Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

Bài tập toán giải tích có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (240.88 KB, 10 trang )


Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố
PH N I. Đ I S VÀ GI I TÍCHẦ Ạ Ố Ả
I. CÁC CÔNG TH C L NG GIÁC KHÔNG TH NÀO QUÊNỨ ƯỢ Ể
1. Hai cung đ i nhau: -x và xố
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π

và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π


π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung ph nhau: ụ
2
x
π

và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
   
− = − =
 ÷  ÷
   
   
− = − =
 ÷  ÷
   
4. Hai cung h n kém nhau Pi: ơ

x
π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các h ng đ ng th c l ng giácằ ẳ ứ ượ
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin

a x x b x
x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công th c c ng l ng giácứ ộ ượ
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công th c nhân đôiứ
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công th c nhân ba:ứ

3 3
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công th c h b c:ứ ạ ậ
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công th c bi n đ i tích thành t ngứ ế ổ ổ
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +

11 . Công th c bi n đ i t ng thành tíchứ ế ổ ổ
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
1

Tr ng THPT Cam Ly Bi t p Toỏn kh i 11
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
A. CễNG TH C BI N I

I/. GI TR L NG GIC
Bi 1: Cho
3 3
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
ổ ử


=-




ố ứ
Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 4: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=

-
bi t
1
sinx = .
3
Tớnh
2sin x 3cos x
B
3sin x 2cosx
+
=
-
bi t tanx = -2
Tớnh
2 2
2
sin x 3sin x cosx 2cos x
C
1 4sin x
+ -
=
+
bi t cotx = -3
Bi 5: Ch ng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

(s d ng nh 1 cụng th c)
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bi 6: Ch ng minh cỏc ng th c sau:

2 2
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bi 7: * Ch ng minh cỏc bi u th c sau c l p i v i x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

6 6 4 4 4 2 4 2
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4
6 6
4 2 4 2
4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
4 4
6 6 4
2 2
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộ ự
ờ ỳ

ờ ỳ
ở ỷ
II/. GI TR L NG GIC C A CUNG C BI T
* Bi t 1 HSLG khỏc :
Bi 1: Cho sinx = - 0,96 v i
3
x 2

2
p
p
ổ ử


< <




ố ứ

a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
p p
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Tr ng THPT Cam Ly-
2


Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố
Bài 2: Tính:

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b

p
p b p a
p a b
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
= -
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç

è ø è ø è ø è ø
= - + -
æ ö
- -
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 3: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ

( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a

p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= + - - + - + -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + - - - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
÷

Bài 4: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p
= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bài 5: Đ n gi n bi u th c:ơ ả ể ứ

( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
A B
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p

p
æ ö
÷
ç
- - -
÷
ç
-
÷
ç
è ø
= = +
æ ö
+
÷
ç
- -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 6: Ch ng minh:ứ

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3

b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p
- + - + =
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ + + + + + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 7: Cho tam giác ABC.Ch ng minh:ứ

A B C
a /sin(A B) sin A; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos ;
2 2
3A B C
d / cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CÔNG TH C L NG GIÁCỨ ƯỢ
Bài 8: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045

Bài 9: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau: ị ủ
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p
Bài 10: Tính
cos x
3
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
bi t ế
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p
=-
Bài 11: Cho 2 góc nh n ọ
,
a b

1 1

tan ,tan
2 3
a b
= =
. a/ Tính
( )
tan
a b
+
b/ Tính
a b
+
Bài 12: Cho 2 góc nh n x và y tho : ọ ả
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
p
ì
ï
ï
+ =
ï
í
ï
ï
= -
ï
î
a/ Tính
( )

tan x y ;tan x tan y+ +
b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
3

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố
Bài 13: Tính
tan x
4
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
bi t ế
40
sin x
41
=-

3
< x <
2
p
p

Bài 14: Tính
tan
4
p
a
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
è ø
theo
tan
a
. Áp d ngụ : Tính tg15
o
Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69

D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3
cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-
= - = + =
+
Bài 16: Tính:

3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷

ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 17: Ch ng minh bi u th c sau đ c l p đ i v i x:ứ ể ứ ộ ậ ố ớ

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 18: Ch ng minh:ứ

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2

a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sin a cosa sinbcosb
d /sin a sin a 2sina
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 19: Lo i 5ạ : H th c l ng trong tam giác ệ ứ ượ
Cho tam giác ABC.Ch ng minhứ :

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C

2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö
÷
ç
¹
÷
ç
÷
ç
è ø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =

( h c thu c k t qu )ọ ộ ế ả
Công th c bi n đ iứ ế ổ :
Bài 20: BI N Đ I THÀNH T NGẾ Ổ Ổ

( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài 21: BI N Đ I THÀNH TÍCHẾ Ổ
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
4

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin x

d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + + -
Bài 22: H TH C L NG TRONG TAM GIÁC Ệ Ứ ƯỢ
Trong tam giác ABC.Hãy ch ng minh và h c thu c các k t qu sau :ứ ọ ộ ế ả
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( ti p theo Lo i 5- Trang 8)ế ạ
Bài 23: Ch ng minh ứ
ABCD
vuông n u: ế

2 2 2
sin B sin C

a / sin A ; b / sin C cos A cosB; c / sin A sin B sin C 2
cos B cosC
+
= = + + + =
+

Bài 24: Ch ng minh ứ
ABCD
cân n u:ế
2
C sin B
a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c/ tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A
2 sin C
= + = + = =
Bài 25: Ch ng minh ứ
ABCD
đ u n u:ề ế
1 3
a / cosA.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Ch ng minh ứ
ABCD
cân ho c vuông n u:ặ ế

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C

C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27: Hãy nh n d ng ậ ạ
ABCD
bi t:ế

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B
+ + = + + = =
B. HÀM S L NG GIÁCỐ ƯỢ
I. Tìm t p xác đ nh c a hàm s l ng giác ậ ị ủ ố ượ
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0

(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0

2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤


3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4)
os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm s y = tanx xác đ nh khi ố ị
2
x k
π
π
≠ +
Hàm s y = cotx xác đ nh khi ố ị
x k
π

Bài 1: Tìm t p xác đ nh c a các hàm s sau ậ ị ủ ố
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x

x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
5

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Toán kh i 11ậ ố
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1

sinx 2 osxc

II. Xét tính ch n, l c a các hàm s l ng giác ẵ ẻ ủ ố ượ
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2
sin(-x)
= (-sinx)
2
= sin
2
x
Ph ng pháp:ươ B c 1 : Tìm TXĐướ
D
; Ki m tra ể
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
B c 2 : Tính f(-x) ; so sánh v i f(x) . Có 3 kh năngướ ớ ả

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0

( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính ch n, l c a các hàm s sau ẳ ẻ ủ ố
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2
tan
2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3x
III. Xét s bi n thiên c a hàm s l ng giác ự ế ủ ố ượ
Chú ý : Hàm s y = sinx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm s y = sinx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả

3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 ÷
 
Hàm s y = cosx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả
( )
2 ; 2k k−π + π π
Hàm s y = cosx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả
( )
2 ; 2k kπ π + π
Hàm s y = tanx đ ng bi n trên m i kho ng ố ồ ế ỗ ả
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm s y = cotx ngh ch bi n trên m i kho ng ố ị ế ỗ ả
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét s bi n thiên c a các hàm sự ế ủ ố
1) y = sinx trên
;

6 3
π π
 

 ÷
 
2) y = cosx trên kho ng ả
2 3
;
3 2
π π
 
 ÷
 
3) y = cotx trên kho ng ả
3
;
4 2
π π
 
− −
 ÷
 
4) y = cosx trên đo n ạ
13 29
;
3 6
π π
 
 

 
5) y = tanx trên đo n ạ
121 239
;
3 6
π π
 

 
 
6) y = sin2x trên đo n ạ
3
;
4 4
π π
 

 
 

7) y = tan3x trên kho ng ả
;
12 6
π π
 

 ÷
 
8) y =sin(x +
3

π
) trên đo n ạ
4 2
;
3 3
π π
 

 
 
Bài 4: * Xét s bi n thiên c a các hàm sự ế ủ ố
Hàm số

Kho ngả
3
;
2
π
 
π
 ÷
 
;
3 3
π π
 

 ÷
 
23 25

;
4 4
π π
 
 ÷
 
362 481
;
3 4
π π
 
− −
 ÷
 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
6

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố
Chú ý Hs y = f(x) đ ng bi n trên K ố ồ ế

y = A.f(x) +B
®ång biÕntrªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕntrªn K nÕu A < 0




Bài 5* L p b ng bi n thiên c a hàm sậ ả ế ủ ố
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đo n ạ
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
trên đo n ạ
2
;
3 3
π π
 

 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s l ng giácủ ố ượ
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0

sin
2
x


1 ; A
2
+ B

B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN c a các hàm s ủ ố
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2
cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =

2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm s y = f(x) đ ng bi n trên đo n ố ồ ế ạ
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a= =
Hàm s y = f(x) ngh ch bi n trên đo n ố ị ế ạ
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =

Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN c a các hàm s ủ ố
1) y = sinx trên đo n ạ
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên đo n ạ
;
2 2
π π
 

 
 
3) y = sinx trên đo n ạ
;0
2
π
 

 
 
4) y = cos
π
x trên đo n ạ
1 3
;

4 2
 
 
 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π

+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++

xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
7

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0 .

Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )

cos
2sin
x
x
x

=
8.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :
f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4

2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos

2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x ≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau
khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Bài tập :

1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3
3
sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±

sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Tr ng THPT Cam Ly- ườ
8

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t

Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4

π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(

4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π

+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin
2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin

2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3

x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

Tr ng THPT Cam Ly- ườ
9

Tr ng THPT Cam Lyườ Bài t p Tốn kh i 11ậ ố
5/ sin
3
(x -
4

π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3
π
+ kπ v x=
4
π
+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos

3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos

1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3

x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin
2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2

x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/

x
x
xx
sin
cos1
sincos
=

+

11/ sin
2
)
42
(
π

x
tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2

x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3

tan 1
cos
x x
x
x

+ =
19/ tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
)
20/ cotx – 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TỔ HP
Tóm t t giáo khoaắ
I. Quy t c đ mắ ế
1. Quy t c c ng:ắ ộ Gi s cơng vi c có th ti n hành theo m t trong hai ph ng án A vàả ử ệ ể ế ộ ươ
B. Ph ng án A có th th c hi n b i n cách; ph ng án B có th th c hi n b i mươ ể ự ệ ở ươ ể ự ệ ở
cách. Khi đó, cơng vi c đ c th c hi n theo n + m cách.ệ ượ ự ệ

Tr ng THPT Cam Ly- ườ
10

×