Bài giảng điều khiển số (chương 5)

C.5: TÍNH N NH
C.5: TÍNH N NH
CA H THNG IU KHIN S
CA H THNG IU KHIN S
ÔN LI KHÁI NIM V N NH
• Phân bit s khác nhau gia trng thái
xác lp ca h thng và tính n đnh ca
h thng
5.1. nh ngha
•H thng n đnh là h thng có quá trình
quá đ tt dn theo thi gian.
•H thng không n đnh là h thng có
quá trình quá đ tng dn theo thi gian.
•H thng  biên gii n đnh là h thng
có quá trình quá đ không đi hoc dao
đng không tt dn.
î Mun xác đnh tính n đnh ca h thng
thì phi xác đnh hàm quá đ: gii phng
trình vi phân.
5.2. IU KIN CN VÀ  V TÍNH N NH
CA H THNG LIÊN TC TUYN TÍNH
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính n đnh là tt c các nghim ca phng
trình đc tính đu có phn thc âm.
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính không n đnh là có ít nht m
t nghim ca
phng trình đc tính có phn thc dng.
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính  biên gii n đnh là có ít nht mt nghim
ca phng trình đc tính có phn thc bng

không và tt c các nghim còn li đu có phn
thc âm.
Phng trình đc tính:
;1, ,
ii i
p
jin
α
β
=
+=
1
01 1
0
nn
nn
ap ap a p a
−
−
+
+⋅⋅⋅+ + =
Nghim ca phng trình đc tính:
iu kin cn và đ v tính n đnh ca
h thng điu khin liên tc tuyn tính
0
!0
!0 0
i
i
ij

ji
α
α
αα
≠
⇔
∀<
⇔∃ >
⇔
∃=∧ <
H thng n đnh
H thng không n đnh
H thng  biên gii n đnh
Không n đnh
Biên gii n
đnh
p
n đnh
Nu th hin nghim s ca
phng trình đc tính lên
mt phng phc – đc
gi là mt phng p thì các
nghim s có phn thc
âm nm bên trái mt
phng phc; các nghim
s có phn thc dng
nm bên phi mt phng
phc; còn các nghim có
phn thc bng không
nm trên trc o. Nh vy

bên trái mt phng phc
là min n đnh, bên phi
mt phng phc là min
không n đnh, trc o là
biên gii.
Có th phát biu li đk cn và đ
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính n đnh là tt c các nghim ca phng
trình đc tính đu nm bên trái mt phng phc.
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính không n đnh là có ít nht mt nghim ca
phng trình đc tính nm  bên phi mt
phng phc.
• iu kin cn và đ đ h thng liên tc tuyn
tính  biên gii n đnh là có ít nht mt nghim
ca phng trình đc tính nm trên trc o và
các nghim khác nm  bên trái mt phng
phc.
Các tiêu chun n đnh
• nh ngha …
• iu kin cn và đ …
î Các tiêu chun n đnh
1. Tiêu chun n đnh đi sô:
- Tiêu chun n đnh Routh
- Tiêu chun n đnh Hurwitz
2. Tiêu chun n đnh tn s:
- Tiêu chun n đnh Mikhailov
- Tiêu chun n đnh Nyquist:
ch dành cho h thng kín
5.3. iu kin cn và đ v tính n đnh ca h

thng điu khin s
1
ln
p
T
pzze
T
=⇒=
()
ii
i
j
T
pT
i
ze e
αβ
+
⇒= =
p
i
= α
i
+ jβ
i
.
ii i
TjT jT
ii
zee ze

α
ββ
==
i
T
i
ze
α
=
α
i
< 0  |z
i
| < 1
α
i
> 0  |z
i
| > 1
α
i
= 0  |z
i
| = 1
• iu kin cn và đ đ h thng điu khin s
n đnh là tt c các nghim ca phng trình
đc tính đu có modun nh hn 1.
• iu kin cn và đ đ h thng điu khin s
không n đnh là có ít nht mt nghim ca
phng trình đc tính có modun ln hn 1.

• iu kin c
n và đ đ h thng điu khin s 
biên gii n đnh là có ít nht mt nghim ca
phng trình đc tính có modun bng 1 và tt
c các nghim còn li đu có modun nh hn 1.
Nu th hin nghim s ca
phng trình đc tính lên
mt phng phc – đc
gi là mt phng z thì các
nghim s có modun nh
hn 1 nm bên trong
đng tròn đn v; các
nghim s có modun ln
hn 1 nm bên ngoài
đng tròn đn v; còn
các nghim có modun
bng 1 nm trên đng
tròn đn v. Nh vy bên
trong đng tròn đn v là
min
n đnh, bên ngoài
đng tròn đn v là min
không n đnh, đng
tròn đn v là biên gii.
Không n đnh
Biên gii
n đnh
z
n đnh
1

-1
Ví d
()( )
2
1
()
T
TT
e
Gz
ze ze
−
−−
−
=
−−
•H thng có hàm truyn đt:
Các cc ca G(z) là:
1. z
1
= e
-T
å |z
1
| = e
-T
< 1
2. z
2
= e

-2T
å |z
2
| = e
-2T
< 1
å H thng đã cho n đnh
2
1
()
4
Gz
z
=
+
•H thng có hàm truyn đt:
Các cc ca G(z) là:
1. z
1
= j2 å |z
1
| = 2 > 1
2. z
2
= -j2 å |z
2
| = 2 > 1
å H thng đã cho không n đnh
Không n đnh
Biên gii n

đnh
p
n đnh
Không n đnh
Biên gii
n đnh
z
n đnh
1
-1
x
x
x
v
11
;
11
zv
vz
z
v
−
+
==
+
−+
Phép bin đi lng tuyn tính
Kt lun 1
• Sau khi thc hin phép bin đi lng
tuyn tính, điu kin cn và đ v tính n

đnh ca h thng điu khin s cng
ging nh điu kin cn và đ v tính n
đnh ca h thng điu khin liên tc. Mt
phng v cng chính là mt phng p
Kt lun 2
• nh ngha – ging nhau…
• iu kin cn và đ -ging nhau …
î Các tiêu chun n đnh ging nhau
î Sau khi thc hin phép bin đi
lng tuyn tính, có th s dng các
tiêu chun n đnh ca h thng điu
khin liên tc đ xét tính n đnh ca h
thng điu khin s
Ví d
2
1
()
0.5
Gz
zz
=
++
• Xét tính n đnh ca h thng có
hàm truyn đt:
2
() 0.5zzz∆=++
a thc đc tính:
Thc hin phép bin đi lng tuyn tính:
()
2

1
1
2
2
11
() 0.5
11
0.5 2.5
1
v
z
v
vv
z
vv
vv
v
+
=
−+
++
⎛⎞
∆= ++
⎜⎟
−+ −+
⎝⎠
++
=
−
2

() 0.5 2.5vvv⇒∆ = + +
2
() 0.5 2.5vvv⇒∆ = + +
0.5 2.5
1
2.5
•Lp bng Routh:
î H thng đã cho n đnh
• i vi h thng có đa thc đc tính bc
mt hoc bc hai, điu kin cn cng
chính là điu kin đ î h thng đã cho
n đnh
5.4. TIÊU CHUN N NH JURY
•H thng có đa thc đc tính bc 2:
∆(z) = a
0
z
2
+ a
1
z + a
2
1
1
20
() 0
() 0
z
z
z

z
aa
=
=−
•
∆>
•
∆>
•<
•H thng có đa thc đc tính bc 3:
∆(z) = a
0
z
3
+ a
1
z
2
+ a
2
z + a
3
1
1
30
22
30 1302
() 0
() 0
z

z
z
z
aa
aa aaaa
=
=−
•∆>
•∆ <
•<
•−>−
Ví d
2
1
()
0.5
Gz
zz
=
++
∆(z) = z
2
+ z + 0.5
1
( ) 2.5 0
z
z
=
•
∆=>X

1
( ) 0.5 0
z
z
=−
•
∆=>X
0.5 1
•
< X
å H thng đã cho n đnh
Ví d
32
1
()
3 3.25 0.5
Gz
zz z
=
−+ −
∆(z) = z
3
-3z
2
+ 3.25z - 0.5
1
( ) 1 3 3.25 0.5 0.75 0
z
z
=

•∆=−+−=> X
1
( ) 1 3 3.25 0.5 7.75 0
z
z
=−
•∆ =−−−−=−<X
0.5 1•−< X
() ()()
2
2
0.5 1 0.5 . 3 3.25.1•−−<−−− W
å H thng đã cho không n đnh