giác đều ABE và BCD
bằng nhau. Tìm phép tịnh tiến biến ba
điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm
B, C, D.
Phép tịnh tiến theo vectơ
v

biến hình H thành
hình H'
Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ
v

II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Nếu
')( MMT
v
=

,
')( NNT
v
=


thì
MNNM
=
''
và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép
tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh
của M qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

, khi đó:



+=
+=
byy
axx
'
'
(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
v

T

)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của
điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến
v
T

.
9
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x -
5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến
v
T

.
Giải:

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4
= 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 3).
10
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Giải:

 Ghi chú:


11

TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11




















BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
12
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác đinh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh
tiến theo vectơ

AG
. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ
AG
biến D thành A.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
v

= (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A
sao cho:
a) A =
)(MT
v

; b) M =
)(AT
v

.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ
v

= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường
thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.
a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo
vectơ
v

.
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo
v


.
c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
v

.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
=
9. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
v

= (-2; 5).
Bài 6: Chứng minh rằng: M' =
)'()( MTMMT
vv

−
=⇔
.
Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a
thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho
v

= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0,
đường thẳng d

1
có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua
v
T

.
b) Tìm tọa độ của
w

có giá vuông góc với đường thẳng d để d
1
là ảnh của d qua
w
T

.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh
tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ
và viết phương trình đường thẳng d'.
Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động
trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam
giác ABC di động trên một đường tròn.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

13
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11




14
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm
M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép
đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép
đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là
Đ
d
.
Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua
d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.
* Nhận xét:
• Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vuông góc của M trên đường
thẳng d. Khi đó: M' = Đ
d
(M)
MMMM
00

' −=
.
• M' = Đ
d
(M) M = Đ
d
(M').
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.
Giải:




















Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đ

d
:
15
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:



−=
=
yy
xx
'
'
Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy
2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy
trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm
M(x; y), gọi M' = Đ
d
(M) = (x'; y') thì:



=

−=
yy
xx
'
'
Biểu thức tọa độ của phép Đ
Oy
 Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 =
0 và đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép
đối xứng trục Ox.
Giải:












16
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính.
IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d
biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:
 Ghi chú:

17
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11










BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường
thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương
trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam
giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x +
2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C)

qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?
V I E T N A M W T O
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 =
0. Tìm ảnh của M qua Đ
d
.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường
thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.
Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng
hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d.
18
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

19
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§4. PHÉP QUAY
I- ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm O và góc lượng giác a. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm
M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng a được gọi là phép
quay tâm O góc a.
Điểm O được gọi là tâm quay còn a được gọi là
góc quay của phép quay đó.
Phép quay tâm O góc a thường được kí hiệu là
Q
(O,a)
.
* Nhận xét:
1) Chiều dương của phép quay là chiều dương
của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với
chiều quay của kim đồng hồ.

Chiều quay dương Chiều quay
âm
2) Với k là số nguyên ta luôn có:
• Phép quay Q
(O; 2k
π
)
là phép đồng nhất.
• Phép quay Q
(O; (2k + 1)
π
)

là phép đối xứng tâm
O.
 Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B
qua phép quay tâm O, góc quay -90
0
. Chứng minh AB = A'B'.
II- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam
giác bằng nó, biến đường tròn thành đường
tròn có cùng bán kính.
* Nhận xét: Phép quay góc a với 0 < a < π,
biến đường thẳng d thành đường thẳng d' sao
cho góc giữa d và d' bằng a (nếu 0 < a ≤
2
π
),
hoặc bằng π - a (nếu
2
π
≤ a < π).
Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB.
Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60
0
.
Giải:
20
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A
qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Giải:
























 Ghi chú:

21
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11


BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y
- 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm
ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60

0
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một
phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60
0
.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC. Chứng minh ∆BMN đều.
Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần
lượt hai điểm A và B sao cho ∆ABC là tam giác đều.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI








22
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11


23
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
§5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:
Định nghĩa:
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.
* Nhận xét:
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các
phép dời hình.
2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một
phép dời hình.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 90
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
AB
.
 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O
qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép
đối xứng qua đường thẳng BD.
II- TÍNH CHẤT:
Phép dời hình biến:
1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;
4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
* Chú ý:
a) Nếu một phép dời hình biến tam
giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng
biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương
ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

A'B'C'.
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh
thành cạnh.
24
TỔNG HỢP TOÀN BỘ KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC LỚP 11
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm
đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam
giác OAB qua phép dời hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc
60
0
và phép tịnh tiến theo vectơ
OE
.
Giải:

 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,
CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH.
III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau
nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là
trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
 Ghi chú:




25