Kỹ Thuật Xung Số Chương 2.a

Bi ging K Thût Säú Trang 12
Chỉång 2

ÂẢI SÄÚ BOOLE

2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1.1. Cạc tiãn âãư
Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn
+ (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp
thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole.

∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x.y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau:

2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn
∀x,y ∈ B: x + y = y + x
2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp

∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z
(x. y).z = x.(y. z) = x.y.z
2.1.1.3. Tiãn âãư phán bố
∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y)(x + z)
2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha
Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v
pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0.
∀x ∈ B: x + 1 = 1
x . 1 = x
x + 0 = x
x . 0 = 0
2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b
∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln

tha mn:
x +
x
= 0
Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13
x.
x
= 0
Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh
cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút.

2.1.2. Cạc âënh l
2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole
Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi
nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp
toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc
mãûnh âãư kia.
Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc
chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng.

Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z )
x + (y. z ) = ( x + y )( x + z )
Vê dủ: x +
x
= 1
x.
x = 0
2.1.2.2. Cạc âënh l
a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút
∀x, y ∈ B:

xy
0 x.y
1yx
=⇒
=
=+
⎭
⎬
⎫

∀x ∈ B:
x + x +. . . . . + x = x
x. x. x. . . . . . x = x
b. Âënh l De Morgan
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:
zyx =++ zyx

zyxx.y.z ++=

∀x ∈ B, ta cọ:
x = x
∀x, y, z ∈ B, ta cọ:

Bi ging K Thût Säú Trang 14
x + y + z =
zyx ++
= z.y.x
x. y. z =
x.y.z = zyx ++
∀x, y ∈ B, ta cọ:

x. (
x + y) = x.y
x + (
x . y) = x + y
∀x, y ∈ B, ta cọ:
x + x. y = x
x.(x + y) = x
Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ:
0 = 1 v 1 = 0
2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN
2.2.1. Hm Boole
2.2.1.1. Âënh nghéa
Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc
l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc
hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn +
(cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole
âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole.
K hiãûu: f(x) = x
f(x) =
x
f(x) = α (α: l hàòng säú )
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole
âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x
1
, x
2
,. . . . . ., x
n
)
2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole

Nãúu f(x
1
, x
2
, , x
n
) l mäüt hm Boole thç:
+ α.f(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+
f
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Nãúu f
1
(x
1
, x
2
, , x

n
) v f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) l nhỉỵng hm Boole thç:
+ f
1
(x
1
, x
2
, , x
n
) + f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
+ f
1
(x

1
, x
2
, , x
n
).f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) cng l mäüt hm Boole.
Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 15
Vỏỷy, mọỹt haỡm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc
haỡm Boole bũng caùc pheùp toaùn + (cọỹng logic), x (nhỏn logic) hoỷc
nghởch õaớo logic (-).

2.2.1.3. Giaù trở cuớa haỡm Boole
Goỹi f (x
1
, x
2
, , x
n
) laỡ mọỹt haỡm Boole theo bióỳn Boole.
Trong f ngổồỡi ta thay caùc bióỳn x
i
bũng caùc giaù trở cuỷ thóứ

i
(i = n1, )
thỗ haỡm f (
1
,
2
,
3
, ,
n
) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo n
bióỳn.

Vờ duỷ: Xeùt haỡm f(x
1
, x
2
) = x
1
+ x
2
Xeùt B = B* ={0,1}
x
1
x
2
f(x
1
, x
2

)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Nóỳu x
1
= x
2
=0 f(0,0) = 0

Nóỳu x
1
= 0, x
2
= 1 f(0,1) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 0 f(1,0) = 1

Nóỳu x
1
= 1, x
2
= 1 f(1,1) = 1

Ta lỏỷp õổồỹc baớng giaù trở cuớa haỡm trón.


Vờ duỷ: f (x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3
Xeùt B = B* = {0,1 }
Baớng giaù trở cuớa haỡm:



x
1
x

2
x
3
f (x
1
, x
2
, x
3
)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1

0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 16
2.2.2. Caùc phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole
2.2.2.1. Phổồng phaùp baớng
Laỡ phổồng phaùp thổồỡng duỡng õóứ bióứu dióựn haỡm sọỳ noùi chung.
Phổồng phaùp naỡy gọửm mọỹt baớng õổồỹc chia laỡm hai phỏửn:
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho bióỳn õóứ ghi caùc tọứ hồỹp giaù trở coù thóứ coù cuớa
bióỳn.
- Mọỹt phỏửn daỡnh cho haỡm õóứ ghi caùc giaù trở cuớa haỡm ra tổồng ổùng
vồùi caùc tọứ hồỹp cuớa caùc bióỳn vaỡo.

2.2.2.2. Phổồng phaùp giaới tờch
Laỡ phổồng phaùp bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng tọứng caùc tờch sọỳ,
hoỷc dổồùi daỷng tờch cuớa caùc tọứng sọỳ. Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt, coỡn daỷng tờch cuớa caùc tọứng laỡ daỷng chờnh từc
thổù hai
cuớa haỡm Boole, vaỡ hai daỷng chờnh từc naỡy laỡ õọỳi ngỏựu nhau.
a. Daỷng chờnh từc 1(Daỷng tọứng cuớa caùc tờch sọỳ)
Xeùt caùc haỡm Boole õồn giaớn sau õỏy: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = .

Xeùt f(x) = x:
Ta coù: x =0.
x + 1. x
mỷt khaùc:
()
()
()



=
=
=
00f
11f
xxf

suy ra f(x) = x coù thóứ bióứứu dióựn:
f(x) = x = f(0).
x + f (1).x
trong õoù: f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa haỡm Boole theo mọỹt bióỳn.

Xeùt f(x) = x :
Ta coù:
x = 1. x + 0. x
Mỷt khaùc:
()
()
()

=
=
=
10f
01f
xxf

Suy ra: f(x) =
x coù thóứ bióứu dióựn:
f(x) =
x = f(0). x + f(1).x

Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 17
Xeùt f(x) = :
Ta coù: = .1 = (x +
x ) = x . + .x
Mỷt khaùc:
()
()
()



=
=
=

0f
1f
xf

Suy ra f(x) = coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn:
f(x) = = f(0).
x + f(1).x
Kóỳt luỏỷn:
Duỡ laỡ f(x) = x, f(x) =
x
hay f(x) = , ta õóửu coù daỷng:
f(x) = f(0).
x
+ f(1).x
Vỏỷy f(x) = f(0).
x
+ f(1).x trong õoù f (0), f (1) õổồỹc goỹi laỡ giaù trở cuớa
haỡm Boole theo mọỹt bióỳn, õổồỹc goỹi laỡ
daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt (daỷng
tọứng cuớa caùc tờch) theo mọỹt bióỳn.

Trong trổồỡng hồỹp hai bióỳn f(x
1
, x
2
) thỗ caùch bióứu dióựn cuợng hoaỡn
toaỡn dổỷa trón caùch bióứu dióựn cuớa daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt theo 1 bióỳn
(trong õoù xem mọỹt bióỳn laỡ hũng sọỳ).
Ta coù:

f(x
1
, x
2
) = f(0, x
2
). x
1
+ f(1,x
2
).x
1
maỡ: f(0, x
2
) = f(0,0 ). x
2
+ f(0,1).x
2
vaỡ: f(1, x
2
) = f(1,0). x
2
+ f(1,1). x
2
Suy ra:
f(x
1
, x
2
) = f(0,0) x

1
x
2
+ f(0, 1) x
1
x
2
+ f(1,0 )x
1
x
2
+ f(1,1)x
1
x
2

Vỏỷy:
2
2
1
1
2
2
1
x)x,(
12
0e
f

),(
21


=
=xxf
trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ (
1
,
2
) vaỡ:
x
1
nóỳu
1
= 1

x
1
nóỳu
1
= 0
=
1
1
x


x
2

nóỳu
2
= 1

x
2
nóỳu
2
= 0
2
=
2
x

Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 18
Tọứng quaùt cho n bióỳn:
f(x
1
, x
2
, , x
n
) =
n
n
2
21
xx)x, ,,f(
n2
1

n
2
0e
1



1



=

trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng vồùi maợ nhở phỏn (
1
,
2
, ,
n
);
vaỡ: x
i
nóỳu
i
= 1

x
i
nóỳu
i

= 0
=
i
x

i

Vờ duỷ:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = f (


=
12
0e
3
1
,
2
,
3
). x
1

1

. x
2

2
. x
3

3
f(x
1
, x
2
, x
3
) = f(0,0,0)x
1
x
2
x
3
+ f(0,0,1)x
1
x
2
x
3
+ f(0,1,0)x
1
x
2

x
3

+ f(0,1,1)
x
1
x
2
x
3
+ f(1,0,0) x
1
x
2
x
3
+ f(1,0,1)x
1
x
2
x
3

+ f(1,1,0) x
1
x
2
x
3
+ f(1,1,1) x

1
x
2
x
3

Vỏỷy daỷng chờnh từc thổù nhỏỳt laỡ daỷng tọứng cuớa caùc tờch maỡ trong mọựi
tờch sọỳ chổùa õỏửy õuớ caùc bióỳn Boole dổồùi daỷng thỏỷt hoỷc daỷng buỡ
(nghởch õaớo).


b. Daỷng chờnh từc 2 (tờch cuớa caùc tọứng):
ỏy laỡ daỷng õọỳi ngỏựu cuớa daỷng chờnh từc 1 nón bióứu thổùc tọứng quaùt
cuớa daỷng chờnh từc thổù hai cho n bióỳn laỡ:

f(x
1
, x
2
, , x
n
) = [f(


=
1n
2
0e
1
,

2
,
3
) + x
1

1
+ x
2

2
+ + x
n

n
)]

trong õoù e laỡ sọỳ thỏỷp phỏn tổồng ổùng cuớa maợ nhở phỏn (
1
,
2
, ,
n
);
vaỡ:
x
i
nóỳu
i
= 1

x
i
nóỳu
i
= 0
i
i

=
x

Vờ duỷ:

f(x
1
,x
2
)=[f(0,0)+x
1
+x
2
][f(0,1)+x
1
+x
2
][f(1,0)+x
1
+x
2
][f(1,1)+x

1
+x
2
]

Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 19
f(x
1
, x
2
, x
3
) = [f(0,0,0)+x
1
+ x
2
+x
3
].[f(0,0,1)+x
1
+x
2
+x
3
].
[f(0,1,0)+x
1
+x
2
+x

3
].[f(0,1,1)+x
1
+x
2
+x
3
].
[f(1,0,0)+
x
1
+x
2
+x
3
].[f(1,0,1)+x
1
+x
2
+x
3
].
[f(1,1,0)+
x
1
+x
2
+x
3
].[f(1,1,1)+x

1
+x
2
+x
3
]

Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong
âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc
dảng b.

Chụ :
Xẹt vê dủ 1: f(x
1
, x
2
) = x
1
+ x
2
,
Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1:
f(x
1
, x
2
) = 0.x
1
x
2

+ 1.x
1
.x
2
+ 1.x
1
.x
2
+ 1.x
1
.x
2
= x
1
.x
2
+ x
1
.x
2
+ x
1
.x
2
Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c
cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp
âọ giạ trë ca hm ra bàòng 1. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 1
âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng
b (
x ).

Xẹt vê dủ 2: f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3

Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = [0+x
1
+x
2
+x
3
].[0+x
1
+x

2
+x
3
].[0+x
1
+x
2
+x
3
].
[1+x
1
+x
2
+x
3
].[1+x
1
+x
2
+x
3
].[1+x
1
+x
2
+x
3
].
[1+

x
1
+x
2
+x
3
].[1+x
1
+x
2
+x
3
]
Hay: f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3
= [x
1
+x
2
+x

3
].[x
1
+x
2
+x
3
].[x
1
+x
2
+x
3
]
Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán
cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra
bàòng 0. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng tháût
(x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng b (
x ).

Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh láûp bng giạ trë
ca hm, tçm hm mảch v thiãút kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn sao
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 20
cho khi cọng từc 1 õoùng thỗ õeỡn õoớ, cọng từc 2 õoùng õeỡn õoớ, caớ hai
cọng từc õoùng õeỡn õoớ.
Giaới
Ta qui õởnh:
- Cọng từc hồớ : 0 eỡn từt : 0
- Cọng từc õoùng : 1 eỡn õoớ : 1
Luùc õoù ta coù baớng traỷng thaùi mọ taớ hoaỷt õọỹng cuớa maỷch:

Cọng từc 1
x
1
Cọng từc 2
x
2
eỡn
f(x
1
,x
2
)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1

Vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 ta coù:
f(x
1

, x
2
) = 0.x
1
x
2
+ 1.x
1
.x
2
+ 1.x
1
.x
2
+ 1.x
1
.x
2

=
x
1
. x
2
+ x
1
.x
2
+ x
1

.x
2

=
x
1
. x
2
+ x
1
(x
2
+ x
2
)
=
x
1
. x
2
+ x
1
= x
1
+ x
2
Vióỳt theo daỷng chờnh từc 2 ta coù:
f(x
1
, x

2
) = [0+x
1
+x
2
].[1+x
1
+x
2
].[1+x
1
+ x
2
].[1+x
1
+x
2
]
= [x
1
+ x
2
].1.1.1 = x
1
+ x
2
Vỏỷy, duỡ vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 hay chờnh từc 2 ta õóửu coù haỡm
maỷch:
f(x
1

, x
2
) = x
1
+ x
2

2.2.2.3. Phổồng phaùp bióứu dióựn bũng baớng Karnaugh
ỏy laỡ caùch bióứu dióựn laỷi cuớa phổồng phaùp baớng dổồùi daỷng baớng
gọửm caùc ọ vuọng coù daỷng nhổ hỗnh bón.


Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 21
Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt
ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê
säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàòng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt
dc ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê
säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo
cäüt dc 1 biãún hồûc ngỉåüc lải.
Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc
ca bng âỉåüc bäú trê sao cho khi ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi
nọ chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, nhỉ váûy thỉï tỉû
bäú trê hay sàõp
xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc
ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray. Giạ trë ghi trong
mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp
giạ trë ca biãún vo. ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ
nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàòng
chỉỵ x. Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng.

2.3. TÄÚI THIÃØU HM BOOLE
2.3.1. Âải cỉång
Trong thiãút bë mạy tênh ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul
(kháu) v mäùi modul ny âỉåüc âàûc trỉng bàòng mäüt phỉång trçnh logic.
Trong âọ, mỉïc âäü phỉïc tảp ca så âäư ty thüc vo phỉång trçnh logic
biãøu diãùn chụng. Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khäng l ty thüc
vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa.
Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, khi thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût ra váún âãư
täúi thiãøu họa cạc hm logic. Âiãưu âọ cọ nghéa l phỉång trçnh logic
biãøu diãùn sao cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp tênh v säú lỉåüng
cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l
êt nháút).
Tuy nhiãn trong thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii
täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa.

Bi ging K Thût Säú Trang 22
2.3.2. Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa
- Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic.
- Rụt ra nhỉỵng thỉìa säú chung nhàòm mủc âêch täúi thiãøu họa thãm
mäüt bỉåïc nỉỵa cạc phỉång trçnh logic.
2.3.3. Cạc phỉång phạp täúi thiãøu họa
2.3.3.1. Phỉång phạp gii têch
Âọ l phỉång phạp täúi thiãøu họa hm Boole (phỉång trçnh logic) dỉûa
vo cạc tiãn âãư, âënh l ca âải säú Boole.
Vê dủ:
f(x
1
, x
2
) = x

1
x
2
+ x
1
x
2
+ x
1
x
2
= (x
1
+ x
1
)x
2
+ x
1
x
2
= x
2
+ x
1
x
2
= x
2
+ x

1

Vê dủ:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
3
+ x
1
x

2
x
3
+ x
1
x
2
x
3
= x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
x
3
+ x
1
x

2
(x
3
+ x
3
)
=
x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
2
(x
3
+ x
3
) + x
1
x
2
= x
1
x
2
x

3
+ x
1
(x
2
+ x
2
)
=
x
1
x
2
x
3
+ x
1
= x
1
+ x
2
x
3

2.3.3.2. Phỉång phạp bng Karnaugh
a. Täúi thiãøu họa hm Boole bàòng bng Karnaugh
Âãø täúi thiãøu họa hm Boole bàòng phỉång phạp bng Karnaugh phi
tn th theo qui tàõc vãư ä kãú cáûn: “Hai ä âỉåüc gi l kãú cáûn nhau l hai
ä m khi ta tỉì ä ny sang ä kia chè lm thay âäøi giạ trë ca 1 biãún. “
Quy tàõc chung ca phỉång phạp rụt gn bàòng bng Karnaugh l

gom (kãút håüp) cạc ä kãú cáûn lải våïi nhau. Khi gom 2 ä kãú cáûn nhau s
loải âỉåüc 1 biãún (2 ä =2
1
loải 1 biãún). Khi gom 4 ä kãú cáûn s loải âỉåüc
2 biãún (4 ä =2
2
loải 2 biãún). Khi gom 8 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 3 biãún (8
ä = 2
3
loải 3 biãún ).
Täøng quạt, khi gom 2
n
ä kãú cáûn s loải âỉåüc n biãún. Nhỉỵng biãún bë loải
l nhỉỵng biãún khi ta âi vng qua cạc ä kãú cáûn m giạ trë ca chụng thay
âäøi.

Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 23
Nhổợng õióửu cỏửn lổu yù:
- Voỡng gom õổồỹc goỹi laỡ hồỹp lóỷ khi trong voỡng gom õoù coù ờt nhỏỳt 1 ọ
chổa thuọỹc voỡng gom naỡo.
- Vióỷc kóỳt hồỹp nhổợng ọ kóỳ cỏỷn vồùi nhau coỡn tuỡy thuọỹc vaỡo phổồng
phaùp bióứu dióựợn haỡm Boole theo daỷng chờnh từc 1 hoỷc chờnh từc 2.
ióửu naỡy coù nghộa laỡ: nóỳu ta bióứu dióựn haỡm Boole theo daỷng chờnh từc
1 thỗ ta chố quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cỏỷn naỡo coù giaù trở bũng 1 vaỡ tuỡy õởnh,
ngổồỹc laỷi nóỳu ta bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng chờnh từc 2 thỗ ta chố
quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cỏỷn naỡo coù giaù trở bũng 0 vaỡ tuỡy õởnh. Ta quan
tỏm nhổợng ọ tuỡy õởnh sao cho nhổợng ọ naỡy kóỳt hồỹp vồùi nhổợng ọ coù giaù
trở bũng 1 (nóỳu bióứu dióựn theo daỷng chờnh từc 1) hoỷc bũng 0 (nóỳu bióứu
dióự
n theo daỷng chờnh từc 2) seợ laỡm cho sọỳ lổồỹng ọ kóỳ cỏỷn laỡ 2n lồùn

nhỏỳt.
- Caùc ọ kóỳ cỏỷn muọỳn gom õổồỹc phaới laỡ kóỳ cỏỷn voỡng troỡn nghộa laỡ ọ
kóỳ cỏỷỷn cuọỳi cuợng laỡ ọ kóỳ cỏỷn õỏửu tión.

c. Caùc vờ duỷ
Vờ duỷ 1: Tọỳi thióứu hoùa haỡm sau bũng phổồng phaùp baớng Karnaugh.

0 1
x
2
f(x
1
,x
2
)
x
1
0 0 1
1 1 1
Tọỳi thióứu hoùa theo daỷng chờnh từc 2:
f(x
1
,x
2
) = x
1
+ x
2

Vờ duỷ 2: Tọỳi thióứu hoùa haỡm sau bũng phổồng phaùp baớng Karnaugh.

00 01 11 10
x
3
f(x
1
,x
2
,x
3
)
0 0 0 1 1
1 0 1 1 1
Voỡng gom 2: x
2
.x
3
Voỡn
g

g
om 1: x
1
x
1
,x
2

Tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 1: Ta chố quan tỏm õóỳn nhổợng ọ coù giaù
trở bũng 1 vaỡ tuỡy õởnh, nhổ vỏỷy seợ coù 2 voỡng gom õóứ phuớ hóỳt caùc ọ coù
giaù trở bũng 1: voỡng gom 1
gọửm 4 ọ kóỳ cỏỷn, vaỡ voỡng gom 2 gọửm 2 ọ kóỳ
cỏỷn
(hỗnh veợ).
Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 24
ọỳi vồùi voỡng gom 1: Coù 4 ọ = 2
2
nón seợ loaỷi õổồỹc 2 bióỳn. Khi õi
voỡng qua 4 ọ kóỳ cỏỷn trong voỡng gom chố coù giaù trở cuớa bióỳn x
1
khọng
õọứi (luọn bũng 1), coỡn giaù trở cuớa bióỳn x
2
thay õọứi (tổỡ 10) vaỡ giaù trở
cuớa bióỳn x
3
thay õọứi (tổỡ 01) nón caùc bióỳn x
2
vaỡ x
3
bở loaỷi, chố coỡn laỷi
bióỳn x
1
trong kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 1. Vỗ x
1
=1 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng

gom 1 theo daỷng chờnh từc 1 seợ coù x1 vióỳt ồớ daỷng thỏỷt: x
1

ọỳi vồùi voỡng gom 2: Coù 2 ọ = 2
1
nón seợ loaỷi õổồỹc 1 bióỳn. Khi õi
voỡng qua 2 ọ kóỳ cỏỷn trong voỡng gom giaù trở cuớa bióỳn x
2
vaỡ x
3
khọng
õọứi, coỡn giaù trở cuớa bióỳn x
1
thay õọứi (tổỡ 01) nón caùc bióỳn x
2
vaỡ x
3

õổồỹc giổợ laỷi, chố coù bióỳn x
1
bở loaỷi. Vỗ x
2
=1 vaỡ x
3
=1 nón kóỳt quaớ cuớa
voỡng gom 2 theo daỷng chờnh từc 1 seợ coù x
2
vaỡ x
3
vióỳt ồớ daỷng thỏỷt: x

2
.x
3

Kóỳt hồỹp 2 voỡng gom ta coù kóỳt quaớ tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 1:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
+ x
2
.x
3

Tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 2: Ta quan tỏm õóỳn nhổợng ọ coù giaù trở
bũng 0 vaỡ tuỡy õởnh, nhổ vỏỷy cuợng coù 2 voỡng gom (hỗnh veợ), mọựi voỡng
gom õóửu gọửm 2 ọ kóỳ cỏỷn.
ọỳi vồùi voỡng gom 1: Coù 2 ọ = 2
1
nón loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ
x
2
(vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 01). Vỗ x
1
=0 vaỡ x
3

=0 nón kóỳt quaớ cuớa
voỡng gom 1 theo daỷng chờnh từc 2 seợ coù x
1
vaỡ x
3
ồớ daỷng thỏỷt: x
1
+ x
3
.
ọỳi vồùi voỡng gom 2: Coù 2 ọ = 2
1
nón loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ
x
3
(vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 0 1). Vỗ x
1
=0 vaỡ x
2
=0 nón kóỳt quaớ cuớa
voỡng gom 2 theo daỷng chờnh từc 2 seợ coù x
1
vaỡ x
2
ồớ daỷng thỏỷt: x
1
+ x
2
.

00 01 11 10
x
3
f(x
1
,x
2
,x
3
)
0 0 0 1 1
1 0 1 1 1
Voỡn
g

g
om 2: x
1
+ x
2
Voỡn
g

g
om 1: x
1
+ x
3
x
1

,x
2





Kóỳt hồỹp 2 voỡng gom coù kóỳt quaớ cuớa haỡm f vióỳt theo daỷng chờnh từc
2:
f (x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
+x
3
).(x
1
+x
2
)
= x
1
.x
1
+ x
1

.x
2
+ x
1
.x
3
+ x
2
.x
3
= x
1
+ x
1
.x
2
+ x
1
.x
3
+ x
2
.x
3
Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 25
= x
1
(1+ x
2
+ x

3
) + x
2
.x
3
= x
1
+ x
2
.x
3

Nháûn xẹt: Trong vê dủ ny, hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 1 v
hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 2 l giäúng nhau. Tuy nhiãn cọ trỉåìng
håüp hm ra ca hai dảng chênh tàõc 1 v 2 l khạc nhau, nhỉng giạ trë
ca hm ra ỉïng våïi mäüt täø håüp biãún âáưu vo l giäúng nhau trong c 2
dảng chênh tàõc.

Chụ : Ngỉåìi ta thỉåìng cho hm Boole dỉåïi dảng biãøu thỉïc rụt gn.
Vç cọ 2 cạch biãøu diãùn hm Boole theo dảng chênh tàõc 1 hồûc 2 nãn s
cọ 2 cạch cho giạ trë ca hm Boole ỉïng våïi 2 dảng chênh tàõc âọ:

Dảng chênh tàõc 1: Täøng cạc têch säú.
f(x
1
, x
2
, x
3
) =

Σ
(3, 4, 7) + d(5, 6)
Trong âọ d: giạ trë cạc ä ny l ty âënh (d: don’t care)



00 01 11 10
0
00X1
1
011X
x
3
f(x
1
,x
2
,x
3
)
x
1
,x
2





Lục âọ bng Karnaugh s âỉåüc cho nhỉ hçnh trãn. Tỉì biãøu thỉïc rụt

gn ca hm ta tháúy tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo cọ
giạ trë l 3, 4, 7 thç hm ra cọ giạ trë bàòng 1; tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp

nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 5,6 thç hm ra cọ giạ trë l ty âënh;
hm ra cọ giạ trë bàòng 0 åí nhỉỵng ä cn lải ỉïng våïi täø håüp cạc biãún vo
cọ giạ trë l 0, 1, 2.

Dảng chênh tàõc 2: Têch cạc täøng säú.
Phỉång trçnh logic trãn cng tỉång âỉång:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = (0, 1, 2) + d(5, 6)
Π

Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 26
Vờ duỷ 3: Tọỳi thióứu hoùa haỡm 4 bióỳn sau õỏy:



00 01 11 10
00
x x 1 x
01
x 0 1 x
11
0 x x 1

10
1 1 x 1
x
1
,x
2
x
3
,x
4
Voỡng gom 1
Voỡng gom 2
f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)

00 01 11 10
00
x x 1 x
01
x 0 1 x
11
0 x X 1
10

1 1 X 1
x
f(x
x
3
,x
4
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
1
,x
2









Ta thổỷc hióỷn tọỳi thióứu hoùa theo daỷng chờnh từc 1: Tổỡ baớn õọử
Karnaugh ta coù 2 voỡng gom, voỡng gom 1 gọửm 8 ọ kóỳ cỏỷn vaỡ voỡng gom
2 gọửm 8 ọ kóỳ cỏỷn. Kóỳt quaớ tọỳi thióứu hoùa nhổ sau:

Voỡng gom 1:
x
4
Voỡng gom 2: x
1

Vỏỷy: f(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = x
4
+ x
1